专题3.4 勾股定理（直通中考）-2023-2024学年八年级数学上册基础知识专项突破讲与练（苏科版）.docx

1、专题3.4 勾股定理（直通中考）1（2023四川泸州统考中考真题）九章算术是中国古代重要的数学著作，该著作中给出了勾股数，的计算公式：，其中，是互质的奇数下列四组勾股数中，不能由该勾股数计算公式直接得出的是（）A3，4，5 B5，12，13 C6，8，10 D7，24，252（2022山东济宁统考中考真题）如图，三角形纸片ABC中，BAC90，AB2，AC3沿过点A的直线将纸片折叠，使点B落在边BC上的点D处；再折叠纸片，使点C与点D重合，若折痕与AC的交点为E，则AE的长是（）A B C D3（2021山东滨州统考中考真题）在中，若，则点C到直线AB的距离为（）A3 B4 C5 D2.44（

2、2021内蒙古鄂尔多斯统考中考真题）如图，在中，将边沿折叠，使点B落在上的点处，再将边沿折叠，使点A落在的延长线上的点处，两条折痕与斜边分别交于点N、M，则线段的长为（）A B C D5（2021四川凉山统考中考真题）如图，中，将沿DE翻折，使点A与点B重合，则CE的长为（）A B2 C D6（2020山东淄博统考中考真题）如图，在ABC中，AD，BE分别是BC，AC边上的中线，且ADBE，垂足为点F，设BCa，ACb，ABc，则下列关系式中成立的是（） Aa2+b25c2 Ba2+b24c2 Ca2+b23c2 Da2+b22c27（2020广西统考中考真题）九章算术是古代东方数学代表作，书

3、中记载：今有开门去阃(读，门槛的意思)一尺，不合二寸，问门广几何？题目大意是：如图1、2(图2为图1的平面示意图)，推开双门，双门间隙的距离为寸，点和点距离门槛都为尺(尺寸)，则的长是（） A寸 B寸 C寸 D寸8（2011福建泉州中考真题）如图是一个边长为的正方形，小颖将图中的阴影部分拼成图的形状，由图和图能验证的式子是（） ABCD9（2019湖北黄冈统考中考真题）如图，一条公路的转弯处是一段圆弧，点是这段弧所在圆的圆心，点是的中点,D是AB的中点，且，则这段弯路所在圆的半径为（） A B C D10（2019浙江宁波统考中考真题）勾股定理是人类最伟大的科学发现之一，在我国古算书周髀算经中

4、早有记载如图1，以直角三角形的各边为边分别向外作正方形，再把较小的两张正方形纸片按图2的方式放置在最大正方形内.若知道图中阴影部分的面积，则一定能求出（） A直角三角形的面积B最大正方形的面积C较小两个正方形重叠部分的面积D最大正方形与直角三角形的面积和11（2012湖北武汉中考真题）如图，矩形ABCD中，点E在边AB上，将矩形ABCD沿直线DE折叠，点A恰好落在边BC的点F处若AE5，BF3，则CD的长是（） A7 B8 C9 D1012（2011北京中考真题）如图是油路管道的一部分，延伸外围的支路恰好构成一个直角三角形，两直角边分别为6m和8m按照输油中心O到三条支路的距离相等来连接管道，

5、则O到三条支路的管道总长（计算时视管道为线，中心O为点）是（） A2m B3m C6m D9m13（2014江苏淮安统考中考真题）如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，点、都是格点，则线段的长度为（） A5 B6 C7 D25二、填空题14（2023湖北随州统考中考真题）如图，在中，D为AC上一点，若是的角平分线，则_ 15（2022辽宁朝阳统考中考真题）如图，在RtABC中，ACB90，AB13，BC12，分别以点B和点C为圆心、大于BC的长为半径作弧，两弧相交于E，F两点，作直线EF交AB于点D，连接CD，则ACD的周长是_ 16（2022内蒙古鄂尔多斯统考中考真题）如图，AB

