专题3 倍数和因数-小升初数学复习精编讲义（知识清单 经典例题 强化训练 名校冲刺）.docx

1、小升初数学名校冲刺知识讲解与训练专项3 倍数和因数知识清单1.整除整数a除以整数b（b0），除得的商是整数而没有余数，我们就说a能被b整除（或b能整除a）。需要注意的是，整除和除尽的相同点是除的结果都没有余数；不同点是整除是一个自然数（0除外）除以另一个自然数（0除外），除尽是一个数除以另一个数。“除尽”包括“整除”，如图所示：除尽整除2.因数、倍数如果数a能被数b整除，我们就说数a是数b的倍数，数b是数a的因数。因数和倍数是互相依存的。3.奇数、偶数能被2整除的数叫偶数。如2，4，6不能被2整除的数叫奇数。如1，3，5，7，因为0能被2整除，所以0也是偶数。4.质数和合数一个数，如果只有1和

2、它本身两个因数，这个数叫做质数。一个数，如果除了1和它本身，还有别的因数，这个数叫做合数。1既不是质数，又不是合数。按因数的个数来分，自然数可分为三类：1（只有一个因数）、质数（只有两个因数）和合数（至少有3个因数）。每个合数都可以写成几个质数相乘的形式，这几个质数都叫做这个合数的质因数。5.最大公因数、最小公倍数几个数公有的因数，叫做这几个数的公因数。其中最大的一个，叫做这几个数的最大公因数。公因数只有1的两个数，叫做互质数。用短除法求几个数的最大公因数，一般先用这几个数的公有的质因数连续去除一直除到商是互质数为止，然后把所有的除数连乘起来。几个数公有的倍数，叫做这几个数的公倍数。其中最小的

3、一个，叫做这几个数的最小公倍数。用短除法求几个数的最小公倍数，先用这几个数公有的质因数去除（一般从最小的开始），一直除到所得的商是互质数为止，然后再把所有的除数和最后的所有商连乘起来。如果两个数是互质数，那么，这两个数的最大公因数是1，这两个数的最小公倍数是它们的乘积。如果两个数成倍数关系，那么，这两个数的最大公因数是其中一个较小的数，这两个数的最小公倍数是其中一个较大的数。6.能被 2，3，5整除的数的特性个位上是0，2，4，6，8的数，都能被2整除。个位上是0或者5的数，都能被5整除。一个数的各位上的数的和能被3整除，这个数就能被3整除。 一个数的各位上的数的和能被9整除，这个数就能被 9

4、整除。 一个数末两位上的数能被4或25整除，这个数就能被4或25整除。一个数末三位上的数能被8或125整除，这个数就能被8或125整除。经典例题例1 下面四个算式中表示整除的算式是（ ）。A.0.30.1=3 B.7510=7.5 C.1629=18 D.150.5=30【解析】根据数的整除概念，算式A、B、D不符合要求。只有算式C才符合整数除以整数，除得的商是整数而没有余数。所以应该选择C。【解答】C例2 12 和18的公约数有（ ）个。【解析】12的约数有：1、2、3、4、6、12；18的约数有：1、2、3、6、9、18；所以它们的公约数有1、2、3、6这四个数。【解答】4例3 判断：任何

5、一个非零自然数的约数至少有两个。（ ）【解析】除零以外，自然数分质数、合数和1三部分，其中质数的约数有1和这个质数本身两个，合数的约数有两个以上，而1的约数只有1个，所以说任何自然数的约数至少有两个的说法是错误的。【解答】例4 两个质数的和是39，这两个质数的积是（ ）。【解析】两个数的和是39，说明这两个数是一个奇数和一个偶数，同时两个数又都是质数，在偶数中只有2是质数，所以另一个数是39-2=37，那么这两个数的积是372=74。【解答】74例5 一个整数除以7，商是10，余数可能是（ ）。A.6 B.6.5 C.8 D.10【解析】根据整数中带余数除法的规定：如果两个整数相除，余数一定是

6、整数并且小于除数。所以应该选A。【解答】A例6 四个连续奇数的最小公倍数是315，求这四个数中最大的一个数是多少？【解析】因为315是四个连续奇数的最小公倍数，所以315与这四个奇数相乘的积有关。把315分解质因数：315=3357=579，5、7、9是三个连续的奇数，同时3和9都有公约数3，所以这四个连续奇数是3、5、7、9，其中最大的一个数是9。【解答】这四个数中最大的一个数是9。例7 两个数的最大公约数是4，最小公倍数是180，其中一个数是36，求另一个数是多少？【解析】设另一个数是A。 4 36 A9 a因为4是这两个数的最大公约数，所以9与a互质；从180=49a，得到a=5；所以a

