专题28.1 锐角三角函数（知识讲解）-2022-2023学年九年级数学下册基础知识专项讲练（人教版）.docx

1、专题28.1 锐角三角函数（知识讲解）【学习目标】1结合图形理解记忆锐角三角函数定义；2会推算30、45、60角的三角函数值，并熟练准确的记住特殊角的三角函数值；3理解并能熟练运用“同角三角函数的关系”及“锐角三角函数值随角度变化的规律”.【要点梳理】要点一、锐角三角函数的概念 如图所示，在RtABC中，C90，A所对的边BC记为a，叫做A的对边，也叫做B的邻边，B所对的边AC记为b，叫做B的对边，也是A的邻边，直角C所对的边AB记为c，叫做斜边锐角A的对边与斜边的比叫做A的正弦，记作sinA，即；锐角A的邻边与斜边的比叫做A的余弦，记作cosA，即；锐角A的对边与邻边的比叫做A的正切，记作t

2、anA，即.同理；特别说明：(1)正弦、余弦、正切函数是在直角三角形中定义的，反映了直角三角形边与角的关系，是两条线段的比值角的度数确定时，其比值不变，角的度数变化时，比值也随之变化(2)sinA，cosA，tanA分别是一个完整的数学符号，是一个整体，不能写成，不能理解成sin与A，cos与A，tan与A的乘积书写时习惯上省略A的角的记号“”，但对三个大写字母表示成的角(如AEF)，其正切应写成“tanAEF”，不能写成“tanAEF”；另外，、常写成、(3)任何一个锐角都有相应的锐角三角函数值，不因这个角不在某个三角形中而不存在(4)由锐角三角函数的定义知：当角度在0A90间变化时，tan

3、A0要点二、特殊角的三角函数值利用三角函数的定义，可求出30、45、60角的各三角函数值，归纳如下：锐角3045160特别说明：(1)通过该表可以方便地知道30、45、60角的各三角函数值，它的另一个应用就是：如果知道了一个锐角的三角函数值，就可以求出这个锐角的度数，例如：若，则锐角(2)仔细研究表中数值的规律会发现：、的值依次为、，而、的值的顺序正好相反，、的值依次增大，其变化规律可以总结为：正弦、正切值随锐角度数的增大(或减小)而增大(或减小)；余弦值随锐角度数的增大(或减小)而减小(或增大)要点三、锐角三角函数之间的关系如图所示，在RtABC中，C=90(1)互余关系：，；(2)平方关系

4、：；(3)倒数关系：或；(4)商数关系：特别说明：锐角三角函数之间的关系式可由锐角三角函数的意义推导得出，常应用在三角函数的计算中，计算时巧用这些关系式可使运算简便【典型例题】类型一、锐角三角函数值的求解策略1矩形ABCD中AB10，BC8，E为AD边上一点，沿CE将CDE对折，使点D正好落在AB边上，tanAFE等于（）ABCD【答案】B【分析】依据折叠的性质以及矩形的性质，易得AFEBCF；在RtBFC中，有BC8，CF10，由勾股定理易得BF的长根据三角函数的定义，易得tanBCF的值，依据AFEBCF，可得tanAFE的值解：四边形ABCD是矩形，CDAB10，BD90，BCF+BFC

5、90，根据折叠的性质得：EFCD90，CFCD10，AFE+BFC90，AFEBCF，在RtBFC中，BC8，CFCD10，由勾股定理得：BF6，则tanBCF，tanAFEtanBCF，故B正确故选：B【点拨】本题主要考查了矩形的折叠问题，求三角函数值，勾股定理，余角的性质，根据折叠和勾股定理求出，是解题的关键举一反三：【变式1】如图，在网格正方形中，每个小正方形的边长为1，顶点为格点，若的顶点均是格点，则的值是（）ABCD【答案】C【分析】过点C作AB的垂线，构造直角三角形，利用勾股定理求解即可解：过点C作AB的垂线交AB于一点D，如图所示，每个小正方形的边长为1，设，则，在中，,在中，,

