专题30 双曲线及其性质（教师版）.docx

1、专题30 双曲线及其性质（核心考点精讲精练）1. 近几年真题考点分布圆锥曲线近几年考情考题示例考点分析关联考点2023年全国乙（文科），第11题,5分直线与圆的位置关系，参数方程2023年全国乙（文科），第13题,5分根据抛物线上的点求标准方程，抛物线的定义2023年全国乙（理科），第3题,5分2023年全国乙（文科），第3题,5分通过三视图求几何体的表面积2023年全国乙（理科），第5题,5分2023年全国乙（文科），第7题,5分根据标准方程确定圆的圆心和半径几何概型2023年全国乙（理科），第11题,5分2023年全国乙（文科），第12题,5分直线与双曲线的位置关系，求线段的中点坐标202

2、3年全国乙（理科），第12题,5分直线与圆的位置关系向量的数量积2023年全国乙（理科），第20题,12分2023年全国乙（文科），第21题,12分1、根据离心率求椭圆方程；2、椭圆中的定点问题；2023年全国甲（文科），第7题,5分椭圆中焦点三角形的面积问题2023年全国甲（理科），第8题,5分2023年全国甲（文科），第9题,5分双曲线的渐近线、离心率、圆的中点弦2023年全国甲（理科），第12题,5分椭圆的定义、焦点三角形2023年全国甲（理科），第20题,12分2023年全国甲（文科），第20题,12分1、根据直线与抛物线相交所得弦长求抛物线方程；2、抛物线中的三角形面积问题2. 命题

3、规律及备考策略【命题规律】1.根据定义，平面内、是两定点，动点到两个定点的距离之差的绝对值为常数(小于定点间距离)，即(为常数)，则动点的轨迹是双曲线。根据定义，若动点到定点与到定直线的距离之比是常数，则动点的轨迹是双曲线； 2.双曲线在坐标轴上的取值区域为、或者、；双曲线关于坐标轴和原点对称；3.双曲线有两个顶点、，这两点在横轴上，且叫做双曲线的实轴，长度为；另外，还有两个顶点、，这两点在纵轴上，且叫做双曲线的虚轴，长度为；4.双曲线有两条渐近线，横轴为，竖轴为；5.双曲线的离心率，其中是双曲线的半焦距。离心率取值范围为；6.双曲线上的一点到定点的距离和到定直线(相应准线)的距离的比等于双曲

4、线的离心率；7.圆锥曲线上任意一点到焦点距离可以通过焦半径公式计算。过右焦点的半径，过左焦点的半径；8.当双曲线的实轴与虚轴长相等时，即，双曲线的离心率2；【备考策略】1.了解双曲线产生的实际背景,感受双曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用.2.了解双曲线的定义、几何图形和标准方程,以及它的简单几何性质.3.通过对双曲线的学习,进一步体会数形结合的思想.【命题预测】1.双曲线的定义和基本属性可能会继续是考查的重点。这包括双曲线的定义、取值范围、对称性、顶点、渐近线等； 2.双曲线的几何性质也是一个可能的考查重点。双曲线的离心率和焦半径公式等，这些不仅涉及到双曲线的形状和大小，还涉及到双曲线

5、与坐标轴和焦点等的关系； 3.在考查双曲线的计算时，可能会在复杂度上有所提升； 知识讲解一、双曲线的定义平面内到两个定点的距离之差的绝对值等于常数 (小于|)的点的集合叫作双曲线,这两个定点叫作双曲线的焦点,两焦点间的距离叫作双曲线的焦距.(1)定义的数学表达式为|PF1|-|PF2|=2a(02a|F1F2|).(2)在双曲线的定义中,当时,动点的轨迹是两条射线;当|时,动点的轨迹不存在.二、双曲线的标准方程和几何性质标准方程图形(续表)标准方程性质范围或,或对称性对称轴:坐标轴,对称中心:原点顶点渐近线离心率,(1,+),其中轴线段叫作双曲线的实轴,它的长|=2a;线段叫作双曲线的虚轴,它

