专题3.2.1 函数的单调性与最大（小）值（知识解读）-2022-2023学年高一数学《同步考点解读·专题训练》（人教A版2019必修第一册）.docx

1、 专题3.2.1 函数的单调性与最大（小）值（知识解读）【学习目标】1. 理解函数的单调性的概念，掌握判断或证明函数单调性的方法和步骤； 2.2. 会求函数的单调区间；3. 通过对函数单调性的证明及单调区间的求法的复习，培养学生的应用化归转化和分类讨论的数学思想解决问题的能力。【知识点梳理】考点1增函数与减函数的定义一般地，设函数f(x)的定义域为I，区间DI：(1)如果x1，x2D，当x1x2时，都有f(x1)f(x2)，那么就称函数f(x)在区间D上单调递增，特别地，当函数f(x)在它的定义域上单调递增时，我们称它是增函数。 (2)如果x1，x2D，当x1f(x2)，那么就称函数f(x)在

2、区间D上单调递减，特别地，当函数f(x)在它的定义域上单调递减时，我们称它是减函数 考点2 函数的单调区间1.定义若函数yf(x)在区间D上是增函数或减函数，则称函数yf(x)在这一区间上具有(严格的)单调性，区间D叫做yf(x)的单调区间【特别提醒】（1）函数单调性关注的是整个区间上的性质，单独一点不存在单调性问题，故单调区间的端点若属于定义域，则区间可开可闭，若区间端点不属于定义域则只能开（2）单调区间D定义域I.（3）遵循最简原则，单调区间应尽可能大；（4）单调区间之间可用“，”分开，不能用“”，可以用“和”来表示；2. 常见函数的单调性函数单调性一次函数（）当时，在上单调递增当时，在上

3、单调递减反比例函数（）当时，在和上单调递减当时，在和上单调递增二次函数（）对称轴为当时，在上单调递减；在上单调递增当时，在上单调递增；在上单调递减考点3 函数单调性的判断与证明1、定义法：一般用于证明，设函数，证明的单调区间为取值：任取，且；作差：计算；变形：对进行有利于符号判断的变形（如通分，因式分解，配方，有理化等）；如有必要需讨论参数；定号：通过变形，判断或（），如有必要需讨论参数；下结论：指出函数在给定区间上的单调性2、图象法一般通过已知条件作出函数的图象（或者草图），利用图象判断函数的单调性.3、性质法（1）函数在给定区间上的单调性与在给定区间上的单调性相反；（2）函数在给定区间上的

4、单调性与的单调性相同；（3）和的公共定义区间，有如下结论；增增增不确定增减不确定增减减减不确定减增不确定减考点4 函数的最大(小)值及其几何意义最值条件几何意义最大值对于xI，都有f(x)M，x0I，使得f(x0)M函数yf(x)图象上最高点的纵坐标最小值对于xI，都有f(x)M，x0I，使得f(x0)M函数yf(x)图象上最低点的纵坐标考点5 求函数最值的常用方法1图象法：作出yf(x)的图象，观察最高点与最低点，最高(低)点的纵坐标即为函数的最大(小)值2运用已学函数的值域3运用函数的单调性：(1)若yf(x)在区间a，b上是增函数，则ymaxf(b)，yminf(a)(2)若yf(x)在

5、区间a，b上是减函数，则ymaxf(a)，yminf(b)4分段函数的最大(小)值是指各段上的最大(小)值中最大(小)的那个【解题思路】【典例分析】【考点1 定义法判断或证明函数的单调性】【典例1】根据定义证明函数在区间上单调递增.【变式1-1】（2021浙江高一期末）已知函数（1）判断函数在上的单调性，并用定义证明其结论；（2）求函数在区间上的值域【变式1-2】利用单调性的定义，证明函数在上是减函数【考点2 性质法判断函数的单调性】【典例2-1】（1）（2021全国高一课时练习）函数的单调减区间是（ ）ABCD和【典例2-2】（2021全国高一课时练习）函数在区间(2，4)上（ ）A单调递增

6、B单调递减C先减后增D先增后减【变式2-1】（2021青海西宁市）已知函数，则的单调增区间是（ ）A和BC和D【变式2-2】（2020巩义市第四高级中学高一月考）函数的单调递减区间为（ ）ABCD【变式2-3】（2020台州市黄岩中学高一月考）函数f(x)1（ ）A在(1，)上单调递增B在(1，)上单调递增C在(1，)上单调递减D在(1，)上单调递减【考点3 分类常数法判断函数的单调性】【典例3】（2020全国高一单元测试）函数f(x)的定义域为_，单调递减区间为_.【变式3-1】（2021全国高一课时练习）函数f(x)=在（ ）A(-，1)(1，+)上单调递增B(-，1)(1，+)上单调递减

