专题27.9 相似章末十大题型总结（培优篇）（人教版）（解析版）.docx

1、专题27.9 相似章末十大题型总结（培优篇）【人教版】【题型1 由比例的性质求值或证明】1【题型2 由平行判断成比例的线段】1【题型3 黄金分割】1【题型4 证明两三角形相似】2【题型5 证明三角形的对应线段成比例】2【题型6 确定相似三角形的点的个数】2【题型7 相似与翻折】2【题型8 利用相似求坐标】2【题型9 在网格中作位似图形】2【题型10 相似三角形的应用】3【题型1 由比例的性质求值或证明】【例1】（2023秋安徽马鞍山九年级安徽省马鞍山市第七中学校考期中）已知a+bc=b+ca=c+ab，求a+bb+cc+aabc的值【答案】8或-1【分析】观察 (a+b)c=(b+c)a=(c

2、+a)b 与 (a+b)(b+c)(c+a)abc 发 现，后者是通过前者相乘得来，那么只要找出 (a+b)c=(b+c)a=(c+a)b 的值解出，因此设(a+b)c=(b+c)a=(c+a)b=k 通过变换化为 (a+b+c)(k-2)=0 那么可能是 a+b+c=0 或 k=2 对这两种情况分别讨论；【详解】设a+bc=b+ca=c+ab=k,则a+b=kc,b+c=ka,c+a=kb(a+b)+(b+c)+(c+a)=kc+ka +kb2(a+b+c)=k(a+b+c)即(a+b+c)(k-2)=0所以a+b+c=0或k=2当a+b+c=0时，则a+b=-c,a+bc=-1,同理b+c

3、a=-1, c+ab=-1所以(a+b)(b+c)(c+a)abc=(a+b)c (b+c)a(c+a)b=(-1)(-1) (-1)=-1当k=2时，(a+b)c=(b+c)a=(c+a)b=2所以(a+b)(b+c)(c+a)abc=(a+b)c (b+c)a(c+a)b=222=8故答案为 8 或 -1【点睛】做好本题的关键是找出a、b、c三个变量间的关系，因而假设a+bc=b+ca=c+ab=k,做到这步已经成功了一半，因而同学们在解题中一定要仔细观察已知与结论找出其存在或隐含的关系【变式1-1】（2023秋安徽六安九年级校考期中）已知a、b、c为ABC的三边长，且a3=b4=c5，a

4、+b+c=24，求ABC三边的长【答案】ABC三边的长为6，8，10【分析】设a3=b4=c5=k，则a=3k，b=4k，c=5k，根据a+b+c=24进行计算求出k的值即可【详解】解：设a3=b4=c5=k，则a=3k，b=4k，c=5k，a+b+c=24，3k+4k+5k=24，解得：k=2，a=3k=6，b=4k=8，c=5k=10， ABC三边的长为6，8，10【点睛】本题主要考查了比例的性质，熟练掌握比例的性质是解题的关键【变式1-2】（2023秋浙江嘉兴九年级校联考期中）已知线段a、b满足a:b=1:2，且a+2b=10(1)求a、b的值；(2)若线段c是线段a、b的比例中项，求c

5、的值【答案】(1)a=2,b=4(2)c=22【分析】（1）利用a:b=1:2，可设a=k,b=2k，则k+4k=10，然后解出k的值即可得到a、b的值；（2）根据比例中项的定义得到c2=ab，即c2=8，然后根据算术平方根的定义求解【详解】（1）a:b=1:2设a=k,b=2k，a+2b=10，k+4k=10，k=2，a=2,b=4（2）c是a、b的比例中项，c2=ab=8，c是线段，c0，c=22【点睛】本题考查了比例线段：对于四条线段a,b,c,d，如果其中两条线段的比（即它们的长度比）与另两条线段的比相等，如a:b=c:d(即ad=bc)，我们就说这四条线段是成比例线段，简称比例线段注

