专题3-1 二次函数中的10类定值、定点问题（原卷版）.docx

1、专题3-1 二次函数中的10类定值、定点问题二次函数背景下的定值与定点问题，解析法类似于高中，但并不超纲！因为解题方法比较特殊，同学们要专门学习和练习，才能在考场上应对自如，这些方法包括联立、转化等，对同学们的代数功底与几何功底都有较高的要求.知识点梳理一、定值问题二、定点问题题型一 面积定值2022山东淄博中考真题2023福建厦门三模题型二 线段长为定值2024届湖北天门市九年级月考2024届福建龙岩市统考期中2020西藏中考真题题型二 线段和定值2023广州市二中月考2022四川巴中中考真题2024届湖北黄石市九年级统考2023四川乐山统考二模2023海口华侨中学考模2023江苏徐州4月模

2、拟2022湖南张家界中考真题题型三 加权线段和定值2023四川广元中考真题2020四川德阳中考真题题型四 线段乘积为定值2023四川南充中考真题2024届武汉市东湖高新区统考2024届福建省福州屏东中学月考2024届福州市晋安区统考2023福建福州校考三模题型五 比值为定值2023年广西钦州市一模2023福建厦门一中模拟2023年福州市屏东中学中考模拟武汉中考真题题型六 横（纵）坐标定值2023湖北潜江、天门、仙桃、江汉油田中考真题2024届湖北潜江市初12校联考题型七 角度为定值2023成都武侯区西川中学三模四川乐山统考中考真题题型八 其它定值问题2023浙江湖州统考一模2024届福建省南平

3、市统考2023年湖北省武汉市新观察中考四调题型九 结合韦达定理求定点2023年湖北省武汉市外国语学校中考模拟2024届武汉市青山区九年级统考2024届武汉市新洲区12月统考2024届福建厦门市第九中学期中2023武汉光谷实验中学中考模拟2023广东省梅州市九年级下期中2024届福州市九校联盟期中2023年湖北省武汉市新观察中考四调题型十 已知定值求定点2024届武汉市洪山区九年级统考2024届湖北省武汉市新洲区九年级上期中2023年广州市天河外国语学校中考三模知识点梳理一、定值问题一般来说，二次函数求解几何线段代数式定值问题属于定量问题，方法采用: 1.参数计算法：即在图形运动中，选取其中的变

4、量(如线段长，点坐标)作为参数,将要求的定值用参数表示出，然后消去参数即得定值。 2.韦达定理法：当涉及到直线(一次函数图象或x轴)与二次函数交点时，先联立方程消去y之后整理得到一元二次方程，借助韦达定理可得到交点横坐标与参数的关系，可以将要求的定值代数式用交点横坐标的和或积表示，往往会刚好抵消掉参数，则得到定值。简单的引例1如下：若线段ABx2，线段PQx7，那么ABPQx2x79；即线段AB与线段PQ的和等于9，是一个定值 简单的引例2如下：求证不论m取任何实数，二次函数yx2（m1）xm（m2）的图象与x轴的两个交点之间的距离d为定值。通过令y0，可以求得方程的两个实数根分别为x1m，x

5、2m2，则两个交点之间的距离dx1x2|mm2|2，是一个定值二、定点问题函数的解析式中除自变量外，还有待定的系数，此时函数的图象会随着待定的系数的变化而变化。图象变化过程中，有时始终会经过某个固定的点，定点问题是一个难点。方法：使待定的系数k失去影响力【例】证明：无论k取何值，抛物线都经同一定点.第一步：先找出所有含k的项，再提公因式k第二步：令与k相乘的因式为0，此时k就不起作用了令，此时在一个函数中，知x可求y，这个坐标就是定点，故无论k取何值，函数都经过定点总结：因为当x取某个值时，使含k项全部抵消了，即k不起作用了!【例2】（2022山东日照真题）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线

