专题3.4 圆（全章分层练习）（培优练）-2023-2024学年九年级数学下册全章复习与专题突破讲与练（北师大版）.docx

1、专题3.4 圆（全章分层练习）（培优练）一、 单选题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）1（2023上湖北十堰九年级统考期中）如图，的顶点均在上，且，为弦的中点，弦经过点，且若的半径为2，则弦的长是（）A B C D2（2023上湖北武汉九年级统考期中）如图，四边形是内接四边形，延长交于点E，延长交于点F，是的角平分线，若，则的长为（）A B C3 D43（2023上江苏南京九年级校联考期中）如图，内接于，垂足为，则的长（）A B C D4（2022下安徽宣城九年级统考自主招生）如图， 在中，点在边上，圆与相切，与相交于点，若为中点，则的大小为（）A B C D5（2023安徽校联考二模

2、）如图，A，B两点分别为与x轴，y轴的切点，C为优弧的中点，反比例函数的图象经过点C，则k的值为（）A B8 C16 D326（2023上山东聊城九年级统考期中）如图，为半圆的直径，分别切于，两点，切于点，连接，下结论错误的是（）A BC D7（2022四川泸州二模）如图，ABC的内切圆O与AB，BC，AC相切于点D，E，F，已知AB6，AC5，BC7，则DE的长是（）A B C D8（2020湖北黄冈统考二模）如图，在中，是的平分线，经过，两点的圆的圆心恰好落在上，分别与、相交于点、若圆半径为2则阴影部分面积（）A B C D9（2019四川乐山统考中考真题）如图，抛物线与轴交于、两点，是以

3、点（0,3）为圆心，2为半径的圆上的动点，是线段的中点，连结.则线段的最大值是（ ）A B C D10（2023山东泰安统考中考真题）如图，在平面直角坐标系中，的一条直角边在x轴上，点A的坐标为；中，连接，点M是中点，连接将以点O为旋转中心按顺时针方向旋转，在旋转过程中，线段的最小值是（）A3 B C D2二、 填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分）11（2023上海模拟预测）已知钝角内接于，将沿所在直线翻折，得到，连接、，如果，那么的值为 12（2021广东江门校联考模拟预测）如图，是的直径，是的弦，垂足为，连接点为射线上一点，连接，若，则 13（2023上山东菏泽九年级统考期中）如

4、图在平面直角坐标系中，的圆心在轴上，且经过点和点，点是第二象限圆上的任意一点，且，则的圆心的坐标是 14（2023上江苏南京九年级统考期中）如图，在中，点P为上一点，过点C，D，P作，当点P从点A运动到点B时，点O运动路线的长为 15（2023上江苏无锡九年级统考期中）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴、轴分别交于、两点，为上一点，且，则所在直线的函数关系式为 ；点是线段上一点，连接交于点，当过、三点的圆与轴相切时，点的坐标为 16（2023上广东深圳九年级深圳市罗湖区滨河实验中学校考阶段练习）如图，、是的弦，过点A的切线交的延长线于点D，若，则 17（2023上湖南株洲九年级统考期末）如图，

5、连结正五边形ABCDE的各条对角线围成一个新的五边形图中有很多顶角为36的等腰三角形，我们把这种三角形称为“黄金三角形”，黄金三角形的底与腰之比为若，则 18（2023上江苏无锡九年级校联考期中）如图，为的直径，是的弦，且， ，图中阴影部分的面积为，则 三、解答题（本大题共6小题，共58分）19（8分）（2022四川成都统考中考真题）如图，在中，以为直径作，交边于点，在上取一点，使，连接，作射线交边于点（1）求证：；（2）若，求及的长20（8分）（2021上辽宁抚顺九年级统考阶段练习）如图，AB是O的直径，连接DE、DB，延长AE交BD的延长线于点M，过点D作O的切线交AB的延长线于点C（1）

6、求证：DEDM；（2）若OACD2，求阴影部分的面积21（10分）（2019河南统考中考真题）如图，在中，以AB为直径的半圆O交AC于点D，点E是上不与点B，D重合的任意一点，连接AE交BD于点F，连接BE并延长交AC于点G（1）求证：；（2）填空：若，且点E是的中点，则DF的长为 ；取的中点H，当的度数为 时，四边形OBEH为菱形22（10分）（2022湖北荆门统考中考真题）如图，AB为O的直径，点C在直径AB上（点C与A，B两点不重合），OC3，点D在O上且满足ACAD，连接DC并延长到E点，使BEBD（1）求证：BE是O的切线；（2）若BE6，试求cosCDA的值23（10分）（2022

