专题28.6 锐角三角函数章末九大题型总结（拔尖篇）（人教版）（解析版）.docx

1、专题28.6 锐角三角函数章末九大题型总结（拔尖篇）【人教版】【题型1 构建直角三角形求锐角三角函数值】1【题型2 用等角转换法求锐角三角函数值】7【题型3 锐角三角函数与相似三角形的综合应用】13【题型4 锐角三角函数与圆的综合应用】18【题型5 解非直角三角形】26【题型6 巧设辅助未知数解直角三角形】32【题型7 构造直角三角形进行线段或角的计算】41【题型8 解直角三角形与圆的综合应用】50【题型9 构造直角三角形解决实际问题】60【题型1 构建直角三角形求锐角三角函数值】【例1】（2023春安徽九年级专题练习）如图，在四边形ABCD中，B=60，C=90，E为边BC上的点，ADE为等

2、边三角形，BE=8，CE=2，则tanAEB的值为（）A375B275C335D435【答案】C【分析】作EFAB于点F，AHBE于点H，解直角BEF，得出BF=12BE=4，证明AEFEDC，得出AF=EC=2，再求出AH=33，HE=5，然后利用正切函数定义即可求解【详解】如图，作EFAB于点F，AHBE于点H，B=60，BE=8，BEF=90-B=30，BF=12BE=4ADE为等边三角形，AED=60，AE=DE，BAE+B+AEB=180，DEC+AED+AEB=180，BAE=DEC，在AEF与EDC中，EAF=DECAFE=CAE=ED，AEFEDCAAS，AF=EC=2，AB=

3、AF+BF=2+4=6，AHB=90，BAH=90-B=30，BH=12AB=3，AH=3BH=33，HE=BE-BH=8-3=5，tanAEH=AHHE=335故选：C【点睛】此题考查了解直角三角形，全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质，含30角的直角三角形的性质，锐角三角函数定义等知识，准确作出辅助线，构造全等三角形以及直角三角形是解题的关键【变式1-1】（2023春湖北襄阳九年级统考期中）如图，在ABD中，A=90，若BE=mAC，CD=mAB，连接BC、DE交于点F，则cosBFE的值为 【答案】m2+1m2+1【分析】过C作CGBC，过D作DGAD，如图所示，先证明ABCDCG，

4、得到BE=ma=DG，从而判定四边形BEDG是平行四边形，进而EDBG，得到BFE=CBG，在RtABC中，BC=a2+b2；在RtCDG中，GC=ma2+b2；在RtBCG中，BG=BC2+CG2=1+m2a2+b2，即可得到cosBFE=cosCBG=BCBG=a2+b21+m2a2+b2=m2+1m2+1【详解】解：过C作CGBC，过D作DGAD，如图所示：DGAB，BCG=90，CDG=90， A=90，ABC+ACB=90，BCG=90，ACB+DCG=90，ABC=DCG，ABCDCG，ABDC=ACDG， BE=mAC，CD=mAB，设AC=a,AB=b，则BE=ma,CD=mb

5、，则bmb=aDG，解得DG=ma，BE=ma=DG，BEDG，四边形BEDG是平行四边形， EDBG， BFE=CBG，在RtABC中，A=90，AC=a,AB=b，则BC=a2+b2，在RtCDG中，CDG=90，BE=ma,CD=mb，则GC=ma2+b2，在RtBCG中，BCG=90，则BG=BC2+CG2=1+m2a2+b2 cosBFE=cosCBG=BCBG=a2+b21+m2a2+b2=m2+1m2+1，故答案为：m2+1m2+1【点睛】本题考查求三角函数值，涉及相似三角形判定与性质、平行四边形的判定与性质、勾股定理及余弦函数定义，准确构造辅助线，熟练运用相似三角形判定与性质是

6、解决问题的关键【变式1-2】（2023四川成都统考中考真题）如图，在RtABC中，ABC=90，CD平分ACB交AB于点D，过D作DEBC交AC于点E，将DEC沿DE折叠得到DEF，DF交AC于点G若AGGE=73，则tanA= 【答案】377【分析】过点G作GMDE于M，证明DGECGD，得出DG2=GEGC，根据ADGM，得AGGE=73=DMME，设GE=3,AG=7，EM=3n，则DM=7n，则EC=DE=10n，在RtDGM中，GM2=DG2-DM2，在RtGME中，GM2=GE2-EM2，则DG2-DM2=GE2-EM2，解方程求得n=34，则EM=94，GE=3，勾股定理求得GM

