专题28 截长补短模型（原卷版）.docx

1、模块二 常见模型专练 专题28 截长补短模型 例1 （2021年四川广安中考真题）在数学中，我们会用“截长补短”的方法来解决几条线段之间的和差问题请看这个例题：如图1，在四边形中，若，求四边形的面积解：延长线段到E，使得，连接，我们可以证明，根据全等三角形的性质得，则，得，这样，四边形的面积就转化为等腰直角三角形面积(1)根据上面的思路，我们可以求得四边形的面积为 cm2(2)如图2，在中，且，求线段的最小值(3)如图3，在平行四边形中，对角线与相交于O，且；，则是否为定值？若是，求出定值；若不是，求出的最小值及此时平行四边形的面积例2 （2021年湖北襄阳中考真题）如图，四边形是内正方形，P

2、是圆上一点（点P与点A，B，C，D不重合），连接(1)若点P是弧上一点，BPC度数为 _；求证：；小明的思路为：这是线段和差倍半问题，可采用截长补短法，请按小明思路完成下列证明过程（也可按自己的想法给出证明）证明：在的延长线上截取点E使，连接(2)探究当点P分别在，上，求的数量关系，直接写出答案，不需要证明模型 截长补短截长补短法，是初中数学几何题中一种辅助线的添加方法，也是把几何题化难为易的一种思想。截长就是在一条线上截取成两段，补短就是在一条边上延长，使其等于一条所求边。如图，若证明线段 AB、CD、EF 之间存在 EF=AB+CD，可以考虑截长补短法。 截长法：如图，在 EF 上截取 E

3、G=AB，再证明 GF=CD 即可。 补短法：如图，延长 AB 至 H 点，使 BH=CD， 再证明 AH=EF 即可。 模型分析截长补短的方法适用于求证线段的和差倍分关系。截长，指在长线段中截取一段等于已知线段；补短，指将短线段延长，延长部分等于已知线段。 该类题目中常出现等腰三角形、角平分线等关键词句，可以采用截长补短法构造全等三角形来完成证明过程。 概述图：【变式1】（2021秋河北沧州八年级统考期中）【阅读】在证明线段和差问题时，经常采用截长补短法，再利用全等图形求线段的数量关系截长法：将较长的线段截取为两段，证明截取的两段分别与给出的两段相等补短法：延长较短两条线段中的一条，使得与较

4、长线段相等，证明延长的那一段与另一条较短线段相等【应用】把两个全等的直角三角形的斜边重合，组成一个四边形，以D为顶点作，交边于M、N(1)若，证明：；经过思考，小红得到了这样的解题思路：利用补短法，延长到点E，使，连接，先证明，再证明，即可求得结论按照小红的思路，请写出完整的证明过程；(2)当时，三条线段之间有何数量关系？（直接写出你的结论，不用证明）(3)如图，在（2）的条件下，若将M、N改在的延长线上，完成图，其余条件不变，则之间有何数量关系？证明你的结论【变式2】（2022秋全国八年级专题练习）在“教、学、练、评一体化”学习活动手册中，全等三角形专题复习课，学习过七种作辅助线的方法，其中

5、有“截长补短”作辅助线的方法截长法：在较长的线段上截取一条线段等于较短线段；补短法：延长较短线段和较长线段相等 这两种方法统称截长补短法请用这两种方法分别解决下列问题：已知，如图，在ABC中，ABAC，1 = 2，P为AD上任一点，求证：ABACPBPC【变式3】（2022贵州遵义统考三模）（1）问题发现：学完垂径定理后，小红对弧的中点与弦的关系再次做了研究，如图甲，中，点C是劣弧AB的中点，D点在BC弧之间，过点C作，垂足为点E，小红在电脑上用几何画板的度量功能度量了线段ED、DB、AE的长度如下表所示，小红发现了一个数量关系，这个关系是_（用ED、DB、AE的式子表示）EDDBAE1.37

