专题3-3平面向量及其应用（专题分层练）解析版.docx

1、专题验收评价专题3-3 平面向量及其应用内容概览A常考题不丢分一向量的概念与向量的模（共2小题）二平面向量数量积的含义与物理意义（共2小题）三平面向量数量积的性质及其运算（共8小题）四平面向量数量积的坐标表示、模、夹角（共1小题）五投影向量（共2小题）六平面向量的基本定理（共2小题）七数量积表示两个向量的夹角（共1小题）八数量积判断两个平面向量的垂直关系（共1小题）B拓展培优拿高分（压轴题）（8题）C挑战真题争满分（10题）一向量的概念与向量的模（共2小题）1（2023普陀区二模）设、，若向量，满足，且向量与互相平行，则的最小值为 【分析】可求出，根据与平行可得出，从而得出，根据进行数量积的坐

2、标运算即可求出最小值【解答】解：，且与互相平行，的最小值为故答案为：【点评】本题考查了平行向量的坐标关系，向量坐标的减法和数量积的运算，向量数量积的计算公式，配方求二次函数最值的方法，考查了计算能力，属于中档题2（2023奉贤区二模）在集合，2，3，中任取一个偶数和一个奇数构成一个以原点为起点的向量，从所有得到的以原点为起点的向量中任取两个向量为邻边作平行四边形，面积不超过4的平行四边形的个数是 3【分析】可得出满足题意的向量为：，然后根据三角形面积公式及向量夹角的余弦公式可得出以为邻边的平行四边形的面积为：，然后可分别求出以：，中的两个向量为邻边的平行四边形面积，从而可得出答案【解答】解：由

3、题可得满足题意的向量有，以向量为邻边的平行四边形的面积为：，以，为邻边的平行四边形面积为：；以，为邻边的平行四边形面积为：；以，为邻边的平行四边形面积为：；以，为邻边的平行四边形面积为：；以，为邻边的平行四边形面积为：；以，为邻边的平行四边形面积为：，综上可知面积不超过4的平行四边形个数是3故答案为：3【点评】本题考查了三角形的面积公式，向量夹角的余弦公式，同角三角函数的基本关系，考查了计算能力，属于中档题二平面向量数量积的含义与物理意义（共2小题）3（2023普陀区模拟）已知向量，则在方向上的投影为 【分析】由本题的条件向量，在方向上的投影可用两者的内积除以的模求出，故需要先求出两者的内积及

4、的模【解答】解：由题意，在方向上的投影为故答案为【点评】本题考查平面向量数量积的含义及物理意义，解答本题的关键是熟练掌握投影的概念及公式，本题是概念型题，对概念的熟练掌握与运用对正确解题很重要4（2023普陀区校级三模）若，则在方向上的投影为【分析】投影即为，利用数量积运算求出即可【解答】解：设的夹角为，故投影为故答案为：【点评】本题主要考查了向量的数量积运算，难度不大，属于基础题三平面向量数量积的性质及其运算（共8小题）5（2023浦东新区校级一模）已知向量，满足，且，则、中最小的值是ABCD不能确定的【分析】利用已知条件，结合向量模的大小，转化求解数量积的大小即可【解答】解：向量，满足，可

5、得：，同理，故选：【点评】本题考查向量的数量积的应用，向量的模的大小以及数量积的运算，考查转化思想以及计算能力，是中档题6（2023普陀区模拟）在中，若，则A3BC2D【分析】用向量、表示出向量和，再利用求出的值【解答】解：中，所以，所以，因为，所以，解得故选：【点评】本题考查了平面向量的线性表示与运算问题，是基础题7（2023宝山区校级模拟）已知、是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量满足，则的最大值是A1B2CD【分析】由向量垂直的条件可得，运用向量的平方即为模的平方，可得，再化简运用向量的数量积的定义，结合余弦函数的值域，即可得到所求最大值【解答】解：由题意可得，可得，即为，当，即，同向

6、时，的最大值是故选：【点评】本题考查向量的模的最值的求法，注意运用向量数量积的定义和性质，考查余弦函数的值域的运用，属于中档题8（2023杨浦区校级模拟）若向量与不共线也不垂直，且，则向量夹角【分析】根据平面向量的数量积求夹角，即可得出答案【解答】解：，则，即向量夹角故答案为：【点评】本题考查平面向量数量积的性质及其运算，考查转化思想，考查运算能力，属于基础题9（2023浦东新区校级一模）已知向量，（1）若，求的值；（2）若，求函数的最小正周期及当，时的最大值【分析】（1）由向量，得，即，可得解，（2）由，函数的最小正周期，所以，则时，函数取最大值【解答】解：（1）向量，又，（2），函数的最小