6、y=-x2+2mx+3m，点A（3，0）证明：无论m为何值，抛物线必过定点D，并求出点D的坐标；【思路点拨】将抛物线的解析式变形为：y=x2+m（2x+3），进而根据2x+3=0，求得x的值【详解】证明：y=-x2+m（2x+3），当2x+3=0时，即时，无论m为何值，抛物线必过定点D，点D的坐标是【例3】（2022江苏连云港真题）已知二次函数，其中求证：二次函数的顶点在第三象限【思路点拨】先根据顶点坐标公式求出顶点坐标为，然后分别证明顶点坐标的横纵坐标都小于0即可；【详解】解：由抛物线顶点坐标公式得顶点坐标为，二次函数的顶点在第三象限题型一 面积定值2022山东淄博中考真题1 如图，抛物线y

7、x2+bx+c与x轴相交于A，B两点（点A在点B的左侧），顶点D（1，4）在直线l：yx+t上，动点P（m，n）在x轴上方的抛物线上(1)求这条抛物线对应的函数表达式；(2)设直线AP，BP与抛物线的对称轴分别相交于点E，F，请探索以A，F，B，G（G是点E关于x轴的对称点）为顶点的四边形面积是否随着P点的运动而发生变化，若不变，求出这个四边形的面积；若变化，说明理由2023福建厦门三模2 已知抛物线经过点(1)求抛物线的解析式及其顶点的坐标(2)将点向右平移2个单位，再向上平移2个单位得到点，若点为抛物线上的一个动点，则以线段为直径的圆与直线交于点，的面积是否为定值？若是，求出它的值；若不是

8、，请说明理由题型二 线段长为定值2024届湖北天门市九年级月考3 如图，已知抛物线的顶点为A，且经过点(1)求顶点A的坐标；(2)如图，将原抛物线沿射线方向进行平移得到新的抛物线，新抛物线与射线交于C，D两点，请问：在抛物线平移的过程中，线段的长度是否为定值？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由2024届福建龙岩市统考期中4 已知，抛物线的对称轴为直线，抛物线与轴的另一个交点为A，顶点为(1)求抛物线的解析式；(2)如图，设直线（k0）与抛物线交于两点，点关于直线的对称点为，直线与直线交于点，求证：的长为定值2020西藏中考真题5 在平面直角坐标系中，二次函数yx2+bx+c的图象与x轴交

9、于A(2，0)，B(4，0)两点，交y轴于点C，点P是第四象限内抛物线上的一个动点（1）求二次函数的解析式；（2）如图乙，过A，B，P三点作M，过点P作PEx轴，垂足为D，交M于点E点P在运动过程中线段DE的长是否变化，若有变化，求出DE的取值范围；若不变，求DE的长题型二 线段和定值2023广州市二中月考6 已知抛物线与x轴交于A、B两点，顶点为C，连接，点P在线段下方的抛物线上运动如图，直线，分别与y轴交于点E，F，当点P运动时，是否为定值？若是，试求出该定值；若不是，请说明理由2022四川巴中中考真题7 如图1，抛物线，交轴于A、B两点，交轴于点，为抛物线顶点，直线垂直于轴于点，当时，(

10、1)求抛物线的表达式；(2)点是线段上的动点（除、外），过点作轴的垂线交抛物线于点，如图2，直线，分别与抛物线对称轴交于、两点试问，是否为定值？如果是，请求出这个定值；如果不是，请说明理由2024届湖北黄石市九年级统考8 如图，抛物线过点，点，点，直线l为该二次函数图象的对称轴，交x轴于点E(1)求抛物线的解析式；(2)若点Q为x轴上方二次函数图象上一动点，过点Q作直线分别交直线l于点M，N，在点Q的运动过程中，的值是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由2023四川乐山统考二模9 如图，已知二次函数的图像与轴交于，两点，与 轴交于点，抛物线的顶点为，点是轴上方抛物线上的一个动点，过

