专题3.2.2 函数的奇偶性（能力提升）-2022-2023学年高一数学《同步考点解读•专题训练》（人教A版2019必修第一册）.docx

1、专题3.2.2 函数的奇偶性（能力提升）一、选择题。1（2022秋湖北月考）已知函数f（x）是偶函数，则a，b的值可能是（）Aa，bBa，bCa，bDa，b2（2022北京学业考试）已知函数f（x）x2，xR，则（）Af（x）是奇函数Bf（x）是偶函数Cf（x）既是奇函数又是偶函数Df（x）既不是奇函数也不是偶函数3（2022秋上城区校级月考）与函数的奇偶性相同，且在（0，+）上有相同的单调性的是（）Aysinx|sinx|By2|x+1|Cylog3|x|Dyex+ex4（2022秋安阳月考）设函数f（x）ax3x3+a，若函数f（x1）的图象关于点（1，0）对称，则a（）A1B0C1D25

2、（2022广东开学）下列函数与yex关于x1对称的是（）Aye.x1Bye1xCye2xDylnx6（2022秋南宁月考）已知f（x）是R上的奇函数，且f（2x）f（x），f（1）3，则f（2022）+f（2023）（）A3B1C1D27（2022秋深圳月考）已知是奇函数，则tan（）A1B1CD8（2022秋昭通月考）已知函数，定义域为R的函数满足g（x）+g（x）20，若函数yf（x）与yg（x）图象的交点为（x1，y1），（x2，y2），.，（x6，y6），则（）A6B12C6D129（2022秋广西月考）已知函数f（x）sin（cosx）+cos（sinx），则下列结论正确的是（）Af

3、（x）是奇函数Bf（x）的最大值为2CxR，f（x）f（x）Dx0，f（x+）010（2021甲卷）设函数f（x）的定义域为R，f（x+1）为奇函数，f（x+2）为偶函数，当x1，2时，f（x）ax2+b若f（0）+f（3）6，则f（）（）ABCD二、填空题。11（2022秋宛城区校级月考）已知定义域是R的函数f（x）满足：xR，f（4+x）+f（x）0，f（1+x）为偶函数，f（1）1，则f（2023） 12（2022秋朝阳区校级月考）已知函数yf（x）1是奇函数，若曲线与曲线yf（x）共有6个交点，分别为（x1，y1），（x2，y2），（x6，y6），则 13（2022平顶山开学）写出一个

4、同时具有下列性质的函数f（x）： 直线x1是f（x）图象的对称轴；f（x）在R上恰有三个零点14（2022秋永吉县校级月考）已知函数f（x）x3+bx2+x为定义在2a1，3a上的奇函数，则a+b的值为 ；f（2x1）+f（xb）0的解集为 15（2022秋赣州月考）已知函数f（x）满足以下三个条件：f（x）的导函数f（x）为奇函数；f（0）0；在区间2，1上单调递增，则f（x）的一个解析式为f（x） 16（2022秋浦东新区校级月考）已知定义域为R的函数yf（x）满足f（x+2）f（x），且g（x），h（x），现定义函数yp（x），yq（x）的解析式如下：p（x）（kZ），q（x）（kZ），

5、关于yp（x），yq（x）现给出如下结论，其中正确结论的编号为 （1）函数yp（x）是奇函数；（2）函数yq（x）是偶函数；（3）函数yp（x）的最小正周期为；（4）3是函数yq（x）的一个周期三、解答题。17（2022亭湖区校级开学）已知函数f（x）loga（1+bx）（a0且a1），f（1）1，f（3）2（1）求函数f（x）的解析式；（2）请从yf（x）f（x），yf（x）f（x），yf（x）+f（x）这三个条件中选择一个作为函数g（x）的解析式，指出函数g（x）的奇偶性，并证明注：若选择多个条件分别解答，按第一个解答计分18（2022南京模拟）已知函数证明：函数f（x）为奇函数19（20