6、的长|=2b.叫作双曲线的实半轴长,叫作双曲线的虚半轴长,的关系a2+b2三、等轴双曲线实轴和虚轴等长的双曲线叫作等轴双曲线,其渐近线方程为y=x,离心率e=2.双曲线的几个常用结论(1)与双曲线有共同渐近线的双曲线系的方程为.(2)焦点到渐近线的距离为.(3)双曲线为等轴双曲线双曲线的离心率双曲线的两条渐近线互相垂直(位置关系).(4)过双曲线的一个焦点且与实轴垂直的弦的长为.四、直线和双曲线的位置关系1.直线和双曲线的位置关系有三种:相交、相切、相离.设双曲线方程为,直线方程为,将直线方程与双曲线方程联立,消去得到关于的方程,(1)若,当时,直线与双曲线有两个公共点;当=0时,直线与双曲线

7、只有一个公共点;当0时,直线与双曲线无公共点.(2)若,则直线与双曲线只有一个公共点,此时直线与双曲线的渐近线平行.2.弦长公式:设直线交双曲线于点,则,或.3.双曲线的切线方程双曲线在其上一点处的切线方程为.双曲线的定义及应用(1)利用双曲线的定义判断平面内动点的轨迹是否为双曲线,进而根据要求可求出曲线方程;(2)在“焦点三角形”中,常利用正弦定理、余弦定理,经常用定义,运用平方的方法,建立与的联系.求双曲线的标准方程的方法1.定义法:由题目条件判断出动点轨迹是双曲线,由双曲线的定义确定或,从而求出,写出双曲线方程.2.待定系数法:先确定焦点在轴上还是在轴上,设出标准方程,再由条件确定的值,

8、即“先定型,再定量”,如果焦点位置不好确定,可将双曲线方程设为,再根据条件求的值.求双曲线的离心率或其范围的方法:(1)求的值,由直接求;(2)列出含有的齐次方程(或不等式),借助于消去,然后转化成关于的方程(或不等式)求解.求与渐近线有关的双曲线方程的常用方法:(1)与双曲线共渐近线的方程可设为;(2)若双曲线的渐近线方程为,则双曲线的方程可设为.求解与双曲线有关的范围(或最值)问题的方法(1)点在双曲线上,求相关式子(目标函数)的取值范围,常转化为函数的最值问题解决.(2)求双曲线焦距的最值问题,解题关键是掌握双曲线渐近线的定义和均值不等式求最值的方法,在使用均值不等式求最值时,要检验等号

9、是否成立.(1)解答直线与双曲线的公共点问题时,不仅要考虑判别式,更要注意当二次项系数为0时,直线与渐近线平行的特殊情况.(2)双曲线与直线只有一个公共点的问题,应分两种情况讨论:双曲线与直线相切或直线与双曲线的渐近线平行.(3)注意对直线l的斜率是否存在进行讨论.解决综合问题时,可以仿照椭圆的处理思路,借助于方程思想,将问题进行化归,然后利用直线与双曲线的位置关系进行求解.(1)解决与双曲线有关的应用问题时,除了要准确把握题意,了解一些实际问题的相关概念之外,还要注意双曲线的定义的灵活运用.(2)实际应用问题要注意其实际意义以及在该意义下隐藏着的变量的取值范围.考点一、双曲线的定义及应用1双

10、曲线的两个焦点分别是，点是双曲线上一点且满足，则的面积为（）ABCD【答案】C【分析】设，可得，中再利用余弦定理可得，由面积公式即可求得答案.【详解】，所以，在双曲线上，设，由，在中由余弦定理可得：，故，由可得，直角的面积.2（2020年浙江省高考数学试题）已知点O（0，0），A（2，0），B（2，0）设点P满足|PA|PB|=2，且P为函数y=图像上的点，则|OP|=（）ABCD【答案】D【分析】根据题意可知，点既在双曲线的一支上，又在函数的图象上，即可求出点的坐标，得到的值【详解】因为，所以点在以为焦点，实轴长为，焦距为的双曲线的右支上，由可得，即双曲线的右支方程为，而点还在函数的图象上，