6、2.233.601.512.073.581.631.933.561.911.603.51（2）探索结论：怎么完成（1）中关系的证明呢？小红根据学习经验想到了“截长补短”中的“截长”思想，如图乙，在线段AE上截取点F，使得，连接CF、CD小红试图构造关于AF、DB所在的三角形，通过全等完成证明，请接着小红的想法完成证明（3）结论应用：如图丙，等边三角形ABC内接于，点D在上，连接BD、CD，过点C作，垂足为点E，若，求的半径【变式4】（2022全国九年级专题练习）【阅读理解】截长补短法，是初中数学几何题中一种辅助线的添加方法截长就是在长边上截取一条线段与某一短边相等，补短是通过在一条短边上延长一

7、条线段与另一短边相等，从而解决问题(1)如图1，ABC是等边三角形，点D是边BC下方一点，BDC120，探索线段DA、DB、DC之间的数量关系解题思路：延长DC到点E，使CEBD，连接AE，根据BAC+BDC180，可证ABDACE易证得ABDACE，得出ADE是等边三角形，所以ADDE，从而探寻线段DA、DB、DC之间的数量关系根据上述解题思路，请直接写出DA、DB、DC之间的数量关系是_；【拓展延伸】(2)如图2，在RtABC中，BAC90，ABAC若点D是边BC下方一点，BDC90，探索线段DA、DB、DC之间的数量关系，并说明理由；【知识应用】(3)如图3，两块斜边长都为4cm的三角板

8、，把斜边重叠摆放在一起，则两块三角板的直角顶点之间的距离PQ的长为_cm【培优练习】1（2022秋山东烟台七年级统考期末）阅读材料：“截长补短法”是几何证明题中十分重要的方法，通常用来证明几条线段的数量关系截长，即在长线段上截取一条线段等于其中一条短线段，再证明剩下的部分等于另一条短线段；补短，即延长其中一条短线段，使延长部分等于另一条线段，再证明延长后的线段等于长线段依据上述材料，解答下列问题：如图，在等边中，点E是边AC上一定点，点D是直线BC上一动点，以DE为边作等边，连接CF(1)如图，若点D在边BC上，试说明；（提示：在线段CD上截取，连接EG）(2)如图，若点D在边BC的延长线上，

9、请探究线段CE，CF与CD之间的数量关系并说明理由2（2022秋全国九年级专题练习）问题：如图1，中，AB是直径，点D是劣弧BC上任一点（不与点B、C重合），求证：为定值思路：和差倍半问题，可采用截长补短法，先证明按思路完成下列证明过程证明：在AD上截取点E，使，连接CE运用：如图2，在平面直角坐标系中，与轴相切于点，与y轴相交于B、C两点，且，连接AB、(1)OB的长为_(2)如图3，过A、B两点作与y轴的负半轴交于点M，与的延长线交于点N，连接AM、MN，当的大小变化时，问的值是否变化，为什么?如果不变，请求出的值3（2022秋北京八年级统考期末）如图，在等边ABC中，点P是BC边上一点，

10、BAP（3060），作点B关于直线AP的对称点D，连接DC并延长交直线AP于点E，连接BE（1）依题意补全图形，并直接写出AEB的度数；（2）用等式表示线段AE，BE，CE之间的数量关系，并证明分析：涉及的知识要素：图形轴对称的性质；等边三角形的性质；全等三角形的判定与性质通过截长补短，利用60角构造等边三角形，进而构造出全等三角形，从而达到转移边的目的请根据上述分析过程，完成解答过程4（2021秋湖南永州九年级校考阶段练习）【阅读理解】截长补短法，是初中数学几何题中一种辅助线的添加方法截长就是在长边上截取一条线段与某一短边相等，补短是通过在一条短边上延长一条线段与另一短边相等，从而解决问题（

11、1）如图1，是等边三角形，点是边下方一点，探索线段、之间的数量关系解题思路：延长到点，使，连接，根据，可证，易证得，得出是等边三角形，所以，从而探寻线段、之间的数量关系根据上述解题思路，请写出、之间的数量关系是_，并写出证明过程；【拓展延伸】（2）如图2，在中，若点是边下方一点，探索线段、之间的数量关系，并说明理由；【知识应用】（3）如图3，两块斜边长都为的三角板，把斜边重叠摆放在一起，则两块三角板的直角顶点之间的距离的平方为多少？5（2022秋河北石家庄八年级校考期末）【阅读理解】截长补短法，是初中数学几何题中一种辅助线的添加方法截长就是在长边上截取一条线段与某一短边相等，补短是通过在一条短