7、正周期，即即时，函数取最大值，故函数的周期为：，当，时的最大值【点评】本题考查了平面向量数量积公式，平面向量共线的坐标表示及三角恒等变形，属中档题10（2023黄浦区模拟）已知单位向量与，向量在方向上的投影向量为，且，若的取值范围是，则的取值范围是 【分析】根据投影向量可得，根据余弦函数的值域即可得的取值范围【解答】解：根据题意可知，向量在方向上的投影向量为，的取值范围是，故答案为：【点评】本题考查投影向量的概念，函数思想，属中档题11（2023黄浦区校级三模）已知向量，其中，若函数的最小正周期为（1）求的单调增区间；（2）在中，若（B），求的值【分析】（1）根据题意，由辅助角公式将函数化简，

8、再由函数周期即可求得，再根据正弦型函数的单调区间即可得到结果；（2）根据题意，由（1）中函数的解析式可得，再由正弦定理可得，再结合平面向量数量积的定义代入计算，即可得到结果【解答】解：（1），的最小正周期为，故，令，解得，故函数的单调增区间为；（2）设中角，所对的边分别是，（B），即，解得，【点评】本题主要考查平面向量的数量积运算，考查转化能力，属于中档题12（2023黄浦区校级三模）在中，为所在平面内的动点，且，若，则给出下面四个结论：的最小值为；的最大值为；的最小值为；的最大值为8其中，正确结论的个数是A1B2C3D4【分析】以为坐标原点，分别以、所在直线为、轴建立平面直角坐标系，可得，设

9、，利用，可得，得到，再由辅助角公式化积，即可求得的最值，从而判断；利用数量积的坐标运算求出，然后利用三角函数求最值判断【解答】解：如图，以为坐标原点，分别以、所在直线为、轴建立平面直角坐标系，则，设，由，得，即，的最小值为，最大值为，故错误；，的最小值为，大值为14，故正确，错误正确结论的个数是1，故选：【点评】本题考查平面向量数量积的性质及运算，训练了利用三角函数求最值，建系是关键，是中档题四平面向量数量积的坐标表示、模、夹角（共1小题）13（2023嘉定区模拟）已知向量，且，则2【分析】根据向量垂直的等价条件以及平面向量的坐标运算，求值计算即可【解答】解：，则，故答案是：2【点评】本题主要

10、考查向量数量积的应用，根据向量垂直的坐标公式进行求解是解决本题的关键五投影向量（共2小题）14（2023南岗区校级二模）已知向量，且，的夹角为，则在方向上的投影向量等于 【分析】根据已知条件，结合平面向量的数量积公式，求出，再结合投影向量的公式，即可求解【解答】解：向量，则，则，即，解得，故在方向上的投影向量等于故答案为：【点评】本题主要考查投影向量的公式，属于基础题15（2023松江区校级模拟）已知向量，则在方向上的投影向量等于 【分析】求出，根据投影向量的概念即可求得答案【解答】解：由题意向量，则，则在方向上的投影向量为故答案为：【点评】本题主要考查投影向量的公式，考查转化能力，属于中档题

11、六平面向量的基本定理（共2小题）16（2023徐汇区校级三模）如图，在中，点，是线段上两个动点，且，则的最小值为 【分析】根据平面向量的线性运算可得，再利用乘1法结合基本不等式可解【解答】解：如图可知，均为正数，设，由，共线设，则由向量的加法法则可得，同理，当且仅当，即，时，取等号，故答案为：【点评】本题考查平面向量的线性运算，以及基本不等式相关知识，属于基础题17（2023青浦区校级模拟）在矩形中，动点在以点为圆心且与相切的圆上，若，则的最大值为3【分析】如图：以为原点，以，所在的直线为，轴建立如图所示的坐标系，先求出圆的标准方程，再设点的坐标为，根据，求出，根据三角函数的性质即可求出最值【

12、解答】解：如图：以为原点，以，所在的直线为，轴建立如图所示的坐标系，则，动点在以点为圆心且与相切的圆上，设圆的半径为，圆的方程为，设点的坐标为，其中，故的最大值为3，故答案为：3【点评】本题考查了向量的坐标运算以及圆的方程和三角函数的性质，关键是设点的坐标，考查了学生的运算能力和转化能力，属于中档题七数量积表示两个向量的夹角（共1小题）18（2023杨浦区校级三模）对任意两个非零的平面向量和，定义若平面向量，满足，与的夹角，且和都在集合中，则【分析】根据题中的定义，化简整理得且，其中、都是整数两式相乘可得，由且与的夹角，讨论可得且，从而得出的值【解答】解：由题意，可得，同理可得：，其中、都是整