7、四川遂宁统考中考真题）如图，是的外接圆，点O在BC上，的角平分线交于点D，连接BD，CD，过点D作BC的平行线与AC的延长线相交于点P（1）求证：PD是的切线；（2）求证：；（3）若，求点O到AD的距离24（12分）（2023上山东菏泽九年级统考期中）如图1，的直径垂直弦于点，且，（1）求的长（2）探究拓展：如图2，连接，点是上一动点，连接，延长交的延长线于点当点是的中点时，求证：；如图3，连接，当为等腰三角形时，请计算的长参考答案：1C【分析】连接，作于点，由圆心角、弧、弦关系可得，由等腰三角形三线合一的性质可知经过点，垂直平分，在中利用等边三角形的判定和性质求得，由平行线的性质求得是含30

8、角的直角三角形，然后求得，在中由勾股定理求得后再由垂径定理可得；解：如下图，连接，作于点， ，由可知是等腰三角形，由等腰三角形三线合一的性质可知，过边的中点，经过点，垂直平分，也是等腰三角形，由等腰三角形三线合一的性质可知，是等边三角形，由等腰三角形三线合一的性质可知，中，中由勾股定理可得，由垂径定理可知，故选： C【点拨】本题考查了等腰三角形的判定和性质，圆心角、弧、弦关系，勾股定理，垂径定理等知识；综合性较强，正确作出辅助线是解题关键2D【分析】本题考查圆内接四边形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，圆周角定理等知识连接，过点D作于点H证明，推出，推出，分别求出，可得结论解：连接，过

9、点D作于点H平分，是直径，故选：D3D【分析】本题考查了三角形的外接圆与外心，连接，过点作于，于，根据圆周角定理得到，根据等腰直角三角形的性质计算，求出，根据垂径定理求出，根据等腰直角三角形的性质求出，根据勾股定理求出，结合图形计算得到答案，掌握圆周角定理、垂径定理、等腰直角三角形的性质是解题的关键解：连接，过点作于，于， ， ， 四边形为矩形，在中，故选：4A【分析】设圆与相切于点E，连接，过点B作于点F，证明，再根据相似三角形的性质可得，即可得为的中线，进而可得为等腰三角形，问题随之可解解：设圆与相切于点E，连接，过点B作于点F，如图，圆与相切，为中点，为的中线，为等腰三角形，故选：A【点

10、拨】本题主要考查了切线的性质，相似三角形的判定与性质，等腰三角形的判断与性质等知识，作出合理的辅助线，证明，是解答本题的关键5A【分析】连接，过点作轴于点，延长交于点，根据切线的性质，等弧所对的圆心角相等，易得为等腰直角三角形，四边形为正方形，四边形为矩形，求出点的坐标即可解：连接，过点作轴于点，延长交于点，则：，A，B两点分别为与x轴，y轴的切点，轴，轴，轴，四边形为正方形；，；轴，轴，四边形为矩形，C为优弧的中点，故选A【点拨】本题考查求反比例函数的值，同时考查了切线的性质，等弧对等角，矩形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，勾股定理解题的关键是掌握切线的性质，构造特殊图形本题的综合性较

11、强，难度较大6D【分析】此题考查了圆的切线的性质、切线长定理、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、梯形的面积计算等知识与方法，连接，由分别切于两点，切于点，根据切线长定理得 ，则 ，可判断 正确；由是的直径得，则，于是有 ，由切线长定理 得，则 ，因此 ，可判断正确；根据“”可分别证明，则 ，可判断正确； 先由， ，证明，根据相似三角形的对应边成比例得到，故错误；正确作出所需要的辅助线是解题的关键解：如图，连接， 分别切于两点，切于点，故正确；是的直径， ， ， ，故正确；是的半径，在和中，在和中， ， ， 故正确；， ，故错误；故选：7D【分析】连接、，交于，作交BC于点G，利用

