专题29 轴对称综合题中的线段问题(解析版).docx

1、专题29 轴对称综合题中的线段问题 【题型演练】一、单选题1如图，在RtABC中，将ABC绕点A逆时针旋转得到，使点落在AB边上，连结，则的值为（）ABCD【答案】C【分析】在RtABC中，由勾股定理可得AB5根据旋转性质可得AC=3，=CB4，2利用勾股定理可求出，从而求出【详解】解：在RtABC中，AB=5，由旋转旋转性质可得AC=3，=CB4，AB-=2，=2，故答案为：C【点睛】本题主要考查了旋转的性质以及解直角三角形，掌握解直角三角形是解题的关键2如图，圆O与的边相切，切点为将绕点按顺时针方向旋转得到，使点落在圆O上，边交线段于点若，半径长为2，则的长度为（）AB2CD【答案】B【分

2、析】根据旋转可得为等边三角形，进而可求出，再利用=15，可证明BCO是等腰三角形【详解】解：如图，连接 由题意得 ，为等边三角形，=60，AB与O相切于点B，ABO=90=90，=30，=15，A=15AOB=90-A=75，=75，BC=BO=2故选B【点睛】本题考查圆中切线的性质与旋转，熟练掌握圆与切线的性质与旋转的性质是解题关键3如图，在中，将绕点C逆时针方向旋转得到，若点恰好在边上，则点与点B之间的距离为（）ABCD12【答案】B【分析】根据三角形内角和定理得，即可得，根据勾股定理可得，根据旋转的性质得，根据勾股定理即可得【详解】解：在中，则，绕点C逆时针方向旋转得到，,故选：B【点睛

3、】本题考查了勾股定理，旋转的性质，直角三角形的性质，解题的关键是掌握勾股定理和旋转的性质4如图，平行四边形ABCD中，E是边AD上且，F是边AB上的一个动点，将线段EF绕点E逆时针旋转60，得到EG，连接BG、CG，则的最小值是（）ABCD10【答案】A【分析】如图，取AB的中点N，连接EN，EC，GN，作 EHCD交CD的延长线于H利用全等三角形的性质证明GNB=60，点G的运动轨迹是射线NG，由 “SAS”可证EGNBGN，可得GB=GE，推出，求出EC即可解决问题【详解】解：如图，取AB的中点N，连接EN，EC，GN，作 EHCD交CD的延长线于H，四边形ABCD是菱形， AD=BD，A

4、E=2DE， AE=4，DE=2，点N是AB的中点， AN=NB=4，AE=AN，A=60， AEN是等边三角形，AEN=FEG=60， AEF=NEG，EA=EN，EF=EG，AEFNEG（SAS)， ENG=A=60， ANE=60，GNB=180-60-60=60，点G的运动轨迹是射线NG， BN=EN，BNG=ENG=60，NG=NG， EGNBGN（SAS)，GB=GE， GB+GC=GE+GCEC， 在RtDEH中，H=90，DE=2，EDH=60， DH=1，EH=，在RtECH中，EC=，GB+GC，GB+GC的最小值为故选：A【点睛】本题考查旋转变换，轨迹，菱形的性质，解直角

5、三角形，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，学会用转化的思想思考问题，属于中考常考题型5如图，四边形是菱形，且，为对角线（不含点）上任意一点，将绕点逆时针旋转得到，当取最小值时的长（）AB3C1D2【答案】D【分析】根据“两点之间线段最短”，当E,F,G,C共线时，AG+BG+CG的值最小，即等于EC的长【详解】解：如图：将ABG绕点B逆时针旋转60得到EBF，BE=AB=BC，BF=BG，EF=AG，BFG是等边三角形，BF=BG=FG，AG+BG+CG=EF+FG+CG，根据“两点之间线段最短”，当E,F,G,C共线时，AG+BG+CG的值

