专题3.3 导数在函数最值及生活实际中的应用（解析版）.docx

1、3.3 导数在函数最值及生活实际中的应用思维导图知识点总结导数与不等式构造法证明不等式是指在证明与函数有关的不等式时，根据所要证明的不等式，构造与之相关的函数，利用函数单调性、极值、最值加以证明常见的构造方法有：(1)直接构造法：证明不等式f(x)g(x)(f(x)g(x)转化为证明f(x)g(x)0(f(x)g(x)0)，进而构造辅助函数h(x)f(x)g(x)；(2)适当放缩构造法：一是根据已知条件适当放缩，二是利用常见的放缩结论，如ln xx1，exx1，ln xxex(x0)，ln (x1)x(x1)；(3)构造“形似”函数：稍作变形再构造，对原不等式同解变形，如移项、通分、取对数，把

2、不等式转化为左、右两边是相同结构的式子的形式，根据“相同结构”构造辅助函数；(4)构造双函数：若直接构造函数求导难以判断符号，导函数零点也不易求得，因此函数单调性与极值点都不易获得，则可构造函数f(x)和g(x)，利用其最值求解零点与隐零点问题1已知函数有零点求参数范围常用的方法(1)分离参数法：一般命题情境为给出区间，求满足函数零点个数的参数范围，通常解法为从f(x)中分离出参数，然后利用求导的方法求出由参数构造的新函数的极值和最值，根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；(2)分类讨论法：一般命题情境为没有固定区间，求满足函数零点个数的参数范围，通常解法为结合单调性，

3、先确定参数分类的标准，在每个小范围内研究零点的个数是否符合题意，将满足题意的参数的各小范围并在一起，即为所求参数范围2隐零点问题的解题技巧(能够判断其存在但无法直接表示的，称之为“隐零点”)对于隐零点问题，常用代数变形、整体代换、构造函数、不等式应用等技巧典型例题分析考向一 移项作差构造函数证明不等式例1(2021南昌调研)已知函数f(x)1，g(x)bx，若曲线yf(x)与曲线yg(x)的一个公共点是A(1，1)，且在点A处的切线互相垂直(1)求a，b的值；(2)证明：当x1时，f(x)g(x).解(1)因为f(x)1，所以f(x)，f(1)1.因为g(x)bx，g(x)b.因为曲线yf(x

4、)与曲线yg(x)的一个公共点是A(1，1)，且在点A处的切线互相垂直，所以g(1)1，且f(1)g(1)1，从而g(1)a1b1，且g(1)ab11，解得ab1.(2)证明：g(x)x，则f(x)g(x)1x0.令h(x)1x(x1)，则h(1)0，h(x)11.因为x1，所以h(x)10，h(x)在1，)上单调递增，所以h(x)h(1)0，即1x0.故当x1时，f(x)g(x). 若f(x)与g(x)的最值不易求出，可构造函数h(x)f(x)g(x)，然后根据函数h(x)的单调性或最值证明不等式考向二 单变量不等式恒成立或存在性问题例2已知函数f(x).(1)若函数f(x)在区间上存在极值

5、，求正实数a的取值范围；(2)如果当x1时，不等式f(x)恒成立，求实数k的取值范围解(1)函数f(x)的定义域为(0，)，f(x)，令f(x)0，得x1.当x(0，1)时，f(x)0，f(x)单调递增；当x(1，)时，f(x)0，f(x)单调递减所以1为函数f(x)的极大值点，且是唯一的极值点，所以0a1a，故a1，即正实数a的取值范围为.(2)当x1时，k恒成立，令g(x)(x1)，则g(x).令h(x)xln x(x1)，则h(x)10，所以h(x)h(1)1，所以g(x)0，g(x)在1，)上单调递增，所以g(x)g(1)2，故k2，即实数k的取值范围是(，2.(1)“恒成立”“存在性