6、，解得，故选：C【点拨】本题考查了解直角三角形，勾股定理等知识，解题的关键是能构造出直角三角形【变式2】如图，在中，点D是AC上一点，连接BD若，则CD的长为（）AB3CD2【答案】C【分析】先根据锐角三角函数值求出，再由勾股定理求出过点D作于点E，依据三角函数值可得从而得，再由得AE=2，DE=1，由勾股定理得AD=，从而可求出CD解：在中， 由勾股定理得, 过点D作于点E，如图， ,在中, 故选：C【点拨】本题主要考查了勾股定理，由锐角正切值求边长，正确作辅助线求出DE的长是解答本题的关键类型二、特殊角的三角函数值的计算2计算：（1）；（2）；（3）【答案】（1）；（2）0；（3）【分析】

7、根据特殊角的三角函数值，代入计算即可解：（1）原式 ，（2）原式 （3）原式 【点拨】本题考查了特殊角的三角函数值及实数的运算掌握特殊角的三角函数值是解决本题的关键举一反三：【变式1】计算：【答案】【分析】根据实数的运算法则，特殊角的三角函数值，零次幂的运算法则计算即可解：原式【点拨】本题考查实数的运算法则，特殊角的三角函数值，零次幂的运算法则，解题的关键是熟练掌握实数的运算法则，特殊角的三角函数值，零次幂的运算法则等【变式2】计算：【答案】3-3-3【分析】先计算乘方与化简二次根，代入特殊角的三角函数值，再计算乘法，化简绝对值，最后计算加减即可解：原式=1-4+4-|-3|=1-4+2+-3

8、=3-3-3【点拨】本题考查实数的混合运算，熟练掌握零指数幂、负整指数幂运算法则和熟记特殊角三角函数值是解题的关键类型三、锐角三角函数之间的关系3求证：若为锐角，则要求：(1)如图，锐角和线段，用尺规作出一个以线段为直角边，为内角，为的（保留作图痕迹，不写作法）(2)根据（1）中所画图形证明该命题 【分析】（1）作线段，过点作，作，射线，交于点，即为所求；（2）利用勾股定理，三角函数的定义证明即可（1）解：如图，即为所求（2）证明：，【点拨】本题考查了作一个角等于已知角、作垂线、作三角形、勾股定理、三角函数，熟练掌握勾股定理和三角函数是解题关键举一反三：【变式1】如图，已知在ABC中，ACB9

9、0，BD平分ABC，BCCD，BD、AC交于点E(1) 求证：ABCD；(2) 已知BC6，AB10，求的值【答案】(1) 见分析(2) 【分析】（1）由角平分线定义得，再由等腰三角形性质得从而得出，即可由平行线的判定定理得出结论；（2）先由勾股定理求出，再证CDEABE，得，代入即可求得，然后由求解即可（1）证明：BD平分，（2）解：，CDEABE，在中，【点拨】本题考查勾股定理，解直角三角形，相似三角形的判定和性质，熟练掌握解直角三角形和相似三角形的判定和性质是解题的关键【变式2】如图，直线AB与反比例函数的图象交于，两点，点C在x轴上，的面积为8(1) 求反比例函数的解析式；(2) 求的

10、面积；(3) 求的值【答案】(1)(2)6(3)【分析】（1）如图所示，过点A作ADx轴于D，设反比例函数解析式为，先根据等腰三角形的性质求出OC=8，再利用三角形面积公式求出m的值即可利用待定系数法求出反比例函数解析式；（2）先求出点B的坐标，然后利用勾股定理求出OA，OB，AB的长，过点O作OEAB于E，利用等腰三角形的性质与勾股定理求出OE的长即可得到答案；（3）根据（2）所求解直角三角形即可(1)解：如图所示，过点A作ADx轴于D，设反比例函数解析式为，点A的坐标为（-4，m），AC=AO，ADOC，OC=2OD=8，AD=m，AOC的面积为8，m=2，反比例函数解析式为；(2)解：反

11、比例函数解析式为，点B（2，n）在反比例函数图象上，即n=-4，点B的坐标为（2，-4）， ，OA=OB，过点O作OEAB于E，；(3)解：由（2）得，【点拨】本题主要考查了反比例函数与几何的应用，求正弦值，勾股定理，等腰三角形的性质与判定等等，正确作出辅助线是解题的关键类型四、构造直角三角形4已知在中，为边上的中线（1）求的长；（2）求的值【答案】（1）；（2）【分析】（1）在RtABC中，利用三角函数即可求出AB，故可得到AC的长；（2）过点F作FGBD，利用中位线的性质得到FG，CG，再根据正切的定义即可求解解：（1），AB=10=；（2）过点F作FGBD，为边上的中线F是AD中点FGB