6、21秋沧县校级月考）已知函数是R上的偶函数（1）求a的值；（2）解方程20（2022秋贵州月考）已知函数f（x）是定义域在R上的奇函数，当x0，+）时，f（x）x2+x+2x+m（1）求f（x）在（，0）上的解析式；（2）若f（2a21）+f（a）0，求a的取值范围21（2021秋昌平区校级期末）已知函数f（x）alog2（x+2）+b的图象过原点，且f（2）2（）求实数a，b的值；（）求不等式f（x）0的解集；（）若函数，判断函数g（x）的奇偶性，并证明你的结论22（2021秋陆河县校级月考）已知函数f（x）为定义在3，3上的偶函数，其部分图象如图所示（1）请作出函数f（x）在0，3上的图象

7、；（2）根据函数图象写出函数f（x）的单调区间及最值23（2022春双流区校级期末）已知函数（1）判断f（x）奇偶性，并说明理由；（2）当a1时，关于x的方程在区间0，上有唯一实数解，求a的取值范围24（2022春秀峰区校级期中）已知定义R上的奇函数f（x），当x0时，f（x）x2+x+1（1）求函数f（x）的解析式；（2）解关于x的不等式：f（ax22x）+f（2ax）0（aR）25（2021秋南开区校级期末）已知函数f（x）loga（3x），g（x）loga（3+x）（a0，a1），记F（x）f（x）g（x）（1）求函数F（x）的定义域；（2）判断函数F（x）的奇偶性，并说明理由；（3）是

8、否存在实数a，使得F（x）的定义域为m，n时，值域为1logan，1logam？若存在，求出实数a的取值范围；若不存在，则说明理由专题3.2.2 函数的奇偶性（能力提升）一、选择题。1（2022秋湖北月考）已知函数f（x）是偶函数，则a，b的值可能是（）Aa，bBa，bCa，bDa，b【答案】D。【解答】解：根据题意，函数f（x），则f（）sin（a）sin（+a）sina，f（）cos（b）cosb，而f（x）是偶函数，则有f（）f（），即sinacosb，由此分析选项：对于A，a，b，不满足sinacosb，不符合题意；对于B，a，b，不满足sinacosb，不符合题意；对于C，a，b，不

9、满足sinacosb，不符合题意；对于D，a，b，满足sinacosb，符合题意；故选：D2（2022北京学业考试）已知函数f（x）x2，xR，则（）Af（x）是奇函数Bf（x）是偶函数Cf（x）既是奇函数又是偶函数Df（x）既不是奇函数也不是偶函数【答案】B。【解答】解：因为xR，所以定义域关于原点对称，又f（x）（x）2x2f（x），所以f（x）为偶函数故选：B3（2022秋上城区校级月考）与函数的奇偶性相同，且在（0，+）上有相同的单调性的是（）Aysinx|sinx|By2|x+1|Cylog3|x|Dyex+ex【答案】D。【解答】解：根据题意，函数是幂函数，其定义域为R，是偶函数且

10、在（0，+）上递增，由此分析选项：对于A，设f（x）sinx|sinx|，其定义域为R，有f（x）sinx|sinx|f（x），是奇函数，不符合题意，对于B，设f（x）2|x+1|，其定义域为R，有f（x）2|1x|f（x），不是偶函数，不符合题意，对于C，设f（x）log3|x|，其定义域为R，有f（x）log3|x|f（x），是偶函数，在（0，+）上，f（x）log3x，为减函数，不符合题意，对于D，设f（x）ex+ex，其定义域为R，有f（x）ex+exf（x），是偶函数，又由f（x）exex，在（0，+）上，有f（x）0，f（x）为增函数，符合题意；故选：D4（2022秋安阳月考）设函

11、数f（x）ax3x3+a，若函数f（x1）的图象关于点（1，0）对称，则a（）A1B0C1D2【答案】B。【解答】解：因为函数f（x1）的图象关于点（1，0）对称，所以函数f（x）的图象关于点（0，0）对称，即f（x）为奇函数，故f（x）+f（x）a（x）3（x）3+a+ax3x3+a2a0，所以a0故选：B5（2022广东开学）下列函数与yex关于x1对称的是（）Aye.x1Bye1xCye2xDylnx【答案】C。【解答】解：根据题意，设要求函数图象上任意一点的坐标为（x，y），其关于直线x1对称的点为（2x，y），则有ye2x，即要求函数为ye2x，故选：C6（2022秋南宁月考）已知f

