专题28.4 锐角三角函数（全章分层练习）（培优练）-2023-2024学年九年级数学下册全章复习与专题突破讲与练（人教版）.docx

1、专题28.4 锐角三角函数（全章分层练习）（培优练）一、 单选题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）1（2021上河北石家庄九年级石家庄市第十七中学校考阶段练习）如图，在边长相同的小正方形网格中，点A、B、C、D都在这些小正方形的顶点上，相交于点P，则的值为（）A3 B C1 D22（2023上安徽六安九年级统考期中）如图，是的对角线，点E是的中点，点F、P分别是线段、上的动点，若，且是等腰三角形，则的长为（）A或 B或 C或 D或3（2023上吉林长春九年级统考期中）如图，在边长相同的小正方形网格中，点A、B、C、D都在这些小正方形的顶点上，与相交于点P，则的正弦值为（）A B C D

2、4（2023上安徽合肥九年级合肥市第四十二中学校考期中）如图，在矩形中，将沿射线平移a个单位长度（）得到，连接，则当是直角三角形时，a的值为（）A或 B2或 C或 D或35（2023上陕西西安九年级校考期中）如图，菱形中，垂足分别为B，D，若，则的长是（）cmA B6 C D6（2023下河南南阳九年级校联考期中）如图，在中，且，点在轴的负半轴上，现将绕点顺时针旋转，每次旋转，则第2023次旋转结束时，点B的坐标为（）A B C D7（2023下重庆沙坪坝九年级重庆八中校考阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，连结并延长至，连结，若满足，则点的坐标为（）A B C D8（2022湖北咸宁校考模拟

3、预测）如图，菱形边在x轴的正半轴上，且点B的纵坐标为4，点P从点O开始向点A运动，至点A停止，过P点与x轴垂直的直线与菱形另一边交点为M，记，的面积为S，且S与x的函数关系图象如右图，则的值为（）A B C D9（2022河北衡水校考模拟预测）如图，已知在纸上有一点按下列尺规作图的步骤进行：以点为圆心，以任意长为半径，画半圆，直径为；分别以点，为圆心，大于长为半径作弧，两弧交于点，作直线，交半圆于点；连接，以点为圆心，以长为半径作弧，交半圆于点，连接，下列结论不正确的是（）A四边形是菱形 B四边形的面积为C D是的中点10（2023四川南充统考一模）在ABC中，则ABC的面积是（）AB12C1

4、4D21二、 填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分）11（2023广东深圳深圳外国语学校校考模拟预测）如图，一个高为米的长方体木箱沿坡比为的斜面下滑，当木箱滑至如图位置时，米，则木箱端点距地面的高度为 米12（2023上黑龙江绥化九年级绥化市第八中学校校考阶段练习）在中，则 13（2023广东深圳校联考模拟预测）如图，直线AB经过点P（1，2），且与x轴相交于点A，与y轴相交于点B若sinBAO=，则点B的坐标为 14（2023上山东潍坊九年级校考阶段练习）如图，在每个边长均为1的正方形网格中，点A、B、C均在网格的交点上，则 15（2023上黑龙江哈尔滨九年级校联考期中）如图，正方形

5、，求的长 16（2023上湖北武汉九年级校联考期中）如图，中，是边上的一点，则 17（2023广东东莞统考一模）如图，在ABC中，ABAC4，CAB30，ADBC，垂足为D，P为线段AD上的一动点，连接PB、PC则PA+2PB的最小值为 18（2023上黑龙江哈尔滨九年级哈尔滨工业大学附属中学校校考开学考试）如图，三角形中，于，以为边作菱形，使点落在边上，点在上，交于点，若，则的长为 三、解答题（本大题共6小题，共58分）19（8分）（2023上江西景德镇九年级统考期中）如图，在中，分别平分，且E、F分别在边上，（1）求证：四边形是菱形；（2）若，的面积等于，求平行线与间的距离20（8分）（辽

6、宁省部分学校2022-2023学年九年级上学期期末数学试题）计算下列的三角函数值（写出计算过程，保留计算结果）：21（10分）（2022四川达州四川省渠县中学校考一模）（1）（2）若关于x的分式方程有增根，试求代数式的值22（10分）（2023上山东烟台九年级统考期中）如图，在中，点F在边上且，E为上一点，且，求23（10分）（2023上山东烟台九年级统考期中）如图，直线与轴交于点，与反比例函数，过作轴于点，且（1）求反比例函数表达式；（2）点是反比例函数图象上的点，在轴上是否存在点，使得最小？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由；（3）将直线向下平移个单位后与反比例函数的图象交于一点，