11、所以，由，解得，即【点睛】本题主要考查双曲线的定义的应用，以及二次曲线的位置关系的应用，意在考查学生的数学运算能力，属于基础题3已知分别是双曲线的左、右焦点，动点P在双曲线的左支上，点Q为圆上一动点，则的最小值为（）A6B7CD5【答案】A【分析】由双曲线的定义及三角形的几何性质可求解.【详解】如图，圆的圆心为，半径为1，当，三点共线时，最小，最小值为，而，所以故选：A4（2023届广东省教学质量检测数学试题）已知为双曲线的左焦点，为其右支上一点，点，则周长的最小值为（）ABCD【答案】B【分析】设双曲线的右焦点为，由双曲线方程可求出，b，c的值，利用双曲线的定义以及三点共线即可求出的周长的最

12、小值【详解】设双曲线的右焦点为，由双曲线的方程可得：，则，所以，且，所以，的周长为，当且仅当M，P，A三点共线时取等号，则周长的最小值为5若方程表示双曲线，则m的取值范围是（）ABCD【答案】A【分析】根据双曲线的定义可知与同号，从而可求出m的取值范围【详解】因为方程表示双曲线，所以，解得.1设，分别是双曲线的左右焦点，是该双曲线上的一点，且，则的面积等于（）ABCD【答案】C【分析】根据双曲线定义得到，用余弦定理和面积公式求出答案.【详解】设，则由双曲线的定义可得：，所以，故，又，故，故，所以的面积为.2已知是双曲线的左焦点，是双曲线右支上的动点，则的最小值为（）A9B8C7D6【答案】A【

13、分析】由双曲线方程求出，再根据点在双曲线的两支之间，结合可求得答案【详解】由，得，则，所以左焦点为，右焦点，则由双曲线的定义得，因为点在双曲线的两支之间，所以，所以，当且仅当三点共线时取等号，所以的最小值为9.3双曲线过焦点的弦AB，A、B两点在同一支上且长为m，另一焦点为，则的周长为（）A4aB4amC4a2mD4a2m【答案】C【分析】由双曲线定义得到，两式相加得到，进而求出周长.【详解】由双曲线的定义得：，两式相加得：，即，所以，故的周长为.4（2023届广东省联考数学试题）“k2”是“方程表示双曲线”的（）A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件【答案】A【

14、分析】由充分条件和必要条件的定义，双曲线方程的定义进行分析即可【详解】方程为双曲线，或，“”是“方程为双曲线”的充分不必要条件.考点二、双曲线的标准方程1（2022年高考天津卷数学真题）已知抛物线分别是双曲线的左、右焦点，抛物线的准线过双曲线的左焦点，与双曲线的渐近线交于点A，若，则双曲线的标准方程为（）ABCD【答案】C【分析】由已知可得出的值，求出点的坐标，分析可得，由此可得出关于、的方程组，解出这三个量的值，即可得出双曲线的标准方程.【详解】抛物线的准线方程为，则，则、，不妨设点为第二象限内的点，联立，可得，即点，因为且，则为等腰直角三角形，且，即，可得，所以，解得，因此，双曲线的标准方

15、程为.2已知双曲线满足，且与椭圆有公共焦点，则双曲线的方程为（ ）ABCD【答案】A【分析】根据题意，结合椭圆与双曲线的几何性质，列出方程，求得的值，即可求解.【详解】由椭圆的标准方程为，可得，即，因为双曲线的焦点与椭圆的焦点相同，所以双曲线中，半焦距，又因为双曲线满足，即，又由，即，解得，可得，所以双曲线的方程为.3设双曲线C：（，）的左焦点为F，直线过点F且与双曲线C在第二象限的交点为P，其中O为坐标原点，则双曲线C的方程为（）ABCD【答案】D【分析】将左焦点坐标代入中可求出，设右焦点为N，连接，则三角形为直角三角形，可得，然后利用双曲线的定义列方程可求出，从而可求出双曲线的方程【详解】