7、C(-，1)和(1，+)上单调递增D(-，1)和(1，+)上单调递减【变式3-2】（2021河南安阳市）函数A在区间上单调递增B在区间上单调递减C在区间上单调递增D在定义域内单调递减【考点4 图像法判断函数的单调性】【典例4】（2021广东）作出下列函数的大致图像，并写出函数的单调区间和值域：（1）； （2）； （3）；（4）； （5）.【变式4-1】函数的单调递减区间为（）A（，2 B2，+） C0，2 D0，+）【变式4-2】函数的单调减区间是_【变式4-3】已知函数(1)把写成分段函数；并在直角坐标系内画出函数大致图像；(2)写出函数的递减区间【考点5 根据单调性求参数】【典例5-1】若

8、函数在上是增函数，则实数的取值范围是（）A B C D【典例5-2】已知函数是上的增函数，则实数的取值范围是（）ABCD【变式5-1】（2020春平城区校级月考）函数在区间（2，+）上为增函数，则a的取值范围为（）AaBCD【变式5-2】（2019秋浦东新区校级期末）若函数f（x）单调递增，则实数a的取值范围是（）A（，3）B，3）C（1，3）D（2，3）【考点6 函数值利用单调性解不等式】【典例6】（2021全国高一）已知,则不等式的解集为（ ）ABCD【变式6-1】若函数在上单调递增，且，则实数的取值范围是（）ABCD【变式6-2】已知在定义域上是减函数，且，则的取值范围为（）A（0，1）

9、B（-2，1）C（0，）D（0，2）【变式6-3】已知，若，则实数m的取值范围是（）ABCD【考点7 函数的最值】【典例7】画出下列函数的图象，指出函数的单调区间，并求出函数的最大值或最小值：（1）；（2），；（3）；（4）；（5）；（6）.【变式7-1】（2018秋芙蓉区校级期中）已知函数f（x），x3，6，则f（x）的最小值是（）A1BCD【变式7-1】（2021广东汕头市高一期末）设函数，若对于，恒成立，则实数的取值范围是（ ）ABCD【变式7-2】（2021广东广州市高一期末）已知函数，若，则的取值范围是_.【变式7-3】（2021全国）函数在区间上的值域为_【变式7-4】（2021浙

10、江湖州市湖州中学高一月考）若函数在区间上的最大值为，则实数（ ）ABCD或专题3.1 函数的概念（知识解读）【学习目标】4. 理解函数的单调性的概念，掌握判断或证明函数单调性的方法和步骤； 2.5. 会求函数的单调区间；6. 通过对函数单调性的证明及单调区间的求法的复习，培养学生的应用化归转化和分类讨论的数学思想解决问题的能力。【知识点梳理】考点1增函数与减函数的定义一般地，设函数f(x)的定义域为I，区间DI：(1)如果x1，x2D，当x1x2时，都有f(x1)f(x2)，那么就称函数f(x)在区间D上单调递增，特别地，当函数f(x)在它的定义域上单调递增时，我们称它是增函数。 (2)如果x

11、1，x2D，当x1f(x2)，那么就称函数f(x)在区间D上单调递减，特别地，当函数f(x)在它的定义域上单调递减时，我们称它是减函数 考点2 函数的单调区间1.定义若函数yf(x)在区间D上是增函数或减函数，则称函数yf(x)在这一区间上具有(严格的)单调性，区间D叫做yf(x)的单调区间【特别提醒】（1）函数单调性关注的是整个区间上的性质，单独一点不存在单调性问题，故单调区间的端点若属于定义域，则区间可开可闭，若区间端点不属于定义域则只能开（2）单调区间D定义域I.（3）遵循最简原则，单调区间应尽可能大；（4）单调区间之间可用“，”分开，不能用“”，可以用“和”来表示；2. 常见函数的单调

12、性函数单调性一次函数（）当时，在上单调递增当时，在上单调递减反比例函数（）当时，在和上单调递减当时，在和上单调递增二次函数（）对称轴为当时，在上单调递减；在上单调递增当时，在上单调递增；在上单调递减考点3 函数单调性的判断与证明1、定义法：一般用于证明，设函数，证明的单调区间为取值：任取，且；作差：计算；变形：对进行有利于符号判断的变形（如通分，因式分解，配方，有理化等）；如有必要需讨论参数；定号：通过变形，判断或（），如有必要需讨论参数；下结论：指出函数在给定区间上的单调性2、图象法一般通过已知条件作出函数的图象（或者草图），利用图象判断函数的单调性.3、性质法（1）函数在给定区间上的单调性

