专题28.9 解直角三角形（基础篇）（专项练习）-2022-2023学年九年级数学下册基础知识专项讲练（人教版）.docx

1、专题28.9 解直角三角形（基础篇）（专项练习）一、单选题1如图，有一斜坡的长米，坡角，则斜坡的铅垂高度为（）ABCD2如图，在RtABC中，C90，AB6，AC2，CDAB于D，设ACD，则cos的值为（）ABCD3已知ABC中，B=60，AB=6，BC=8，则ABC的面积为（）AB24CD4如图，中， ，点在上，若，则的长度为（）ABCD5如图在一笔直的海岸线l上有相距3km的A，B两个观测站，B站在A站的正东方向上，从A站测得船C在北偏东60的方向上，从B站测得船C在北偏东30的方向上，则船C到海岸线l的距离是（）AkmBkmCkmDkm6已知直角梯形的一腰长为18cm，另一腰长为9cm

2、，则较长的腰与底所成角为（）A120和60B45和135C30和150D907如图，在四边形纸片中，将纸片折叠，使点落在边上的点处，折痕为若，则的长为（）A5BCD8如图，在ABC中，AC8，ABC60，C45，ADBC，垂足为D，ABC的平分线交AD于点E，则AE的长为AB2CD39菱形OABC在平面直角坐标系中的位置如图所示,AOC=45，OC=，则点B的坐标为()A( ,1)B(1, )C( +1,1)D(1,+1)10如图是重庆轻轨10号线龙头寺公园站入口扶梯建设示意图起初工程师计划修建一段坡度为3:2的扶梯，扶梯总长为米但这样坡度大陡，扶梯太长容易引发安全事故工程师修改方案：修建、两

3、段扶梯，并减缓各扶梯的坡度，其中扶梯和平台形成的为135，从点看点的仰角为36.5，段扶梯长米，则段扶梯长度约为（）米（参考数据：，）A43B45C47D49二、填空题11已知,一个小球由地面沿着坡度的坡面向上前进10cm,则此时小球距离地面的高度为_cm12如图，在中，,.则边的长为_. 13如图所示，四边形ABCD中，B90，AB2，CD8，ACCD，若sinACB，则cosADC_14如果等腰ABC中，那么_15如图，等腰直角ABC中，AC=BC，ACB=90，点O分斜边AB为BO：OA=1：，将BOC绕C点顺时针方向旋转到AQC的位置，则AQC=_16如图， ，点P在OA上， PC=P

4、D，若CO=5cm，OD=8cm ，则 OP的长是_17如图，在直角BAD中，延长斜边BD到点C，使DC=BD，连接AC，若tanB=，则tanCAD的值_.18如图，在菱形ABCD中，A=60，AB=6折叠该菱形，使点A落在边BC上的点M处，折痕分别与边AB，AD交于点E，F当点M与点B重合时，EF的长为_；当点M的位置变化时，DF长的最大值为_三、解答题19如图，在RtABC中，C90，BC5，AC12，求A的正弦值、余弦值和正切值20如图，从高楼C点测得地面A，B两点的俯角分别为、，如果此时高楼C点的高度CD为100米，点A，D，B在同一直线上，求AB两点的距离（结果保留根号）21如图，

5、在菱形ABCD中，点E，F分别是边AD，AB的中点（1）求证：；（2）若BE，C60，求菱形ABCD的面积22如图，在四边形中，点在上，垂足为（1）求证：四边形是平行四边形；（2）若平分，求和的长23某校综合实践小组要对一幢建筑物的高度进行测量.如图，该小组在一斜坡坡脚处测得该建筑物顶端的仰角为，沿斜坡向上走到达处，（即）测得该建筑物顶端的仰角为.已知斜坡的坡度，请你计算建筑物的高度（即的长，结果保留根号）.24如图，某拦河坝横截面原设计方案为梯形ABCD，其中ADBC，ABC=72，为了提高拦河坝的安全性，现将坝顶宽度水平缩短10m，坝底宽度水平增加4m，使EFC=45，请你计算这个拦河大坝

6、的高度（参考数据：sin72，cos72，tan72）参考答案1C【分析】根据三角函数的定义，结合题意，即可得到答案解：结合题意，得： 故选：C【点拨】本题考查了三角函数的知识；解题的关键是熟练掌握三角函数的定义，从而完成求解2A【分析】先利用互余的性质证出ACDB，然后利用勾股定理求出BC的长，再求出B的余弦，即可得出答案.解：CDAB，A +ACD90，ACB90，A +B90，BACD，在RtABC中，cosBcos.故选A【点拨】本题考查了求三角函数余弦的值.在图形中找到的等角是解题的关键.3D【分析】画出图形，利用三角函数求出BC边上的高，再计算面积即可.解：根据题意作ABC如图所示

