专题28.5 锐角三角函数（全章直通中考）（基础练）-2023-2024学年九年级数学下册全章复习与专题突破讲与练（人教版）.docx

1、专题28.5 锐角三角函数（全章直通中考）（基础练）【要点回顾】【知识点一】锐角三角函数正弦： sinA 余弦： cosA正切： tanA.【知识点二】特殊三角函数度数三角函数3045601【知识点三】解直角三角形的常用关系(1) 三边之间的关系：； (2) 锐角之间的关系：；(3) 边角之间的关系：，.【知识点四】解直角三角形的应用 (1) 仰、俯角：视线在水平线上方的角叫做仰角.视线在水平线下方的角叫做俯角(2) 坡度：坡面的铅直高度和水平宽度的比叫做坡度（或者叫做坡比），用字母表示坡角：坡面与水平面的夹角叫做坡角，用表示，则有. (3) 方向角：平面上，通过观察点作一条水平线（向右为东向

2、）和一条铅垂线（向上为北向），则从点出发的视线与水平线或铅垂线所夹的角，叫做观测的方向角.(4) 解直角三角形实际应用的一般步骤：a.弄清题中名词、术语，根据题意画出图形，建立数学模型；b.将条件转化为几何图形中的边、角或它们之间的关系，把实际问题转化为解直角三角形问题；c.选择合适的边角关系式，使运算简便、准确；d.得出数学问题的答案并检验答案是否符合实际意义，从而得到问题的解一、单选题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）1（2022天津统考中考真题）的值等于（）A2 B1 C D2（2022山东日照统考中考真题）在实数，x0（x0），cos30，中，有理数的个数是（）A1个 B2个

3、C3个 D4个3（2021山东东营统考中考真题）如图，在中，若用科学计算器求AC的长，则下列按键顺序正确的是（）A BC D4（2020湖南长沙统考中考真题）从一艘船上测得海岸上高为42米的灯塔顶部的仰角是30度，船离灯塔的水平距离为（）A米 B米 C21米 D42米5（2023四川南充统考中考真题）如图，小兵同学从处出发向正东方向走米到达处，再向正北方向走到处，已知，则，两处相距（）A米 B米 C米 D米6（2022陕西统考中考真题）如图，是的高，若，则边的长为（）A B C D7（2023湖南益阳统考中考真题）如图，在平面直角坐标系中，有三点，则（）A B C D8（2023新疆统考中考真

4、题）如图，在中，以点为圆心，适当长为半径作弧，交于点，交于点，分别以点，为圆心，大于长为半径作弧，两弧在的内部交于点，作射线交于点若，则的长为（）A B1 C D29（2022广西贵港中考真题）如图，某数学兴趣小组测量一棵树的高度，在点A处测得树顶C的仰角为，在点B处测得树顶C的仰角为，且A，B，D三点在同一直线上，若，则这棵树的高度是（）A B C D10（2021广西百色统考中考真题）如图，在O中，尺规作图的部分作法如下：（1）分别以弦AB的端点A、B为圆心，适当等长为半径画弧，使两弧相交于点M；（2）作直线OM交AB于点N若OB10，AB16，则tanB等于（）A B C D二、 填空题

5、（本大题共8小题，每小题4分，共32分）11（2023山东统考中考真题）计算： 12（2016上江苏盐城九年级阶段练习）在中，则的值为 13（2021浙江统考中考真题）如图，已知在中，则的值是 14（2014江苏苏州统考中考真题）在ABC中，AB=AC=5，BC=8，若BPC=BAC，tanBPC= 15（2022宁夏中考真题）如图，在中，半径垂直弦于点，若，则 16（2022青海西宁统考中考真题）如图，等边三角形ABC内接于O，BC=2，则图中阴影部分的面积是 17（2022浙江台州统考中考真题）如图，在菱形ABCD中，A=60，AB=6折叠该菱形，使点A落在边BC上的点M处，折痕分别与边A