6、最小，即等于EC的长，过E点作EHBC交CB的延长线于H，如上图所示：EBH=60，EH=3，EC=2EH=6，CBE=120，BEF=30，EBF=ABG=30，,故选：D【点睛】本题考查了旋转的性质，菱形的性质，等边三角形的性质，轴对称最短路线问题，正确的作出辅助线是解题的关键6如图，在ABC中，AB=2，BC=3.6，B=60，将ABC绕点A顺时针旋转度得到ADE，当点B的对应点D恰好落在BC边上时，则CD的长为（）A1.6B1.8C2D2.6【答案】A【分析】由已知可以得到BD的长度，然后可得CD的长度【详解】解：由旋转的性质可得：AD=AB，B=60，ADB是等边三角形，BD=AB=

7、2，CD=BC-BD=3.6-2=1.6，故选：A【点睛】本题考查旋转与等边三角形的综合应用，熟练掌握旋转的性质、等边三角形的判定和性质是解题关键7如图，在中，D为内一点，连接BD，将绕点A按逆时针方向旋转，使AB与AC重合，点D的对应点为点E，连接DE，DE交AC于点F，则CF的长为（）ABCD【答案】A【分析】过点A作AGDE于G，根据旋转的性质得CAE=BAD=15，AE=AD=6，DAE=BAC=90，从而得ADE是等腰直角三角形，即可求得AED=45，DE=，从而得出AFG=CAE+AED=15+45=60，再因为AGDE，根据等腰直角三角形的性质得到GAF=30，AG=GE=，然后

8、在RtAGF中，由勾股定理，得，从而求得AF=，即可由CF=AC-AF求解【详解】解：如图，过点A作AGDE于G，由旋转可得：CAE=BAD=15，AE=AD=6，DAE=BAC=90，ADE是等腰直角三角形，AED=45，DE=，AFG=CAE+AED=15+45=60，AGDE，DG=GE，GAF=30，AG=GE=，FG=，在RtAGF中，由勾股定理，得，即，解得：AF=,CF=AC-AF=，故选：A【点睛】本题考查旋转的性质，等腰直角三角形的判定与性质，直角三角形的性质，勾股定理，三角形外角的性质，熟练掌握旋转的性质、等腰直角三角形的判定与性质、直角三角形的性质、勾股定理是解题的关键8

9、如图，在中，O为AC的中点，M为BC边上一动点，将绕点A逆时针旋转角得到，点M的对应点为，连接，在旋转过程中，线段的长度的最小值是（）A1B1.5C2D3【答案】B【分析】如图：由题意知当旋转到点在AC的延长线上且AC与 垂直时， 的长度最小；旋转的性质可得，再根据直角三角形的性质可求得，由中点的定义可求得OA,最后计算即可【详解】解：由题意知当旋转到点在AC的延长线上且AC与 垂直时，的长度最小；将绕点A逆时针旋转角AC，O为AC的中点AO=3.5故选B【点睛】本题主要考查了旋转的性质和直角三角形的性质，掌握30所对的直角边是斜边的一半9如图，等边ABC的边长为6，点D在边AB上，BD=2，

10、线段CD绕D顺时针旋转60得到线段DE，连接DE交AC于点F，连接AE，下列结论：四边形ADCE面积为9；ADE外接圆的半径为；AFFC=27；其中正确的是()ABCD【答案】A【分析】如图1，在BC上取一点M，使得BM=2，连接DM，分别过D、A作，垂足为H、M，由ABC的边长为6的等边三角形，得，进而证明BDM的边长为2的等边三角形，CDE的边长为的等边三角形，再证明，得到，于是有S四边形ADCE=S梯形ABCE-，由，得ADE外接圆的半径为，证明，判断正确，从而得出结论【详解】解：如图1，在BC上取一点M，使得BM=2，连接DM，分别过D、A作，垂足为H、M，ABC的边长为6的等边三角形