7、，根据正切的定义，即可求解【详解】解：如图所示，过点G作GMDE于M，CD平分ACB交AB于点D，DEBC1=2,2=31=3ED=EC折叠，3=4，1=4,又DGE=CGDDGECGDDGCG=GEDGDG2=GEGCABC=90，DEBC，则ADDE，ADGMAGGE=DMME，MGE=A，AGGE=73=DMME设GE=3,AG=7，EM=3n，则DM=7n，则EC=DE=10n，DG2=GEGCDG2=33+10n=9+30n在RtDGM中，GM2=DG2-DM2在RtGME中，GM2=GE2-EM2DG2-DM2=GE2-EM2即9+30n-7n2=32-3n2解得：n=34EM=9

8、4，GE=3则GM=GE2-ME2=32-942=374tanA=tanEGM=MEMG=94374=377故答案为：377【点睛】本题考查了求正切，折叠的性质，勾股定理，平行线分线段成比例，相似三角形的性质与判定，熟练掌握以上知识是解题的关键【变式1-3】（2023春江苏常州九年级校考期末）如图，在ABC中，AB=AC=5，BC=4，AD是BC边上的高，将ABC绕点C旋转到EFC（点E、F分别与点A、B对应），点F落在线段AD上，连接AE，则cosEAF= 【答案】21-2310【分析】过点E作EGAD于点G，结合旋转的性质可求cosFCD=CDCF=12，进而可证ACE是等边三角形，可求出

9、AD=21-23，即可求解【详解】解：如图，过点E作EGAD于点G，将ABC绕点C旋转，点B落在线段AD上的点F处，CF=BC=4，CE=EF=AB=5，ACB=ECF，AC=EC，FCD+ACF=ACE+ACF，FCD=ACE；AB=AC，AD是BC边上的高，CD=12BC=2，cosFCD=CDCF=24=12，FCD=60，DF=CFsinFCD =432=23，ACE=FCD=60，AC=EC，ACE是等边三角形，AE=EF=5，在RtACD中AD=AC2-CD2 =52-22=21，AF=AD-DF =21-23，AE=EF，EGAD，AG=12AF=21-232，cosEAF=AG

10、AE =21-2325 =21-2310故答案为：21-2310【点睛】本题考查了旋转的性质，勾股定理，等腰三角形“三线合一”，等边三角形的判定及性质，特殊角的三角函数等，掌握相关性质及定理，构建直角三角形是解题的关键【题型2 用等角转换法求锐角三角函数值】【例2】（2023秋江苏常州九年级统考期末）已知点P在ABC内，连接PA、PB、PC，在PAB、PBC、PAC中，如果存在一个三角形与ABC相似，那么就称点P为ABC的自相似点，如图，在直角ABC中，ACB=90，AC=12，BC=5，如果点P为直角ABC的自相似点，那么tanACP= 【答案】512【分析】先找到RtABC的内相似点，再根

11、据三角函数的定义计算tanACP即可【详解】解：ACB=90，AC=12，BC=5，CAB0)，先根据余弦三角函数得出BE的长，再根据等腰三角形的三线合一可得BB的长，从而可得AB的长，然后根据旋转的性质可得AC=4a，A=A，最后根据相似三角形的判定与性质可得BDCD=ABAC，由此即可得出答案【详解】如图，过点C作CEAB于点E在RtABC中，C=90，cosB=BCAB=35可设BC=3a(a0)，则AB=5a，AC=AB2-BC2=4aBCB是等腰三角形BB=2BE（等腰三角形的三线合一）由旋转的性质可知，BC=BC=3a,AC=AC=4a，A=A在RtBCE中，cosB=BEBC，即