16、设左焦点F的坐标为，由点F过直线，所以，解得，设右焦点为N，连接，.由，故三角形为直角三角形，即,又因为直线斜率为，设直线倾斜角为，则.又，则，由双曲线定义，则，所以，所以所以双曲线C的方程为.1（2021年北京市高考数学试题）若双曲线离心率为，过点，则该双曲线的方程为（）A BCD【答案】B【分析】分析可得，再将点代入双曲线的方程，求出的值，即可得出双曲线的标准方程.【详解】，则，则双曲线的方程为，将点的坐标代入双曲线的方程可得，解得，故，因此，双曲线的方程为.2（2023年新高考天津数学高考真题）双曲线的左、右焦点分别为过作其中一条渐近线的垂线，垂足为已知，直线的斜率为，则双曲线的方程为（

17、）A B C D【答案】D【分析】先由点到直线的距离公式求出，设，由得到，.再由三角形的面积公式得到，从而得到，则可得到，解出，代入双曲线的方程即可得到答案.【详解】如图，因为，不妨设渐近线方程为，即，所以，所以.设,则，所以，所以.因为,所以，所以，所以，所以，因为，所以，所以，解得，所以双曲线的方程为.3与双曲线有公共焦点，且过点的双曲线方程为 【答案】【分析】设双曲线方程为，将点代入，解得，即可求解【详解】解：设双曲线方程为，将点代入，即，解得或（舍去），故所求双曲线方程为考点三、双曲线的几何性质1已知双曲线C的离心率为是C的两个焦点，P为C上一点，若的面积为，则双曲线C的实轴长为（）A

18、1B2C3D4【答案】B【分析】根据双曲线的定义，在中，运用余弦定理，并结合和的面积建立方程，解出方程即可【详解】根据双曲线的定义，可得：又：解得：，双曲线C的离心率为，则有：在中，由余弦定理，可得：则有：的面积为，可得：解得：故双曲线C的实轴长为：22（2017年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（新课标1卷）已知F是双曲线C：的右焦点，P是C上一点，且PF与x轴垂直，点A的坐标是(1，3)，则的面积为（ ）ABCD【答案】D【详解】由得，所以，将代入，得，所以，又点A的坐标是(1，3)，故APF的面积为点睛:本题考查圆锥曲线中双曲线的简单运算，属容易题由双曲线方程得，结合PF与x轴垂直，

19、可得，最后由点A的坐标是(1，3)，计算APF的面积3若双曲线mx2ny21的焦点在y轴上，则（）Am0，n0，n0Cm0nDn00，b0）的右焦点，O为坐标原点，以OF为直径的圆与圆x2+y2=a2交于P、Q两点若|PQ|=|OF|，则C的离心率为（ ）ABC2D【答案】A【分析】准确画图，由图形对称性得出P点坐标，代入圆的方程得到c与a关系，可求双曲线的离心率【详解】设与轴交于点，由对称性可知轴，又，为以为直径的圆的半径，为圆心，又点在圆上，即【点睛】本题为圆锥曲线离心率的求解，难度适中，审题时注意半径还是直径，优先考虑几何法，避免代数法从头至尾，运算繁琐，准确率大大降低，双曲线离心率问题

20、是圆锥曲线中的重点问题，需强化练习，才能在解决此类问题时事半功倍，信手拈来11已知双曲线（其中，）的焦距为，其中一条渐近线的斜率为2，则 【答案】2【分析】根据渐近线斜率求得，根据焦距求得c的值，利用a,b,c的平方关系得到关于a的方程，求得a的值.【详解】双曲线的的渐进线方程为，一条渐近线的斜率为2，即,又，,.12（2023届福建省适应性练习卷（省质检）数学试题）已知双曲线C：（a0，b0）的离心率为，左，右焦点分别为，关于C的一条渐近线的对称点为P.若，则的面积为（）A2BC3D4【答案】D【分析】设与渐近线交于，由对称性知且，在直角中可求得，再由求得的面积.【详解】设与渐近线交于，则，