11、， BD=2，BM=2，BDM的边长为2的等边三角形， ， ，线段CD绕D顺时针旋转60得到线段DE，CDE的边长为的等边三角形，S四边形ADCE=S梯形ABCE-，因此正确；，ADE外接圆的直径为，ADE外接圆的半径为，因此正确；，即，AFFC=27，因此正确；故应选A【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质及判定、全等三角形的性质及判定、相似三角形的性质及判定、图形的旋转以及圆等知识，构造辅助线证明三角形全等和三角形相似是解题的关键10如图，中，且，D为外一点，连接，过D作交于点E，F为上一点且，连接，将线段绕点C逆时针旋转90到线段，连接分别交、于点M、N，连接、下列结论（）：；：若，则四

12、边形面积为其中正确的个数为（）A2 个B3 个C4 个D5 个【答案】C【分析】先证明，再证明，得到对应边相等，对应角相等，依次得出正确和错误，由等腰直角三角形的性质和勾股定理，得出正确，由三角形的三边关系，可以得出正确，利用勾股定理逆定理和三角形面积公式即可判定正确【详解】如图，连接，根据旋转有：，又,，在四边形中，又，故正确；在中，故正确；，即，故正确；在等腰和等腰中，故错误；若，即，是直角三角形，故正确；即正确的有4个，故选：C【点睛】本题综合考查了全等三角形的判定与性质、勾股定理及其逆定理、等腰直角三角形等内容，解决本题的关键是能正确分析图形中的相等关系，能在相等的边和角中进行转化，能

13、构造直角三角形进行求解等二、填空题11如图，在中，将绕的中点旋转得，连接，则的最大值为_【答案】#【分析】如图所示，在旋转的过程中，点A的对应点E始终在以点D为圆心，DA为半径的圆上；延长DB交D于点M，类比于“直径是圆中最长的弦”，则CM的长就是CE的最大值，为此求出CM的长即可【详解】解：如图所示，连接DA，以点D为圆心，DA为半径画圆，在旋转的过程中，点A的对应点E始终在D上，延长DB交D于点M，类比于“直径是圆中最长的弦”，则CM的长就是CE的最大值D是BC的中点，在中，CE的最大值是故答案为：【点睛】本题主要考查了旋转的性质、圆的性质、勾股定理、求线段的最值等知识点，熟练掌握旋转和圆

14、的有关性质是解题的关键12如图，在中，将绕点按逆时针方向旋转得到连接、，直线、交于点，连接（1）与的等量关系是：_；（2）在旋转过程中，线段的最大值是_【答案】 【分析】（1）由旋转可知：，可证，即得，；（2）取的中点，连接，设，交于点，由（1）知，得，可得，由是的中点，有，故当，共线时，最大为【详解】解：（1），理由如下：由旋转可知：，；故答案为：；（2）取的中点，连接，设，交于点，如图：由（1）知，是的中点，当，共线时，最大为，故答案为：【点睛】本题考查了旋转的性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质，解决本题的关键是掌握旋转的性质13如图，长方形中，为上一点，且为边上的一个动点，连接，将绕

15、着点顺时针旋转到的位置，连接和，则的最小值为_【答案】【分析】如图，将线段BE绕点E顺时针旋转得到线段，连接交于首先证明，推出点的在射线上运动，推出当时，的值最小【详解】解：如图，将线段BE绕点E顺时针旋转得到线段，连接交于四边形是矩形，点的在射线上运动，当时，的值最小，四边形是矩形，的最小值为：【点睛】本题考查旋转的性质，矩形的性质，全等三角形的判定和性质，垂线段最短等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考填空题中的压轴题14如图，在正方形中，是的中点，点是正方形内一个动点，且，连接，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接，则线段长的最小值为_【答案】#【分析】连