7、求的值24（12分）（2023上广东深圳九年级校联考期中）如图，在平面直角坐标系中，已知点，过原点作直线，使它经过第一、三象限，直线与轴的正半轴所成角设为，将四边形的直角沿直线折叠，点落在点处，我们把这个操作过程记为（1）若点与点重合，则（度），的值为；（2）若，点落在点处，若点在四边形的边上，求点的坐标；（3）作直线交轴于点，交直线于点，使得与是一对相似的等腰三角形，直接写出的值参考答案：1D【分析】首先连接，由题意易得，然后由相似三角形的对应边成比例，易得，即可得，在中，即可求得的值，继而求得答案解：如图，连接，四边形是正方形，根据题意得：，在中，故选：D【点拨】此题考查了相似三角形的判定

8、与性质，三角函数的定义此题难度适中，解题的关键是准确作出辅助线，注意转化思想与数形结合思想的应用2C【分析】分三种情况进行讨论，当时，当时，当时，分别画出图形求出结果即可解：四边形为平行四边形，点E是的中点，是的对角线，是直角三角形， 当时，如图，过点P作于点G，则，又，；当时，如图，则，；当时，点P与点B重合，不存在综上所述，的长为或故选：A【点拨】本题主要考查了平行四边形的性质，解直角三角形，直角三角形的性质，三角形相似的性质，等腰三角形的定义，解题的关键是数形结合，画出图形，并进行分类讨论3D【分析】取格点，连接、，设网格中每个小正方形的边长为1，先证得，求得，再根据题意证得即可求解解：

9、取格点，连接、，设网格中每个小正方形的边长为1，则，在中，由题意知，故选：【点拨】本题考查了网格问题中解直角三角形，构造直角三角形是解题的关键4A【分析】分两种情况：如图1，如图2，分别作辅助线，构建相似三角形，证明三角形相似列比例式可得对应的值解：分两种情况：如图1，延长交于，过点作，交的延长线于，四边形是矩形，即，设，由平移得：，即，；如图2，延长交于，则，由平移得：，同理设，则，即，；综上，的值是或故选：A【点拨】本题主要考查了矩形的性质、平移的性质、勾股定理、三角函数、三角形相似的性质和判定、直角三角形的性质等知识点；解题关键是画出两种情况的图形，依题意进行分类讨论5C【分析】连接，与

10、交于点G，根据，得到，根据三角函数，求得；利用三角函数，菱形性质，特殊角的三角函数计算即可解：连接，与交于点G，菱形，是等边三角形，；，；故选C【点拨】本题考查菱形的基本性质，三角形的内角和以及解直角三角形，能够做出辅助线是解题关键6A【分析】过点作轴于点证明，利用相似三角形的性质求出点的坐标可得结论解：过点作轴于点，将绕点顺时针旋转，每次旋转，则第一次旋转后点B的横坐标为：，纵坐标为，即，第2023次旋转结束时，因为6次应该循环，与的坐标相同，坐标为故选：A【点拨】本题考查坐标与图形变化旋转，规律型：点的坐标等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造相似三角形解决问题，灵活运用所学知识解决

11、问题7C【分析】根据相似三角形的判定和性质得出，进而得出，利用，得出，利用勾股定理解得OB，从而可知OA的长，进而可知的值，由，设，根据的值列出关于m的方程，解得m的值，则可得点C的坐标解： 即由勾股定理可得即如图，过点C作CD轴于点D设解得经检验，是原方程的解点C的坐标为故选：C【点拨】本题考查了相似三角形的判定与性质、解直角三角形、勾股定理在计算中的应用及解分式方程等知识点，熟练掌握相关性质定理并数形结合是解题的关键8A【分析】根据题意得，在中，利用勾股定理求得，据此求解即可解：作于点D，作于点E，根据题意得，在中，解得，即，故选：A【点拨】本题考查了二次函数的性质，菱形的性质，勾股定理，

12、解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件9B【分析】连接，设交于点，根据已知条件可证和为等边三角形，结合菱形的判定定理可判断A选项；在中，可求出的长，进而可得四边形的面积；根据菱形的性质可得，即可判断C选项；由可得，即可判断D选项解：连接，设交于点，由题意可知，为线段的垂直平分线，为等边三角形，由尺规作图可知，即为等边三角形，四边形为平行四边形，四边形为菱形，故A选项正确，不符合题意；在中，四边形的面积为，故B 选项错误，符合题意；由菱形的性质可知，故C选项正确，不符合题意；，是的中点，故D 选项正确；不符合题意故选：B【点拨】本题考查尺规作图、线段垂直平分线的性质、菱形的判定与性质等