6、BC于点B，ABAD于点A，点E是CD中点，若BC5，AD10，BE，则AB的长是 _ 17（2022湖北黄冈统考中考真题）勾股定理最早出现在商高的周髀算经：“勾广三，股修四，经隅五”观察下列勾股数：3，4，5；5，12，13；7，24，25；，这类勾股数的特点是：勾为奇数，弦与股相差为1，柏拉图研究了勾为偶数，弦与股相差为2的一类勾股数，如：6，8，10；8，15，17；，若此类勾股数的勾为2m（m3，m为正整数），则其弦是_（结果用含m的式子表示）18（2022四川遂宁统考中考真题）“勾股树”是以正方形一边为斜边向外作直角三角形，再以该直角三角形的两直角边分别向外作正方形，重复这一过程所画

7、出来的图形，因为重复数次后的形状好似一棵树而得名假设如图分别是第一代勾股树、第二代勾股树、第三代勾股树，按照勾股树的作图原理作图，则第六代勾股树中正方形的个数为_ 19（2022黑龙江牡丹江统考中考真题）在RtABC中，C=90，AD平分CAB，AC=6，BC=8，CD=_ 20（2021湖南常德统考中考真题）如图在中，平分，于E，若，则的长为_ 21（2021湖南岳阳统考中考真题）九章算术是我国古代数学名著，书中有下列问题：“今有户高多于广六尺八寸，两隅相去适一丈问户高、广各几何？”其意思为：今有一门，高比宽多6尺8寸，门对角线距离恰好为1丈问门高、宽各是多少？（1丈10尺，1尺10寸）如图

8、， 设门高为尺，根据题意，可列方程为_ 22（2021四川成都统考中考真题）如图，数字代表所在正方形的面积，则A所代表的正方形的面积为_ 23（2020湖北武汉中考真题）如图，折叠矩形纸片，使点落在边的点处，为折痕，设的长为，用含有的式子表示四边形的面积是_ 24（2020黑龙江绥化中考真题）在中，若，则的长是_25（2011湖南常德中考真题）中，边上的高，则长为_26（2019辽宁葫芦岛中考真题）如图，在RtABC的纸片中，C90，AC5，AB13点D在边BC上，以AD为折痕将ADB折叠得到ADB，AB与边BC交于点E若DEB为直角三角形，则BD的长是_ 27（2019湖南邵阳统考中考真题）

9、公元3世纪初，中国古代数学家赵爽注周髀算经时，创造了“赵爽弦图”如图，设勾，弦，则小正方形ABCD的面积是_. 三、解答题28（2020浙江温州统考中考真题）如图，在ABC和DCE中，ACDE，BDCE90，点A，C，D依次在同一直线上，且ABDE（1）求证：ABCDCE；（2）连结AE，当BC5，AC12时，求AE的长29（2019河北统考中考真题）已知：整式，整式尝试: 化简整式发现: ，求整式联想:由上可知，当n1时为直角三角形的三边长，如图填写下表中的值：直角三角形三边勾股数组/8 勾股数组/ 30（2019四川巴中统考中考真题）如图，等腰直角三角板如图放置直角顶点C在直线m上，分别过

10、点A、B作AE直线m于点E，BD直线m于点D求证：；若设AEC三边分别为a、b、c，利用此图证明勾股定理31（2019浙江中考真题）如图，在的方格中，的顶点均在格点上，试按要求画出线段EF（E,F均为格点），各画出一条即可32（2011浙江湖州中考真题）如图，有两棵树，一棵高10米，另一棵高4米，两树相距8米.一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，问小鸟至少飞行多少米？33（2018湖南湘西统考中考真题）如图，在矩形ABCD中，E是AB的中点，连接DE、CE（1）求证：ADEBCE；（2）若AB=6，AD=4，求CDE的周长参考答案1C【分析】首先证明出，得到a，b是直角三角形的直角边然后