12、BE3a=35解得BE=9a5BB=2BE=18a5AB=AB-BB=5a-18a5=7a5在ABD和ACD中，A=AADB=ADCABDACDBDCD=ABAC=7a54a=720故选：B【点睛】本题考查了余弦三角函数、相似三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、旋转的性质等知识点，通过作辅助线，运用余弦三角函数求出BE的长是解题关键【变式3-3】（2023全国九年级专题练习）如图，在ABC中，ABC90，tanBAC12，AD2，BD4，连接CD，则CD长的最大值是（）A25+34B25+1C25+32D252【答案】B【分析】过点A作DAP=BAC，过点D作ADDP交AP于点P，分别求出P

13、D，PC，在PDC中，利用三角形的三边关系即可求出CD长的最大值【详解】解：如图，过点A作DAP=BAC，过点D作ADDP交AP于点P，ABC=90，tanBAC=12，tanDAP=tanBAC=12，DPAD=12，AD=2，DP=1，DAP=BAC，ADP=ABC，ADPABC，APAC=ADAB，DAB=DAP+PAB，PAC=PAB+BAC，DAP=BAC，DAB=PAC，APAC=ADAB，ADBAPC，ADAP=DBPC，AP=AD2+DP2=22+12=5，PC=APDBAD=542=25，PD+PC=1+25，PC-PD=25-1，在PDC中，PD+PCDC，PCPDDC，2

14、5-1CD0，BC=y，则AB=kx，cosB=ykx，设cosB=ykx=aa0，BC=y，则AB=kx，cosB=BCAB=ykx，在RtABC中，BCAB，cosB=ykx1，设cosB=ykx=aa1，则y=kxa，CEF=AED，DAE=BCD，AED=DAE，CEF=BCD，BE=BC=y=kxa，AE=AB-BE=kx1-a，由圆周角定理得：ADH=B，在ADH和ABC中，ADH=BAHD=ACB=90，ADHABC，DHBC=ADAB，即DHkxa=xkx，解得DH=xa，EH=DE-DH=x1-a，由勾股定理得：AD2-DH2=AH2=AE2-EH2，x2-xa2=kx1-a

15、2-x1-a2，整理得：k2a2+2-2k2a+k2-2=0，解得a=k2-2k2或a=1（舍去），则cosB=k2-2k2【点睛】本题考查了圆周角定理、等腰三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、一元二次方程的应用、余弦等知识点，较难的是题（2），通过作辅助线，构造相似三角形是解题关键【变式4-3】（2023广东湛江统考二模）如图CD是O直径，A是O上异于C，D的一点，点B是DC延长线上一点，连AB、AC、AD，且BAC=ADB(1)求证：直线AB是O的切线；(2)若BC=2OC，求tanADB的值；(3)在（2）的条件下，作CAD的平分线AP交O于P，交CD于E，连PC、PD，若AB=

16、26，求AEAP的值【答案】(1)见解析(2)tanADB=22(3)AEAP=42【分析】（1）连接OA，由CD是O的直径可得CAD=90，即OAC+OAD=90，由OA=OD得到OAD=ODA，又BAC=ADB，从而BAC+OAC=90，即ABOA，又OA为半径得证直线AB是O的切线；（2）易证BCABAD得到ACAD=BCAB，设半径OC=OA=r，则BC=2r,OB=3r，在RtBAO中，AB=OB2-OA2=22r，因此在RtCAD中，tanADC=ACAD=BCBA=22；（3）由AB=22r=26可得r=3，CD=23，在RtCAD中，根据ACAD=22，AC2+AD2=CD2，

17、求得AC=2，AD=22，根据CAP=EAD，APC=ADE，证得CAPEAD，因此ACAE=APAD，变形得到AEAP=ACAD=42【详解】（1）证明：如图，连接OA，CD是O的直径，CAD=90，OAC+OAD=90，又OA=OD，OAD=ODA，又BAC=ADB，BAC+OAC=90，即BAO=90，ABOA，又OA为半径，直线AB是O的切线；（2）解：BAC=ADB，B=B，BCABAD，ACAD=BCAB，设半径OC=OA=r，BC=2OC，BC=2r,OB=3r，在RtBAO中，AB=OB2-OA2=3r2-r2=22r，在RtCAD中，tanADC=ACAD=BCBA=2r22r=22；（3）解：在（2）的条件下，AB=22r=26，