16、接，将绕点逆时针旋转得，连接，作于，利用证明，得，再说明，得，求出的长，再利用三角形三边关系可得答案【详解】解：连接，将绕点逆时针旋转得，连接，作于，的最小值为，故答案为：【点睛】本题主要考查了正方形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，三角形三边关系等知识，作辅助线构造全等三角形是解题的关键三、解答题15在ABC 与EDC 中，ACB=ECD=60，ABC=EDC，EDC可以绕点 C 旋转，连接 AE，BD(1)如图 1若 BC=3DC，直接写出线段 BD 与线段 AE 的数量关系；求直线 BD 与直线 AE 所夹锐角的度数；(2)如图 2，BC=AC=3，当四边形 ADCE

17、 是平行四边形时，直接写出线段 DE 的长【答案】(1)BD=3AE，直线BD与AE所夹锐角为60(2)【分析】（1）通过ABCEDC证明AECBDC即可，延长AE与BD交于点F，通过（1）中的相似即可得出结果（2）连接AD，AE，通过（1）中的相似可以证明四边形ADCE为菱形，进而得出结论（1）解：BD=3AE在ABC和EDC中 ABCEDCDCE=BCA， DCE-BCE=ACB-BCEBCD=ACE. 在AEC和BDC中 AECBDC BD=3AE夹角为60如图，延长AE与BD交于点FACB=60CBA+CAB=120由（1）中AECBDC可得EAC=DBCDBC+CBA+BAE=120

18、在AFB中AFB=60直线BD与AE所夹锐角为60（2）解：如图，连接AD，AE，ACB=60，BC=AC，ABC是等边三角形由（1）可得ABCEDCDEC为等边三角形，DC=EC四边形ADCE是平行四边形平行四边形ADCE是菱形AC为菱形ADCE对角线 【点睛】本题主要考查旋转的性质，涉及三角形相似的证明，菱形的证明，能够熟练证明相似是解题关键16（1）如图1，在四边形中，点E是边上一点，连接、判断的形状，并说明理由；（2）如图2，在平面直角坐标系中，已知点，点C是x轴上的动点，线段绕着点C按顺时针方向旋转90至线段，连接、，求B点的运动轨迹解析式的最小值是 【答案】（1）见详解（2）；【分

19、析】（1）根据已知条件证得，即可证得为等腰直角三角形；（2）根据（1）可知，设B点坐标为，C点坐标为，可得，即点B的运动轨迹解析式为：；作点O关于直线的对称点，连接，交直线与点，此时A、三点共线时，值最小，求得坐标为，根据勾股定理即可求得最小值【详解】（1）为等腰直角三角形，理由如下，在与中，为等腰直角三角形；（2）作轴于点D，如图所示，由（1）得，设B点坐标为，C点坐标为，点B的运动轨迹解析式为：；如图所示，作点O关于直线y=x-1的对称点，连接，交直线与点，此时，,即A、三点共线时，值最小，直线垂直平分，坐标为，即：的最小值为【点睛】本题主要考查的是一次函数与全等三角形的综合，主要是数量掌

20、握“一线三垂直”模型以及“将军饮马”模型17如图1，在等腰三角形中，连接，点、分别为、的中点.(1)当时，观察猜想：图1中，点、分别在边、上，线段、的数量关系是_，的大小为_；探究证明：把绕点顺时针方向旋转到如图2所示的位置，连接、，判断的形状，并说明理由；(2)拓展延伸：当时，时，把绕点在平面内自由旋转，如图3，请求出面积的最大值.【答案】(1)MN=NP；是等边三角形，理由见解析(2)32【分析】（1）根据点分别为的中点，可得MNBD，NPCE ，根据三角形外角和定理，等量代换求出先求出，得出，根据MNBD，NPCE ，和三角形外角和定理，可知MN=PN，再等量代换求出，即可求解（3）同理

21、可得是等腰直角三角形，根据，可知BD最大值，继而求出面积的最大值（1）由题意知：AB=AC，AD=AE，且点分别为的中点，BD=CE，MNBD，NPCE，MN=BD，NP=ECMN=NP又MNBD，NPCE，A=，AB=AC，MNE=DBE，NPB=C，ABC=C=根据三角形外角和定理，得ENP=NBP+NPBMNP=MNE+ENP，ENP=NBP+NPB，NPB=C，MNE=DBE，MNP=DBE+NBP+C=ABC+C =是等边三角形理由如下：如图，由旋转可得在ABD和ACE中点分别为的中点，是的中位线，且同理可证且在中MNP=，MN=PN是等边三角形（2）当时，同理可得，MN=PN ，则