11、由，是互质的奇数逐项求解即可解：，a，b是直角三角形的直角边，是互质的奇数，A，当，时，3，4，5能由该勾股数计算公式直接得出；B，当，时，5，12，13能由该勾股数计算公式直接得出；C，是互质的奇数，6，8，10不能由该勾股数计算公式直接得出；D，当，时，7，24，25能由该勾股数计算公式直接得出故选：C【点拨】本题考查了勾股数的应用，通过，是互质的奇数这两个条件去求得符合题意的t的值是解决本题的关键2A【分析】根据题意可得AD = AB = 2， B = ADB， CE= DE， C=CDE，可得ADE = 90，继而设AE=x，则CE=DE=3-x，根据勾股定理即可求解解：沿过点A的直线

12、将纸片折叠，使点B落在边BC上的点D处，AD = AB = 2， B = ADB，折叠纸片，使点C与点D重合，CE= DE， C=CDE，BAC = 90，B+ C= 90，ADB + CDE = 90，ADE = 90，AD2 + DE2 = AE2，设AE=x，则CE=DE=3-x，22+(3-x)2 =x2，解得即AE=故选A【点拨】本题考查了折叠的性质，勾股定理，掌握折叠的性质以及勾股定理是解题的关键3D【分析】根据题意画出图形，然后作CDAB于点D，根据勾股定理可以求得AB的长，然后根据面积法，可以求得CD的长解：作CDAB于点D，如右图所示，ACB=90，AC=3，BC=4，AB=

13、5，解得CD=2.4，故选：D【点拨】本题考查勾股定理、三角形的面积，解答本题的关键是明确题意，画出相应的图形，利用勾股定理和面积法解答4B【分析】利用勾股定理求出AB=10，利用等积法求出CN，从而得AN，再证明NMCNCM45，进而即可得到答案解：AB=10，SABCABCNACBCCN，AN，折叠AMAM，BCNBCN，ACMACM，BCN+BCN+ACM+ACM=90，BCN +ACM45，MCN45，且CNAB，NMCNCM45，MNCN，AMAMANMN-=故选B【点拨】本题考查了翻折变换，勾股定理，等腰直角三角形的性质，熟练运用折叠的性质是本题的关键5D【分析】先在RtABC中利

14、用勾股定理计算出AB=10，再利用折叠的性质得到AE=BE，AD=BD=5，设AE=x，则CE=AC-AE=8-x，BE=x，在RtBCE中根据勾股定理可得到x2=62+（8-x）2，解得x，可得CE解：ACB=90，AC=8，BC=6，AB=10，ADE沿DE翻折，使点A与点B重合，AE=BE，AD=BD=AB=5，设AE=x，则CE=AC-AE=8-x，BE=x，在RtBCE中BE2=BC2+CE2，x2=62+（8-x）2，解得x=，CE=，故选：D【点拨】本题考查了折叠的性质：折叠前后两图象全等，即对应角相等，对应边相等也考查了勾股定理6A解：设EFx，DFy，根据三角形重心的性质得A

15、F2y，BF2EF2x，利用勾股定理得到4x2+4y2c2，4x2+y2b2，x2+4y2a2，然后利用加减消元法消去x、y得到a、b、c的关系【解答】解：设EFx，DFy，AD，BE分别是BC，AC边上的中线，点F为ABC的重心，AFACb，BDa，AF2DF2y，BF2EF2x，ADBE，AFBAFEBFD90，在RtAFB中，4x2+4y2c2，在RtAEF中，4x2+y2b2，在RtBFD中，x2+4y2a2，+得5x2+5y2（a2+b2），4x2+4y2（a2+b2），得c2（a2+b2）0，即a2+b25c2故选：A【点评】本题考查了三角形的重心：重心到顶点的距离与重心到对边中点