6、”问题一定要正确理解其实质，深刻挖掘内含条件，进行等价转化(2)构造函数是求范围问题中的一种常用方法，解题过程中尽量采用分离参数的方法，转化为求函数的最值问题考向三 构造双函数例3已知两函数f(x)8x216xm(mR)，g(x)2x35x24x，若x13，3，x23，3，恒有f(x1)g(x2)成立，求m的取值范围解若x13，3，x23，3，恒有f(x1)g(x2)成立，只需在3，3上，f(x)ming(x)min即可f(x)8x216xm8(x1)2m8，f(x)minf(1)m8，g(x)2x35x24x，g(x)6x210x42(x1)(3x2)，当x3，1)时，g(x)0，故3，1)

7、与是g(x)的单调递增区间；当x时，g(x)21，解得mx；(2)讨论函数f(x)在R上的零点个数，并求出相对应的a的取值范围解(1)证明：当a0时，f(x)exx，令g(x)f(x)xexxxex2x，则g(x)ex2.令g(x)0，得xln 2.当xln 2时，g(x)ln 2时，g(x)0，g(x)单调递增ln 2是g(x)的极小值点，也是最小值点，即g(x)ming(ln 2)eln 22ln 22ln 0，故当a0时，f(x)x成立(2)f(x)ex1，由f(x)0，得x0.所以当x0时，f(x)0时，f(x)0，f(x)单调递增所以0是函数f(x)的极小值点，也是最小值点，即f(x

8、)minf(0)1a.当1a0，即a1时，f(x)在R上没有零点当1a0，即a1时，f(x)在R上只有一个零点当1a1时，因为f(a)ea(a)aea0，所以f(x)在(，0)内只有一个零点由(1)得ex2x，令xa，得ea2a，所以f(a)eaaaea2a0，于是f(x)在(0，)内只有一个零点因此，当a1时，f(x)在R上有两个零点综上，当a1时，函数f(x)在R上有两个零点利用导数确定含参函数零点或方程根的个数的常用方法(1)构建函数g(x)(要求g(x)易求，g(x)0可解)，转化成确定g(x)的零点个数问题求解，利用导数研究该函数的单调性、极值，并确定区间端点值的符号(或变化趋势)等

9、，画出g(x)的图象草图，数形结合求解函数零点的个数(2)利用零点存在定理：先用该定理判断函数在某区间上有零点，然后利用导数研究函数的单调性、极值(最值)及区间端点值符号，进而判断函数在该区间上零点的个数考向五 已知函数零点个数求参数问题例5函数f(x)axx ln x在x1处取得极值(1)求f(x)的单调区间；(2)若yf(x)m1在定义域内有两个零点，求实数m的取值范围解(1)函数f(x)axx ln x的定义域为(0，).f(x)aln x1.因为f(1)a10，解得a1，则f(x)xx ln x，f(x)ln x.令f(x)0，解得x1；令f(x)0，解得0x1.所以f(x)的单调递增

10、区间为(1，)，单调递减区间为(0，1).(2)yf(x)m1在(0，)内有两个零点，可转化为直线ym1与yf(x)的图象有两个不同的交点由(1)知，f(x)在(0，1)上单调递减，在(1，)上单调递增，f(x)minf(1)1，当0xe时，f(x)x(1ln x)e时，f(x)0.当x0时，f(x)0；当x时，显然f(x).由图象可知，1m10，即2m1，所以实数m的取值范围是(2，1).利用函数零点求参数范围的方法(1)分离参数(ag(x)后，将原问题转化为yg(x)的值域(最值)问题或转化为直线ya与yg(x)的图象的交点个数问题(优选分离、次选分类)求解(2)利用零点存在定理构建不等式

11、求解(3)转化为两个熟悉的函数图象的位置关系问题，从而构建不等式求解(客观题常用).考向六可转化为函数零点个数的问题例6已知直线l：yx1，函数f(x)aex.(1)当a1，x0时，证明：曲线yf(x)x2在直线l的上方；(2)若直线l与曲线yf(x)有两个不同的交点，求实数a的取值范围解(1)证明：令h(x)exx2x1，则h(x)exx1，令g(x)h(x)，则g(x)ex1，当x0时，g(x)0，h(x)为增函数，所以h(x)h(0)0，从而h(x)也为增函数，得h(x)h(0)0.故exx2x1，即曲线yf(x)x2在直线l的上方(2)令(x)aexx1，则(x)aex1，当a0时，令