7、，过A作ADBC于D，在RtABD中，B=60，AB=6， sinB=，AD=，SABC=故选D.【点拨】本题考查特殊角度的三角函数值的应用，熟记特殊角度的三角函数值是关键.4C【分析】先根据，求出AB=5，再根据勾股定理求出BC=3，然后根据，即可得cosDBC=cosA=，即可求出BD解：C=90，AB=5，根据勾股定理可得BC=3，cosDBC=cosA=，cosDBC=，即=BD=，故选：C【点拨】本题考查了解直角三角形和勾股定理，求出BC的长是解题关键5C【分析】首先由题意可证ACB是等腰三角形，即可求得BC的长，然后由在RtCBD中，CD=BCsin60，即可求得答案解：过C作CD

8、垂直于海岸线l交于D点，根据题意得CAD=90-60=30，CBD=90-30=60，ACB=CBD-CAD=30，CAB=ACB，BC=AB=3km，在RtCBD中，CD=BCsin60=3=(km)，故选择：C【点拨】本题考查了等腰三角形，直角三角形以及特殊角的正弦值，应熟练运用图形的性质，熟记特殊角的正弦余弦正切值6C【分析】作梯形的另一高，得到一个矩形和一个直角三角形，根据矩形的对边相等得该高等于9，则直角三角形中，斜边是18，一条直角边是9，所以较长的腰与一底所成的角是30度根据平行线的性质，得与另一底所成的角是150解：作DEBC，ADBC，ABBC四边形ABED为平行四边形AB=

9、DE=9sinC C=30ADC=150较长的腰与底所成的角为30或150故选C【点拨】考查了三角函数，解题关键是作直角梯形的另一高，组成了一个矩形和一个30的直角三角形7C【分析】过点A作 于H，由折叠知识得： ，再由锐角三角函数可得，然后根据，可证得四边形AHFG是矩形，即可求解解：过点A作 于H，由折叠知：BF=GF，BFE=GFE， ，在 中， ， ， ， 四边形AHFG是矩形， ， 故选：C【点拨】本题主要考查了折叠变换，解直角三角形，矩形的判定和性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键8C【分析】由已知可知ADC是等腰直角三角形，根据斜边AC=8可得AD=4，在RtABD中，由B=60

10、，可得BD=，再由BE平分ABC，可得EBD=30，从而可求得DE长，再根据AE=AD-DE即可解：ADBC，ADC是直角三角形，C=45，DAC=45，AD=DC，AC=8，AD=4，在RtABD中，B=60，BD=，BE平分ABC，EBD=30，DE=BDtan30=，AE=AD-DE=，故选C.【点拨】本题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握直角三角形中边角之间的关系是解题的关键.9C【分析】根据菱形的性质，作轴，先求点坐标，然后求得点的坐标解：作轴于点，四边形是菱形，又为等腰直角三角形，则点的坐标为，又，的横坐标为，的纵坐标为，则点的坐标为，故选：C【点拨】本题综合考查了菱形的性质和坐标

11、的确定，锐角三角函数，解题的关键是掌握菱形的性质，综合性较强10B【分析】首先构建直角三角形，然后利用三角函数值得出DG，即可得解.解：作AHEB于H，延长DC交AH于N，作DGEB于G，如图所示：ACD=135ACN=45在RtACN中，AC=，ACN=45AN=CN=18在RtABH中，AB=，AH：BH=3:2，设解得或（不符合题意，舍去）AH=45HN=AH-AN=45-18=27四边形DGHN是矩形DG=HN=27在RtDEG中，故选：B.【点拨】此题主要考查锐角三角函数的实际应用，熟练掌握，即可解题.11【分析】利用勾股定理及坡度的定义即可得到所求的线段长解：如图，由题意得，设由勾

12、股定理得，即，解得则故答案为：【点拨】本题考查了勾股定理及坡度的定义，掌握理解坡度的定义是解题关键12【分析】过A作ADBC于D点，根据，可求得CD，在RtACD中由勾股定理可求得AD，再利用RtADB中，可知AB=2AD，即可解题解：过A作ADBC于D点，AC=2CD=在RtACD中由勾股定理得：AD=又B=30AB=2AD=.【点拨】本题考查了锐角三角函数，勾股定理求线段长度，30所对的直角边是斜边的一半，灵活联合运用即可解题.13【分析】首先在ABC中，根据三角函数值计算出AC的长，再利用勾股定理计算出AD的长，然后根据余弦定义可算出cosADC解：B90，sinACB，AB2，AC6，

13、ACCD，ACD90，AD10，cosADC故答案为：【点拨】本题考查了解直角三角形，以及勾股定理的应用，关键是利用三角函数值计算出AC的长，再利用勾股定理计算出AD的长14；【分析】过点作于点，过点作于点，由于，所以，根据勾股定理以及锐角三角函数的定义可求出的长度解：过点作于点，过点作于点，AB=AC=3，BE=EC=1，BC=2，又，BD=,， ，故答案为：.【点拨】本题考查解直角三角形，涉及锐角三角函数的定义，需要学生灵活运用所学知识15105【分析】连接OQ，由旋转的性质可知：AQCBOC，从而推出OAQ=90，OCQ=90，再根据特殊直角三角形边的关系，分别求出AQO与OQC的值，可