22、是等腰直角三角形根据题意得:，时，即，从而，当共线时，最大为，的最大面积为【点睛】本题主要考查了三角形中点的性质、三角形相似的判定定理、三角形外角和定理以及图形旋转的相关知识；正确掌握三角形相似的判定定理、三角形外角和定理以及图形旋转的相关知识是解题的关键18如图，正方形ABCD中，绕点A顺时针旋转，它的两边分别交BC、DC（或它们的延长线）于点M、N(1)如图1，求证：；(2)当，时，求的面积；(3)当绕点A旋转到如图2位置时，线段BM、DN和MN之间有怎样的数量关系？请写出你的猜想并证明【答案】(1)见解析(2)6(3)，证明见解析【分析】（1）将绕点逆时针旋转 得到，证明，即可得证；（2

23、）利用全等得出，用正方形的面积减去即可求出的面积；（3）将绕点逆时针旋转 得到，证明，即可得证（1）解：如图，将绕点逆时针旋转 得到，则：， 四边形为正方形， ，又，（SAS），；（2）解：四边形为正方形，；（3）解：，理由如下：如图，将绕点逆时针旋转 得到，连接，则：， ，又，（SAS），【点睛】本题考查旋转的性质，全等三角形的判定和性质综合应用熟练掌握旋转的性质，正方形的性质，利用旋转构造全等三角形是解题的关键19如图1，已知是等边三角形，点E在线段AB上，点D在直线BC上，且EDEC，将绕点C顺时针旋转60至，连接EF(1)证明：ABDBAF(2)如图2，如果点E在线段AB的延长线上，其

24、它条件不变，线段AB，DB，AF之间又有怎样的数量关系？请说明理由【答案】(1)证明见解析(2)ABBDAF；理由见解析【分析】（1）由绕点C顺时针旋转60至，可得是等边三角形，即EDEF，由是等边三角形，可得EDBAEF，利用三角形内角和及角度转化可得EDBAEF，故可证，得到DBAE，BEAF，而ABAEBE，故ABDBAF；（2）由绕点C顺时针旋转60至，可得是等边三角形，即EDEF，由是等边三角形，可得DBEEAF，根据EDEC，可得AEFEDC，故可证，得到DBAE，BEAF，而ABAEBE，故ABBDAF（1）证明：绕点C顺时针旋转60至，CECF，ECF60，EBCCAF60，是

25、等边三角形，EFEC，又EDEC，EDEF，是等边三角形，BACCBA60，EAFBACCAF120，DBE=18060120，EAFDBE，AEF180FECBEC120BEC，BCE180ABCBEC，AEFBCE，EDEC，BCEEDB，EDBAEF，在和中，DBAE，BEAF，ABAEBE，ABDBAF；（2）ABDBAF，理由如下：绕点C顺时针旋转60至ACF，ECF60，ECCF，是等边三角形，EFEC，又EDEC，EDEF，是等边三角形，ABC60，CBECAF120，BAC60，EAFCAFBAC60，DBEEAF；EDEC，ECDEDC，FECAEFAEC60ABCAECEC

26、D，AEFECD，AEFEDC，在和中，AFBE，AEBD，ABAEBE，ABBDAF【点睛】本题考查等边三角形中的旋转变换，涉及全等三角形的性质及判定，解题的关键是掌握旋转的性质，找到并证明三角形全等20（1）特殊情景：如图（1），在四边形中，以点A为顶点作一个角，角的两边分别交，于点E，F，且，连接，若，探究：线段之间的数量关系，并说明理由（2）类比猜想：类比特殊情景，在上述（1）条件下，把“”改成一般情况“”，如图（2），小明猜想：线段之间的数量关系是否仍然成立？若成立，请你证明结论；若不成立，请你写出成立时的取值范围（3）解决问题：如图（3），在中，点D，E均在边上，且，若，计算的长度