12、(x)0，得(x)在R上单调递减，不符合题意；当a0时，令(x)0，得xln ，所以(x)在上为减函数，在上为增函数，由已知函数(x)有两个零点，(x)minln 0，得0a1，此时(1)0，(x)在上有且只有一个零点由(1)得当x0时，(x)ax1ax2(a1)xa1，所以a(a1)a1a10.由(1)知，当x0时，h(x)0得exx1，令x1t，则ln tt1(t1)，所以1ln ，(x)在上有且只有一个零点综上，0a1.处理函数yf(x)与yg(x)图象的交点问题的常用方法(1)数形结合，即分别作出两函数的图象，观察交点情况(2)将函数交点问题转化为方程f(x)g(x)根的个数问题，通过

13、构造函数yf(x)g(x)，利用导数研究函数的单调性及极值，并作出草图，根据草图确定根的情况考向七与函数零点有关的证明问题例7已知函数f(x)ln a2x2ax.(1)讨论函数f(x)的单调性；(2)若a0且x(0，1)，求证：f(x)ex.解(1)函数f(x)的定义域为(0，)，f(x)2a2xa.若a0，则f(x)0，当x时，f(x)0；当0x时，f(x)时，f(x)0，故函数f(x)在上单调递减，在上单调递增；若a0，当x时，f(x)0；当0x时，f(x)时，f(x)0，故函数f(x)在上单调递减，在上单调递增(2)证法一：若a0且x(0，1)，则f(x)ln 1ln x.欲证f(x)e

14、x，只需证x(1ln x)0，函数g(x)在(0，1)上单调递增，所以g(x)g(1)1.设函数h(x)(1xx3)ex，则h(x)(2x3x2x3)ex.设函数p(x)2x3x2x3，则p(x)16x3x2.当x(0，1)时，p(0)p(1)8p(0)2，且p(1)0，当x(x1，1)时，h(x)h(0)1，所以x(1ln x)(1xx3)ex，x(0，1)，即f(x)ex，x(0，1).证法二：若a0且x(0，1)，则f(x)ln 1ln x，欲证f(x)ex，只需证x(1ln x)0，函数g(x)在(0，1)上单调递增所以g(x)x3，所以1xx31，又1ex1，所以g(x)1h(x)，

15、即原不等式成立证法三：若a0且x(0，1)，则f(x)ln 1ln x欲证f(x)ex，只需证x20，exe01，则x21ln xx2，则只需证明1ln xx20，令g(x)ln xx2，x(0，1)，则g(x)2xln 11210，所以ln xx20，所以x21，即原不等式成立处理函数隐性零点的三个步骤(1)确定零点的存在范围(可以由零点存在定理确定，也可以由函数的图象特征得到)；(2)根据零点的意义进行代数式的替换，替换过程中，尽可能将复杂目标式变形为常见的整式或分式，尽可能将指、对数函数式用有理式替换；(3)结合前两步，确定目标式的范围基础题型训练一、单选题1若，则()ABCD【答案】C

16、【详解】试题分析：对于A，B作出图象如图所示，可见 时，既有单调减函数区间，单调增函数区间，故都不正确；对于C，设，作如图所示，因 ，此时，在 上为减函数，故有，得 ，故C正确，D不正确，故选C. 考点：1、利用导数研究函数的单调性；2、函数的图象及数形结合思想的应用.2若函数的导函数为，且，则在上的单调增区间为ABC和D和【答案】D【详解】试题分析：由题意得，解得，又，所以单调增区间为和，选D.考点：三角函数单调区间3设，若函数在区间上有三个零点，则实数的取值范围是ABCD【答案】D【详解】令，可得.在坐标系内画出函数的图象（如图所示）.当时，.由得.设过原点的直线与函数的图象切于点，则有，