12、（x）是R上的奇函数，且f（2x）f（x），f（1）3，则f（2022）+f（2023）（）A3B1C1D2【答案】A。【解答】解：由题意，得f（2+x）f（x）f（x），所以f（x+4）f（x），所以f（x）是周期为4的周期函数，所以f（2022）+f（2023）f（2）+f（1），因为f（x+1）f（x+1），令x1，得f（2）f（0），因为f（x）为R上的奇函数，所以f（0）0，f（1）f（1）3，所以f（2022）+f（2023）033故选：A7（2022秋深圳月考）已知是奇函数，则tan（）A1B1CD【答案】B。【解答】解：因为f（x）是定义在R上的奇函数，所以f（0）0，即，解得

13、，所以，此时，是奇函数，所以tan1故选：B8（2022秋昭通月考）已知函数，定义域为R的函数满足g（x）+g（x）20，若函数yf（x）与yg（x）图象的交点为（x1，y1），（x2，y2），.，（x6，y6），则（）A6B12C6D12【答案】C。【解答】解：令F（X）f（x）1，则F（X）为奇函数，图象关于原点（0，0）对称，则f（x）图象关于点（0，1）对称，令G（X）g（x）1，则G（X）为奇函数，图象关于原点（0，0）对称，则g（x）图象关于点（0，1）对称，所以，故选：C9（2022秋广西月考）已知函数f（x）sin（cosx）+cos（sinx），则下列结论正确的是（）Af（x

14、）是奇函数Bf（x）的最大值为2CxR，f（x）f（x）Dx0，f（x+）0【答案】D。【解答】解：对于A，f（x）sin（cos（x）+cos（sin（x）sin（cosx）+cos（sinx）sin（cosx）+cos（sinx）f（x），f（x）为偶函数，选项A错误；对于B，由于1cosx1，则sin（cosx）的最大值为sin1，而cos（sinx）的最大值为1，f（x）的最大值为sin1+12，选项B错误；对于C，不妨取x0，则f（）sin（cos（）+cos（sin（）sin（1）+cos01sin1，而f（0）sin（cos0）+cos（sin0）sin1+1，f（0）f（0），

15、选项C错误；选项D正确，作出函数图象验证如下，由图象可知，选项D正确故选：D10（2021甲卷）设函数f（x）的定义域为R，f（x+1）为奇函数，f（x+2）为偶函数，当x1，2时，f（x）ax2+b若f（0）+f（3）6，则f（）（）ABCD【答案】D。【解答】解：f（x+1）为奇函数，f（1）0，且f（x+1）f（x+1），f（x+2）偶函数，f（x+2）f（x+2），f（x+1）+1f（x+1）+1f（x），即f（x+2）f（x），f（x+2）f（x+2）f（x）令tx，则f（t+2）f（t），f（t+4）f（t+2）f（t），f（x+4）f（x）当x1，2时，f（x）ax2+bf（0）

16、f（1+1）f（2）4ab，f（3）f（1+2）f（1+2）f（1）a+b，又f（0）+f（3）6，3a6，解得a2，f（1）a+b0，ba2，当x1，2时，f（x）2x2+2，f（）f（）f（）（2+2）故选：D二、填空题。11（2022秋宛城区校级月考）已知定义域是R的函数f（x）满足：xR，f（4+x）+f（x）0，f（1+x）为偶函数，f（1）1，则f（2023）1【答案】1。【解答】解：根据题意，函数f（1+x）为偶函数，则f（x）的图象关于直线x1对称，则有f（2x）f（x），又由xR，f（4+x）+f（x）0，则有f（2+x）f（2x），则有f（x+2）f（x），故f（x+4）f