27、【答案】（1），理由见解析；（2）成立，证明见解析；（3）【分析】（1）将绕点A顺时针旋转，得到，据此知证得，从而得出答案；（2）将绕点A顺时针旋转得到，知，证得；（3）将绕点A逆时针旋转90，得到，连接据此知，由知，即，从而得易证得，根据可得答案【详解】解：（1），理由如下：如图，将绕点A顺时针旋转，得到，四边形中， ，即点F，D，G共线由旋转可得，又，；（2）成立；证明：设，则，如图，将绕点A顺时针旋转得到，点C，D，H在同一直线上，又，；（3）如图，将绕点A逆时针旋转，得到，连接，在中，即，即，解得【点睛】本题是四边形的综合问题，考查旋转变换的性质，勾股定理，正方形的性质，全等三角形的判

28、定与性质，直角三角形的有关性质等熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键21在和中，(1)连接，点分别为的中点，连接，如图1，当三点在一条直线上时，与数量关系与位置关系是_如图2，当等腰绕点顺时针旋转时，中的结论还成立吗？如果成立，请证明你的结论；如果不成立，请说明理由(2)如图3，当等腰绕点顺时针旋转时，连接，点分别为的中点，连接，若，则的最大值是_【答案】(1)；成立，理由见解析(2)9【分析】（1）延长交于，连接，证明，得，从而 是等腰直角三角形，可得；过作交延长线于，连接，证明，得，可得，从而，即得，可求出是等腰直角三角形，是等腰直角三角形，故；（2）连接并延长至，使，连接，证明，得

29、中，即知，故当等腰绕点顺时针旋转至共线时，最大，最大值为（1）延长交于，连接，如图：， ，是中点，在和中 ， ，即，而，是等腰直角三角形，是等腰直角三角形，为中点，；故答案为：；结论还成立，证明如下：过作交延长线于，连接，如图：，是中点，又，而，即， 是等腰直角三角形，是等腰直角三角形，是中点，；（2）连接并延长至，使，连接，如图：是中点，是中点，中，即，当等腰绕点E顺时针旋转至共线（不能构成）时，如图：此时最大，最大值为，故答案为：9【点睛】本题考查旋转变换中的全等三角形，涉及等腰直角三角形的性质与判定，全等三角形的判定与性质等知识，解题的关键是作辅助线，构造全等三角形22在RtABC中，A

30、CBC，ACB90，点D在BC上方，连接CD，将CD绕点D顺时针旋转90到ED(1)如图1，点D在AC左侧且在点A上方，连接AE，CE，若ACD15，AB2，CE1+3，求AE的长(2)如图2，点D在AC左侧且在点A上方，连接BE交CD于点M，F为BE上一点，连接DF，过点F作FGAC交BC延长线于点G，连接GM，EG，AD若EDF+EBGDEB，GMBM求证：ADEF(3)如图3，已知BC3，CD6，连接BE交CD于点M，连接CE，将CEM沿直线EM翻折至ABC所在平面内，得CEM，当AM+CM最小时，求C到BC的距离【答案】(1)(2)见解析(3)【分析】（1）解ABC得AC的值，解斜三角

31、形ACE：已知AC，CE及其夹角ACE60，进而求得结果；（2）证得点M是BF的中点，于是作FNBC，从而可证FMNBMC，从而可得BCFN，BCMFNM，进而证得DFN，从而DFAC，进一步证明DEFCDA，进而命题得证；（3）可推出点A、M、C共线时，AM+M最小，根据BCMEDM，列出比例式求得CM，进而求得C，再根据BCMFC，进一步求得结果（1）解：如图1，在ACB中，AB2，B45，AC2sin452，在ACF中，ACFACD+DCE15+4560，AC2，CF2cos6021，AF2sin60，EFCECF3，在AEF中，AF，EF3，AE；（2）证明：如图2，作FNBC交DC于