6、意利用代数的方法解决较为简便【变式1-3】（2023秋广东珠海九年级统考期末）已知a，b，c，d都是互不相等的正数.（1）若ab=2，cd=2，则ba dc，ac bd（用“”，“”或“=”填空）；（2）若ab=cd,请判断ba+b和dc+d的大小关系，并证明；（3）令ac=bd=t,若分式2a+ca-c-3b+db-d+2的值为3，求t的值.【答案】（1）=；=；（2）ba+b=dc+d，理由见解析；（3）12【分析】（1）由ab=2，cd=2，得到a=2b，c=2d，代入化简即可得到结论；（2）设ab=t，则cd=t，得到a=bt，c=dt，代入化简即可得到结论；（3）由已知得到：a=ct

7、，b=dt.代入分式，化简后解方程即可得出结论.【详解】（1）ab=2，cd=2，a=2b，c=2d，ba=dc=12，bd=2a2c=ac.故答案为：=；（2）ba+b=dc+d.理由如下：设ab=t，则cd=t，a=bt，c=dt，ba+b=bbt+b=1t+1，dc+d=ddt+d=1t+1，ba+b=dc+d；（3）ac=bd=t，a=ct，b=dt.2a+ca-c-3b+db-d+2=3，2t+1t-1-3t+1t-1=1.解得：t=12.经检验：t=12是原方程的解.【点睛】本题考查了比例的性质以及解分式方程.设参法是解答本题的关键.【题型2 平行判断成比例的线段的运用】【例2】（

8、2023秋安徽六安九年级校考期中）如图，点D，E，F分别在ABC的边上，ADBD=13，DEBC，EFAB，点M是EF的中点，连接BM并延长交AC于点N，则ENAC的值是（）A320B29C16D17【答案】A【分析】过点F作FGBN交AC于点G,可证EN=GN同理，可得AEEC=ADDB=13，EC=3AE，AEEC=BFFC=13；由FGBN,得BFFC=NGGC=13，于是GC=3NG；设EN=NG=a，则GC=3a，EC=5a，AC=203a，从而得ENAC=320【详解】解：过点F作FGBN交AC于点G,ENGN=EMFM=1EN=GNDEBC，AEEC=ADDB=13EC=3AEE

9、FAB，AEEC=BFFC=13FGBN,BFFC=NGGC=13GC=3NG设EN=NG=a，则GC=3a，EC=EN+NG+GC=5aEC=3AE=5aAE=53aAC=AE+EC=53a+5a=203aENAC=a203a=320故选：A【点睛】本题考查平行线分线段成比例定理；由平行线得到线段间的数量关系是解题的关键【变式2-1】（2023秋陕西榆林九年级校考期中）如图，AD与BC相交于点E，点F在BD上，且ABEFCD，若EF=2，CD=3，求AB的长【答案】6【分析】根据平行线分线段成比例定理的推论“平行于三角形一边，并且和其他两边相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形的三边对应

10、成比例”，先由EFCD，得EFCD=BFBD，再由ABEF得EFAB=DFDB，即可求解【详解】解：BCD中，EFCD，EFCD=BFBD，EF=2，CD=3，23=BFBD，DFDB=13，ABEF，EFAB=DFDB=13，AB=3EF=6【点睛】本题考查平行线分线段成比例定理的推论，解题的关键是从图形中找准成比例的线段【变式2-2】（2023春安徽合肥九年级统考期末）如图，在ABC中，D是AC边上的中点，E在BC上，且EC=2BE，则AFFE=（）A2B3C4D5【答案】B【详解】取CE的中点M，连接DM，根据三角形中位线定理得DMAE，DM=12AE，再根据平行线分线段成比例得EFDM

11、=BEBM=12，即可得出答案【解答】解：如图，取CE的中点M，连接DM，D是AC边上的中点，DMAE，DM=12AE，EM=MCEC=2BE，EFDM=BEBM=12， EF=12DM，12AE=2EF，AE=4EF，AFFE=3，故选:B【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理和三角形中位线定理，本题辅助线的作法是解题的关键【变式2-3】（2023秋四川成都九年级校考期中）如图，已知ABC，DCE，FEG是三个全等的等腰三角形，底边BC，CE，EG在同一直线上，且AB=3，BC=1，BF分别交AC，DC，DE于P，Q，R，则PQ的长为 【答案】12【分析】过点F作FHBG于点H，根据等腰三