17、（x+2）f（x），即f（x）的周期为4，则有f（2023）f（3）f（1）1；故答案为：112（2022秋朝阳区校级月考）已知函数yf（x）1是奇函数，若曲线与曲线yf（x）共有6个交点，分别为（x1，y1），（x2，y2），（x6，y6），则6【答案】6。【解答】解：由于函数yf（x）1是奇函数，则yf（x）1关于点（0，0）对称，则f（x）关于点（0，1）对称，又曲线的图象也关于点（0，1）对称，则这6个交点成对出现，所以x1+x2+x60，y1+y2+y66，所以0+66故答案为：613（2022平顶山开学）写出一个同时具有下列性质的函数f（x）：f（x）|x1|（x1）24（答案不唯

18、一）直线x1是f（x）图象的对称轴；f（x）在R上恰有三个零点【答案】f（x）|x1|（x1）24（答案不唯一）。【解答】解：根据题意，要求函数f（x）在R上恰有三个零点，即f（x）0有三个根，函数的图象关于直线x1对称，则有f（1+x）f（1x），则f（x）的解析式可以为f（x）|x1|（x1）24，故答案为：f（x）|x1|（x1）24（答案不唯一）14（2022秋永吉县校级月考）已知函数f（x）x3+bx2+x为定义在2a1，3a上的奇函数，则a+b的值为 2；f（2x1）+f（xb）0的解集为 （，3【答案】2；（，3。【解答】解：函数f（x）x3+bx2+x为定义在2a1，3a上的奇

19、函数，f（x）f（x），即（x）3+b（x）x（x3+bx2+x），且2a1+3a0，a2，b0，即f（x）x3+x为定义在5，5上的奇函数，a+b2，yx3在5，5上单调递增，yx在5，5上单调递增，f（x）x3+x在5，5上单调递增，f（2x1）+f（xb）0，即f（2x1）f（x）f（x），解得x3，即不等式得解集为（，3，故答案为：2；（，315（2022秋赣州月考）已知函数f（x）满足以下三个条件：f（x）的导函数f（x）为奇函数；f（0）0；在区间2，1上单调递增，则f（x）的一个解析式为f（x）x2+1【答案】f（x）x2+1，（答案不唯一）。【解答】解：由得f（x）为偶函数，可

20、设函数为f（x）ax2+c，由f（0）0，则c0，又在区间2，1上单调递增，所以a0，故f（x）的一个解析式为f（x）x2+1，故答案为：f（x）x2+1，（答案不唯一）16（2022秋浦东新区校级月考）已知定义域为R的函数yf（x）满足f（x+2）f（x），且g（x），h（x），现定义函数yp（x），yq（x）的解析式如下：p（x）（kZ），q（x）（kZ），关于yp（x），yq（x）现给出如下结论，其中正确结论的编号为 （2）（4）（1）函数yp（x）是奇函数；（2）函数yq（x）是偶函数；（3）函数yp（x）的最小正周期为；（4）3是函数yq（x）的一个周期【答案】（2）（4）。【解答】

21、解：由g（x）g（x），知g（x）为偶函数，因为f（x+2）f（x），所以g（x+）g（x），即g（x）的一个周期为2，当xk+（kZ）时，p（x）p（x），p（x）p（x），当xk+（kZ）时，p（x）0，满足p（x）p（x），p（x）p（x），所以p（x）是偶函数，且周期为，但不一定是最小正周期，即（1）（3）错误；由h（x）h（x），知h（x）为奇函数，因为f（x+2）f（x），所以h（x+）h（x），即h（x）的一个周期为2，当x（kZ）时，q（x）q（x），q（x）q（x），当x（kZ）时，q（x）0，满足q（x）q（x），q（x）q（x），所以q（x）是偶函数，且周期为，则3是yq