32、N，NFMMBC，设EDF，EBG，则DEFEDF+EBG+，在EDM和BCM中，DMECME，DEF+EDMEBG+BCM，（+）+90+（ACD+ACB）+（ACD+90），ACD，ACDEDF，FGAC，ACD90，BGFACB90，EBG+BFGFGM+MGB，MGMB，MGBEBG，GFMGFM，FMMG，FMBM，在FMN和BMC中，FMNBMC（ASA），BCFN，FNMBCM90+，FND180FNM90，FDNEDCEDF90，FDNFND，FNDF，DFBC，BCAC，DFAC，在DEF和CDA中，DEFCDA（SAS），ADEF；（3）解：如图，连接C，作FBC于F，BE

33、垂直平分CAM+MAM+MCAC，当点A，M，C共线时，（AM+M）最小AC，DACB90，BMCDME，BCMEDM，DM2CM，CDAD6，CM2，在BCM中，BM，由得，CG23，CG，C2CG，BCM90，BCG+MCG90，CGM90，MCG+BMC90，BMCMCG，CFBCM90，BCMFC，即：到BC的距离是【点睛】本题考查了解直角三角形、三角形全等的判定和性质、三角形相似的判定和性质，解题的关键是掌握各知识点，并能结合图形熟练应用23如图，等边ABC与等腰三角形EDC有公共顶点C，其中EDC120，ABCE2，连接BE，P为BE的中点，连接PD、AD(1)为了研究线段AD与P

34、D的数量关系，将图1中的EDC绕点C旋转一个适当的角度，使CE与CA重合，如图2，请直接写出AD与PD的数量关系；(2)如图1，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由；(3)如图3，若ACD45，求PAD的面积【答案】(1)AD2PD(2)成立，证明见解析(3)【分析】（1）利用直角三角形30度角的性质即可解决问题（2）结论成立如图1中，延长ED到F，使得DFDE，连接BF，CF利用三角形的中位线定理证明BF2PD，再证明ADBF即可解决问题（3）如图1中，延长BF交AD于G，由（2）得到FBCDAC，首先证明ADP60，解直角三角形求出即可解决问题（1）解：如图

35、2中，DCDA，CDA120，PCA30，ABC是等边三角形，CAP60，CPA90，由题意：在RtAPD中，APD90，PAD30，AD2PD（2）结论成立理由：如图1中，延长ED到F，使得DFDE，连接BF，CFBPEP，DEDF，BF2PD，BFPD，EDC120，FDC60，DFDEDC，DFC是等边三角形，CBCA，BCADCF60，BCFACD，CFCD，BCFACD（SAS），BFAD，AD2PD（3）如图1中，延长BF交AD于G，由（2）得到FBCDAC，AGBACB60，DPBG，ADPAGB60，如图3中，作DMAC于M，PNAD于N设DNa，则PD2a，AD2PD4a，P

36、Na，可得PNAD，在等腰CDE中，CE2，CDE120，过点作，则，CDDE2，ACD45，CMDM2AM，在RtADM中， 在RtPAD中，【点睛】本题考查了等边三角形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题24【问题提出】如图，在中，若，求边上的中线的取值范围【问题解决】解决此问题可以用如下方法：延长到点E，使，再连结（或将绕着点D逆时针旋转得到），把、集中在中，利用三角形三边的关系即可判断由此得出中线的取值范围是_【应用】如图，在中，D为边的中点、已知求的长【拓展】如图，在中，点D是边的中点，点E在边上，过点

