专题28.7 锐角三角函数（全章直通中考）（培优练）-2023-2024学年九年级数学下册全章复习与专题突破讲与练（人教版）.docx

1、专题28.7 锐角三角函数（全章直通中考）（培优练）一、 单选题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）1（2022四川乐山统考中考真题）如图，在中，点D是AC上一点，连接BD若，则CD的长为（）A B3 C D22（2022广西贵港中考真题）如图，在网格正方形中，每个小正方形的边长为1，顶点为格点，若的顶点均是格点，则的值是（）A B C D3（2018全国九年级专题练习）如图，在矩形ABCD中，点E是边BC的中点，AEBD，垂足为F，则tanBDE的值是（）A B C D4（2023四川宜宾统考中考真题）梦溪笔谈是我国古代科技著作，其中它记录了计算圆弧长度的“会圆术”如图，是以点O为圆心

2、、为半径的圆弧，N是的中点，“会圆术”给出的弧长的近似值计算公式：当，时，则的值为（）A B C D5（2019重庆统考中考真题）如图，在平面直角坐标系中，菱形OABC的边OA在x轴上，点，若反比例函数经过点C，则k的值等于（）A10 B24 C48 D506（2022山东济南统考中考真题）数学活动小组到某广场测量标志性建筑AB的高度如图，他们在地面上C点测得最高点A的仰角为22，再向前70m至D点，又测得最高点A的仰角为58，点C，D，B在同一直线上，则该建筑物AB的高度约为（）（精确到1m参考数据：，）A28m B34m C37m D46m7（2020贵州遵义统考中考真题）构建几何图形解决

3、代数问题是“数形结合”思想的重要性，在计算tan15时，如图在RtACB中，C90，ABC30，延长CB使BDAB，连接AD，得D15，所以tan15类比这种方法，计算tan22.5的值为（）A B1 C D8（2021四川泸州统考中考真题）在锐角ABC中，A，B，C所对的边分别为a，b，c，有以下结论：（其中R为ABC的外接圆半径）成立在ABC中，若A=75，B=45，c=4，则ABC的外接圆面积为（）A B C D9（2019湖南张家界统考中考真题）如图，在平面直角坐标系中，将边长为1的正方形OABC绕点O顺时针旋转后得到正方形，依此方式，绕点O连续旋转2019次得到正方形，那么点的坐标是

4、（）A B C D10（2020四川广元统考中考真题）规定：给出以下四个结论：（1） ；（2）；（3） ；（4）其中正确的结论的个数为（）A1个 B2个 C3个 D4个二、 填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分）11（2022江苏扬州统考中考真题）在中，分别为的对边，若，则的值为 12（2022重庆统考中考真题）如图，在矩形中，以B为圆心，的长为半径画弧，交于点E则图中阴影部分的面积为 （结果保留）13（2020江苏常州中考真题）如图，点C在线段上，且，分别以、为边在线段的同侧作正方形、，连接、，则 14（2022浙江绍兴统考中考真题）如图，点在射线上的动点，连接，作，动点在延长线上，

5、连接，当，时，的长是 15（2022山东烟台统考中考真题）如图1，ABC中，ABC60，D是BC边上的一个动点（不与点B，C重合），DEAB，交AC于点E，EFBC，交AB于点F设BD的长为x，四边形BDEF的面积为y，y与x的函数图象是如图2所示的一段抛物线，其顶点P的坐标为（2，3），则AB的长为 16（2022山东济宁统考中考真题）如图，点A，C，D，B在O上，ACBC，ACB90若CDa，tanCBD，则AD的长是 17（2022内蒙古鄂尔多斯统考中考真题）如图，在ABC中，ABAC4，CAB30，ADBC，垂足为D，P为线段AD上的一动点，连接PB、PC则PA+2PB的最小值为 18