12、 ，求出，进一步可得，求出，设的半径为，利用，求出，求出，进一求出，再证明OB垂直平分，利用面积法可得，求得HE长即可求得答案解：连接、，交于，作交BC于点G，如图，AB6，AC5，BC7，即，解得：，设内切圆的半径为r，则，解得：，的内切圆与，分别相切于点，ODB=OEB=90，又OD=OE， OB=OB，BD=BE，同理， CE=CF，AD=AF，BE+CE=BC=7，BD+BE+CE+CF=14，2AD=（6+5+7）-14=4，即AD=2，垂直平分，故选：D【点拨】本题考查了三角形的内切圆性质，全等三角形的性质与判定，勾股定理，面积法等，正确添加辅助线，灵活运用相关知识是解题的关键8C

13、【分析】连接OD，OF首先证明ODAC，推出S阴S扇形OFA，再证明AOF是等边三角形即可解决问题解：连接OD，OFAD是BAC的平分线， DABDAC，ODOA，ODAOAD，ODADAC，ODAC，ODBC90，SAFDSOFA， S阴S扇形OFA，ODOA2，AB6，OB4，OB2OD，B30，A60，OFOA，AOF是等边三角形，AOF60，S阴S扇形OFA.故选：C【点拨】本题考查扇形的面积，等边三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是添加常用辅助线，用转化的思想思考问题9C【分析】根据抛物线解析式可求得点A（-4,0），B（4,0），故O点为AB的中点，又Q是AP上的中

14、点可知OQ=BP，故OQ最大即为BP最大，即连接BC并延长BC交圆于点P时BP最大，进而即可求得OQ的最大值解：连结BP，抛物线与轴交于A、两点，当y=0时，解得，A（-4,0），B（4,0），即OA=4，在直角COB中，BC=，Q是AP上的中点，O是AB的中点，OQ为ABP中位线，即OQ=BP，又P在圆C上，且半径为2，当B、C、P共线时BP最大，即OQ最大，此时BP=BC+CP=5+2=7，OQ=BP=故选择C【点拨】本题考查了勾股定理求长度，二次函数解析式求点的坐标及线段长度，中位线，点到圆上最长的距离，解本题的关键是将求OQ最大转化为求BP最长时的情况10A【分析】如图所示，延长到E，

15、使得，连接，根据点A的坐标为得到，再证明是的中位线，得到；解得到，进一步求出点C在以O为圆心，半径为4的圆上运动，则当点M在线段上时，有最小值，即此时有最小值，据此求出的最小值，即可得到答案解：如图所示，延长到E，使得，连接，的一条直角边在x轴上，点A的坐标为，点M为中点，点A为中点，是的中位线，；在中，将以点O为旋转中心按顺时针方向旋转，点C在以O为圆心，半径为4的圆上运动，当点M在线段上时，有最小值，即此时有最小值，的最小值为，的最小值为3，故选A【点拨】本题主要考查了一点到圆上一点的最值问题，勾股定理，三角形中位线定理，坐标与图形，含30度角的直角三角形的性质等等，正确作出辅助线是解题的

16、关键11/【分析】延长交于，设交于、，连接，设，由翻折知是的垂直平分线，则，说明，得，则，再利用，可得，从而解决问题解：延长交于，设交于、，连接，如图，设，由翻折知是的垂直平分线，在和中，（），在中，由勾股定理得，解得，故答案为：【点拨】本题主要考查了三角形的外接圆，等腰三角形的性质，翻折的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，三角函数等知识，运用相似三角形的性质表示出是解题的关键，综合性较强，属于中考压轴题12或【分析】连接，设的半径为，则，由可得，由勾股定理可得，分两种情况：当点在上时，证明为的中位线，得到，再根据正切的定义进行计算，当在的延长线上时，由平行线分线段成比例可得，从而得到，

17、再根据正切的定义进行计算，即可得到答案解：连接，如图，设的半径为，则，在中，在中，即，解得：，当点在上时，作于，如图，则，点为的中点，为的中位线，在中， 当在的延长线上时，作于，如图，则，在中， 综上所述，或，故答案为：或【点拨】本题主要考查了垂径定理、勾股定理、与三角形中位线有关的计算、平行线分线段成比例、正切的定义，熟练掌握以上知识点，添加适当的辅助线，采用分类讨论的思想解题，是解此题的关键13【分析】本题考查了圆周角定理和坐标与图形性质，三角形全等的性质和判定，作辅助线，构建三角形全等，根据圆周角定理得：，再证明，根据，根据线段的和差关系即可求解，作辅助线构建三角形全等是关键解：连接，过