12、角形的性质和勾股定理求出EH=HG=12EG=12，FH=EF2-EH2=112，BF=FH2+BH2=3，根据平行线的判定得出ACDEFG，得出BPBC=PRCE=RFEG，根据BC=CE=EG=1，结合BF=3，得出BP=PR=RF=1，根据平行线的判定得出CDEF，得出BQQP=BCCE=1，从而求出BQ=QP=12BP=32，即可求出结果【详解】解：过点F作FHBG于点H，ABC，DCE，FEG是三个全等的等腰三角形，BC=CE=EG=1，AB=AC=DC=DE=EF=FG=3，ABC=ACB=DCE=DEC=FEG=FGE，FHBG，EH=HG=12EG=12，FH=EF2-EH2=

13、112，BH=BC+CE+EH=52，BF=FH2+BH2=3，ACB=DEC，ACDE，同理可得：DEFG，ACDEFG，BPBC=PRCE=RFEG，BC=CE=EG=1，BP=PR=RF，BP+PR+RF=BF=3，BP=PR=RF=1，BCD=180-DCE，BEF=180-FEG，又DCE=FEG，BCD=BEF，CDEF，BQQP=BCCE=1，BQ=QP=12BP=32，PQ=BQ-BP=32-1=12故答案为：12【点睛】本题主要考查了平行线的判定和性质，等腰三角形的性质，全等三角形的性质，平行线分线段成比例定理，勾股定理，解题的关键是作出辅助线，求出BP=1，BQ=32【题型

14、3 黄金分割的运用】【例3】（2023秋河南郑州九年级河南省实验中学校考期中）五角星是我们生活中常见的一种图形，在如图所示的正五角星中，点C，D为线段AB 的黄金分割点，且AB=2，则图中五边形CDEFG的周长为（）A25-2B103C105-20D105-10【答案】C【分析】根据点C，D分别为线段AB的右侧和左侧的黄金分割点，可得AC=BD=5-12AB=5-1，AD=BC=5-12BD=3-5，再根据CD=BD-BC求出CD的长度，然后乘以5即可求解【详解】解：点C，D分别为线段AB的右侧和左侧的黄金分割点， AC=BD=5-12AB=5-1，AD=BC=5-12BD=3-5， CD=B

15、D-BC=5-1-3+5=25-4， 五边形CDEFG的周长525-4=105-20 故选：C【点睛】本题考查了黄金分割的定义：线段上一点把线段分为较长线段和较短线段，若较长线段是较短线段和整个线段的比例中项，则这个点叫这条线段的黄金分割点【变式3-1】（2023春山东威海九年级校联考期末）在学习画线段AB的黄金分割点时，小明过点B作AB的垂线BC，取AB的中点M，以点B为圆心，BM为半径画弧交射线BC于点D，连接AD，再以点D为圆心，DB为半径画弧，前后所画的两弧分别与AD交于E，F两点，最后，以A为圆心，“”的长度为半径画弧交AB于点H，点H即为AB的其中一个黄金分割点，这里的“”指的是线

16、段 【答案】AF【分析】根据作图可知，ABD=90，DB=DF=BM=12AB，设DB=DF=a，则AB=2a，根据勾股定理得，AD=AB2+BD2=5a，求出AF=5a-a，得出AFAB=5-12，即可得出结论【详解】解：根据作图可知，ABD=90，DB=DF=BM=12AB，设DB=DF=a，则AB=2a，根据勾股定理得，AD=AB2+BD2=5a，AF=AD-DF=5a-a，AFAB=5a-a2a=5-12，以A为圆心，“AF”的长度为半径画弧交AB于点H，点H即为AB的其中一个黄金分割点故答案为：AF【点睛】本题主要考查了勾股定理，黄金分割，解的关键是求出AFAB=5a-a2a=5-1