13、数将化简的两式相乘，可得，且、，与的夹角，可得，即，结合、均为整数，可得且，从而得故答案为：【点评】本题给出新定义，求式子的值着重考查了向量数量积及其运算性质、三角函数的性质和整数解的讨论等知识，属于中档题八数量积判断两个平面向量的垂直关系（共1小题）19（2023闵行区校级三模）已知向量，若，则实数【分析】根据已知条件，结合向量垂直的性质，即可求解【解答】解：，则，解得故答案为：【点评】本题主要考查向量垂直的性质，属于基础题一选择题（共2小题）1（2022上海自主招生），则的最小值为ABCD【分析】设，根据向量的数量积以及三角函数的有关知识即可求解结论【解答】解：，可设，当时，取最小值故选：

14、【点评】本题主要考查向量数量积的应用以及三角函数的有关知识，属于中档题2（2022上海自主招生），为平面上一点，A3B8CD【分析】延长交于，则，因为，三点共线，所以，即，所以，则，故且，又，故，所以，从而可得面积之比【解答】解：如图，延长交于，则，因为，三点共线，所以，即，所以，则，故且，又，故，所以，所以，所以故选：【点评】本题考查平面向量的线性运算，属于中档题二填空题（共5小题）3（2020上海自主招生）在中，若为内心，且满足，则的最大值为【分析】设，根据共线向量的几何意义和二倍角公式解答【解答】解：延长交于，设与圆相切于点，与圆相切于点，则，则，设，因为、三点共线，所以，即，因为，所以

15、，所以故答案是：【点评】本题主要考查向量数量积的运算及几何意义，三角形的内心的概念，三角函数的转化关系，属于中档题4（2022宝山区校级模拟）已知向量，其中且设与的夹角为，若对于任意，总有，则的最小值为 【分析】不妨设，则将向量问题转化为解三角形问题，利用极限位置一一分析即可；【解答】解：不妨设，则向量问题可转化为如下解三角形问题：由，同时由余弦定理，而实际上表示的是的延长线故，而，则与的夹角可知，随着的增大，也在增大，则在减小，由题意，只需求所趋近的最大值和最小值即可第一种极限情况，当与重合时，第二种极限情况，当位于的延长线无穷远处时，可看作与平行，根据两条平行直线同旁内角互补的性质，由于恒

16、成立，则，则的最小值为故答案为：【点评】本题考查平行向量的综合运用，同时也涉及了余弦定理以及极限思想的运用，考查数形结合思想及运算求解能力，属于难题5（2022浦东新区校级模拟）已知非零平面向量满足，且，若与的夹角为，且，则的取值范围是 【分析】由向量几何意义去解题，数形结合的方法可以简化解题过程【解答】解：如图1，令，则，取中点，由，可得，所以，即在以为圆心为半径的圆上由，当、，三点共线时在线段上，由于在以为弦的圆弧上，设圆心为，由正弦定理可知，即，当时，圆半径取得最大值，当、三点共线在线段上），且时， 取得最大值，此时；如图2，显然当、三点共线（点在线段上），当时，圆半径取得最小值2，即、

17、两点重合取得最小值为2，则时，故向量的模取值范围是，故答案为：【点评】本题考查了向量的几何意义，平面向量数量积的性质及运算，属于难题6（2022闵行区校级模拟）已知平面向量，满足，当时，【分析】分析题目条件，作得到，画出草图，得到，过点，点分别向作垂线，得到两个相似比为1比3的直角三角形，设出，然后利用角表示边，通过勾股定理得到角的大小，从而得到边长的大小，进而求出的大小【解答】解：作：，由题意有：，同理：，设直线与直线交于点，点在线段上（不含端点），又，可知，作于，于，有，记，（1）当点在线段上时，故，又因为，可得：，可解，进而，此时，可得，所以；（2）当点在线段的反向延长线上时，同（1）方

18、法可推得点与点重合，矛盾，综上，故答案为：【点评】本题考查了平面向量数量积的性质与运算，属于难题7（2023闵行区校级一模）已知为单位向量，向量满足，则的取值范围是 ，【分析】建立平面直角坐标系，设，确定点，的轨迹，从而设，求出的表达式结合三角恒等变换化简，再结合二次函数性质即可求得答案【解答】解：如图，建立平面直角坐标系，令，设，则由，可得，即点轨迹为以为圆心，半径为2的圆，点轨迹为以为圆心，半径为3的圆，则设，则，为辅助角），令，则，则，又，而，故，故的取值范围是，故答案为：，【点评】本题主要考查平面向量的数量积运算，考查转化能力，属于难题三解答题（共1小题）8（2022徐汇区校级模拟）已