12、D，FG是ACD的中位线FG=3CG=在RtBFG中，=【点拨】此题主要考查解直角三角形，解题的关键是熟知三角函数的定义举一反三：【变式1】如图，已知:在ABC中，A=60,B=45,AB=8.求ABC的面积（结果可保留根号）【答案】48-16解：过C作CDAB于D，利用直角三角形的性质求得CD的长已知AB的长，根据三角形的面积公式即可求得其面积解：过C作CDAB于D， 在RtADC中，CDA=90，=cotDAC=cot60=，即AD=CD在RtBDC中，B=45，BCD=45，CD=BDAB=DB+DA=CD+CD=8，CD=12-4SABC=ABCD=8（12-4）=48-16答：ABC

13、的面积为48-16【变式2】 如图，某拦河坝横截面原设计方案为梯形ABCD，其中ADBC，ABC=72，为了提高拦河坝的安全性，现将坝顶宽度水平缩短10m，坝底宽度水平增加4m，使EFC=45，请你计算这个拦河大坝的高度（参考数据：sin72，cos72，tan72）【答案】拦河大坝的高度为24m【分析】过点A作AMCF于点M，过点E作EN垂直CF于点N，设拦河大坝的高度为xm，在RtABM和RtEFN中分别求出BM和FN的长度，然后根据已知AE=10m，BF=4m，EN-AE=BF+BM，列方程求出x的值即可解：过点A作AMCF于点M，过点E作EN垂直CF于点N，设拦河大坝的高度为xm，在R

14、tABM和RtEFN中，ABM=72，EFC=45，BM=，FN=x，AE=10m，BF=4m，FN-AE=BF+BM，x-10=4+，解得：x=24，答：拦河大坝的高度为24m【点拨】本题考查了解直角三角形的应用，关键是根据坡度和坡角构造直角三角形，在直角三角形中利用三角函数求解，难度一般类型五、锐角三角函数的应用5由我国完全自主设计、自主建造的首艘国产航母于2018年5月成功完成第一次海上试验任务如图，航母由西向东航行，到达处时，测得小岛位于它的北偏东方向，且与航母相距80海里，再航行一段时间后到达B处，测得小岛位于它的北偏东方向如果航母继续航行至小岛的正南方向的处，求还需航行的距离的长（

15、参考数据：，）【答案】还需要航行的距离的长为20.4海里【分析】根据题意得：ACD=70，BCD=37，AC=80海里，在直角三角形ACD中，由三角函数得出CD=27.2海里，在直角三角形BCD中，得出BD，即可得出答案解：由题知：，在中，（海里）在中，（海里）答：还需要航行的距离的长为20.4海里【点拨】此题考查了解直角三角形的应用-方向角问题，三角函数的应用；求出CD的长度是解决问题的关键举一反三：【变式1】如图，某大楼的顶部树有一块广告牌CD，小李在山坡的坡脚A处测得广告牌底部D的仰角为60沿坡面AB向上走到B处测得广告牌顶部C的仰角为45，已知山坡AB的坡度i=1：，AB=10米，AE

16、=15米（i=1：是指坡面的铅直高度BH与水平宽度AH的比）（1）求点B距水平面AE的高度BH；（2）求广告牌CD的高度（测角器的高度忽略不计，结果精确到0.1米参考数据：1.414，1.732）【答案】（1）点B距水平面AE的高度BH为5米.（2）宣传牌CD高约2.7米.【分析】（1）过B作DE的垂线，设垂足为G分别在RtABH中，通过解直角三角形求出BH、AH.（2）在ADE解直角三角形求出DE的长，进而可求出EH即BG的长，在RtCBG中，CBG=45，则CG=BG，由此可求出CG的长然后根据CD=CG+GEDE即可求出宣传牌的高度.解：（1）过B作BGDE于G，在RtABF中，i=ta