11、作轴于，交直线于(1)求二次函数表达式及顶点的坐标；(2)设抛物线对称轴与轴交于点，连接交对称轴于，连接并延长交对称轴于，证明的值为定值，并求出这个定值2023海口华侨中学考模10 如图1，抛物线交x轴于点和点，交于y轴点C，F为抛抛物线顶点，点在抛物线上(1)求该抛物线所对应的函数解析式(2)直线EF垂直于x轴于点E，点P是线段BE上的动点（除B、E外）过点P作x轴的垂线交抛物线于点D，连接DA、DQ,如图2，直线AD，BD分别与抛物线对称轴交于M、N两点试问：是否为定值？如果是，请直接写出这个定值；如果不是，请说明理由2023江苏徐州4月模拟11 如图，已知抛物线经过点和点，其对称轴交x轴

12、于点H，点C是抛物线在直线上方的一个动点（不含A，B两点）(1)求a，m的值；(2)若直线、分别交该抛物线的对称轴于点E、F，试问是否为定值，若是，请求出该定值；若不是，请说明理由2022湖南张家界中考真题12 如图，已知抛物线的图像与轴交于，两点，与轴交于点，点为抛物线的顶点(1)求抛物线的函数表达式及点的坐标；(2)抛物线的对称轴与轴交于点，点是点关于点的对称点，点是轴下方抛物线图像上的动点若过点的直线与抛物线只有一个公共点，且分别与线段、相交于点、，求证：为定值题型三 加权线段和定值2023四川广元中考真题13 如图1，在平面直角坐标系中，已知二次函数的图象与x轴交于点，与轴交于点(1)

13、求抛物线的解析式；(2)如图，为第一象限内抛物线上一点，连接交轴于点，连接并延长交轴于点，在点运动过程中，是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，请说明理由2020四川德阳中考真题14 如图1，抛物线yax22ax3a（a0）与x轴交于点A，B与y轴交于点C连接AC，BC已知ABC的面积为2（1）求抛物线的解析式；（2）如图2，平行于y轴的直线交抛物线于点M，交x轴于点N （2，0）点D是抛物线上A，M之间的一动点，且点D不与A，M重合，连接DB交MN于点E连接AD并延长交MN于点F在点D运动过程中，3NE+NF是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，请说明理由题型四 线段乘积为定值2023四

14、川南充中考真题15 如图1，抛物线（）与轴交于，两点，与轴交于点(1)求抛物线的解析式；(2)如图2，抛物线顶点为D，对称轴与x轴交于点E，过点的直线（直线除外）与抛物线交于G，H两点，直线，分别交x轴于点M，N试探究是否为定值，若是，求出该定值；若不是，说明理由2024届武汉市东湖高新区统考16 如图1，抛物线与x轴于交，两点，交y轴于点C，连接，点D为上方抛物线上的一个动点，过点D作于点E(1)求抛物线的解析式；(2)如图2，将抛物线沿y轴翻折得到抛物线，抛物线的顶点为F，对称轴与x轴交于点G，过点的直线（直线除外）与抛物线交于J，I两点，直线分别交x轴于点M，N. 试探究是否为定值，若是

15、，求出该定值：若不是，说明理由2024届福建省福州屏东中学月考17 如图，在平面直角坐标系中，抛物线（其中），交轴于两点（点在点的左侧），交轴负半轴于点(1)求点的坐标；(2)如图，平面上一点，过点作任意一条直线交抛物线于两点，连接，分别交轴于两点，则与的积是否为定值？若是，求出此定值；若不是，请说明理由2024届福州市晋安区统考18 如图，在平面直角坐标系中，抛物线交x轴于，两点，交y轴于点C(1)求二次函数解析式；(2)如图，平面上一点，过点E作任意一条直线交抛物线于P、Q两点，连接、，分别交y轴于M、N两点，则与的积是否为定值？若是，求出此定值；若不是，请说明理由2023福建福州校考三模

16、19 如图，直线：交轴于点，交轴于点，点在轴上，经过点，的抛物线：交直线于另一点(1)求抛物线的解析式；(2)抛物线与轴的另一个交点为，过点的任意直线（不与轴平行）与抛物线交于点、，直线、分别交轴于点、，是否存在的值使得与的积为定值？若存在，求的值，若不存在，请说明理由题型五 比值为定值2023年广西钦州市一模20 定义：由两条与x轴有着相同的交点，并且开口方向相同的抛物线所围成的封闭曲线称为“月牙线”如图，抛物线与抛物线组成一个开口向下的“月牙线”，抛物线与抛物线与x轴有相同的交点M，N（点M在点N左侧），与y轴的交点分别为点，(1)求出点M，N的坐标和抛物线的解析式；(2)点P是x轴上方抛