7、=54=20；另一个数是20。【解答】另一个数是20。例8 有一个四位数a58b能被45整除，这个数是多少？【解析】能被45整除的数必须能被5和9整除，先考虑被5整除，根据被5整除的特征得到b是0或5。那么，这个四位数可以断定是a580或a585。再考虑能被9整除的特征，各数位上的和能被9整除，那么这个数就能被9整除。a+5+8+0的和要能被9整除，a只能是5；a+5+8+5的和要能被9整除，a只能是9。所以，所求的数是5580或9585。【解答】这个数是5580或9585。例9 一个三位数是3的倍数，它能被7整除，同时2又是它的约数，这个数最小是（ ）。【解析】从题目中得知，这个数是3的倍数

8、，它能被7整除（也就是说是7的倍数），2是它的约数（也就是说是2的倍数），实际这是一道求2、3、7的公倍数的题目。2，3，7=42.又因为是求最小的三位数，所以423=126，这个数是126。【解答】这个数是126。例10 如果六位数63145能被33整除，方框里应该填几。【解析】因为33=311，所以这个六位数既能被3整除，又能被11整除。一个数各数位上的数字的和能被3整除，这个数就能被3整除；一个数奇数位上的数字和与偶数位上的数字和的差是0或是11的倍数，这个数就能被11整除。已知这个六位数的五位的和是19，那么第一位数字如果填2、5、8可以被3整除。奇数位上的数字和是6+1+5=12，那

9、么偶数位上的数字和也应该是12。12-3-4=5，所以方框内应该填5。【解答】方框内应该填5。例11 一个数除以3余1，除以5余3，除以7余5，这个数最小是多少？【解析】如果把这个数加上2，它除以3、5、7都恰好能整除，它一定是3、5、7的最小公倍数，可以先求出3、5、7的最小公倍数，然后减去2。【解答】3，5，7-2=103 这个数最小是103。例12 一个被2、3、5除都余1，被7除能整除的最小数，各位上的数字之和是多少？【解析】2，3，5=30，30+1=31（不能被7整除），302+1=61（不能被7整除），303+1=91，91能被7整除，所以这个最小数是91，各位上的数字和是9+1

10、=10。【解答】各位上的数字和是10。强化训练一、填空题。1.284=7中，可以说（ ）能被（ ）整除，（ ）是（ ）的倍数，（ ）是（ ）的约数。2.一个既是奇数又是合数的一位数是（ ）。3.最小的自然数和最小的合数的和是（ ）。4.与6互质的最小合数是（ ）。5.既能被2整除，又是3的倍数，还有约数5的最大三位数是（ ）。6.12.18.24 的最大公约数是（ ），最小公倍数是（ ）。7.18和27的最大公约数是（ ）， 最小公倍数是（ ）。8.一个两位数，能同时被3和5整除，如果是奇数，最大是（ ）， 如果是偶数，最小是（ ）。9.甲数是乙数的3倍，它们的最大公约数是（ ）， 最小公倍数

11、是（ ）。10.在小于20的整数中，不是奇数的质数是（ ），不是偶数的合数是（ ）和（ ）。11.在一位整数中，两个互质的合数是（ ）和（ ）或（ ）和（ ）。12.三个连续的自然数的最小公倍数是60，这三个连续自然数是（ ）、（ ）、（ ）或（ ）、（ ）、（ ）。13.把56分解成两个互质数的乘积是（ ）（ ）。14.12的约数有（ ）个。15.在45的约数中，既是奇数又是合数的有（ ）。16.有3个不同约数的自然数中，最小的一个是（ ）。17.同时被3和5整除并且各位上的数都是质数的最大的三位数是（ ）。18.两个质数的积是74，那么这两个质数的和是（ ）。19.能被3整除的四位数中最小

12、的偶数是（ ）， 能同时被2，3，5整除的最大的三位数是（ ）。20.70的质因数是（ ）。二、判断题（正确的在括号里打“”，错误的在括号里打“”）1.整除一定能除尽，除尽不一定能整除。（ ）2.两个数相除，商一定小于被除数。（ ）3.60.5=12，6是0.5的倍数，0.5是6的约数。（ ）4.2是所有偶数中唯一的质数。（ ）5.除了2之外，所有的质数都是奇数。（ ）6.任何非零自然数，不是合数，就是质数。（ ）7.两个质数一定是互质数，两个合数一定不是互质数。（ ）8.50.1=50是整除。（ ）9.因为729=8，所以72是倍数，9是约数。（ ）10.所有的奇数都是质数。（ ）11.所有

13、的合数不一定是偶数。（ ）12.任何一个质数只有两个约数。（ ）13.一个数的倍数一定比这个数的约数大。（ ）14.合数至少有三个约数。（ ）15.在1到20的自然数中，有8个质数，12个合数。（ ）16.任意两个质数的和都能被2整除。（ ）17.两个质数的乘积一定是合数。（ ）18.把60分解质因数可以写成60=1235。（ ）19.除零以外，相邻的两个自然数一定是互质数。（ ）20.在自然数中，所有的偶数都是合数。（ ）21.能同时被2和3整除的数一定是6的倍数。（ ）名校冲刺一、选择题（将正确答案的序号填在括号里）1.如果ab=5，那么（ ）。A.a一定是b的倍数 B.a能被6整除 C.