12、边上延长一条线段与另一长边相等，从而解决问题 （1）如图，是等边三角形，点是边下方一点，连结，且，探索线段之间的数量关系 解题思路：延长到点，使，连接，根据，则，因为可证，易证得，得出是等边三角形，所以，从而探寻线段之间的数量关系根据上述解题思路，请直接写出之间的数量关系是 ；【拓展延伸】（2）如图，在Rt中，若点是边下方一点，探索线段之间的数量关系，并说明理由； 【知识应用】（3）如图，两块斜边长都为2cm的三角板，把斜边重叠摆放在一起，已知所对直角边等于斜边一半，则的长为_cm（结果无需化简）6（2021秋新疆乌鲁木齐八年级乌鲁木齐市第70中校考期末）阅读下面文字并填空：数学习题课上李老师

13、出了这样一道题：“如图1，在中，AD平分，求证：李老师给出了如下简要分析：“要证就是要证线段的和差问题，所以有两个方法，方法一：截长法如图2，在AC上截取，连接DE，只要证_即可，这就将证明线段和差问题_为证明线段相等问题，只要证出_，得出及_，再证出_，进而得出，则结论成立此种证法的基础是已知AD平分，将沿直线AD对折，使点B落在AC边上的点E处成为可能方法二：“补短法”如图3，延长AB至点F，使只要证即可此时先证_，再证出_，则结论成立”“截长补短法”是我们今后证明线段或角的“和差倍分”问题常用的方法7（2022秋浙江八年级专题练习）阅读材料并完成习题：在数学中，我们会用“截长补短”的方法

14、来构造全等三角形解决问题请看这个例题：如图1，在四边形ABCD中，BAD=BCD=90，AB=AD，若AC=2cm，求四边形ABCD的面积解：延长线段CB到E，使得BE=CD，连接AE，我们可以证明BAEDAC，根据全等三角形的性质得AE=AC=2， EAB=CAD，则EAC=EAB+BAC=DAC+BAC=BAD=90，得S四边形ABCD=SABC+SADC=SABC+SABE=SAEC，这样，四边形ABCD的面积就转化为等腰直角三角形EAC面积（1）根据上面的思路，我们可以求得四边形ABCD的面积为 cm2（2）请你用上面学到的方法完成下面的习题如图2，已知FG=FN=HM=GH+MN=2

15、cm，G=N=90，求五边形FGHMN的面积8（2023全国九年级专题练习）例：截长补短法，是初中几何题中一种添加辅助线的方法，也是把几何题化难为易的一种策略截长就是在长边上截取一条线段与某一短边相等，补短就是通过延长或旋转等方式使两条短边拼合到一起，从而解决问题（1）如图1，ABC是等边三角形，点D是边BC下方一点，BDC=120，探索线段DA、DB、DC之间的数量关系解题思路：将ABD绕点A逆时针旋转60得到ACE，可得AE=AD， CE=BD，ABD=ACE，DAE=60，根据BAC+BDC=180，可知ABD+ACD=180，则 ACE+ACD=180，易知ADE是等边三角形，所以AD

16、=DE，从而解决问题根据上述解题思路，三条线段DA、DB、DC之间的等量关系是_；（2）如图2，RtABC中，BAC=90，AB=AC点D是边BC下方一点，BDC=90，探索三条线段DA、DB、DC之间的等量关系，并证明你的结论9（2021秋山东济宁八年级统考期中）现阅读下面的材料，然后解答问题：截长补短法，是初中数学几何题中一种常见辅助线的做法在证明线段的和、差、倍、分等问题中有着广泛的应用截长法：在较长的线段上截一条线段等于较短线段，而后再证明剩余的线段与另一段线段相等补短法：就是延长较短线段与较长线段相等，而后证延长的部分等于另一条线段请用截长法解决问题（1）（1）已知：如图1等腰直角三