37、D作交边于点F，连结已知，则的长为_【答案】问题解决；应用；拓展【分析】问题解决证明得，再根据三角形三边关系求得的取值范围，进而得结论；应用延长到，使得，连接，证明得，再证明，由勾股定理求得，进而得；拓展延长到，使得，连接，证明，得，再证明，由勾股定理求得，由线段垂直平分线性质得【详解】解：问题解决在和中，故答案为：；应用延长到，使得，连接，如图，在和中，；拓展延长到，使得，连接，如图，在和中，故答案为：【点睛】本题考查几何变换综合题、三角形的中线、勾股定理、矩形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，体会出现中点的辅助线的添加方法25（1）如图1，在OAB

38、和OCD中，OAOB，OCOD，AOBCOD39，连接AC，BD交于点M填空：的值为 ，AMB的度数为 ；（2）如图2，在OAB和OCD中，AOBCOD90，OBAODC60，连接AC交BD的延长线于点M请判断的值，并说明理由；（3）在（2）的条件下，将OCD绕点O在平面内旋转，AC，BD所在直线交于点M，若OD1，OB；点Q为CD的中点，则在旋转的过程中，AQ的最大值为 【答案】（1）1，39；（2），理由见解析；（3）【分析】（1）根据已知条件证明COADOB，即可证明AC=BD；根据COADOB可得CAO=DBO，根据已知条件可得OAB+ABO=141，然后在AMB中，根据等角的转换即可

39、得到答案；（2）根据已知条件证明AOCBOD，即可求出；（3）找出Q的运动轨迹是以点O为圆心的圆上，根据一箭穿心模型即可求出AQ的最大值【详解】解：（1）如图1，AOB=COD=40，COA=DOB，OC=OD，OA=OB，COADOB（SAS），AC=BD，=1，COADOB，CAO=DBO，AOB=39，OAB+ABO=141，在AMB中，AMB=180（CAO+OAB+ABD）=180（DBO+OAB+ABD）=180141=39，（2）如图2，理由是：在RtCOD中，DCO=30，DOC=90，同理得：，AOB=COD=90，AOC=BOD，AOCBOD，；（3）解：连接OQ，Q为CD

40、的中点，COD为直角三角形，OQ= ，又 ，OD=1，CD=2，OQ=1，点Q在以O为圆心，1为半径的圆上，当A,O,Q三点共线时，AQ最大，BOA为直角三角形，OB=，【点睛】本题考查全等三角形和相似三角形的判定和性质的综合应用，本题涉及两个常见的几何模型：手拉手全等模型，手拉手相似模型，以及利用隐形圆求最值本题的难度较大，是中考题中常见的几何综合题26已知ABC=90，BA=BC，在同一平面内将等腰直角ABC绕顶点A逆时针旋转（旋转角小于180）得ADE(1)若AE/BD如图（1），求旋转角BAD度数；(2)当旋转角为60时，延长ED与BC交于点F，如图（2）求证：AC平分DAF(3)点P

41、是边BC上动点，将AP绕点A逆时针旋转15到AG，如图（3）示例，设AB=BC=，求CG长度最小值（用含式子表示）【答案】(1)(2)证明过程见详解(3)【分析】（1）由AE/BD，推出，得 为等腰直角三角形，即可得到答案（2）由旋转60可推出，再证ABF ADF，再推角，即可证出（3）将AC绕点A逆时针旋转到AH，再证，可知G在GM上动，由点到直线垂线段最短可知，CG最小值为CF长（1）解：ABC=90，BA=BC由旋转可知AB=AD， 又AE/BD 为等腰直角三角形（2）证：由旋转可知 又 在RtABF和RtADF中 ABFADF（HL） =AC平分DAF（3）解：如图，将AC绕点A逆时针旋转到AH，连接GH过C作GH垂线，垂足为F由旋转，易证 过A作HG延长线垂线，垂足为M可得三角形AMH为等腰直角三角形AB=aAH=AC= AM=aAK= ， CG长度最小值为【点睛】本题考查了图像旋转与三角形全等综合，还考查了瓜豆原理瓜豆原理总结：两动点、两定值两定值：主动点与定点距离和从动点与定点距离比值为定值；主动点与从动点分别和定点组成的线段夹角为定值满足两定值时，两动点轨迹相同