6、（2023江苏连云港统考中考真题）如图，矩形的顶点在反比例函数的图像上，顶点在第一象限，对角线轴，交轴于点若矩形的面积是6，则 三、解答题（本大题共6小题，共58分）19（8分）（2022江苏淮安统考中考真题）（1）计算：；（2）化简：20（8分）（2023黑龙江牡丹江统考中考真题）在中，D为的中点，以为直角边作含角的，且点E与点A在的同侧，请用尺规或三角板作出符合条件的图形，并直接写出线段的长21（10分）（2022湖北黄石统考中考真题）如图是直径，A是上异于C，D的一点，点B是延长线上一点，连接、，且（1）求证：直线是的切线；（2）若，求的值；（3）在（2）的条件下，作的平分线交于P，交于

7、E，连接、，若，求的值22（10分）（2022浙江温州统考中考真题）如图，在中，于点D，E，F分别是的中点，O是的中点，的延长线交线段于点G，连结，（1）求证：四边形是平行四边形（2）当，时，求的长23（10分）（2022四川成都统考中考真题）如图，在矩形中，点是边上一动点（点不与，重合），连接，以为边在直线的右侧作矩形，使得矩形矩形，交直线于点（1）【尝试初探】在点的运动过程中，与始终保持相似关系，请说明理由（2）【深入探究】若，随着点位置的变化，点的位置随之发生变化，当是线段中点时，求的值（3）【拓展延伸】连接，当是以为腰的等腰三角形时，求的值（用含的代数式表示）24（12分）（2022江

8、苏苏州统考中考真题）如图，在二次函数（m是常数，且）的图像与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，顶点为D其对称轴与线段BC交于点E，与x轴交于点F连接AC，BD（1）求A，B，C三点的坐标（用数字或含m的式子表示），并求的度数；（2）若，求m的值；（3）若在第四象限内二次函数（m是常数，且）的图像上，始终存在一点P，使得，请结合函数的图像，直接写出m的取值范围参考答案：1C【分析】先根据锐角三角函数值求出，再由勾股定理求出过点D作于点E，依据三角函数值可得从而得，再由得AE=2，DE=1，由勾股定理得AD=，从而可求出CD解：在中， 由勾股定理得, 过点D作于点E，如图，

9、,在中, 故选：C【点拨】本题主要考查了勾股定理，由锐角正切值求边长，正确作辅助线求出DE的长是解答本题的关键2C【分析】过点C作AB的垂线，构造直角三角形，利用勾股定理求解即可解：过点C作AB的垂线交AB于一点D，如图所示，每个小正方形的边长为1，设，则，在中，,在中，,，解得，故选：C【点拨】本题考查了解直角三角形，勾股定理等知识，解题的关键是能构造出直角三角形3A【分析】证明BEFDAF，得出EF=AF，EF=AE，由矩形的对称性得：AE=DE，得出，设EF=x，则DE=3x，由勾股定理求出再由三角函数定义即可得出答案解：四边形ABCD是矩形，AD=BC，ADBC，点E是边BC的中点，B

10、E=BC=AD，BEFDAF，EF=AF，EF=AE，点E是边BC的中点，由矩形的对称性得：AE=DE，EF=DE，设EF=x，则DE=3x，DF=x，tanBDE= .故选A【点拨】本题考查了相似三角形的判定和性质，矩形的性质，三角函数等知识；熟练掌握矩形的性质，证明三角形相似是解决问题的关键4B【分析】连接,根据等边三角形的性质，垂径定理，勾股定理，特殊角的三角函数，后代入公式计算即可解：连接，根据题意，是以点O为圆心、为半径的圆弧，N是的中点，得，点M，N，O三点共线，是等边三角形，故选B【点拨】本题考查了等边三角形的性质，垂径定理，勾股定理，特殊角的函数值，熟练掌握相关知识是解题的关键

11、5C【分析】由菱形的性质和锐角三角函数可求点，将点C坐标代入解析式可求k的值解：如图，过点C作于点E，菱形OABC的边OA在x轴上，点，点C坐标若反比例函数经过点C，故选C【点拨】本题考查了反比例函数性质，反比例函数图象上点的坐标特征，菱形的性质，锐角三角函数，关键是求出点C坐标6C【分析】在RtABD中，解直角三角形求出，在RtABC中，解直角三角形可求出AB解：在RtABD中，tanADB，在RtABC中，tanACB，解得：m，故选：C【点拨】本题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握正切函数的定义是解题的关键7B【分析】作RtABC，使C90，ABC45，延长CB到D，使BDAB，连接AD