21、所以，由分别是与的中点，知且，即，由得，所以.13（2023届浙江省教学质量检测（二模）数学试题）费马定理是几何光学中的一条重要原理，在数学中可以推导出圆锥曲线的一些光学性质例如，点P为双曲线（，为焦点）上一点，点P处的切线平分已知双曲线C：，O为坐标原点，l是点处的切线，过左焦点作l的垂线，垂足为M，则 【答案】2【分析】延长交延长线于点，结合题意得点为的中点，从而得到，再结合双曲线的定义即可求解【详解】如图，延长交延长线于点，因为点是的角平分线上的一点，且，所以点为的中点，所以，又点为的中点，且，所以14已知椭圆的左右顶点是双曲线的顶点，且椭圆的上顶点到双曲线的渐近线距离为(1)求椭圆的方

22、程；(2)点F为椭圆的左焦点，不垂直于x轴且不过F点的直线l与曲线相交于A、B两点，若直线FA、FB的斜率之和为0，则动直线l是否一定经过一定点？若存在这样的定点，则求出该定点的坐标；若不存在这样的定点，请说明理由【答案】(1)；(2)存在，.【分析】（1）由双曲线顶点求出a，再由点到直线距离求出b作答.（2）设出直线l的方程，与双曲线方程联立，利用韦达定理及斜率坐标公式计算、推理作答.（1）双曲线的顶点坐标为，渐近线方程为，依题意，椭圆上顶点为到直线的距离，解得，所以椭圆的方程为（2）依题意，设直线l的方程为，、，点，由消去y并整理得，则，直线FA、FB的斜率之和为，即，有，整理得，此时，否

23、则，直线l过F点，因此当且，即且时，直线l与椭圆交于两点，直线l：，所以符合条件的动直线l过定点15（2023届江苏省调研测试数学试题）已知双曲线的左顶点为，过左焦点的直线与交于两点.当轴时，的面积为3.(1)求的方程；(2)证明：以为直径的圆经过定点.【答案】(1)；(2)证明见解析；【分析】（1）根据题意，可得，进而求解；（2）设方程为，联立直线和双曲线方程组，可得，以为直径的圆的方程为，由对称性知以为直径的圆必过轴上的定点，进而得到，进而求解.【详解】（1）当轴时，两点的横坐标均为，代入双曲线方程，可得，即，由题意，可得，解得，双曲线的方程为：；（2）方法一：设方程为，以为直径的圆的方程

24、为，由对称性知以为直径的圆必过轴上的定点，令，可得，而，对恒成立，以为直径的圆经过定点；方法二：设方程为，由对称性知以为直径的圆必过轴上的定点.设以为直径的圆过，而，,，即对恒成立，即以为直径的圆经过定点【能力提升】1已知F1，F2是双曲线C：（，）的两个焦点，C的离心率为5，点在C上，则的取值范围是（）ABCD【答案】D【分析】当时，得，要由，解得，故当时，即可得到答案.【详解】设的焦距为，离心率为当时，由平面几何知识得，解得，根据双曲线上点的横坐标的取值范围以及平面向量内积的几何意义可知，当时，实数的取值范围是2（2023年江西省模拟数学试题）已知椭圆和双曲线有共同的焦点，P是它们的一个交