17、解得.所以当直线与函数的图象切时.又当直线经过点时，有，解得.结合图象可得当直线与函数的图象有3个交点时，实数的取值范围是.即函数在区间上有三个零点时，实数的取值范围是.选D.点睛：已知函数零点的个数（方程根的个数）求参数值（取值范围）的方法(1)直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解，对于一些比较复杂的函数的零点问题常用此方法求解.4已知在区间内任取两个不相等的实数，不等式恒成立,则实数的取值范围为ABCD【答案】D

18、【详解】pq，不妨设pq，由于，f（p）f（q）pq，得f（p）pf（q）q0，pq，g（x）f（x）x在（0，1）内是增函数，g（x）0在（0，1）内恒成立，即0恒成立，ax（2x+1）的最大值，x（0，1）时x（2x+1）3，实数a的取值范围为3，+）故选：D5已知函数，若，则的取值范围是（）ABCD【答案】A【分析】分类讨论，利用导数研究函数单调性，求出最值解决恒成立问题.【详解】函数，当，即时，满足；当，即时，若，则有，令，则有，若，易知在上单调递增，不一定都满足，即，由，解得，由，解得，所以，在上单调递增，在上单调递减，由，则有，解得，所以时，满足；当，即时，若，则有，即，易知，当且

19、仅当时取等号，当时，所以，即，所以不满足恒成立；综上，若，的取值范围是.故选：A6已知函数，在区间内任取两个实数，且，若不等式恒成立，则实数的最小值为（）ABCD【答案】C【分析】由已知不等式得新函数的切线的斜率均大于，求出的导数，由不等式恒成立求解【详解】因为在区间内任取两个实数，且，若不等式恒成立，即在区间内任取两个实数，且，若不等式恒成立，它表示函数在上任意两点间连线的斜率大于，也即在上任意两点间连线的斜率大于所以在恒成立，变形得，时，即，当且仅当时等号成立所以，的最小值为故选：C【点睛】结论点睛：本题考查函数不等式恒成立问题，解题关键掌握斜率与导数的关系时，表示图象上两点连线的斜率，而

20、当无限趋近于（）时，无限趋近于函数在点处切线的斜率，即二、多选题7已知函数的图象如图，是的导函数，则下列结论正确的是（）ABCD【答案】BCD【分析】根据导数的几何意义可得，即可判断选项AB，记，作直线AB，根据两点坐标求出直线AB的斜率，结合图形即可得出CD选项.【详解】由函数的图像可知函数是单调递增的，所以函数图像上任意一点处的导函数值都大于零，并且由图像可知，函数图像在处的切线斜率大于在处的切线斜率，所以；故A错误，B正确；记，作直线，则直线的斜率，由函数图像，可知，即.故C，D正确；故选：BCD8若存在，则称为二元函数在点处对x的偏导数，记为.已知二元函数，则（）AB关于t的函数C的最

21、小值为D关于t的函数有极小值【答案】BCD【分析】根据所给的定义分别得到、后就容易求解了.【详解】对于A、C，因为，所以，则.因为，所以当时，取得最小值，且最小值为.故A错误，C正确.对于B、D，因为，所以，则.，令，.当时；当时.所以在上单调递减，在上单调递增，所以在处取得极小值.故B、D都正确.故选：BCD三、填空题9函数的导函数f （x）= _【答案】【详解】试题分析：考点：函数求导数10某箱子的容积与底面边长的关系为，则当箱子的容积最大时，箱子的底面边长为_【答案】 40【详解】分析：令v=60x=0，解得x=40，明确函数的单调性，由此能求出当箱子的容积最大时，箱子的底面边长详解：V