17、2【变式3-2】（2023秋辽宁锦州九年级统考期中）两千多年前，古希腊数学家欧多克索斯发现了黄金分割，黄金分割在日常生活中处处可见；例如：主持人在舞台上主持节目时，站在黄金分割点上，观众看上去感觉最好若舞台长AB=20米，主持人从舞台一侧B进入，她至少走 米时恰好站在舞台的黄金分割点上（结果保留根号）【答案】30-105【分析】根据黄金分割的概念，可求出AP，BP，即可求解【详解】由题意知 AB=20 米，BPAP=APAB=5-12，AP=205-12=(105-10)，BP=20-(105-10) =(30-105)米，故主持人从舞台一侧点 B 进入，则他至少走 (30-105) 米时恰好

18、站在舞台的黄金分割点上，故答案为：30-105【点睛】本题考查了黄金分割，理解黄金分割的概念找出黄金分割中成比例的对应线段是解决问题的关键【变式3-3】（2023春江苏苏州九年级苏州市立达中学校校考期末）已知线段AB=2，点P是线段AB的黄金分割点（APBP），(1)求线段AP的长；(2)以AB为三角形的一边作ABQ，使得BQ=AP，连接QP，若QP平分AQB，求AQ的长【答案】(1)5-1(2)2【分析】（1）根据黄金分割点的定义得出BP=5-12AB=5-1；（2）根据角平分线的性质得出P到AQ、BQ的距离相等，可得出SPAQSPBQ=AQBQ=APPB，求出PB=AB-AP=3-5，即可

19、得出答案【详解】（1）解：点P是线段AB的黄金分割点（APBP），AP=5-12AB=5-122=5-1；（2）解：QP平分AQB，P到AQ、BQ的距离相等，SPAQSPBQ=AQBQ=APPB，又由（1）AP=BQ=5-1，AB=2，PB=AB-AP=2-5-1=3-5，AQ=APBQPB=5-123-5=2【点睛】本题考查黄金分割点的定义，角平分线的性质等知识，解题时要熟练掌握并灵活运用【题型4 证明两三角形相似】【例4】（2023秋广东清远九年级统考期末）如图，已知正方形ABCD中，BE平分DBC且交CD边于点E，将BCE绕点C顺时针旋转到DCF的位置，并延长BE交DF于点G求证：(1)

20、BDGDEG；(2)BGDF【答案】(1)见解析(2)见解析【分析】（1）先判断出FDC=EBC，再利用角平分线判断出FDC=EBC，即可得出结论；（2）由三角形的内角和定理可求DGE=BCE=90，可得结论【详解】（1）证明：由旋转可知：BCEDCF，FDC=EBCBE平分DBC，DBE=EBC，FDC=DBE，DGE=DGB，BDGDEG；（2）证明：EBC=GDE，BEC=DEG，DGE=BCE=90BGDF【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，正方形的性质，旋转的性质，灵活运用这些性质解决问题是本题的关键【变式4-1】（2023秋浙江绍兴九年级统考期中）如图，已知B=E=90，AB

21、=6,BF=3,CF=5,DE=15,DF=25(1)求CE的长；(2)求证：ABCDEF【答案】(1)CE=15(2)见解析【分析】（1）利用勾股定理求出EF，再用EF-CF即可求出CE的长；（2）先求出BC的长，得到ABDE=BCEF，再根据B=E=90，即可得证【详解】（1）解：DE=15,DF=25,E=90，EF=DF2-DE2=20，CE=EF-CF=15；（2）证明：BF=3，CF=5，BC=BF+CF=8，ABDE=615=25，BCEF=820=25，ABDE=BCEF，B=E=90，ABCDEF【点睛】本题考查勾股定理，相似三角形的判定熟练掌握勾股定理，相似三角形的判定方法

22、，是解题的关键【变式4-2】（2023秋贵州贵阳九年级统考期末）如图，在RtABC中，ACB=90，CDAB，垂足为点D，点M是AC上的一点，连接BM，作MNBM，且交AB于点N.（1）求证：BCPMAN；（2）除（1）中的相似三角形外，图中还有其它的相似三角形吗？若有，请将它们全部直接写出来.【答案】（1）详见解析；（2）ACDABC； ACDBCD； BCDABC； BDPBMN.【分析】（1）由ACB=90，CDAB证得A=BCD，再利用MNBM证得AMN=CBM，即可得到ACDABC；（2）利用直角与公共角的关系得到ACDABC； ACDBCD； BCDABC；BDPBMN.【详解】（