25、点，且，记椭圆和双曲线的离心率分别为，则的最小值为（）ABC1D【答案】B【分析】利用椭圆和双曲线的定义及可以列出关于，的方程，再利用均值定理即可得到的最小值【详解】设椭圆长轴长为，双曲线实轴长为，（） ，则，解之得又则则，则则，则（当且仅当时等号成立）则的最小值为.3若实轴长为2的双曲线上恰有4个不同的点满足，其中，则双曲线C的虚轴长的取值范围为（）ABCD【答案】C【分析】设点，由结合两点间的距离公式得出点的轨迹方程，将问题转化为双曲线与点的轨迹有个公共点，并将双曲线的方程与动点的轨迹方程联立，由得出的取值范围，可得出答案【详解】依题意可得，设，则由，得，整理得.由得，依题意可知，解得，则

26、双曲线C的虚轴长.4已知为椭圆：()与双曲线：()的公共焦点，点M是它们的一个公共点，且，分别为，的离心率，则的最小值为（）ABC2D3【答案】A【分析】设椭圆、双曲线的共同半焦距为c，利用椭圆、双曲线定义及余弦定理建立关系，再借助均值不等式计算作答.【详解】设椭圆、双曲线的共同半焦距为c，由椭圆、双曲线对称性不妨令点M在第一象限，由椭圆、双曲线定义知：，且，则有，在中，由余弦定理得：，即，整理得：，于是得，当且仅当，即时取“=”，从而有，所以的最小值为.5在平面直角坐标系中，分别是双曲线C：的左，右焦点，过的直线与双曲线的左，右两支分别交于点，点在轴上，满足，且经过的内切圆圆心，则双曲线的离

27、心率为（）AB2CD【答案】C【分析】根据双曲线的定义先推出为正三角形，然后根据余弦定理解决.【详解】，经过内切圆圆心，为的角平分线，于是，为正三角形，中，由余弦定理，.6已知双曲线的两个焦点为，为双曲线上一点，的内切圆的圆心为，则（）ABCD【答案】A【分析】根据题意得，进而在中，利用等面积法得的内切圆的半径，再设的内切圆与边相切于点，进而在中结合勾股定理求解即可.【详解】解：因为双曲线的两个焦点为，为双曲线上一点，所以，因为，所以，设的内切圆的半径为，则，即，解得，如图，设的内切圆与边相切于点，则，所以，所以7已知椭圆和双曲线有公共的焦点，曲线和在第一象限相交于点P.且，若椭圆的离心率的取

28、值范围是，则双曲线的离心率的取值范围是 .【答案】【分析】设，由椭圆、双曲线的定义可得，由余弦定理可建立方程，转化为离心率的关系式，根据椭圆离心率范围，计算即可得到双曲线离心率范围.【详解】设椭圆，双曲线：，椭圆与双曲线的半焦距为c，椭圆离心率，双曲线离心率，如图，由椭圆定义可得：，由双曲线定义可得：，联立可得，由余弦定理可得：即，解得，因为，所以，可得，故，故答案为：8（2023届湖南省一模数学试题）已知椭圆与双曲线有共同的焦点，椭圆的离心率为，双曲线的离心率为，点为椭圆与双曲线在第一象限的交点，且，则的最大值为 .【答案】【分析】由椭圆的定义及双曲线的定义结合余弦定理可得，设，利用三角换元

29、求出的最大值即可.【详解】设椭圆，双曲线，且设，由椭圆的定义得，由双曲线的定义得，得，得，由余弦定理可得，所以，设，所以，当即时，取最大值为.9（2023届安徽省教学质量检测数学试题）已知双曲线E：的左右焦点分别为，A为其右顶点，P为双曲线右支上一点，直线与轴交于Q点若，则双曲线E的离心率的取值范围为 【答案】【分析】根据题意设点并解出Q点坐标为，再根据可得，即可解得，由P为双曲线右支上一点可得，解不等式即可求得离心率的取值范围.【详解】如下图所示，根据题意可得，设，则直线的方程为，所以直线与轴的交点，由可得，即，整理得，即；又因为P为双曲线右支上一点，所以，当时，共线与题意不符，即；可得，整