6、B，AD交于点E，F当点M与点B重合时，EF的长为 ；当点M的位置变化时，DF长的最大值为 18（2022湖南湘西统考中考真题）阅读材料：余弦定理是描述三角形中三边长度与一个角余弦值关系的数学定理，运用它可以解决一类已知三角形两边及夹角求第三边或者已知三边求角的问题余弦定理是这样描述的：在ABC中，A、B、C所对的边分别为a、b、c，则三角形中任意一边的平方等于另外两边的平方和减去这两边及这两边的夹角的余弦值的乘积的2倍用公式可描述为：a2b2c22bccosAb2a2c22accosBc2a2b22abcosC现已知在ABC中，AB3，AC4，A60，则BC 三、解答题（本大题共6小题，共5

7、8分）19（8分）（2023山东日照统考中考真题）（1）化简：；（2）先化简，再求值：，其中20（8分）（2023江苏连云港统考中考真题）如图，菱形的对角线相交于点为的中点，求的长及的值21（10分）（2023河南统考中考真题）综合实践活动中，某小组用木板自制了一个测高仪测量树高，测高仪为正方形，顶点A处挂了一个铅锤M如图是测量树高的示意图，测高仪上的点D，A与树顶E在一条直线上，铅垂线交于点H经测量，点A距地面，到树的距离，求树的高度（结果精确到）22（10分）（2022西藏统考中考真题）某班同学在一次综合实践课上，测量校园内一棵树的高度如图，测量仪在A处测得树顶D的仰角为45，C处测得树顶

8、D的仰角为37（点A，B，C在一条水平直线上），已知测量仪高度AECF1.6米，AC28米，求树BD的高度（结果保留小数点后一位参考数据：sin370.60，cos370.80，tan370.75）23（10分）（2023辽宁统考中考真题）暑假期间，小明与小亮相约到某旅游风景区登山，需要登顶高的山峰，由山底A处先步行到达处，再由处乘坐登山缆车到达山顶处已知点A，BD，E，F在同一平面内，山坡的坡角为，缆车行驶路线与水平面的夹角为（换乘登山缆车的时间忽略不计）（1）求登山缆车上升的高度；（2）若步行速度为，登山缆车的速度为，求从山底A处到达山顶处大约需要多少分钟（结果精确到）（参考数据：）24（

9、12分）（2022吉林长春统考中考真题）如图，在Rt中，点D是的中点，过点D作交于点E.延长至点F，使得，连接、（1）求证：四边形是菱形；（2）若，则的值为_参考答案：1B【分析】根据三角函数定义：正切=对边与邻边之比，进行求解解：作一个直角三角形，C=90，A=45，如图：B=90-45=45，ABC是等腰三角形，AC=BC，根据正切定义，A=45，故选 B【点拨】本题考查了三角函数，熟练理解三角函数的定义是解题关键2B【分析】根据零指数幂，特殊角的三角函数值，实数的意义，即可解答解：在实数，x0（x0）=1，中，有理数是，x0=1，所以，有理数的个数是2，故选：B【点拨】本题考查了零指数幂

10、，特殊角的三角函数值，实数，熟练掌握这些数学概念是解题的关键3D【分析】根据正切函数的定义，可得，根据计算器的应用，可得答案解：由，得：，故选：D【点拨】本题主要考查了计算器，利用锐角三角函数、计算器的应用，熟练应用计算器是解题关键4A【分析】在直角三角形中，已知角的对边求邻边，可以用正切函数来解决解：根据题意可得：船离海岸线的距离为42tan30=42（米）.故选：A【点拨】本题考查解直角三角形的应用-仰角的定义，要求学生能借助仰角构造直角三角形并解直角三角形5B【分析】根据锐角三角函数中余弦值的定义即可求出答案.解：小兵同学从处出发向正东方向走米到达处，再向正北方向走到处，米.，米.故选：