22、（x）的一个周期，即（2）（4）正确故答案为：（2）（4）三、解答题。17（2022亭湖区校级开学）已知函数f（x）loga（1+bx）（a0且a1），f（1）1，f（3）2（1）求函数f（x）的解析式；（2）请从yf（x）f（x），yf（x）f（x），yf（x）+f（x）这三个条件中选择一个作为函数g（x）的解析式，指出函数g（x）的奇偶性，并证明注：若选择多个条件分别解答，按第一个解答计分【解答】解：（1）根据题意，函数f（x）loga（1+bx）（a0且a1），f（1）1，f（3）2，则f（1）loga（1+b）1，即1+ba，又由f（3）loga（1+3b）2，即1+3ba2，联立可得

23、：a2，b1，则f（x）log2（1+x），（2）由（1）的结论，f（x）log2（1+x），其定义域为（1，+），若选择，yf（x）f（x），设g（x）f（x）f（x），则有，解可得1x1，即g（x）的定义域为（1，1），g（x）f（x）f（x）f（x）f（x）g（x），函数yf（x）f（x）为奇函数，若选择，yf（x）f（x），设g（x）f（x）f（x），则有，解可得1x1，即g（x）的定义域为（1，1），g（x）f（x）f（x）f（x）f（x）g（x），函数yf（x）f（x）为奇函数，（3）若选择，yf（x）+f（x），设g（x）f（x）+f（x），则有，解可得1x1，即g（x）的定义域

24、为（1，1），g（x）f（x）+f（x）f（x）+f（x）g（x），函数yf（x）+f（x）为偶函数18（2022南京模拟）已知函数证明：函数f（x）为奇函数【解答】证明：函数的定义域为x|x0，关于原点对称，所以，f（x）为奇函数19（2021秋沧县校级月考）已知函数是R上的偶函数（1）求a的值；（2）解方程【解答】解：（1）因为函数是R上的偶函数，所以f（x）f（x），即+1+1恒成立，即+a3x恒成立，故（a）（3x）0恒成立，因为3x不恒等于0，故a0，因为a0，所以a1（2）由（1）可知f（x）3x+1，则方程，即为3x+1，即932x823x+90，即（93x1）（3x9）0，所以

25、93x10或3x90，解得x2或x220（2022秋贵州月考）已知函数f（x）是定义域在R上的奇函数，当x0，+）时，f（x）x2+x+2x+m（1）求f（x）在（，0）上的解析式；（2）若f（2a21）+f（a）0，求a的取值范围【解答】解：（1）根据题意，函数f（x）是定义域在R上的奇函数，当x0，+）时，f（x）x2+x+2x+m，则f（0）20+m0，则m1，故当x0，+）时，f（x）x2+x+2x1，当x0时，x0，f（x）x2x+2x1，又由f（x）为奇函数，则f（x）f（x）x2+x2x+1，故f（x）在（，0）上的解析式f（x）x2+x2x+1，（2）根据题意，由（1）的结论，

26、当x0，+）时，f（x）x2+x+2x1，易得f（x）在0，+）上为增函数，而f（x）为奇函数，则f（x）在（，0上也是增函数，故f（x）在R上为增函数，若f（2a21）+f（a）0，则f（2a21）f（a）f（a），则有2a21a，变形可得2a2+a10，解可得：1a，即a的取值范围为（1，）21（2021秋昌平区校级期末）已知函数f（x）alog2（x+2）+b的图象过原点，且f（2）2（）求实数a，b的值；（）求不等式f（x）0的解集；（）若函数，判断函数g（x）的奇偶性，并证明你的结论【解答】解：（）函数f（x）alog2（x+2）+b的图象过原点，a+b0，又f（2）2，2a+b2，

27、即，解得，所以a的值为2，b的值为2（）由（）可知，f（x）2log2（x+2）2，所以不等式为2log2（x+2）20，即log2（x+2）1，x+22，x0，即不等式的解集为（0，+）（）函数g（x）为奇函数，证明如下：函数g（x），定义域为R，又g（x）g（x），函数g（x）为奇函数22（2021秋陆河县校级月考）已知函数f（x）为定义在3，3上的偶函数，其部分图象如图所示（1）请作出函数f（x）在0，3上的图象；（2）根据函数图象写出函数f（x）的单调区间及最值【解答】解：（1）由题意得f（x）在3，3上关于y轴对称，作图如图所示：（2）由图象可知：函数f（x）的单调递增区间为3，2和