22、（x）=x2（）（0x60），v=60x，0x60，令v=60x=0，解得x=0（舍去），或x=40，并求得V（40）=16000当x（0，40）时，v（x）0，v（x）是增函数；当x（40，60）时，v（x）0，v（x）是减函数，v（40）=16000是最大值当箱子容积最大，箱子的底面边长为40故答案为40点睛：求函数最值的步骤：(1) 确定函数的定义域；(2) 求导数；(3) 解方程求出函数定义域内的所有根；(4) 求出函数的极值 （5）把极值与端点值进行比较得到函数的最值.11若对任意，不等式恒成立，则实数取值的集合为_.【答案】【分析】令，则恒成立的不等式可化为，利用导数可求得的范围，

23、从而构造函数，分别讨论和的情况，结合正负可得单调性，通过可确定的取值.【详解】由得：，令，则，在上单调递增，即，则原不等式可化为在上恒成立，令，则，当时，恒成立，在上单调递增，又，当时，不合题意；当时，若，则；若，则；在上单调递减，在上单调递增；又，若，则，不合题意；若，则，不合题意；若，则，即在上恒成立，满足题意；综上所述：实数的取值集合为.故答案为：.12已知函数，下列说法正确的是_.的图像关于点对称的图象与有无数个交点的图象与只有一个交点【答案】【分析】根据函数解析式，验证函数是否满足，从而得到对称性；求导，研究函数的单调性，判断函数图像交点问题及函数值大小问题；【详解】由知，的图像关于

24、点对称，故正确；当时，当时，故的图象与无交点，错误；，当时，则，函数单减；由对称性可得当时，函数单减；则，错误；又，则由单调性知，函数在时，与只有一个交点，当时，由知，与无交点，故正确；故答案为：四、解答题13要使函数y=1+2x+4xa在x（，1时，y0恒成立，求实数a的取值范围【答案】（6，+）【详解】试题分析：由题意，得1+2x+4xa0在x（，1上恒成立，即a在x（，1上恒成立运用指数函数的性质，结合二次函数的值域求法，可得最大值，进而得到a的范围解：由题意，得1+2x+4xa0在x（，1上恒成立，即a在x（，1上恒成立又=（）2x（）x=（）x+2+，当x（，1时，（）x2，+），（

25、2+）2+=6，a6即a的取值范围是（6，+）考点：函数恒成立问题14已知函数（为常数）1）讨论函数的单调性；2）不等式在上恒成立，求实数的取值范围【答案】（1）时，递增，时，在递减，递增；（2）.【分析】（1）求出导函数，分类讨论确定的正负得单调性；（2）分离参数法变形不等式，转化为求新函数的最值，得出结论【详解】（1）函数定义域是，时，恒成立，在上是增函数；时，时，递减，时，递增（2）即在上恒成立，则，设，则，时，递增，时，递减，所以15已知函数.(1)当时，求在上的最值；(2)曲线与轴有且只有一个公共点，求的取值范围.【答案】(1)最大值为，最小值为(2)【分析】（1）当时，利用导数分析

26、函数在上的单调性，可得出函数在上的最大值和最小值；（2）对实数的取值范围进行分类讨论，利用导数分析函数的单调性，根据函数只有一个零点可得出关于实数的不等式，综合可得出实数的取值范围.【详解】（1）解：当时，则，可得或（舍）.当时，此时函数单调递减，当时，此时函数单调递增，所以，当时，又因为，则.（2）解：，则.当时，对任意的，且不恒为零，故函数在上单调递增，由零点存在定理可知，函数在区间存在唯一零点，合乎题意；当时，由可得，列表如下：增极大值减极小值增所以，函数的极大值为，极小值为，作出函数的图象如下图所示：因为函数只有一个零点，则，解得.综上所述，实数的取值范围是.16已知函数.(1)求的最

27、小值；(2)若，证明：.【答案】(1)0；(2)证明见解析.【分析】（1）利用导数求出函数的单调区间即得解；（2）即证，设，求出函数的最小值即得证.【详解】（1）解：由题意可得.由，得；由，得.则在上单调递减，在上单调递增，故.（2）证明：要证，即证，即证.设，则.由（1）可知当时，.由，得，由，得，则，当且仅当时，等号成立.即.提升题型训练一、单选题1已知函数的导函数的图象如图所示，令，则不等式的解集是ABCD-1，2【答案】A【详解】试题分析：由题根据所给函数图像得到f（x）的得到性，结合所给条件不难得到不等式的解集；由题f（x）在时，单调递减，在时，单调递增，或或，故选A.考点：利用导数