17、nBAH=，BAH=30BH=AB=5（米）.答：点B距水平面AE的高度BH为5米.（2）由（1）得：BH=5，AH=5，BG=AH+AE=5+15.在RtBGC中，CBG=45，CG=BG=5+15.在RtADE中，DAE=60，AE=15，DE=AE=15.CD=CG+GEDE=5+15+515=20102.7（米）.答：宣传牌CD高约2.7米.【变式2】某校数学社团开展“探索生活中的数学”研学活动，准备测量一栋大楼的高度如图所示，其中观景平台斜坡的长是20米，坡角为，斜坡底部与大楼底端的距离为74米，与地面垂直的路灯的高度是3米，从楼顶测得路灯项端处的俯角是试求大楼的高度（参考数据：，）

18、【答案】96米【分析】延长AE交CD延长线于M，过A作ANBC于N，则四边形AMCN是矩形，得NC=AM，AN=MC，由锐角三角函数定义求出EM、DM的长，得出AN的长，然后由锐角三角函数求出BN的长，即可求解解：延长交于点，过点作，交于点，由题意得，四边形为矩形，.在中，.在中，.答：大楼的高度约为96米.【点拨】本题考查的是解直角三角形的应用-仰角俯角问题，坡度坡角问题，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键类型四、锐角三角函数的综合6如图，在ABC中，AD是BC边上的高，tanBcosDAC（1）求证：ACBD；（2）若sin C，BC12，求ABC的面积【答案】（1）证明

19、见分析；（2）ABC的面积为48.【分析】（1）在直角三角形中，表示，根据它们相等，即可得出结论（2）利用和勾股定理表示出线段长，根据，求出长解：(1)AD是BC上的高ADBCADB=90，ADC=90在RtABD和RtADC中，=，= 又已知=AC=BD(2)在RtADC中，故可设AD=12k，AC=13kCD=5kBC=BD+CD，又AC=BD，BC=13k+5k=18k 由已知BC=12， 18k=12k=AD=12k=12=8举一反三：【变式1】如图，在ABCD中，AC，BD交于点O，且AOBO（1）求证：四边形ABCD是矩形；（2）ADB的角平分线DE交AB于点E，当AD3，tanC

20、AB时，求AE的长【答案】（1）见分析；（2）.【分析】(1)由平行四边形性质和已知条件得出ACBD，即可得出结论；(2)过点E作EGBD于点G，由角平分线的性质得出EGEA由三角函数定义得出AB4，sinCABsinABD，设AEEGx，则BE4x，在RtBEG中，由三角函数定义得出，即可得出答案解：(1)证明：四边形ABCD是平行四边形，AC2AO，BD2BOAOBO，ACBD平行四边形ABCD为矩形(2)过点E作EGBD于点G，如图所示：四边形ABCD是矩形，DAB90，EAAD，DE为ADB的角平分线，EGEAAOBO，CABABDAD3，tanCAB，tanCABtanABDAB4B

21、D，sinCABsinABD设AEEGx，则BE4x，在BEG中，BGE90，sinABD解得：x，AE故答案为：.【点拨】本题考查了矩形的判定与性质、角平分线的性质、勾股定理、三角函数定义等知识；熟练掌握矩形的判定与性质和三角函数定义是解题的关键【变式2】如图，AB为O的直径，直线CD切O于点M，BECD于点E（1）求证：BME=MAB；（2）求证：BM2=BEAB；（3）若BE=，sinBAM=，求线段AM的长 【答案】(1)详见分析；（2）详见分析；（3）8.试题分析：（1）由切线的性质得出BME+OMB=90，再由直径得出AMB=90，利用同角的余角相等判断出结论；（2）由（1）得出的

22、结论和直角，判断出BMEBAM，即可得出结论，（3）先在RtBEM中，用三角函数求出BM，再在RtABM中，用三角函数和勾股定理计算即可解：（1）如图，连接OM，直线CD切O于点M，OMD=90，BME+OMB=90，AB为O的直径，AMB=90AMO+OMB=90，BME=AMO，OA=OM，MAB=AMO，BME=MAB；（2）由（1）有，BME=MAB，BECD，BEM=AMB=90，BMEBAM，BM2=BEAB； （3）由（1）有，BME=MAB，sinBAM=，sinBME=，在RtBEM中，BE=，sinBME=，BM=6，在RtABM中，sinBAM=，sinBAM=，AB=BM=10，据勾股定理得，AM=8