13、边三角形的判定与性质，熟练掌握相关知识点是解答本题的关键10A【分析】根据已知作出三角形的高线AD，进而得出AD，BD，CD的长，即可得出三角形的面积解：如图，作ADBC于点D， ，BD=3， 由勾股定理得，AD=；又，AC=3=5，由勾股定理得，CD=，BC=3+4=7，ABC的面积=.故选：A【点拨】此题主要考查了解直角三角形的知识，作出ADBC，进而得出相关线段的长度是解决问题的关键113【分析】根据锐角三角函数值，求出相关角度，从而进行求解即可.解：设、交于点，斜坡的坡比为，在中，解得，（米），（米），（米），在中，（米），（米），故答案为：3【点拨】本题主要考查锐角三角函数，掌握锐角

14、三角函数的相关知识是解题的关键12 或 【分析】本题主要考查了解直角三角形，勾股定理等知识，分类讨论：当点A在处时，过点作于点M，利用面积求出，进而可得，则有，此时问题得解；当点A在处时，过点作于点M，同理作答即可解：如图， 当点A在处时，过点作于点M，；当点A在处时，过点作于点M，同理可得，故答案为： 或 13（0，）【分析】根据题意作出合适的辅助线，然后根据锐角三角函数即可求得点B的坐标解：作PCOA于点C，点P（1，2），sinBAO=，PC=2，tanBAO=，AP=2，AC=，OA=1+4=5，解得，OB=，点B的坐标为（0，），故答案为：（0，）【点拨】本题考查解直角三角形、坐标与

15、图形性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答141【分析】取格点D，连接，根据勾股定理的逆定理得到是直角三角形，根据，得到解：如图所示，取格点D，连接，是直角三角形，故答案：1【点拨】本题主要考查了勾股定理的逆定理，锐角三角函数等， 添加辅助线，熟练掌握勾股定理解直角三角形，勾股定理的逆定理判定直角三角形，正切的定义，是解决问题的关键1512【分析】先根据解直角三角形的知识，求出，过F点作于点P，根据正方形的性质以及等腰直角三角形的性质可得 ，再根据，可得，结合，可得，即，进而有，再利用，问题得解解：如图，在中，平分，且，即有：，设，根据角平分线的性质定理有：，结合，有，根据三角

16、形的面积有：，在中，解得：，（，舍去），当时，如图，过F点作于点P，四边形是正方形，即，故答案为：【点拨】本题考查了正方形的性质，解直角三角形，勾股定理，解一元二次方程等知识，求出，是解答本题的关键16【分析】过点C作交于点G，过点B作交的延长线于点E，取得中点F，连接，证明，列比例式计算即可本题考查了特殊角的三角函数，三角形相似的判定和性质，熟练掌握性质是解题的关键解：过点C作交于点G，；过点B作交的延长线于点E，取得中点F，连接，是等边三角形，整理，得,解得，（舍去），故答案为：174【分析】在BAC的外部作CAE15，作BFAE于F，交AD于P，此时PA+2PB22BF，通过解直角三角形

17、ABF，进一步求得结果解：如图，在BAC的外部作CAE15，作BFAE于F，交AD于P，此时PA+2PB最小，AFB90ABAC，ADBC，CADBAD，EADCAE+CAD30，PF，PA+2PB22BF，在RtABF中，AB4，BAFBAC+CAE45，BFABsin454，（PA+2PB）最大2BF，故答案为：【点拨】本题考查了等腰三角形的性质，解直角直角三角形，解题的关键是作辅助线186【分析】菱形的性质得到，推出，外角的性质，得到，进而得到，过点作于点，推出，利用锐角三角函数和勾股定理求出的长即可解：四边形为菱形，过点作于点，设交于点，则，且，在中，设，则：，；故答案为：【点拨】本题