28、研究函数的性质2函数的图象大致为（）ABCD【答案】A【分析】判断函数的定义域和奇偶性，利用对称性和函数值的符号进行排除即可【详解】解：函数的定义域为，则是奇函数，图象关于原点对称，排除，当时，当时，令，当时，即在上单调递增，当时，即在上单调递减，所以时函数取得极小值，即最小值，所以恒成立；则此时恒成立，排除，故选：3已知函数，若，使得成立，则实数a的取值范围是（）ABCD【答案】A【分析】将问题转化为使得成立，通过求得导数和单调性，可得最值，再根据不等式成立，结合参数分离可得的范围【详解】，使得成立，等价为使得成立，由得，当时，此时单调递增，当时，此时单调递减，故在成立，当时，设，则，由，得

29、，所以在递减，所以，则在递减，所以，则，所以故选：A4已知函数与，设，若存在，使得，则实数的取值范围为（）ABCD【答案】C【详解】因为，所以是增函数，因为，所以.存在，使得， .即在上有解，即方程在有解，设则所以当时，是增函数；当时，是减函数. ，故选：C.5设函数在区间D上的导函数为，在区间D上的导函数为，若在区间D上，恒成立，则称函数在区间D上为“凸函数”.已知实数m为常数，若对满足的任何一个实数m，函数在区间上都为“凸函数”，则的最大值为（）A4B3C2D1【答案】C【分析】利用题意得到，则可转化成时，关于m的一次函数恒成立，可得到最大区间，即可得到答案【详解】由可得，设在区间上的导函

30、数为，当时，恒成立等价于即时，关于m的一次函数恒成立，所以且，即，解得，从而，故选：C.6已知函数在上恒不大于0，则的最大值为（）ABC0D1【答案】A【分析】先求得函数导数，当时，利用特殊值判断不符合题意.当时，根据的导函数求得的最大值，令这个最大值恒不大于零，化简后通过构造函数法，利用导数研究所构造函数的单调性和零点，并由此求得的取值范围，进而求得的最大值.【详解】，当时，则在上单调递增，所以不满足恒成立；当时， 在上单调递增，在上单调递减，所以，又恒成立，即. 设，则. 因为在上单调递增，且，所以存在唯一的实数，使得，当时，；当时，所以，解得，又，所以，故整数的最大值为.故选A.【点睛】

31、本小题主要考查利用导数研究函数的单调性和最值，考查构造函数法，考查零点存在性定理，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.二、多选题7英国数学家牛顿在17世纪给出了一种近似求方程根的方法牛顿迭代法.做法如下：如图，设是的根，选取作为初始近似值，过点作曲线的切线，与轴的交点的横坐标，称是的一次近似值，过点作曲线的切线，则该切线与轴的交点的横坐标为，称是的二次近似值.重复以上过程，得到的近似值序列，其中，称是的次近似值，这种求方程近似解的方法称为牛顿迭代法.若使用该方法求方程的近似解，则（）A若取初始近似值为1，则该方程解得二次近似值为B若取初始近似值为2，则该方程近似解的二次近似值为CD【答案

32、】ABC【分析】根据牛顿迭代法求方程近似解的方法，将初始值代入公式计算即可求解.【详解】令，则，当，故A正确；当，故B正确；因为；，故C正确，D错误.故选：ABC8已知函数，则（）AB若有两个不相等的实根，则CD若，均为正数，则【答案】AD【分析】先求导数，判断函数单调性，A,C,D结合单调性可以判断正误，B结合反例可以判断错误.【详解】对于A：，又，所以，则有，A正确；对于B：当时，为增函数；当时，为减函数；所以有极大值.若有两个不相等的正实根，不妨取，显然，此时不满足，B不正确；对于C：由B可知，在上单调递增，则有，即，则有， C不正确；对于D：令，均为正数，则，解得：，由B可知，在上单调