11、 B .【点拨】本题考查了锐角三角函数中的余弦值，解题的关键在于熟练掌握余弦值的定义.余弦值就是在直角三角形中，锐角的邻边与斜边之比.6D【分析】先解直角求出AD，再在直角中应用勾股定理即可求出AB解：，直角中，直角中，由勾股定理可得，故选D【点拨】本题考查利用锐角函数解直角三角形和勾股定理，难度较小，熟练掌握三角函数的意义是解题的关键7C【分析】如图，取格点D，连接，则B在上，由，证明，可得解：如图，取格点D，连接，则B在上，；故选C【点拨】本题考查的是坐标与图形，等腰直角三角形的判定与性质，特殊角的三角函数值，作出合适的辅助线构建直角三角形是解本题的关键8C【分析】过点作于点，勾股定理求得

12、，根据作图可得是的角平分线，进而设，则，根据，代入数据即可求解解：如图所示，过点作于点，在中，根据作图可得是的角平分线，设，解得：故选：C【点拨】本题考查了作角平分线，角平分线的性质，正弦的定义，勾股定理解直角三角形，熟练掌握基本作图以及角平分线的性质是解题的关键9A【分析】设CD=x，在RtADC中，A=45，可得CD=AD=x，BD=16-x，在RtBCD中，用B的正切函数值即可求解解：设CD=x，在RtADC中，A=45，CD=AD=x，BD=16-x，在RtBCD中，B=60，即：， 解得，故选A【点拨】本题考查三角函数，根据直角三角形的边的关系，建立三角函数模型是解题的关键10B【分

13、析】根据尺规作图的作法，可得 垂直平分 ，在 中，利用勾股定理求出ON，即可解答解：根据尺规作图的作法，得： 垂直平分 ，即 ，AB16，在 中， ， ，故选：B【点拨】本题主要考查了尺规作图垂直平分线的作法和解直角三角形，解题的关键是熟练掌握垂直平分线的作法和用勾股定理解直角三角形及求锐角三角函数值111【分析】根据先计算绝对值，特殊角的三角函数值，零指数幂，再进行加减计算即可解：故答案为：1【点拨】本题考查了实数的运算，掌握绝对值、特殊角的三角函数值、零指数幂的运算是解题的关键12【分析】根据勾股定理可以求出，根据三角函数的定义即可求得的值解：中，根据勾股定理，故答案为：【点拨】本题主要考

14、查了勾股定理以及正弦函数的定义：直角三角形，锐角的对边与斜边的比，难度适中13【分析】在直角三角形中，锐角的正弦=锐角的对边：直角三角形的斜边，根据定义直接可得答案解： ， 故答案为：【点拨】本题考查的是锐角的正弦的含义，掌握锐角的正弦的定义是解题的关键14解：如图，过点A作AHBC于点H，AB=AC，AH平分BAC，且BH=BC=4又BPC=BAC，BAH=BPCtanBPC=tanBAH在RtABH中，AB=5，BH=4，AH=3tanBAH=tanBPC=15/0.8【分析】由垂径定理可知，然后在中根据余弦的概念计算的值即可解：半径垂直弦于点，故答案为：【点拨】本题主要考查了垂径定理和余

15、弦的知识，熟练掌握余弦的概念是解题的关键16/【分析】根据等边三角形的性质可得SCOB=SAOC，AOC=120，将阴影部分的面积转化为扇形AOC的面积，利用扇形面积的公式计算可求解解：过点O作ODAC于点D，ABC为等边三角形，AOC=120，AD=CD=，OAC=30，OA=ADcos30=2，ABC为等边三角形，SCOB=SAOC，AOC=120，S阴影=S扇形AOC=，故答案为：【点拨】本题主要考查扇形面积的计算，等边三角形的性质，掌握扇形面积公式是解题的关键17 【分析】当点M与点B重合时，EF垂直平分AB，利用三角函数即可求得EF的长；根据折叠的性质可知，AF=FM,若DF取最大值