14、a可能是b的倍数 D.b一定能整除a2.下面式子中属于整除的是（ ）。A.102.5=4 B.52=2.5 C.426=7 D.1.50.5=33.2和3都是（ ）。A.质数 B.质因数 C.互质数 D.合数4.54是6和9的（ ）。A.公约数 B.公倍数 C.最大公约数 D.最小公倍数5.不能被2整除的自然数是（ ）。A.合数 B.质数 C.偶数 D.奇数6.8是48和72的（ ）。A.质因数 B.公约数 C.最大公约数 D.最小公倍数7.已知a能整除13，那么a（ ）。A.是质数 B.一定是13 C.是所有整数 D.是1或138.100以内能同时被3和5整除的最大偶数是（ ）。A.95 B

15、.90 C.80 D.609.自然数114的所有质因数的和是（ ）。A.23 B.24 C.25 D.13910.要使四位数109能同时被2和3整除，方框里应填（ ）。A.0 B.2 C.4 D.611.两个数都是合数又是互质数，而且它们的最小公倍数是120，这两个数是（ ）。A.4和30 B.5和24 C.12和10 D.8和1512.两数的和是50，最大公约数是5，这两个数是（ ）。A.15和35 B.5和45 C.5和45或15和35 D.10和4013.a=2233，a有（ ）个约数。A.2 B.4 C.5 D.914.把24分解质因数是（ ）。A.24=46 B. 24=234 C.

16、24=2223 D.24=1222315.下面各数中能同时被2、3、5整除的数是（ ）。A.415 B.210 C.560 D.301016.一个整数除以11，商是10，余数可能是（ ）。A.9.5 B.10 C.11 D.1217.一个整数被10除，余数是4，这个数的3倍再被10除，余数是（ ）。A.5 B.4 C.3 D.218.a和b是互质数，它们的最小公倍数是（ ）。A. ab B. a C.b D.119.两个不同质数相乘的积的约数个数有（ ）个。A.2 B.3 C.4 D.无数20.在全部自然数范围内，三个连续的自然数中，合数个数最少的时候有（ ）个。A.0 B.1 C.2 D.3

17、21.若a是质数，b是合数，那么一定是合数的是（ ）。 A. a+（b+2）) B.（a+2）b C.（a+2）b22. a、b、c是三个不同的质数，d是合数，如果甲数=abd，乙数=abcd，那么下面说法中，错误的是（ ）。A.甲乙两数的最大公约数一定是abd的积B.乙数除以甲数的商一定是奇数C.甲乙两数的最小公倍数一定是abcd 的积二、文字题。1.一个能被11整除，首位数字是7，其余各位数字各不相同的最小六位数是多少？2.两个自然数的和是52，它们的最大公约数是4，最小公倍数是144，这两个数各是多少？3.甲数除以乙数，商是28，余数是1。如果甲数扩大4倍后除以乙数，商正好是114.求甲

18、数是多少？4.三个连续奇数，最大的一个比其他两个的和小 91，求这三个连续奇数分别是多少？5.两个数相除，商是285，余数是6，如果被除数、除数、商和余数相加，它们的和是2299。求被除数、除数各是多少？6.一个数减去3和5的最大公约数所得的差，能被12和15整除，求这个数是多少？参考答案强化训练一、1.28 4 28 4 4 282.93.44.355.9906.6 727.9 548.75 30 9.乙数 甲数10.2 9 1511.4 9 8 912.3 4 5 4 5 613.7 814.615.9 15 4516.417.73518.3919.1002 99020.2 5 7二、1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. 15. 16. 17. 18. 19. 20. 21.名校冲刺一、1.C 2.C 3.A 4.B 5.D 6.B 7.D 8.B 9.B 10.B 11.D 12.C 13.D 14.C 15.B 16.B 17.D 18.A 19.C 20.A 21.B 22.B二、1.各位数字各不相同的最小六位数是701239。2.这两个数是16 和36。3.甲数是57。4.这三个连续奇数分别是93、95、97。5.被除数是2001，除数是7。6.这个数是61。