33、递增，则有，即，即，所以，D正确.故选：AD.【点睛】关键点点睛：本题求解的关键是利用导数求出函数的单调区间，结合单调性，比较数值的大小.三、填空题9已知e为自然对数的底数，则曲线e在点处的切线斜率为_【答案】【详解】试题分析：，所以曲线在点处的切线斜率为考点：导数的几何意义10当时，不等式恒成立，则a的取值范围是_【答案】【分析】利用换元法构成新函数，利用导数，分类讨论，根据新函数的单调性和取特殊值法，结合二次函数的性质进行求解即可.【详解】令，所以有，化简得：设函数，原问题等价于在时恒成立，当时，因此当时，单调递增，要想在时恒成立，只需，解得，而，所以；当时，因为，所以，故不成立，显然此时

34、在时不恒成立，综上所述：故答案为；【点睛】本题考查了已知不等式恒成立利用导数求参数取值范围，考查了数学运算能力.11用长为的钢条围成一个长方体形状的框架，要求长方体的长与宽之比为，问该长方体的长、宽、高各为多少时，其体积最大？最大体积是_【答案】3【分析】设长方体的宽为xm，高为hm，根据题意得到，从而得到h，再由，利用导数法求解.【详解】设长方体的宽为xm，高为hm，由题意得，则，所以，则，当时，当时，所以当时，即长方体的长为2m、宽为1m、高为1.5m时，其体积最大，最大体积是3.故答案为：312对于函数 ，我们把使 的实数 叫做函数 的零点，且有如下零点存在定理：如果函数 在区间 上的图

35、像是连续不断的一条曲线，并且有 ，那么，函数 在区间 内有零点给出下列命题：若函数 在 上是单调函数，则 在 上有且仅有一个零点；函数 有3个零点；函数 和 的图像的交点有且只有一个；设函数 对 都满足 ，且函数 恰有6个不同的零点，则这6个零点的和为18；其中所有正确命题的序号为_(把所有正确命题的序号都填上)【答案】【分析】由特殊函数和特殊值法判断；利用导数研究函数单调性判断；利用对称性判断.【详解】函数 在 上是单调函数，不一定有，故在上有且仅有一个零点是错误的，例如 在是单调函数，但其函数值恒大于0，错误；由可解得在区间 与 上是增函数，在 是减函数，故函数存在极大值 ，极小值 ，故函

36、数有三个零点，正确；的零点即为函数 和 的图像的交点，因为，所以至少有两个零点，一个在内，另一个在内，错误；由可得函数的图像关于 对称，又函数 恰有6个不同的零点，此6个零点构成三组关于 对称的点，由中点坐标公式可得出这6个零点的和为18，正确.故答案为：四、解答题13设函数，其中，是实数已知曲线与轴相切于坐标原点（1）求常数的值；（2）当时，关于的不等式恒成立，求实数的取值范围；（3）求证：【答案】（1）；（2）；（3）见解析【详解】试题分析：（1）由切线切于原点知及，可得；（2）不等式恒成立，即在上的最小值大于或等于0，因此要研究的单调性、极值，为此求得，为了确定的正负，再求导，由二阶导数

37、的正负确定一阶导数的单调性及正负，从而确定的单调性，最值对分类：，；（3）要证不等式，显然要与上面的结论有关，首先证明一个更一般的情形：对任意的正整数，不等式恒成立，等价变形为，相当于（2）中，的情形由此可证试题解析：（1）因为与轴相切于坐标原点则（2），当时，由于，有，于是在上单调递增，从而，因此在上单调递增，即而且仅有符合；当时，由于，有，于是在上单调递减，从而，因此在上单调递减，即不符；当时，令，当时，于是在上单调递减，从而，因此在上单调递减，即而且仅有不符.综上可知，所求实数的取值范围是.（3）对要证明的不等式等价变形如下：对于任意的正整数，不等式恒成立，等价变形相当于（2）中，的情形