16、的距离之比为2：1 也考查了勾股定理7C【分析】画出直角三角形，根据勾股定理即可得到结论解：设OA=OB=AD=BC=，过D作DEAB于E，则DE=10，OE=CD=1，AE=在RtADE中，即，解得故门的宽度（两扇门的和）AB为101寸故选：C【点拨】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键8B【分析】根据图示可知，阴影部分的面积是边长为m+n的正方形的面积减去中间白色的正方形的面积m2+n2，即为四个直角边长分别为m、n的直角三角形的面积.解：大正方形面积减去小正方形面积得到图的面积，.即，故选B.【点拨】本题是利用几何图形的面积来验证等式，解题的关键是利用勾股定理及三角形面

17、积公式正确表示出左右两边的阴影部分的面积.9A【分析】根据题意，可以推出ADBD20，若设半径为r，则ODr10，OBr，结合勾股定理可推出半径r的值解：，在中，设半径为得：，解得：，这段弯路的半径为故选A【点拨】本题主要考查垂径定理的应用、勾股定理的应用，关键在于设出半径为r后，用r表示出OD、OB的长度10C【分析】根据勾股定理得到c2=a2+b2，根据正方形的面积公式、长方形的面积公式计算即可解：设直角三角形的斜边长为c，较长直角边为b，较短直角边为a，由勾股定理得，c2=a2+b2，阴影部分的面积=c2-b2-a（c-b）=a2-ac+ab=a（a+b-c），较小两个正方形重叠部分的长

18、=a-（c-b），宽=a，则较小两个正方形重叠部分底面积=a（a+b-c），知道图中阴影部分的面积，则一定能求出较小两个正方形重叠部分的面积，故选C【点拨】本题考查的是勾股定理，如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2=c211C解：DEF由DEA翻折而成，EF=AE=5，在RtBEF中，EF=5，BF=3，BE=4，AB=AE+BE=5+4=9，四边形ABCD是长方形，CD=AB=9故选：C【点拨】本题考查翻折变换（折叠问题）12C【分析】根据勾股定理求出斜边的长度，再根据三角形的面积公式，RtABC的面积等于AOB、AOC、BOC三个三角形面积的和列式求出点O到

19、三边的距离，然后乘以3即可解：设内切圆半径为r，由勾股定理可得斜边=10，则利用面积法可得：，解得管道为（m），故选：C【点拨】本题考查了角平分线上的点到两边的距离相等的性质，以及勾股定理，三角形的面积的不同表示，根据三角形的面积列式求出点O到三边的距离是解题的关键13A【分析】建立格点三角形，利用勾股定理求解的长度即可解：如图所示：AC=4,BC=3所以AB=5故选：A【点拨】本题考查了勾股定理的知识，解题的关键是掌握格点三角形中勾股定理的应用143【分析】首先证明，设，在中，利用勾股定理构建方程即可解决问题解：如图，过点D作的垂线，垂足为P，在中，AB=10，是的角平分线，设，在中，故答案

20、为：3【点拨】本题考查了角平分线的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型1518【分析】由题可知，EF为线段BC的垂直平分线，则CDBD，由勾股定理可得AC，则ACD的周长为AC+AD+CDAC+AD+BDAC+AB，即可得出答案解：由题可知，EF为线段BC的垂直平分线，CDBD，ACB90，AB13，BC12，AC=5，ACD的周长为AC+AD+CDAC+AD+BDAC+AB5+1318故答案为：18【点拨】本题考查尺规作图、线段垂直平分线的性质、勾股定理，熟练掌握线段垂直平分线的性质及勾股定理是详解本题的关键1612【分析】延长BE交A

21、D于点F，由“ASA”可证BCEFDE，可得DFBC5，BEEF，由勾股定理可求AB的长解：如图，延长BE交AD于点F，点E是DC的中点，DECE，ABBC，ABAD，ADBC， DBCE，FEDBEC， BCEFDE（ASA），DFBC5，BEEF，BF2BE13，AF=5,在RtABF中，由勾股定理可得AB12故答案为：12【点拨】本题考查了全等三角形的判定和性质，勾股定理，添加恰当辅助线构造全等三角形是本题的关键17m2+1【分析】2m为偶数，设其股是a，则弦为a+2，根据勾股定理列方程即可得到结论解：2m为偶数，设其股是a，则弦为a+2，根据勾股定理得，（2m）2+a2=（a+2）2，