30、理得，即，解得或（舍）；即双曲线E的离心率的取值范围为.10已知双曲线，分别为双曲线的左右焦点，为双曲线上一点，且位于第一象限，若为锐角三角形，则的取值范围为 【答案】【分析】将锐角转化数量积大于零，解出的范围即可 .【详解】由双曲线，得，位于第一象限，恒为锐角，又为锐角三角形，均为锐角由为锐角，得，由为锐角，得，即，又，即，又，综上所述，11已知双曲线：的左、右焦点分别为，左、右顶点分别为，为双曲线的左支上一点，且直线与的斜率之积等于3，则下列说法正确的是（）A双曲线的离心率为B若，且，则C以线段，为直径的两个圆外切D若点到的一条渐近线的距离为，则的实轴长为4【答案】C【分析】设，则，根据两

31、点坐标求斜率的方法求得，再由求出结果，即可判断A选项；由，得，根据双曲线的定义可得，根据题意得出和，可得出的值，即可判断B选项；设的中点为，为原点，则为的中位线，所以，根据两个圆的位置关系即可判断C选项；由点到的一条渐近线的距离为，得出，而得出的值，即可得出的实轴长，即可判断D选项.【详解】解：对于A，设，则，因为，直线与的斜率之积等于3，所以，得，故A错误；对于B，因为，所以，而为双曲线的左支上一点，根据双曲线的定义可得，又因为，且，所以，则，由，可得，即，解得：，故B错误；对于C，设的中点为，为原点，则为的中位线，所以，则以线段为直径的圆，圆心为，半径，以线段为直径的圆，圆心为，半径，所以

32、，故两个圆外切，故C正确；对于D，因为点到的一条渐近线的距离为，所以，又由前面的推理可知，所以，故的实轴长为，故D错误.12已知双曲线C：(a0，b0)的一个焦点坐标为(3，0)，其中一条渐近线的倾斜角的正切值为，O为坐标原点(1)求双曲线C的方程；(2)直线l与x轴正半轴相交于一点D，与双曲线C右支相切(切点不为右顶点)，且l分别交双曲线C的两条渐近线于M、N两点，证明：MON的面积为定值，并求出该定值【答案】(1)；(2)证明见解析，【分析】(1)由双曲线的一个焦点坐标为可求c，根据一条渐近线的倾斜角的正切值为可求，结合a、b、c的关系求解、得到双曲线方程；(2)设直线的方程为，联立直线与

33、椭圆方程，利用判别式为0，求出k与m的关系联立l与渐近线方程求出M和N的坐标，通过，化简即可【详解】（1）由题可知，解得，则：；（2）由于直线与双曲线右支相切(切点不为右顶点)，则直线的斜率存在且不为0，设直线的方程为，令，则，则联立得，则，即双曲线两条渐近线方程为，联立得，联立得，故的面积为定值13已知双曲线过点，离心率为，直线交轴于点，过点作直线交双曲线于两点.(1)求双曲线的标准方程；(2)若是线段的中点，求直线的方程；(3)设是直线上关于轴对称的两点，直线与的交点是否在一条直线上？请说明你的理由.【答案】(1)；(2)或；(3)直线PM与QN的交点在定直线，理由见解析【分析】（1）根据

34、题意，列出方程组，结合，求得的值，得出双曲线的标准方程，（2）设，则，联立方程组，求得的坐标，即可求得直线的方程；（3）设，得到，联立方程组，求得，再由直线和的方程，求得交点的横坐标，即可求解【详解】（1）由题意得：，.解得，所以双曲线的标准方程为.（2）方法1：设，则依题意有解得，所以直线的方程为或.方法2：设直线的方程为，与双曲线的方程联立得：.当时设，得，.又因为，所以，解得.此时，所以直线MN的方程为或.（3）方法1：设，直线PM的方程为，直线ON的方程，联立两方程，可得结合（2）方法2，可得代入得故.所以直线PM与QN的交点在定直线上.方法2设直线MN的方程为，与双曲线的方程联立得：