18、考查解直角三角形，菱形的性质，解题的关键是熟练掌握菱形的性质，添加辅助线，构造直角三角形本题的综合性较强，属于填空题中的压轴题19（1）见分析；（2）平行线与间的距离是【分析】（1）根据平行四边形的性质可得，再根据角平分线的定义和等量代换可得，再根据平行线的性质可得，即，则，进而得到四边形是平行四边形，最后结合即可证明结论；（2）如图：连接，先证是等边三角形，即，再结合的面积等于可得然后求得，即；再根据四边形是菱形可得，即；然后根据三角形外角的性质可得，即，即；最后根据平行线间的距离和勾股定理即可解答解：（1）证明：，分别是的平分线，四边形是平行四边形，四边形是菱形；（2）解：连接，四边形是平

19、行四边形，平分，是等边三角形，的面积等于，,即，即，四边形是菱形，是的一个外角，即，由勾股定理得，平行线与间的距离是【点拨】本题主要考查了菱形的判定、菱形的性质、等边三角形的判定与性质等知识点，灵活运用相关知识是解答本题的关键20【分析】根据特殊角的三角函数值进行计算即可求解解：【点拨】本题考查了特殊角的三角函数值的混合运算，掌握特殊角的三角函数值是解题的关键21（1）；（2）0【分析】（1）根据零指数幂、负整数指数幂、分母有理化和特殊角的三角函数值计算即可；（1）由分式方程有增根，得到x-2=0或x+2=0，即x=2或x=-2，分别代入整式方程计算即可求出m的值；再对分式先化简，再把合适的m

20、值代入化简后的式子进行计算即可解答解：（1）=-+1+=-+-1+1+=； （2）分式方程去分母得：x+2+mx=x-2，由分式方程有增根，得到x-2=0或x+2=0，即x=2或x=-2，把x=2代入整式方程得：m=-2；把x=-2代入整式方程得：m=2；，m0，m1，m-2，当m=2时，原式=【点拨】本题考查了二次根式的运算，特殊角的三角函数值，分式方程的增根，分式的化简求值注意：增根确定后可按如下步骤进行：化分式方程为整式方程；把增根代入整式方程即可求得相关字母的值22【分析】过点C作交的延长线于H，根据，设，则,利用，平行线分线段成比例定理，正切函数的定义计算即可解：C作交的延长线于H，

21、如图，设，则,，解得，【点拨】本题考查了三角函数，平行线分线段成比例定理，平行线的判定和性质，三角形相似的判定和性质，熟练掌握三角函数的定义，三角形相似的判定和性质，是解题的关键23（1）；（2）存在，点坐标为（，）；（3）【分析】（1）根据直线求点的坐标，得的长度，然后由三角函数的定义求的长度，得出点的坐标，最后将点的坐标代入反比例函数解析式中即可求解；（2）根据反比例函数的解析式可求点的坐标，过点作关于轴的对称点，连接与轴的交点就是满足条件的点位置；（3）直线向下平移个单位后解析式为：，与反比例函数联立方程组得到、的值代入计算即可（1）解：由，可知，轴，点的横坐标为，点在直线上，点的纵坐标

22、为，即，点在上，反比例函数表达式为；（2）存在过点作关于轴的对称点，连接交轴于点（如图所示）此时最小，点在反比例函数上，即点的坐标为，与关于轴的对称，点坐标为，的坐标为，设直线的解析式为，将点、点代入上式得：，解得，直线的解析式为，令，得，点坐标为（,）；（3）直线向下平移个单位后解析式为：，联立方程组得：，解得，（另一解不符合题意舍去），【点拨】本题考查了反比例函数，一次函数，三角函数，路径最短问题，二元一次方程等知识解题的关键是掌握反比例函数图像上点的坐标特征、待定系数法求函数解析式、锐角三角函数的定义和熟练运用两点之间线段最短解决几何中距离最小问题24（1）45，3；（2）点A的坐标（5

23、，0）；（3）【分析】（1）根据对折的性质即可求得；（2）根据对折的性质得出，然后根据等腰直角三角形的性质求得，所以，即可求得的坐标；（3）根据与是一对相似的等腰三角形，求得或，然后应用直角三角函数求得的长，即可求得的值（1）解：根据对折的性质可知：，（2）解：如图1，将沿直线对折，点B落在点E处，且点E在边上，直线，沿直线折叠，点C落在点D处，点落在轴上，且，由折叠可知，点的坐标（3）如图2，是等腰三角形，在中，如图3所示，与是一对相似的等腰三角形，【点拨】本题是几何变换综合题型，考查了翻折（折叠）变换、全等三角形、相似三角形、等腰直角三角形、勾股定理等知识点，解题的关键是正确理解题目给出的变换的定义，并能正确运用折叠的性质