22、解得a=m2-1，弦长为m2+1，故答案为：m2+1【点拨】本题考查了勾股数，勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键18127【分析】由已知图形观察规律，即可得到第六代勾股树中正方形的个数解：第一代勾股树中正方形有1+2=3（个），第二代勾股树中正方形有1+2+22=7（个），第三代勾股树中正方形有1+2+22+23=15（个），.第六代勾股树中正方形有1+2+22+23+24+25+26=127（个），故答案为：127【点拨】本题考查图形中的规律问题，解题的关键是仔细观察图形，得到图形变化的规律193解：试题分析：如图，过点D作DEAB于E，C=90，AC=6，BC=8，AB=10，AD平分

23、CAB，CD=DE，SABC=ACCD+ABDE=ACBC，即6CD+10CD=68，解得CD=3考点：1角平分线的性质，2勾股定理20【分析】证明三角形全等，再利用勾股定理即可求出解：由题意：平分，于,，又为公共边，在中，由勾股定理得：BE=4，故答案是：【点拨】本题考查了三角形全等及勾股定理，解题的关键是：通过全等找到边之间的关系，再利用勾股定理进行计算可得21【分析】先表示出BC的长，再利用勾股定理建立方程即可解：由题可知，6尺8寸即为6.8尺，1丈即为10尺；高比宽多6尺8寸，门高 AB 为 x 尺，BC=尺，可列方程为：，故答案为：【点拨】本题属于数学文化题，考查了勾股定理及其应用，

24、解决本题的关键是读懂题意，能将文字语言转化为几何语言，能用含同一个未知数的式子表示出直角三角形的两条直角边，再利用勾股定理建立方程即可22100【分析】三个正方形的边长正好构成直角三角形的三边，根据勾股定理得到字母A所代表的正方形的面积A=36+64=100解：由题意可知，直角三角形中，一条直角边的平方=36，一条直角边的平方=64，则斜边的平方=36+64故答案为：100【点拨】本题考查了正方形的面积公式以及勾股定理23【分析】首先根据题意可以设DE=EM=x，在三角形AEM中用勾股定理进一步可以用t表示出x，再可以设CF=y，连接MF，所以BF=2y，在三角形MFN与三角形MFB中利用共用

25、斜边，根据勾股定理可求出用t表示出y，进而根据四边形的面积公式可以求出答案.解：设DE=EM=x，x= ，设CF=y，连接FM，BF=2y，又FN= y，NM=1，y=，四边形的面积为：=1，故答案为：.【点拨】本题主要考查了勾股定理的综合运用，熟练掌握技巧性就可得出答案.2417【分析】在RtABC中，根据勾股定理列出方程即可求解解：在RtABC中，C=90，AB-AC=2，BC=8，AC2+BC2=AB2，即（AB-2）2+82=AB2，解得AB=17故答案为：17【点拨】本题考查了勾股定理，解答的关键是熟练掌握勾股定理的定义及其在直角三角形中的表示形式254或14/14或4【分析】根据题

26、意，可能是锐角三角形或者钝角三角形，分两种情况进行讨论作图，然后利用勾股定理即可求解解：解；在中，BC边上高，如图所示，当为锐角三角形时，在中,，由勾股定理得：，在中，由勾股定理得：，BC的长为：；如图所示，当为钝角三角形时，在中，由勾股定理得：，在中，由勾股定理得：，BC的长为：；综上可得：BC的长为：4或14故答案为：4或14【点拨】题目主要考查勾股定理，进行分类讨论作出图象运用勾股定理解直角三角形是解题关键267或【分析】由勾股定理可以求出BC的长，由折叠可知对应边相等，对应角相等，当DEB为直角三角形时，可以分为两种情况进行考虑，分别利用勾股定理可求出BD的长解：在RtABC中，由AB