35、.设，由根与系数的关系，得，.：，：，联立两方程，可得：，解得所以直线PM与QN的交点在定直线上.【真题感知】1（2023年高考全国乙卷数学（理）真题）设A，B为双曲线上两点，下列四个点中，可为线段AB中点的是（）ABCD【答案】D【分析】根据点差法分析可得，对于A、B、D：通过联立方程判断交点个数，逐项分析判断；对于C：结合双曲线的渐近线分析判断.【详解】设，则的中点，可得，因为在双曲线上，则，两式相减得，所以.对于选项A： 可得，则，联立方程，消去y得，此时，所以直线AB与双曲线没有交点，故A错误；对于选项B：可得，则，联立方程，消去y得，此时，所以直线AB与双曲线没有交点，故B错误；对于

36、选项C：可得，则由双曲线方程可得，则为双曲线的渐近线，所以直线AB与双曲线没有交点，故C错误；对于选项D：，则，联立方程，消去y得，此时，故直线AB与双曲线有交两个交点，故D正确；2（全国甲卷理科数学试题）已知双曲线的离心率为，C的一条渐近线与圆交于A，B两点，则（）ABCD【答案】D【分析】根据离心率得出双曲线渐近线方程，再由圆心到直线的距离及圆半径可求弦长.【详解】由，则，解得，所以双曲线的一条渐近线不妨取，则圆心到渐近线的距离，所以弦长.3（2021年全国高考甲卷数学（文）试题）点到双曲线的一条渐近线的距离为（）ABCD【答案】A【分析】首先确定渐近线方程，然后利用点到直线距离公式求得点

37、到一条渐近线的距离即可.【详解】由题意可知，双曲线的渐近线方程为：，即，结合对称性，不妨考虑点到直线的距离：.4（2021年天津高考数学试题）已知双曲线的右焦点与抛物线的焦点重合，抛物线的准线交双曲线于A，B两点，交双曲线的渐近线于C、D两点，若则双曲线的离心率为（）ABC2D3【答案】A【分析】设公共焦点为，进而可得准线为，代入双曲线及渐近线方程，结合线段长度比值可得，再由双曲线离心率公式即可得解.【详解】设双曲线与抛物线的公共焦点为，则抛物线的准线为，令，则，解得，所以,又因为双曲线的渐近线方程为，所以，所以，即，所以，所以双曲线的离心率.5（2021年全国高考甲卷数学（理）试题）已知是双

38、曲线C的两个焦点，P为C上一点，且，则C的离心率为（）ABCD【答案】A【分析】根据双曲线的定义及条件，表示出，结合余弦定理可得答案.【详解】因为，由双曲线的定义可得，所以，；因为,由余弦定理可得，整理可得，所以，即.【点睛】关键点睛：双曲线的定义是入手点，利用余弦定理建立间的等量关系是求解的关键.6（2021年全国高考乙卷数学（理）试题）已知双曲线的一条渐近线为，则C的焦距为 【答案】4【分析】将渐近线方程化成斜截式，得出的关系，再结合双曲线中对应关系，联立求解，再由关系式求得，即可求解.【详解】由渐近线方程化简得，即，同时平方得，又双曲线中，故，解得（舍去），故焦距.【点睛】本题为基础题，考查由渐近线求解双曲线中参数，焦距，正确计算并联立关系式求解是关键.7（2021年全国高考乙卷数学（文）试题）双曲线的右焦点到直线的距离为 【答案】【分析】先求出右焦点坐标，再利用点到直线的距离公式求解.【详解】由已知，所以双曲线的右焦点为，所以右焦点到直线的距离为.8（2022年北京市高考数学试题）已知双曲线的渐近线方程为，则 【答案】【分析】首先可得，即可得到双曲线的标准方程，从而得到、，再跟渐近线方程得到方程，解得即可；【详解】解：对于双曲线，所以，即双曲线的标准方程为，则，又双曲线的渐近线方程为，所以，即，解得；