12、，根据构造的直角三角形，设ACx，再用x表示出CD，即可求出tan22.5的值.解：作RtABC，使C90，ABC90，ABC45，延长CB到D，使BDAB，连接AD，设ACx，则：BCx，AB，CD，故选：B.【点拨】本题考查解直角三角形，解题的关键是根据阅读构造含45的直角三角形，再作辅助线得到22.5的直角三角形.8A【分析】方法一：先求出C，根据题目所给的定理， , 利用圆的面积公式S圆=方法二：设ABC的外心为O，连结OA，OB，过O作ODAB于D，由三角形内角和可求C=60，由圆周角定理可求AOB=2C=120，由等腰三角形性质，OAB=OBA=，由垂径定理可求AD=BD=，利用三

13、角函数可求OA=，利用圆的面积公式S圆=解：解:方法一：A=75，B=45，C=180-A-B=180-75-45=60，有题意可知，S圆=方法二：设ABC的外心为O，连结OA，OB，过O作ODAB于D，A=75，B=45，C=180-A-B=180-75-45=60，AOB=2C=260=120，OA=OB，OAB=OBA=，ODAB，AB为弦，AD=BD=，AD=OAcos30，OA=，S圆=故答案为A【点拨】本题考查三角形的外接圆，三角形内角和，圆周角定理，等腰三角形性质，垂径定理，锐角三角函数，圆的面积公式，掌握三角形的外接圆，三角形内角和，圆周角定理，等腰三角形性质，垂径定理，锐角三

14、角函数，圆的面积公式是解题关键9A【分析】根据旋转的性质分别求出点A1、A2、A3、的坐标，继而发现8次为一个循环，用2019除以8，看余数即可求得答案.解：四边形OABC是正方形，且，将正方形OABC绕点O顺时针旋转后得到正方形，点A1的横坐标为1，点A1的纵坐标为1，继续旋转则，A4（0，-1），A5，A6（-1，0），A7，A8（0，1），A9，发现是8次一循环，所以余3，点的坐标为，故选A【点拨】本题考查了旋转的性质，规律题点的坐标的变化规律，通过分析正确得出坐标的变化规律是解题的关键.10C【分析】根据题目所规定的公式，化简三角函数，即可判断结论解：（1），故此结论正确；（2），故此

15、结论正确；（3）故此结论正确；（4）=，故此结论错误.故选：C【点拨】本题属于新定义问题，主要考查了三角函数的知识，解题的关键是熟练掌握三角函数的基础知识，理解题中公式.11解：如图所示：在中，由勾股定理可知：， ，即：，求出或（舍去），在中：，故答案为：【点拨】本题考查了锐角三角函数的概念及勾股定理，熟练掌握锐角三角函数的定义是解答本题的关键在中， ，12【分析】先根据特殊角的锐角三角函数值，求出，进而求出，再根据扇形的面积公式求解即可解：矩形， ， 以B为圆心，的长为半轻画弧，交于点E， ， ，在中， ， ， ，S阴影 故答案为： 【点拨】本题考查了由特殊角的三角函数值求角度数，矩形的性质

16、，扇形的面积的计算，综合掌握以上知识点并熟练运用是解题的关键13【分析】设BC=a，则AC=2a，然后利用正方形的性质求得CE、CG的长、GCD=ECD=45，进而说明ECG为直角三角形，最后运用正切的定义即可解答解：设BC=a，则AC=2a正方形EC=，ECD= 同理：CG=,GCD=故答案为【点拨】本题考查了正方形的性质和正切的定义，根据正方形的性质说明ECG是直角三角形是解答本题的关键14【分析】过点C作CNBE于N，过点D作DMCN延长线于M，连接EM，设BN=x，则CN =3x，由ACNCDM可得AN=CM=10+x，CN=DM=3x，由点C、M、D、E四点共圆可得NME是等腰直角三