38、，在上单调递减，即而且仅有；取，得：对于任意正整数都有成立；令得证.考点：导数的几何意义，不等式恒成立，导数与单调性、最值，不等式证明【名师点睛】本题考查导数的综合运用，考查导数的几何意义已知函数点处的切线方程，实际上已知两个条件：和在求函数的最值时，一般要研究函数的单调性，这就要求研究导数的正负，象本题导数的正负也不易确定时，还必须研究导函数的单调性，从而又要对导函数再求导，得二阶导数，由的正负确定的单调性，从而确定的正负这在导数的复杂应用中经常采用本题第（3）小题考查同学们的观察能力、想象能力，类比推理能力，要在已证结论中取特殊值得到要证的不等式，要求较高，属于难题14已知函数有极小值（1

39、）求实数的值；（2）设函数证明：当时，【答案】（1）；（2）证明见解析.【详解】试题分析：（1）由得,当时，利用导数工具可得有极大值，无极小值，与题不符当时利用导数工具可得有唯一极小值，又已知有极小值；（2）由（1）可知当时，等价于 利用导数工具可知在有最小值.设函数，利用导数工具可得在上的最大值又由于函数取最小值与函数取得最大值时的取值不相等，所以，当时，也恒成立，即成立.试题解析：（1）函数的定义域是，由得当时，将、的值随的变化列表如下：增极大值减由上表可知，时有极大值，无极小值，与题不符.当时，将、的值随的变化列表如下：减极小值增由上表可知，时，有唯一极小值，又已知有极小值，（2）由（1

40、）可知，从而当时，等价于又由（1）可知，函数在上单调递增，在上单调递减，从而函数在有最小值设函数，则，所以当时，当时，故在上单调递增，在上单调递减，从而在上的最大值为由于函数取最小值与函数取得最大值时的取值不相等，所以，当时，也恒成立，即考点：1、函数的极值；2、函数的最值；3、导数的综合应用.15已知函数，曲线在处的切线斜率为.（1）求证：函数在区间上没有零点；（2）当时，求证：.【答案】（1）见解析；（2）见解析【分析】（1）由题意得，易得，即在区间上单调递增，又，从而得证；（2）由（1）知，要证，即证的图象在图象的上方即可.【详解】（1）由题意得，.当时，在区间上单调递增，又，则函数在区

41、间上没有零点（2）由（1）知，令 ，则 ，令，解得，令，解得，则在上单调递增，在上单调递减令.当时，则函数的图象在图象的上方.当时，而，则函数的图象在图象的上方.综上所述，当时，.【点睛】本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想、转化思想，是一道综合题16形如的函数称为幂指函数，幂指函数在求导时，可以利用对数法：在函数解析式两边取对数得，两边对求导数，得，于是.已知，.(1)求曲线在处的切线方程；(2)若，恒成立，求的取值范围.【答案】(1)(2)【分析】（1）求出导函数，得出切线斜率，写出切线方程；（2）通过特殊值得出必要条件，然后证明也是充分的，为此引入函数，求出导

42、函数，再设，再求导以确定的正负，得函数的最小值(1)由，不妨设， 由幂指函数导数公式得， 所以，又，所以，曲线在处的切线方程为(2)先寻找必要条件：若恒成立，则，解得 证明充分性：当时，若恒成立，构造，则， 令，所以，因为与同号，所以，所以， ，所以，所以即为上增函数， 又因为，所以，当时，； 当时，.所以，为上减函数，为上增函数， 所以，无最大值.所以， 恒成立综上，的范围是【点睛】本题考查导数的几何意义，考查学生的阅读理解能力，创新能力，应用新知识的能力，对不等式恒成立求参数问题采取的特殊方法：先由特殊值找到必要条件，然后再证明其也是充分的，目的是解题中方便确定正负目标明确难点一是理解并应用新知识的能力，二是需要二次求导，本题属于难题