13、与在给定区间上的单调性相反；（2）函数在给定区间上的单调性与的单调性相同；（3）和的公共定义区间，有如下结论；增增增不确定增减不确定增减减减不确定减增不确定减考点4 函数的最大(小)值及其几何意义最值条件几何意义最大值对于xI，都有f(x)M，x0I，使得f(x0)M函数yf(x)图象上最高点的纵坐标最小值对于xI，都有f(x)M，x0I，使得f(x0)M函数yf(x)图象上最低点的纵坐标考点5 求函数最值的常用方法1图象法：作出yf(x)的图象，观察最高点与最低点，最高(低)点的纵坐标即为函数的最大(小)值2运用已学函数的值域3运用函数的单调性：(1)若yf(x)在区间a，b上是增函数，则y

14、maxf(b)，yminf(a)(2)若yf(x)在区间a，b上是减函数，则ymaxf(a)，yminf(b)4分段函数的最大(小)值是指各段上的最大(小)值中最大(小)的那个【解题思路】【典例分析】【考点1 定义法判断或证明函数的单调性】【典例1】根据定义证明函数在区间上单调递增.【解答】证明：，且，则 = ，则，即，函数在区间上单调递增.【变式1-1】（2021浙江高一期末）已知函数（1）判断函数在上的单调性，并用定义证明其结论；（2）求函数在区间上的值域【答案】（1）函数在上是增函数，证明见解析；（2）.【解析】（1）函数在上是增函数.证明：任取，且，即，函数在上是增函数；（2）由（1）

15、知函数在区间上是增函数，又，所以函数在区间上的值域为.【变式1-2】利用单调性的定义，证明函数在上是减函数【答案】证明见解析【解析】设x1，x2是区间上任意两个实数且，则，即，在上是减函数【考点2 性质法判断函数的单调性】【典例2-1】（1）（2021全国高一课时练习）函数的单调减区间是（ ）ABCD和【答案】D【解析】根据题意，函数的定义域为，由反比例函数的单调性可知，函数在区间和上都是减函数，但在定义域上不单调，因此，函数的单调递减区间为和.故选：D.【典例2-2】（2021全国高一课时练习）函数在区间(2，4)上（ ）A单调递增B单调递减C先减后增D先增后减【答案】C【解析】函数图象的对

16、称轴为直线x=3，此函数在区间(2，3)上单调递减，在区间(3，4)上单调递增.故选：C【变式2-1】（2021青海西宁市）已知函数，则的单调增区间是（ ）A和BC和D【答案】D【解析】二次函数的对称轴为，并且开口向上则函数在上单调递增，即D选项正确；故选：D【变式2-2】（2020巩义市第四高级中学高一月考）函数的单调递减区间为（ ）ABCD【答案】C【解析】的定义域为，图象如图所示：所以的单调递减区间为，故选：C【变式2-3】（2020台州市黄岩中学高一月考）函数f(x)1（ ）A在(1，)上单调递增B在(1，)上单调递增C在(1，)上单调递减D在(1，)上单调递减【答案】B【解析】f(x

17、)图象可由y图象沿x轴向右平移一个单位长度，再向上平移一个单位长度得到，如图所示故选：B【考点3 分类常数法判断函数的单调性】【典例3】（2020全国高一单元测试）函数f(x)的定义域为_，单调递减区间为_.【答案】 和 【解析】函数f(x)的定义域为；任取且x1x2，则f(x1)f(x2)，即f(x1)f(x2)，故f(x)在(1，)上为减函数；同理，可得f(x)在(，1)上也为减函数，故的单减区间为和故答案为：；和【变式3-1】（2021全国高一课时练习）函数f(x)=在（ ）A(-，1)(1，+)上单调递增B(-，1)(1，+)上单调递减C(-，1)和(1，+)上单调递增D(-，1)和(

18、1，+)上单调递减【答案】C【解析】f(x)的定义域为x|x1.f(x)=-1=-1，因为函数y=-在(-，0)和(0，+)上单调递增，由平移关系得，f(x)在(-，1)和(1，+)上单调递增.故选：C.【变式3-2】（2021河南安阳市）函数A在区间上单调递增B在区间上单调递减C在区间上单调递增D在定义域内单调递减【答案】B【解析】因为数，所以，因为，所以函数在递减，在上递减，故选B.【考点4 图像法判断函数的单调性】【典例4】（2021广东）作出下列函数的大致图像，并写出函数的单调区间和值域：（1）； （2）； （3）；（4）； （5）.【答案】见解析【解析】（1），图象如图所示：函数在和

19、为减函数，因为，所以，故值域为：；（2），图象如图所示：函数在和为减函数，在和为增函数，当时，取得最小值，故值域：；（3），图象如图所示：函数在和为增函数，在为减函数，值域为：.（4），图象如图所示：函数在和为减函数，在和为增函数，值域为：；（5），函数在和为减函数，在和为增函数，值域为：【变式4-1】函数的单调递减区间为（）A（，2 B2，+） C0，2 D0，+）【答案】B【解答】，函数的单调递减区间是（，2，增区间为2，+），的单调递减区间是2，+），故选：B【变式4-2】函数的单调减区间是_【答案】，【解答】去绝对值，得函数 当 时，函数 的单调递减区间为 当 时，函数的单调递减区间为