28、0，2，单调递减区间为2，0和2，3；当x0时，f（x）有最小值，且f（x）min2，当x2时，f（x）有最大值，且f（x）max223（2022春双流区校级期末）已知函数（1）判断f（x）奇偶性，并说明理由；（2）当a1时，关于x的方程在区间0，上有唯一实数解，求a的取值范围【解答】解：（1）对任意xR，|x|x，即+x0对任意xR恒成立，所以函数f（x）的定义域为R，因为f（x）+f（x）ln（x）+ln（+x）ln（x2+1x2）0，所以f（x）f（x），故函数f（x）为奇函数；（2）令x2x10，则，0，f（x2）f（x1）ln（）ln（）0，则f（x2）f（x1），yf（x）在0，+

29、）上递增，又yf（x）是R上连续不断的奇函数，yf（x）在R上递增；由（1）得f（0），asin（x+）sin2xa2+a0，整理得a（sinx+cosx）sinxcosxa2+a0，在x0，上有唯一实数解，构造h（x）a（sinx+cosx）sinxcosxa2+a，x0，a1令tsinx+cosx，则t1，sinxcosx，L（t）（ta）2a2+a+（a1），在t1，1）内有且只有一个零点，1，）无零点又a1，L（t）在1，1）上为增函数；）若L（t）在1，1）内有且只有一个零点，1，）无零点则，1a+1，）若为L（t）的零点，1，）无零点，则a2+2a0，解得a，又a1，经检验a+符合

30、题意综上所述：1a或a+24（2022春秀峰区校级期中）已知定义R上的奇函数f（x），当x0时，f（x）x2+x+1（1）求函数f（x）的解析式；（2）解关于x的不等式：f（ax22x）+f（2ax）0（aR）【解答】解：（1）f（x）为定义R上的奇函数，f（0）0，当x0时，f（x）f（x）（x）2x+1x2+x1，故f（x）；（2）f（ax22x）+f（2ax）0，f（ax22x）f（ax2），当x0时，f（x）单调递增且f（x）1，且f（0）0，故f（x）在0，+）上单调递增，又f（x）为奇函数，故f（x）在R上单调递增，故ax22xax2，即ax2（a+2）x+20，即（ax2）（x1

31、）0，当a2时，x（，）（1，+）；当a2时，x（，1）（1，+）；当0a2时，x（，1）（，+）；当a0时，x（，1）；当a0时，x（，1）；综上：当a2时，x（，）（1，+）；当a2时，x（，1）（1，+）；当0a2时，x（，1）（，+）；当a0时，x（，1）；当a0时，x（，1）25（2021秋南开区校级期末）已知函数f（x）loga（3x），g（x）loga（3+x）（a0，a1），记F（x）f（x）g（x）（1）求函数F（x）的定义域；（2）判断函数F（x）的奇偶性，并说明理由；（3）是否存在实数a，使得F（x）的定义域为m，n时，值域为1logan，1logam？若存在，求出实数a

32、的取值范围；若不存在，则说明理由【解答】解：（1）F（x）f（x）g（x）loga（3x）loga（3+x）（a0，a1），由得：3x3，所以，函数F（x）的定义域为（3，3）（2）F（x）为奇函数，理由为：F（x）+F（x）loga（3x）loga（3+x）+loga（3+x）loga（3x）0，所以，F（x）F（x），且F（x）的定义域为（3，3），所以F（x）为奇函数；（3）假设存在实数a满足题目条件由题意得：m0，n0，又m，n（0，3），0mn3，又1logan1logam，logamlogan，解得a1y1+在（3，3）上单调递减，当a1时，F（x）在（3，3）上单调递减，即，所以，m，n是方程x2+（a3）x+3a0的两个不同的实根，故方程x2+（a3）x+3a0在区间（0，3）上有两个不同的实根，令h（x）x2+（a3）x+3a，则，即，解得a（0，96），又a1，所以，满足题目条件的实数a不存在