16、，则FM取最小值，即为边AD与BC的距离DG，即可求解.解：当点M与点B重合时，由折叠的性质知EF垂直平分AB，AE=EB=AB=3，在RtAEF中，A=60，AE=3，tan60=，EF=3；当AF长取得最小值时，DF长取得最大值，由折叠的性质知EF垂直平分AM，则AF=FM，FMBC时，FM长取得最小值，此时DF长取得最大值，过点D作DGBC于点C，则四边形DGMF为矩形，FM=DG，在RtDGC中，C=A=60，DC=AB=6，DG=DCsin60=3，DF长的最大值为AD-AF=AD-FM=AD-DG=6-3，故答案为：3；6-3【点拨】本题考查了菱形的性质，折叠的性质，解直角三角形，

17、解题的关键是灵活运用所学知识解决问题18【分析】从阅读可得：BC2AB2AC22ABACcosA，将数值代入求得结果解：由题意可得，BC2AB2AC22ABACcosA3242234cos6013，BC，故答案为：【点拨】本题考查了阅读理解能力，特殊角锐角三角函数值等知识，解决问题的关键是公式的具体情景运用19（1）；（2），【分析】（1）根据平方根，绝对值，负整数指数幂，特殊角的三角函数，实数的混合运算法则进行计算即可；（2）根据分式的性质进行化简，再将代入求解即可（1）解：（2）解：将代入可得，原式【点拨】本题考查了平方根，绝对值，负整数指数幂，特殊角的三角函数，实数的混合运算法则，分式的

18、化简求值等，熟练掌握以上运算法则是解题的关键20，【分析】根据菱形的性质得出，中，勾股定理求得的长，根据正切的定义即可求解解：在菱形中，在中，为中点，【点拨】本题考查了菱形的性质，勾股定理，求正切，熟练掌握以上知识是解题的关键21树的高度为【分析】由题意可知，易知，可得，进而求得，利用即可求解解：由题意可知，则，则，则，答：树的高度为【点拨】本题考查解直角三角形的应用，得到是解决问题的关键2213.6米【分析】如图，连接EF，交BD于点M，用DM的长度分别表示EM和FM的长度，再根据EM和FM的和等于AC的长度，求出DM的长，在用DM和BM的和求出BD的长度即可解：连接EF，交BD于点M，则E

19、FBD，AEBMCF1.6米，在RtDEM中，DEM45，EMDM，设DMx米，则EMABx米，FMBCACAB（28x）米，在RtDFM中，tan37，即0.75，解得x12，经检验，x12是原方程的根，即DM12米，DB12+1.613.6（米），答：树BD的高度为13.6米【点拨】本题考查解直角三角形的应用仰角和俯角问题准确的构造出直角三角形是解题的关键，在解题的过程中可以巧用公共边列方程进行计算23（1）登山缆车上升的高度；（2）从山底A处到达山顶处大约需要.【分析】（1）过B点作于C，于E，则四边形是矩形，在中，利用含30度的直角三角形的性质求得的长，据此求解即可；（2）在中，求得的长，再计算得出答案（1）解：如图，过B点作于C，于E，则四边形是矩形，在中，答：登山缆车上升的高度；（2）解：在中，从山底A处到达山顶处大约需要：，答：从山底A处到达山顶处大约需要.【点拨】此题主要考查了解直角三角形的应用，正确掌握直角三角形的边角关系是解题关键24（1）见分析；（2）【分析】（1）根据对角线互相垂直平分的四边形是菱形即可得证；（2）设，则，根据菱形的性质可得，勾股定理求得，根据，即可求解解：（1）证明：，四边形是平行四边形， 四边形是菱形；（2）解：，设，则，四边形是菱形；，在中，故答案为：【点拨】本题考查了菱形的判定与性质，勾股定理，求正切，掌握以上知识是解题的关键