17、物线上的点，过点P作轴于点E，交抛物线于点Q，试证明：的值为定值，并求出该定值；的值为定值，该定值为22023福建厦门一中模拟21 如图，抛物线经过两点，与轴交于两点(1)求抛物线的解析式：(2)点为第四象限抛物线上一动点，点横坐标为，直线与交于点，连接如图，直线与抛物线交于点，连接问：是否为定值？若是，请求出这个定值：若不是，请说明理由2023年福州市屏东中学中考模拟22 已知抛物线与直线有且只有一个公共点(1)求这条抛物线的解析式；(2)将该抛物线沿直线沿左上方平移个单位后得到抛物线C，点A是抛物线C上的的任意一点，且点A在第一象限的抛物线上，点A的横坐标为m，A和B两点关于原点对称，过点

18、A作轴，垂足为点D，连接交抛物线于M、N两点（点M在点N的右侧）用含m的式子表示直线的解析式；设直线与直线与x轴分别交于P、Q两点，求证：为定值武汉中考真题23 抛物线yax2c与x轴交于A、B两点，顶点为C，点P在抛物线上，且位于x轴下方（1）如图1，若P（1，3）、B（4，0），求该抛物线的解析式；（2） 如图2，已知直线PA、PB与y轴分别交于E、F两点当点P运动时，是否为定值？若是，试求出该定值；若不是，请说明理由题型六 横（纵）坐标定值2023湖北潜江、天门、仙桃、江汉油田中考真题24 如图1，在平面直角坐标系中，已知抛物线与轴交于点，与轴交于点，顶点为，连接(1)抛物线的解析式为_

19、；（直接写出结果）(2)如图2，若动直线与抛物线交于两点（直线与不重合），连接，直线与交于点当时，点的横坐标是否为定值，请说明理由2024届湖北潜江市初12校联考25 如图，抛物线与x轴交于A，B两点（A在B左侧），与y轴交于点C，点A的坐标为，对称轴为直线点P是x轴上一动点，轴，交直线于点M，交抛物线于点N(1)求这个二次函数的解析式(2)若点M在线段上运动（点M与点A、点C不重合），点D是射线上一动点，连接、，直线、分别交抛物线于E、F，连接，当平分时，点D的横坐标是否为定值，请说明理由题型七 角度为定值2023成都武侯区西川中学三模26 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点，其

20、顶点为直线与抛物线相交于，两点（点在点的左侧）(1)求抛物线的函数表达式和点的坐标；(2)当线段被抛物线的对称轴分成长度比为的两部分时，求的值；(3)连接，试探究的大小是否为定值若是，请求出该定值；若不是，请说明理由四川乐山统考中考真题27 如图1，二次函数yax2bxc的图象与x轴分别交于A、B两点，与y轴交于点C若tanABC3，一元二次方程ax2bxc0的两根为（1）求二次函数的解析式；（2）直线l绕点A以AB为起始位置顺时针旋转到AC位置停止，l与线段BC交于点D，P是AD的中点如图2，过点D作DE垂直x轴于点E，作DFAC所在直线于点F，连结PE、PF，在l运动过程中，EPF的大小是

21、否改变？请说明理由；题型八 其它定值问题2023浙江湖州统考一模28 如图，已知抛物线的对称轴为直线，且与x轴交于A，B两点，与y轴交于C点，其中，连结(1)求点C的坐标及此抛物线的表达式；(2)当时，函数的最大值与最小值的差是一个定值，直接写出n的取值范围2024届福建省南平市统考29 抛物线与轴相交于两点，且，点为抛物线在第一象限上的点，顶点为为坐标原点(1)若点时，求的值；(2)直线：交轴于点，直线交轴于点，求证：为定值2023年湖北省武汉市新观察中考四调30 已知抛物线与轴交于、两点点在左侧(1)，、分别交抛物线于、两点，的解析式为点在第一象限，的解析式为，直接写出的值点在第三象限；(