23、1）ABCD,ACBC,A+ACD=90,BCD+ACD=90,A=BCD,又NMBM,ACBC,AMN+BMC=90,CBM+BMC=90,AMN=CBM，AMNCBP；（2）ABCD,ACBC，ACB=ADC=BCD=90，A=A,ACDABC;ABC=CBD,BCDABC;ACDBCD；MNBM,BMN=BDP=90，又DBP=MBN,BDPBMN.共4对相似三角形：ACDABC； ACDBCD； BCDABC；BDPBMN.【点睛】此题考查相似三角形的判定，注意公共角在证明三角形相似中的作用，再由已知条件所给的都是关于角的条件，因此通过证明两组角分别相等证明两个三角形相似比较简单.【变

24、式4-3】（2023秋安徽阜阳九年级校考期中）如图，在矩形ABCD中，E为DC边上一点，把ADE沿AE翻折，使点D恰好落在BC边上的点F处(1)求证：ABFFCE；(2)若AB=23，AD=4，求CE的长(3)当点F是线段BC的中点时，求证：AF2=ABAE【答案】(1)证明见解析(2)233(3)证明见解析【分析】（1）利用同角的余角相等，先说明BAF=EFC，再利用相似三角形的判定得结论； （2）先利用勾股定理求出BF，再利用相似三角形的性质得方程，求解即可（3）由ABFFCE，可得ABCF=BFCE=AFEF，结合F为BC的中点，可得ABBF=AFEF，结合AFE=B=90，可得ABFA

25、FE，从而可得答案【详解】（1）证明：四边形ABCD是矩形， B=C=D=90 ADE沿AE翻折得到AFE， D=AFE=90 BAF+AFB=90=AFB+EFC， BAF=EFC 又B=C， ABFFCE（2）四边形ABCD是矩形， AB=23，AD=4，AB=CD=23，AD=BC=4， ADE沿AE翻折得到AFE， AD=AF=4，DE=EF 在RtABF中， BF=AF2-AB2=2 设CE的长为x，则DE=EF=23-x ABFFCE， BFCE=AFFE CEAF=BFEF， 即4x=223-x x=233，即EC=233（3）ABFFCE，ABCF=BFCE=AFEF，F为BC

26、的中点，BF=CF，ABBF=AFEF，AFE=B=90，ABFAFE，ABAF=AFAE，AF2=ABAE【点睛】本题主要考查了矩形的性质、折叠的性质、相似三角形的判定和性质，掌握“矩形的四个角都是直角、矩形的对边相等”、“折叠前后的两个图形全等”、“两角对应相等的两个三角形相似”及“相似三角形的对应边的比相等”是解决本题的关键【题型5 证明三角形的对应线段成比例】【例5】（2023春江苏九年级专题练习）如图，ABC中，ABAC，在AB、AC上分别截取BD=CE，DE，BC的延长线相交于点F，证明：ABDF=ACEF【答案】见解析【分析】过点E作EM/AB 交BC于点M，可得到CEMCAB

27、，FEMFDB，进而有EMAB=CEAC ，EMDB=EFDF，根据BD=CE，可得到ABAC=EFDF，即证【详解】如图，过点E作EM/AB 交BC于点M，EM/AB，CEMCAB ，FEMFDB，EMAB=CEAC ，EMDB=EFDF ABCE=EMAC ,即ABAC=EMCE ，BD=CEEMCE=EMDB ，ABAC=EFDF，ABDF=ACEF【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定方法和性质【变式5-1】（2023春江西南昌九年级统考期末）(1) 已知抛物线y=ax2-6x+c的图象经过点（-2，-1），其对称轴为x=-1求抛物线的解析式