18、作轴于，过作 轴于，则，和点，故答案为：14【分析】依题意，是的外接圆，结合四边形是平行四边形，得，根据勾股定理以及中位线性质得，因为，得四边形是矩形，则，那么，结合三角函数，即可作答解：依题意，过点C，D，P作，故当点与点重合时,此时点为点，圆心为点，当点与点重合时, 此时点为点，圆心为点，过点D作，如图所示：则是的垂直平分线，与相交于一点，为，是的垂直平分线，与相交于一点，为，与相交于一点，为；因为四边形是平行四边形所以是的对角线的交点，那么四边形是矩形，因为，所以，故， 所以点是的中点当点P从点A运动到点B时，点O运动路线的长为；因为，所以则，那么，故因为，则即所以故答案为：【点拨】本题

19、考查了三角形的外接圆，以及平行四边形的性质，勾股定理，直角三角形的性质，三角函数，难度较大，综合性较强，三角形的外接圆是三边的垂直平分线的交点，熟练掌握垂直平分线的性质是解题的关键15 【分析】先求得，根据待定系数法即可求得直线的解析式，过、三点的圆为，过点作于点，轴于点，连接、，如图，设，证四边形为矩形，得，由切线性质得，由勾股定理得，进而得，从而利用两点间距离公式得，解方程即可得点的坐标解：当时，解得，则，当时，则，设直线的解析式为，把，分别代入得，解得，直线的解析式为，过、三点的圆为，过点作于点，轴于点，连接、，如图，设，四边形为矩形，与轴相切，为的半径，在中，解得，（舍去），点坐标为故

20、答案为：，【点拨】本题主要考查了切线的判定、勾股定理、求一次函数的解析式，一次函数的图像及性质、矩形的判定及性质，熟练掌握切线的判定、勾股定理、求一次函数的解析式以及一次函数的图像及性质是解题的关键1635【分析】连接并延长交于点E，连接，根据切线的性质可得，从而求出，然后利用直径所对的圆周角是直角可得，从而利用直角三角形的两个锐角互余可求出的度数，最后根据同弧所对的圆周角相等，即可解答解：连接并延长交于点E，连接，如图：与相切于点A，是的直径，故答案为：35【点拨】本题考查了切线的性质，圆周角定理，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键17【分析】设由题意可知，由，可得，列

21、出方程即可解决问题解：设由题意可知，同理，整理得，或不合题意舍去，故答案为：【点拨】本题考查正五边形的性质、相似三角形的判定和性质、等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，学会构建方程解决问题，属于中考填空题中的压轴题18【分析】本题考查不规则图形的面积，连接，根据可得，可把图中阴影图形的面积转化成一个半圆的面积，进而用勾股定理求解即可解：如图，连接，即图中阴影部分的面积与扇形的面积相等，图1中阴影部分的面积与扇形的面积相等，图1中，圆O的面积为，而图1中阴影部分的面积为图1中阴影部分的面积占圆面积的一半，如图2，扇形的面积与图1中阴影部分的面积相等，扇形的面积与

22、图1中阴影部分的面积相等，为的直径，在图2中，中，即，故答案为：19（1）见分析；（2）BF=5，【分析】（1）根据中，得到A+B=ACF+BCF=90，根据，得到B=BCF，推出A=ACF； （2）根据B=BCF，A=ACF，得到AF=CF，BF=CF，推出AF=BF= AB，根据，AC=8，得到AB=10，得到BF=5，根据，得到，连接CD，根据BC是O的直径，得到BDC=90，推出B+BCD=90，推出A=BCD，得到，推出，得到，根据FDE=BCE，B=BCE，得到FDE=B，推出DEBC，得到FDEFBC，推出，得到（1）解：中，A+B=ACF+BCF=90，B=BCF，A=ACF；

23、（2）B=BCF，A=ACFAF=CF，BF=CF，AF=BF= AB，AC=8，AB=10，BF=5，连接CD，BC是O的直径，BDC=90，B+BCD=90，A=BCD，FDE=BCE，B=BCE，FDE=B，DEBC，FDEFBC，【点拨】本题主要考查了圆周角，解直角三角形，勾股定理，相似三角形，解决问题的关键是熟练掌握圆周角定理及推论，运用勾股定理和正弦余弦解直角三角形，相似三角形的判定和性质20（1）见详解；（2）【分析】（1）连接AD，根据弦、弧之间的关系证明DB=DE，证明AMDABD，得到DM=BD，得到答案（2）连接OD，根据已知和切线的性质证明OCD为等腰直角三角形，得到D