17、角形，于是NE=10-2x，由勾股定理求得AC可得CE，在RtCNE中由勾股定理建立方程求得x，进而可得BE；解：如图，过点C作CNBE于N，过点D作DMCN延长线于M，连接EM，设BN=x，则CN=BNtanCBN=3x，CAD，ECD都是等腰直角三角形，CA=CD，EC=ED，EDC=45，CAN+ACN=90，DCM+ACN=90，则CAN=DCM，在ACN和CDM中：CAN=DCM，ANC=CMD=90，AC=CD，ACNCDM（AAS），AN=CM=10+x，CN=DM=3x，CMD=CED=90，点C、M、D、E四点共圆，CME=CDE=45，ENM=90，NME是等腰直角三角形，

18、NE=NM=CM-CN=10-2x，RtANC中，AC=，RtECD中，CD=AC，CE=CD，RtCNE中，CE2=CN2+NE2，x=5（舍去）或x=，BE=BN+NE=x+10-2x=10-x，BE=；故答案为：；【点拨】本题考查了三角函数，全等三角形的判定和性质，圆内接四边形的性质，勾股定理，一元二次方程等知识；此题综合性较强，正确作出辅助线是解题关键15【分析】根据抛物线的对称性知，BC4，作FHBC于H，当BD2时，BDEF的面积为3，则此时BF，AB2BF，即可解决问题解：抛物线的顶点为（2，3），过点（0，0），x4时，y0，BC4，作FHBC于H，当BD2时，BDEF的面积为

19、3，32FH，FH，ABC60，BF，DEAB，AB2BF，故答案为：【点拨】本题主要考查了动点的函数图象问题，抛物线的对称性，平行四边形的性质，特殊角的三角函数值等知识，求出BC4是解题的关键16【分析】如图，连接，设交于点，根据题意可得是的直径，设，证明，根据相似三角形的性质以及正切的定义，分别表示出，根据，勾股定理求得，根据即可求解解：如图，连接，设交于点，ACB90是的直径， tanCBD，在中， ，设则， ACBC， 中， ,又，解得，故答案为：【点拨】本题考查了90圆周角所对的弦是直径，同弧所对的圆周角相等，正切的定义，相似三角形的性质与判定，勾股定理，掌握以上知识是解题的关键17

20、4【分析】在BAC的外部作CAE15，作BFAE于F，交AD于P，此时PA+2PB22BF，通过解直角三角形ABF，进一步求得结果解：如图，在BAC的外部作CAE15，作BFAE于F，交AD于P，此时PA+2PB最小，AFB90ABAC，ADBC，CADBAD，EADCAE+CAD30，PF，PA+2PB22BF，在RtABF中，AB4，BAFBAC+CAE45，BFABsin454，（PA+2PB）最大2BF，故答案为：【点拨】本题考查了等腰三角形的性质，解直角直角三角形，解题的关键是作辅助线18【分析】方法一：根据的面积为，得出，在中，得出，根据勾股定理求得，根据的几何意义，即可求解方法二

21、：根据已知得出则，即可求解解：方法一：，设，则，矩形的面积是6，是对角线，的面积为，即在中，即即解得：在中，对角线轴，则，,反比例函数图象在第二象限，方法二：，设，则，故答案为：【点拨】本题考查了矩形的性质，反比例函数的几何意义，余弦的定义，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键19（1）；（2）【分析】（1）根据绝对值，零指数幂和特殊角三角形函数值的计算法则求解即可；（2）根据分式的混合计算法则求解即可解：（1）原式；（2）原式【点拨】本题主要考查了分式的混合计算，特殊角三角函数值，零指数幂，绝对值等等，熟知相关计算法则是解题的关键20作图见分析，线段的长为或【分析】先根据含30度角的直角三角