28、 (2)如图，在ABC中，AB=AC，点D，E分别是BC，AB边上的点，且ADE=C求证：BDCD=BEAC【答案】（1）y=-3x2-6x-1；（2）详见解析.【分析】1）利用待定系数法即可求得抛物线的解析式；（2）由AB=AC可得B=C，由已知条件ADE=C可证BDE=CAD，根据相似三角形的判定定理即可证BDECAD，由相似三角形的性质可得结论【详解】（1）解：由题意得，4a+12+c=-1-62a=-1，解得a=-3c=-1抛物线的解析式为y=-3x2-6x-1 （2）证明：AB=AC B=CADB=C+DACADE=CADB=ADE+BDEDAC=BDEBDECADACBD=CDBE

29、BDCD=BEAC.故答案为（1）y=-3x2-6x-1；（2）详见解析.【点睛】本题考查待定系数法求二次函数的解析式，相似三角形的判定及性质，解题的关键是能够掌握并熟练运用所学知识【变式5-2】（2023上海松江统考一模）如图，已知梯形ABCD中，ADBCE是边AB上一点，CE与对角线BD交于点F，且BE2=EFEC求证：(1)ABDFCB；(2)BDBE=ADCE【答案】(1)见解析(2)见解析【分析】（1）由BE2=EFEC可证BEFCEB，得到EBF=ECB，再由ADBC得到ADB=DCB，即可证明ABDFCB；（2）由BEFCEB得到BFBC=BECE，ABDFCB得到ABFC=BD

30、BC=ADBF，进而得到BECE=ADBD，即可得到BDBE=ADCE【详解】（1）BE2=EFEC，BEEF=CEBEBEF=CEB，BEFCEBEBF=ECBADBC，ADB=DCBABDFCB；（2）BEFCEB，BFBC=BECEABDFCB，ABFC=BDBC=ADBFBFBC=ADBDBECE=ADBDBEBD=ADCE【点睛】本题考查相似三角形的判定与性质，相似三角形判定方法是解题的关键【变式5-3】（2023春全国九年级专题练习）如图，已知，在ABC中，ACB的平分线CD交AB于D，过B作BECD交AC的延长线于点E.求证：ADDB=ACCB.【答案】证明见解析.【分析】根据C

31、D平分ACB，可知ACD=BCD；由BECD，可求出BCE是等腰三角形，故BC=CE；根据平行线的性质及BC=CE可得出结论【详解】解：证明：CD平分ACB，ACD=BCD又BECD，CBE=BCD，CEB=ACDACD=BCD，CBE=CEBBC=CEBECD，ADDB=ACCE，又BC=CE，ADDB=ACCB【点睛】本题主要考查了等腰三角形的判定及性质和角平分线定理、平行线分线段成比例定理，关键是熟练掌握平行线分线段成比例定理和平行线的性质【题型6 确定相似三角形的点的个数】【例6】（2023春江苏苏州九年级校联考期末）如图，已知点A（1，0），点B（b，0）（b1），点P是第一象限内的

32、动点，且点P的纵坐标为b4，若POA和PAB相似，则符合条件的P点个数是（）A0B1C2D3【答案】D【分析】利用相似三角形的对应边成比例，分PAOPAB，PAOBAP两种情况分别求解即可.【详解】点P的纵坐标为b4，点P在直线yb4上，当PAOPAB时，ABb1OA1，b2，则P(1，12)；当PAOBAP时，PA：ABOA：PA，PA2ABOA，b216b1，(b8)248，解得 b843，P(1，2+3)或(1，23)，综上所述，符合条件的点P有3个，故选D【点睛】本题考查了相似三角形的性质，正确地分类讨论是解题的关键.【变式6-1】（2023春江苏苏州九年级校考阶段练习）下列五幅图均是

33、由边长为1的16个小正方形组成的正方形网格，网格中的三角形的顶点都在小正方形的顶点上，那么在下列右边四幅图中的三角形，与左图中的ABC相似的个数有（）A1个B2个C3个D4个【答案】B【分析】可利用正方形的边把对应的线段表示出来，利用三边对应成比例两个三角形相似，分别计算各边的长度即可解题【详解】解：根据题意得：AC=12+12=2,BC=22+22=22,AB=12+32=10，AC2+BC2=AB2，该三角形为直角三角形，且两直角边的比为BCAC=2，第1个图形中，有两边为2，4，且为直角三角三角形，则两直角边的比为2，故第1个图形中三角形与ABC相似；第2个图形中，三边长分别为12+22