22、2)在（1）的条件下，若，求证：一定与定直线平行题型九 结合韦达定理求定点2023年湖北省武汉市外国语学校中考模拟31 抛物线，（）交x轴于A，B两点（A在B的左边），C是抛物线的顶点(1)当时，直接写出A，B，C三点的坐标；(2)如图，将抛物线平移使其顶点为（0，1），点P为直线上的一点，过点P的直线，与抛物线只有一个公共点，问直线是否过定点，请说明理由2024届武汉市青山区九年级统考32 已知抛物线与x轴交于点A，B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C(1)直接写出A，B，C三点的坐标；(2)如图，M、N是抛物线上异于B、C的两个动点，若直线与直线的交点始终在直线上求证：直线必经过一个定点

23、，并求该定点坐标2024届武汉市新洲区12月统考33 抛物线：与x轴交于A，B两点（点A在点B的左边），与y轴交于点C(1)直接写出点A，B，C的坐标；(2)如图，将抛物线平移得到抛物线，使其顶点为原点，过点的直线交抛物线于E，F两点（点E在点F的上方），过点E作直线的平行线交抛物线于另一点M，连接，求证：直线必过一定点2024届福建厦门市第九中学期中34 已知抛物线关于直线对称，且过点(1)求抛物线的解析式；(2)过的直线和直线均与抛物线有且只有一个交点求的值；平移直线，使平移后的两条直线都经过点，且分别与抛物线相交于G、H和P、Q两点，若M、N分别为，的中点，证明直线经过定点2024届武汉

24、市武珞路中学期中35 已知过点的直线：与抛物线：的图象交于点，点在轴上，抛物线与轴交于点(1)求抛物线的解析式；(2)将抛物线平移使得其顶点和原点重合，得到新抛物线，过点的直线交抛物线于、两点，过点的直线交抛物线于、两点求证：直线过定点，并求出定点的坐标2023武汉光谷实验中学中考模拟36 已知抛物线经过点，与轴交于，两点，与轴交于点(1)求抛物线的解析式；(2)如图，将抛物线沿轴平移得，使的顶点落在轴上，若过定点的直线交抛物线于、两点，过点的直线与抛物线交于点，求证：直线必过定点2023广东省梅州市九年级下期中37 如图，抛物线与轴分别相交于，两点（点在点的左侧），是的中点，平行四边形的顶点

25、，均在抛物线上(1)直接写出点的坐标；(2)如图（2），若点在抛物线上，连接，求证：直线过一定点2024届福州市九校联盟期中38 已知二次函数图象的顶点在原点，且点在此二次函数的图象上(1)求二次函数的表达式；(2)如图，直线与二次函数的图象交于D、E两点，过点D的直线交二次函数的图象于点F，求证：直线过定点2023年湖北省武汉市新观察中考四调39 已知抛物线与轴交于、两点点在左侧若，、都在抛物线上，且四边形为平行四边形，求证：必过一定点题型十 已知定值求定点2024届武汉市洪山区九年级统考40 如图1，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点(1)直接写出A，B，C点的坐标；(2)如图2所示，过作两条直线分别交抛物线于第一象限点，交轴于，当为定值时，直线是否必定经过某一定点？若经过，请你求出该定点坐标（用含的式子表示）；若不经过，请说明理由2024届湖北省武汉市新洲区九年级上期中41 如图1，抛物线与轴交于A，两点（点A在点左边），与轴交于点，点在抛物线上，且的面积为(1)求抛物线的解析式；(2)如图2，直线交抛物线于，两点，直线，分别与轴的正、负半轴交于，两点，且求证：直线必过定点，并求出这个定点的坐标2023年广州市天河外国语学校中考三模42 经过点、的抛物线与x轴只有一个公共点，其中且(1)求抛物线的解析式；(2)连接，作，交抛物线于点B，求证直线过定点，并求出该定点的坐标