17、角形中，是角平分线，交边于点求证：请用补短法解决问题（2）（2）如图2，已知，如图2，在中，是的角平分线求证：10（2022秋八年级课时练习）数学课上，小白遇到这样一个问题：如图1，在等腰中，求证；在此问题的基础上，老师补充：过点作于点交于点，过作交于点，交于点，试探究线段，之间的数量关系，并说明理由小白通过研究发现，与有某种数量关系；小明通过研究发现，将三条线段中的两条放到同一条直线上，即“截长补短”，再通过进一步推理，可以得出结论阅读上面材料，请回答下面问题： （1）求证；（2）猜想与的数量关系，并证明；（3）探究线段，之间的数量关系，并证明11（2021秋江苏无锡八年级宜兴市实验中学校考

18、期中）【初步探索】截长补短法，是初中几何题中一种添加辅助线的方法，也是把几何题化难为易的一种策略截长就是在长边上截取一条线段与某一短边相等，补短就是通过延长或旋转等方式使两条短边拼合到一起，从而解决问题（1）如图1，ABC是等边三角形，点D是边BC下方一点，BDC120，探索线段DA、DB、DC之间的数量关系；【灵活运用】（2）如图2，ABC为等边三角形，直线aAB，D为BC边上一点，ADE交直线a于点E，且ADE60求证：CDCECA；【延伸拓展】（3）如图3，在四边形ABCD中，ABCADC180，ABAD若点E在CB的延长线上，点F在CD的延长线上，满足EFBEFD，请直接写出EAF与D

19、AB的数量关系12（2023秋山西吕梁九年级校考阶段练习）综合与实践问题情境：已知在等边中，P是边上的一个定点M是上的一个动点，以为边在的右侧作等边，连接猜想证明：(1)如图1，当点M在边上时，过点P作交于点H，试猜想之间的数量关系并说明理由(2)问题解决：如图2，当点M在的延长线上时，已知请直接写出的长(3)如图3，当点M在的延长线上时，（1）中的猜想是否依然成立？若成立，请说明理由；若不成立，请写出正确的猜想并说明理由13（2023秋河南南阳八年级校考期末）【问题初探】（1）如图1，在中，点D是上一点，连结，以为一边作，使，连结，猜想和有怎样的数量关系，并说明理由；【类比再探】（2）如图2

20、，在中，点M是上一点，点D是上一点，连结，以为一边作，使，连结，则_（直接写出答案，不写过程）；【方法迁移】（3）如图3，在是等边三角形，点D是上一点，连结，以为一边作等边三角形，连结，则，之间有怎样的数量关系？答案：_（直接写出答案，不写过程）；【拓展创新】（4）如图4，是等边三角形，点M是上一点，点D是上一点，连结，以为一边作等边三角形，连结猜想的度数，并说明理由14（2023秋重庆沙坪坝九年级重庆市凤鸣山中学校联考期末）如图，和分别位于两侧，点为中点，连接，(1)如图1，若，求的长；(2)如图2，连接交于点，在上取一点使得，若，猜想与之间存在的数量关系，并证明你的猜想；(3)如图3，是以

21、为斜边的等腰直角三角形，若，请直接写出当取最大值时的面积15（2022秋广西贵港八年级校考期末）在四边形中(1)如图1，分别是，上的点，且，探究图中，之间的数量关系小林同学探究此问题的方法是：延长到点，使连接，先对比与的关系，再对比与的关系，可得出、之间的数量关系，他的结论是；(2)如图2，在四边形中，、分别是，上的点，且，则上述结论是否仍然成立，请说明理由(3)如图3，在四边形中，若点在的延长线上，点在的延长线上，若，请写出与的数量关系，并给出证明过程16（2022秋吉林松原八年级校联考阶段练习）（1）如图，已知是等边三角形、分别为边、的中点，连接、，与交于点的度数为_；直接写出线段、之间的数量关系；（2）若点是边所在射线上一动点按下列步骤画图：连接，作点关于所在直线对称的点，连接；作射线，交所在直线于点小明所做的图形如图所示，他猜想：下面是小明未写完的证明过程：如图，延长到点，使，连接请你将小明的证明过程补充完整；（3）小华同学在按上述步骤画图时，把点标在了边的延长线上，如图小华测量得到，请直接写出的长，不用说明理由