34、=5，12+22=5，12+32=10，52+52=102，则该三角形是直角三角形，两直角边的比为1，故第2个图形中三角形不与ABC相似；第3个图形中，三边长分别为12+22=5，32+22=13，12+32=10，52+102132，则该三角形不是直角三角形，故第3个图形中三角形不与ABC相似；第4个图形中，三边长分别为12+22=5，42+22=25，42+32=5，52+252=52，则该三角形是直角三角形，两直角边的比为2，故第4个图形中三角形与ABC相似；故选：B【点睛】此题考查了勾股定理在直角三角形中的运用，三角形对应边比值相等判定三角形相似的方法，本题中根据勾股定理计算三角形的三

35、边长是解题的关键【变式6-2】（2023秋九年级单元测试）如图，在ABC中，AB=4cm，AC=3cm，BC=6cm，D是AC上一点，AD=2cm，点P从C出发沿CBA方向，以1cm/s的速度运动至点A处，线段DP将ABC分成两部分，可以使其中一部分与ABC相似的点P的个数为（）A0个B2个C3个D4个【答案】D【分析】根据相似三角形的判定定理“有两个角分别相等的两个三角形相似”，按点P的运动轨迹，一次进行判断即可【详解】解：当DPC=A时，ABCPDC，当PDC=A时，ABCDPC，当APD=B时，ABCAPD，当APD=C时，ABCADP，综上：一共有4个，故选：D【点睛】本题主要考查了相

36、似三角形的判定定理，解题的关键是熟练掌握“有两个角分别相等的两个三角形相似”【变式6-3】（2023秋安徽宣城九年级校联考期中）如图，在ABC中，A60，AB4，AC6，将ABC沿图示中的虚线剪开，有如下几种剪法，其中满足剪下的阴影三角形与ABC相似的个数有（）A1个B2个C3个D4个【答案】C【分析】先利用勾股定理和直角三角形的性质求出BC的长，再根据相似三角形的判定逐个判断即可得【详解】解：如图1，过点B作BFAC于点F，A=60,AB=4，AF=12AB=2,BF=AB2-AF2=23，CF=AC-AF=6-2=4，BC=BF2+CF2=232+42=27AC，AB，在BDE和BAC中，

37、BDAB=BEAC=12，但AB或者B=B，但BDABBEBC，则BDE与BAC不相似；如图2，AB=4,AC=6,AD=AB-BD=3,AE=AC-CE=2，ADAC=AEAB=12，在ADE和ACB中，ADAC=AEAB=12A=A，ADEACB；如图3和图4，剪下的阴影三角形均与ABC有一组公共角C，还有一组大小均为60的相等的角，所以图3和图4中，剪下的阴影三角形均与ABC相似；综上，满足剪下的阴影三角形与ABC相似的个数是3个，故选：C【点睛】本题考查了直角三角形的性质、相似三角形的判定等知识点，熟练掌握相似三角形的判定是解题关键【题型7 相似与翻折】【例7】（2023秋河南漯河九年

38、级漯河市实验中学校考期末）在RtABC中，BC=5，AC=12，点D，E是线段AB，AC上的两个动点（不与A，B，C重合）沿DE翻折ADE使得点A的对应点F恰好落在直线BC上，当DF与RtABC的一条边垂直的时候，线段AD的长为 【答案】15625或15617【分析】设AD=DF=x，则BD=13-x，分两种情况讨论：DFBC，DFAB，依据相似三角形的对应边成比例，即可得到比例式，进而得出AD的长【详解】RtABC中，BC=5，AC=12，AB=AC2+BC2=13，设AD=DF=x，则BD=13-x，如图，当DFBC时，DFB=ACB=90，ACDF，ABCDBF，DFAC=BDBA，即x12=13-x13 ，解得x=15625；如图，当DFAB时，ACB=BDB=90，而ABC=FBD，