24、OC=45，根据S阴影=SOCD-S扇OBD计算即可；解：（1）如图，连接AD，AB是O直径，ADB=ADM=90，又，ED=BD，MAD=BAD，在AMD和ABD中，AMDABD，DM=BD，DE=DM；（2）如上图，连接OD，CD是O切线，ODCD，OA=CD=，OA=OD，OD=CD=，OCD为等腰直角三角形，DOC=C=45，S阴影=SOCDS扇OBD=；【点拨】本题考查的是切线的性质、弦、弧之间的关系、扇形面积的计算，掌握切线的性质定理和扇形的面积公式是解题的关键，注意辅助线的作法21（1）见分析；（2）30【分析】（1）利用直径所对的圆周角是直角，可得，再应用同角的余角相等可得，易

25、得，得证；（2）作，应用等弧所对的圆周角相等得，再应用角平分线性质可得结论；由菱形的性质可得，结合三角函数特殊值可得解：（1）证明：如图1，AB是的直径，；（2）如图2，过F作于H，点E是的中点，即，即，故答案为连接OE，EH，点H是的中点，四边形OBEH为菱形，故答案为【点拨】本题主要考查了圆的性质，垂径定理，等腰直角三角形的性质，菱形的性质，解直角三角形，特殊角的三角函数值等，关键在灵活应用性质定理22（1）证明见分析；（2）【分析】（1）根据直径所对的圆周角是直角可得ADB90，从而可得BDE+ADC90，根据等腰三角形的性质以及对顶角相等可得ECBADC，然后根据等腰三角形的性质可得E

26、BDE，从而可得E+BCE90，最后利用三角形内角和定理可得EBC90，即可解答；（2）设O的半径为r，则ACAD3+r，在RtABD中，利用勾股定理可求出r5，从而求出BC2，然后在RtEBC中，根据勾股定理可求出EC的长，从而利用锐角三角函数的定义进行计算即可解答解：（1）证明：AB为O的直径，ADB90，BDE+ADC90，ACAD，ACDADC，ACDECB，ECBADC，EBDB，EBDE，E+BCE90，EBC180（E+ECB）90，OB是O的半径，BE是O的切线；（2）解：设O的半径为r，OC3，ACADAO+OC3+r，BE6，BDBE6，在RtABD中，BD2+AD2AB2

27、，36+（r+3）2（2r）2，r15，r23（舍去），BCOBOC532，在RtEBC中，EC2，cosECB，cosCDAcosECB，cosCDA的值为【点拨】本题考查了切线的判定与性质，解直角三角形，熟练掌握切线的判定与性质，以及锐角三角函数的定义是解题的关键23（1）见分析；（2）见分析；（3）点O到AD的距离为【分析】（1）连接OD，证明，则，即可得证；（2）由，可得，根据四边形ABDC为圆内接四边形，又，可得，即可证明；（3）过点O作于点E，由，根据相似三角形的性质可求得，证明，继而求得，在中，利用勾股定理即可求解解：（1）证明：连接OD，AD平分，又BC为直径，O为BC中点，又

28、OD为半径，PD是的切线；（2）证明：，四边形ABDC为圆内接四边形，又，（3）过点O作于点E，BC为直径，又，由（2）知，又，在中，点O到AD的距离为【点拨】本题考查了切线的性质与判定，圆内接四边形对角互补，相似三角形的性质与判定，勾股定理，掌握以上知识是解题的关键24（1）；（2）见分析；的长为或【分析】（1）先求得的直径为10，再利用垂径定理求得，在中，利用勾股定理即可求解；（2）连接，由点G是的中点，推出，根据等角的余角相等即可证明结论成立；分两种情况讨论，当和时，证明，利用相似三角形的性质求解即可.（1）解：连接，的直径垂直弦AB于点E，且，在中，；（2）解：连接，点G是的中点，的直径垂直弦AB于点E，；当时， 在中，即，；当时，在中，在中，同理，即，；综上，的长为或【点拨】本题考查了圆周角定理，垂径定理，相似三角形的判定和性质，勾股定理，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件