14、求出结果解：连接OQ，AC=BC，ACB=90，BAC=B=45，由旋转的性质可知：AQCBOC，AQ=BO，CQ=CO，QAC=B=45，ACQ=BCO，OAQ=BAC+CAQ=90，OCQ=OCA+ACQ=OCA+BCO=90，OQC=45，BO：OA=1：，设BO=1，OA=，AQ=1，则tanAQO=，AQO=60，AQC=105故答案为1051613cm【分析】过点P作PEOB，利用等腰三角形三线合一的性质求得CE的长，从而就得OE，然后解直角三角形求解即可解：过点P作PEOBCO=5cm，OD=8cm ，CD=OD-CO=3又PC=PD，PEOBCE=OE=OC+CE=在RtPOE

15、中，故答案为：13cm【点拨】本题考查等腰三角形的性质及解直角三角形，掌握相关性质正确推理计算是解题关键17解：如图，延长AD，过点C作CEAD，垂足为E，tanB= ， ，设AD=5x，则AB=3x，CDE=BDA，CED=BAD，CDEBDA，= ，CE= ，DE=，AE=，tanCAD= ，故答案为【点拨】本题考查三角形函数，相似等知识，解题的关键是恰当添加辅助线18 【分析】当点M与点B重合时，EF垂直平分AB，利用三角函数即可求得EF的长；根据折叠的性质可知，AF=FM,若DF取最大值，则FM取最小值，即为边AD与BC的距离DG，即可求解.解：当点M与点B重合时，由折叠的性质知EF垂

16、直平分AB，AE=EB=AB=3，在RtAEF中，A=60，AE=3，tan60=，EF=3；当AF长取得最小值时，DF长取得最大值，由折叠的性质知EF垂直平分AM，则AF=FM，FMBC时，FM长取得最小值，此时DF长取得最大值，过点D作DGBC于点C，则四边形DGMF为矩形，FM=DG，在RtDGC中，C=A=60，DC=AB=6，DG=DCsin60=3，DF长的最大值为AD-AF=AD-FM=AD-DG=6-3，故答案为：3；6-3【点拨】本题考查了菱形的性质，折叠的性质，解直角三角形，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题19sinA=，cosA=，tanA=【分析】根据勾股定理求出A

17、B，根据锐角三角函数的定义解答即可解：由勾股定理得，则，【点拨】本题考查解直角三角形，解题的关键是利用勾股定理求出AB的长.20AB两点的距离是米【分析】先根据从热气球C处测得地面A、B两点的俯角分别为30、45可求出BCD与ACD的度数，再由直角三角形的性质求出AD与BD的长，根据AB=AD+BD即可得出结论解：从高楼C点测得地面A，B两点的俯角分别为，米，是等腰直角三角形，米，在中，米，米，答：AB两点的距离是米【点拨】本题考查的是解直角三角形的应用-仰角俯角问题，熟知锐角三角函数的定义是解答此题的关键21（1）详见分析；（2）2【分析】（1）利用菱形的性质，由SAS证明即可；（2）证是等

18、边三角形，得出BEAD，求出AD即可解：（1）证明：四边形ABCD是菱形，ABAD，点E，F分别是边AD，AB的中点，AFAE，在和中，（SAS）；（2）解：连接BD，如图：四边形ABCD是菱形，ABAD，AC60，是等边三角形，点E是边AD的中点，BEAD，ABE30， AEBE1，AB2AE2，ADAB2，菱形ABCD的面积ADBE22【点拨】本题考查的是菱形的性质，等边三角形的判定与性质，菱形的面积的计算，掌握以上知识是解题的关键22（1）见详解；（2），【分析】（1）由题意易得ADCE，然后问题可求证；（2）由（1）及题意易得EF=CE=AD，然后由可进行求解问题解：（1）证明：，AD

19、CE，四边形是平行四边形；（2）解：由（1）可得四边形是平行四边形，平分，EF=CE=AD，【点拨】本题主要考查平行四边形的性质与判定、勾股定理、角平分线的性质定理及三角函数，熟练掌握平行四边形的性质与判定、勾股定理、角平分线的性质定理及三角函数是解题的关键23建筑物的高度为.【分析】过点作，根据坡度的定义求出AB，BD,AD，再利用三角函数的定义列出方程求解.解：过点作，垂足为.过点作，垂足为.，四边形是矩形，.，设，.根据题意，在中，设，在中，.又，解得，.答：建筑物的高度为.【点拨】此题主要考查解直角三角形，解题的关键是熟知三角函数的定义.24拦河大坝的高度为24m【分析】过点A作AMCF于点M，过点E作EN垂直CF于点N，设拦河大坝的高度为xm，在RtABM和RtEFN中分别求出BM和FN的长度，然后根据已知AE=10m，BF=4m，EN-AE=BF+BM，列方程求出x的值即可解：过点A作AMCF于点M，过点E作EN垂直CF于点N，设拦河大坝的高度为xm，在RtABM和RtEFN中，ABM=72，EFC=45，BM=，FN=x，AE=10m，BF=4m，FN-AE=BF+BM，x-10=4+，解得：x=24，答：拦河大坝的高度为24m【点拨】本题考查了解直角三角形的应用，关键是根据坡度和坡角构造直角三角形，在直角三角形中利用三角函数求解，难度一般