22、形的性质得到，再根据直角三角形斜边上的中线性质和等边三角形的判定证明为等边三角形，可得，分和两种情况，利用等边三角形的性质，结合锐角三角形和勾股定理求解即可解：如图，当时，在中，又， D为的中点，为等边三角形，是等边三角形，；如图，当时，在中，则，在中，则，综上，满足条件的线段的长为或【点拨】本题考查含30度角的直角三角形的性质、直角三角形斜边上的中线性质、等边三角形的判定与性质、锐角三角函数以及勾股定理等知识，熟练掌握等边三角形和直角三角形的相关性质是解答的关键21（1）见分析；（2）；（3）【分析】（1）如图所示，连接OA，根据直径所对的圆周角是直角得到，再证明即可证明结论；（2）先证明，

23、得到，令半径，则，利用勾股定理求出，解直角三角形即可答案；（3）先求出，在中，解得，证明，得到，则（1）解：如图所示，连接OA，是直径，又，即，又为半径，直线是的切线；（2）解：，由知，令半径，则，在中，在中，即；（3）解：在（2）的条件下，在中，解得，平分，又，【点拨】本题主要考查了圆切线的判定，直径所对的圆周角是直角，相似三角形的性质与判定，解直角三角形，勾股定理，等腰三角形的性质等等，熟知相关知识是解题的关键22（1）见分析；（2）【分析】（1）根据E，F分别是，的中点，得出，根据平行线的性质，得出，结合O是的中点，利用“AAS”得出，得出，即可证明是平行四边形；（2）根据，E是中点，得

24、出，即可得出，即，根据，得出CD=2，根据勾股定理得出AC的长，即可得出DE，根据平行四边形的性，得出（1）解：（1）E，F分别是，的中点，O是的中点，四边形是平行四边形（2），E是中点，四边形DEFG为平行四边形，【点拨】本题主要考查了平行线四边形的判定和性质，勾股定理，直角三角形斜边上的中线，三角形全等的判定和性质，三角函数的定义，平行线的性质，中位线的性质，根据题意证明，是解题的关键23（1）见分析；（2）或；（3）或【分析】（1）根据题意可得A=D=BEG=90，可得DEH=ABE，即可求证；（2）根据题意可得AB=2DH，AD=2AB，AD=4DH，设DH=x，AE=a，则AB=2x

25、，AD=4x，可得DE=4x-a，再根据ABEDEH，可得或，即可求解；（3）根据题意可得EG=nBE，然后分两种情况：当FH=BH时，当FH=BF=nBE时，即可求解（1）解：根据题意得：A=D=BEG=90，AEB+DEH=90，AEB+ABE=90，DEH=ABE，ABEDEH；（2）解：根据题意得：AB=2DH，AD=2AB，AD=4DH，设DH=x，AE=a，则AB=2x，AD=4x，DE=4x-a，ABEDEH，解得：或，或，或；（3）解：矩形矩形，EG=nBE，如图，当FH=BH时，BEH=FGH=90，BE=FG，RtBEHRtFGH，EH=GH=，ABEDEH，即，；如图，当

26、FH=BF=nBE时，ABEDEH，即，；综上所述，的值为或【点拨】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，矩形的性质，等腰三角形的性质，勾股定理等知识，熟练掌握相似三角形的判定和性质，矩形的性质，等腰三角形的性质，勾股定理等知识是解题的关键24（1）A（-1，0）；B（2m+1，0）；C（0，2m+1）；（2）；（3）【分析】（1）分别令等于0，即可求得的坐标，根据，即可求得；（2）方法一：如图1，连接AE由解析式分别求得，根据轴对称的性质，可得，由，建立方程，解方程即可求解方法二：如图2，过点D作交BC于点H由方法一，得，证明，根据相似三角形的性质建立方程，解方程即可求解；（3）设PC与x轴交于点Q，当P在第四象限时，点Q总在点B的左侧，此时，即解：（1）当时，解方程，得，点A在点B的左侧，且，当时，（2）方法一：如图1，连接AE，点A，点B关于对称轴对称，即，解方程，得方法二：如图2，过点D作交BC于点H由方法一，得，即，解方程，得（3）设PC与x轴交于点Q，当P在第四象限时，点Q总在点B的左侧，此时，即，解得，又，【点拨】本题考查了二次函数综合，求二次函数与坐标轴的交点，角度问题，解直角三角形，相似三角形的性质，三角形内角和定理，综合运用以上知识是解题的关键