19、知中，设，记；（1）求函数的解析式及定义域；（2）试写出函数的单调递增区间，并求方程的解【分析】（1）由条件利用正弦定理、两个向量的数量积公式、三角恒等变换化简函数的解析式（2）利用正弦函数的单调性求得的单调区间，并求出的值【解答】解：（1）由正弦定理有，其定义域为（2），递增区间，方程，解得【点评】本题考查了正弦定理、数量积运算、三角形的内角和定理、正弦函数的单调性，考查了推理能力和计算能力，属于中档题一选择题（共1小题）1（2021上海）在中，为中点，为中点，则以下结论：存在，使得；存在，使得；它们的成立情况是A成立，成立B成立，不成立C不成立，成立D不成立，不成立【分析】设，由向量数量的

20、坐标运算即可判断；为中点，可得，由为中点，可得与的交点即为重心，从而可判断【解答】解：不妨设，若，则，即，满足条件的存在，例如，满足上式，所以成立；为中点，与的交点即为重心，因为为的三等分点，为中点，所以与不共线，即不成立故选：【点评】本题主要考查平面向量数量积的运算，共线向量的判断，属于中档题二填空题（共9小题）2（2023上海）已知向量，则【分析】根据平面向量的坐标运算法则，计算即可【解答】解：因为向量，所以，故答案为：【点评】本题考查了平面向量的坐标运算问题，是基础题3（2021上海）如图正方形的边长为3，求9【分析】根据，直接求解即可【解答】解：由数量积的定义，可得，因为，所以故答案为

21、：9【点评】本题主要考查平面向量数量积的定义与计算，属于基础题4（2023上海）已知向量，则4【分析】直接利用平面向量的坐标运算法则求解【解答】解：向量，故答案为：4【点评】本题主要考查了平面向量的坐标运算，属于基础题5（2020上海）三角形中，是中点，则【分析】根据余弦定理即可求出，并得出，然后进行数量积的运算即可【解答】解：在中，由余弦定理得，且是的中点，故答案为：【点评】本题考查了余弦定理，向量加法的平行四边形法则，向量数乘的几何意义，向量数量积的运算及计算公式，考查了计算能力，属于基础题6（2022上海）若平面向量，且满足，则【分析】利用平面向量的数量积进行分析，即可得出结果【解答】解

22、：由题意，有，则，设，则得，由同角三角函数的基本关系得：，则，则故答案为：【点评】本题考查平面向量的数量积，考查学生的运算能力，属于中档题7（2022上海）在中，点为边的中点，点在边上，则的最小值为 【分析】建立平面直角坐标系，利用数量积的坐标运算求出，再利用二次函数求最值即可【解答】解：建立平面直角坐标系如下，则，直线的方程为，即，点在直线上，设，的最小值为故答案为：【点评】本题考查了数量积的坐标运算，考查了二次函数求最值，属于中档题8（2020上海）已知，是平面内两两互不相等的向量，满足，且，（其中，2，2，则的最大值是6【分析】设，结合向量的模等于1和2画出图形，由圆的交点个数即可求得的

23、最大值【解答】解：如图，设，由，且，分别以，为圆心，以1和2为半径画圆，其中任意两圆的公共点共有6个故满足条件的的最大值为6故答案为：6【点评】本题考查两向量的线性运算，考查向量模的求法，正确理解题意是关键，是中档题9（2020上海）已知、五个点，满足，2，2，则的最小值为【分析】可设，从而据题意可得出，并设，根据是求的最小值，从而可得出，从而可求出，从而根据基本不等式即可求出的最小值【解答】解：设，则，设，如图，求的最小值，则：，当且仅当，即时取等号，的最小值为故答案为：【点评】本题考查了向量垂直的充要条件，利用向量坐标解决向量问题的方法，基本不等式求最值的方法，考查了计算能力，属于中档题10（2023上海）已知、为空间中三组单位向量，且、，与夹角为，点为空间任意一点，且，满足，则最大值为 【分析】将问题坐标化，表示出的坐标，再设，代入条件，结合不等式的性质求解【解答】解：设，不妨设，则，因为，所以，可得，所以，解得，故故答案为：【点评】本题考查空间向量的坐标运算以及不等式的性质，属于中档题