27、=13,AC=5，所以BC=12，（1）当EDB90时，如图1，过点B作BFAC，交AC的延长线于点F，由折叠得：ABAB13，BDBDCF，设BDx，则BDCFx，BFCD12x，在RtAFB中，由勾股定理得：，即：x27x0，解得：x10（舍去），x27，因此，BD7（2）当DEB90时，如图2，此时点E与点C重合，由折叠得：ABAB13，则BC1358，设BDx，则BDx，CD12x，在中，由勾股定理得：，解得：，因此故答案为7或【点拨】考查轴对称的性质、直角三角形的性质、勾股定理等知识，分类讨论思想的应用注意分类的原则是不遗漏、不重复274【分析】应用勾股定理和正方形的面积公式可求解解

28、：勾，弦，股b=8，小正方形的边长，小正方形的面积故答案为4【点拨】本题运用了勾股定理和正方形的面积公式，关键是运用了数形结合的数学思想28（1）见分析；（2）13【分析】根据题意可知，本题考查平行的性质，全等三角形的判定和勾股定理，根据判定定理，运用两直线平行内错角相等再通过AAS以及勾股定理进行求解解：（1）在ABC和DCE中ABCDCE（2）由（1）可得BC=CE=5在直角三角形ACE中,AC=12所以AE=13【点拨】本题考查平行的性质，全等三角形的判定和勾股定理，熟练掌握判定定理运用以及平行的性质是解决此类问题的关键29尝试：；发现：；联想：17，37.【分析】先根据完全平方公式和整

29、式的混合运算法则求出A，进而求出B，再把n的值代入即可解答解：A=（n21）2+（2n）2=n42n2+1+4n2=n4+2n2+1=（n2+1）2A=B2，B0，B=n2+1，当2n=8时，n=4，n2+1=42+1=17；当n21=35时，n2+1=37故答案为17；37【点拨】本题考查了勾股数的定义掌握勾股数的定义是解答本题的关键30证明见分析；见分析.【分析】通过AAS证得，根据全等三角形的对应边相等证得结论；利用等面积法证得勾股定理解：证明：，在AEC与BCD中，；解：由知：又整理，得【点拨】主要考查了同角的余角相等，全等三角形的判定和性质，勾股定理的证明，解本题的关键是判断两三角形

30、全等31见分析.【分析】图1，根据格点的特征，利用全等三角形画出图形即可；图2：根据格点的特征，利用全等三角形及两锐角互余的三角形为直角三角形画出图形即可；图3：根据格点的特征，结合线段垂直平分线的判定定理画出图形即可.解：如图所示：【点拨】本题考查了格点三角形中的作图，正确利用格点的特征是解决问题的关键3210【分析】试题分析：由题意可构建直角三角形求出AC的长，过C点作CEAB于E，则四边形EBDC是矩形BE=CD,AE可求，CE=BD,在RtAEC中,由两条直角边求出AC长试题解析：如图，设大树高为AB=10m，小树高为CD=4m，过C点作CEAB于E，则四边形EBDC是矩形EB=CD=

31、4m，EC=8mAE=ABEB=104=6m连接AC，在RtAEC中，AC=10cm考点：1勾股定理的运用；2矩形性质解：请在此输入详解！33（1）证明见分析；（2）16.【分析】（1）由全等三角形的判定定理SAS即可证得结论；（2）由（1）中全等三角形的对应边相等和勾股定理求得线段DE的长度，结合三角形的周长公式解答解：证明：（1）在矩形ABCD中，AD=BC，A=B=90E是AB的中点，AE=BE，在ADE与BCE中，ADEBCE（SAS）；（2）由（1）知：ADEBCE，则DE=EC，在直角ADE中，AE=4，AE=AB=3，由勾股定理知，DE=5，CDE的周长=2DE+AD=2DE+AB=25+6=16【点拨】本题考查了全等三角形的判定和性质，矩形的性质，全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件