20、 综上，函数的单调递减区间为，故答案为：，【变式4-3】已知函数(1)把写成分段函数；并在直角坐标系内画出函数大致图像；(2)写出函数的递减区间【解答】(1)，函数图像如下图所示：(2)由（1）中函数的图像可知：函数的递减区间为：.【考点5 根据单调性求参数】【典例5-1】若函数在上是增函数，则实数的取值范围是（）A B C D【答案】D【解答】函数的对称轴为，开口向上，依题意可得，解得，即；故选：D【典例5-2】已知函数是上的增函数，则实数的取值范围是（）ABCD【答案】B【解答】因为函数是定义在R上的增函数，所以，解得，所以实数a的取值范围为.故选：B.【变式5-1】（2020春平城区校级

21、月考）函数在区间（2，+）上为增函数，则a的取值范围为（）AaBCD【答案】C【解答】解：函数的定义域为：（，2）（2，+）求导函数可得：令f（x）0，可得2a10即时，函数在区间（2，+）上为增函数a的取值范围为故选：C【变式5-2】（2019秋浦东新区校级期末）若函数f（x）单调递增，则实数a的取值范围是（）A（，3）B，3）C（1，3）D（2，3）【答案】B【解答】解：函数f（x）单调递增，由指数函数以及一次函数的单调性的性质，可得3a0且a1但应当注意两段函数在衔接点x7处的函数值大小的比较，即（3a）73a，可以解得a，综上，实数a的取值范围是，3）故选：B【考点6 函数值利用单调性

22、解不等式】【典例6】（2021全国高一）已知,则不等式的解集为（ ）ABCD【答案】C【解析】的图象如下图所示：由图象可知：在上单调递增，因为，所以，所以即，所以解集为：.故选：C.【变式6-1】若函数在上单调递增，且，则实数的取值范围是（）ABCD【答案】C【解答】在上单调递增，解得：，实数的取值范围为.故选：C.【变式6-2】已知在定义域上是减函数，且，则的取值范围为（）A（0，1）B（-2，1）C（0，）D（0，2）【答案】A【解答】因为在定义域上是减函数，所以由，故选：A【变式6-3】已知，若，则实数m的取值范围是（）ABCD【答案】B【解答】因为的定义域为,关于原点对称，且，所以是偶

23、函数，故由可得，当时，是增函数，所以，解得，故选：B【考点7 函数的最值】【典例7】画出下列函数的图象，指出函数的单调区间，并求出函数的最大值或最小值：（1）；（2），；（3）；（4）；（5）；（6）.【解答】（1）图象如题所示：，单调递减区间为，递减区间为 最大值为，无最小值；（2）图象如图所示：，单调递减区间为，最小值为，最大值为；（3）图象如图所示：，单调递增区间为，无最大值和最小值；（4）图象如图所示：，单调递减区间为，最大值为；（5）图象如图所示：，单调递减区间为，单调递增区间为，最小值为，无最大值；（6）图象如图所示：，单调递增区间为，无最大值和最小值.【变式7-1】（2018秋芙

24、蓉区校级期中）已知函数f（x），x3，6，则f（x）的最小值是（）A1BCD【答案】B【解答】解：f（x），x3，6，函数在3，6上单调递减，x6时，f（x）取得最小值故选：B【变式7-1】（2021广东汕头市高一期末）设函数，若对于，恒成立，则实数的取值范围是（ ）ABCD【答案】B【解析】当时，由，得，不符合题意；当时，函数的对称轴为，当时，函数在区间上单调递增，此时函数，要使，恒成立，只需，解得，所以；当时，函数在区间上单调递减，此时函数，要使，恒成立，只需，解得，不符合题意；综上：实数的取值范围是.故选：B【变式7-2】（2021广东广州市高一期末）已知函数，若，则的取值范围是_.【答案】【解析】，恒成立，即恒成立，设在单调递减，所以，所以.故答案为：.【变式7-3】（2021全国）函数在区间上的值域为_【答案】【解析】由题：，函数在单调递减，在单调递减，可以看成函数向右平移1个单位，再向上平移1个单位，作出图象：所以函数在递减，在递减，所以函数的值域为.故答案为：【变式7-4】（2021浙江湖州市湖州中学高一月考）若函数在区间上的最大值为，则实数（ ）ABCD或【答案】B【解析】函数，即，当时，不成立；当，即时，在递减，可得为最大值，即，解得成立；当，即时，在递增，可得为最大值，即，解得不成立；综上可得故选：