专题30 最值模型之瓜豆模型（原理）圆弧轨迹型（原卷版）.docx

1、专题30 最值模型之瓜豆模型（原理）圆弧轨迹型动点轨迹问题是中考和各类模拟考试的重要题型，学生受解析几何知识的局限和思维能力的束缚，该压轴点往往成为学生在中考中的一个坎，致使该压轴点成为学生在中考中失分的集中点。掌握该压轴题型的基本图形，构建问题解决的一般思路，是中考专题复习的一个重要途径。本专题就最值模型中的瓜豆原理（动点轨迹为圆弧型）进行梳理及对应试题分析，方便掌握。【模型解读】模型1、运动轨迹为圆弧模型1-1. 如图，P是圆O上一个动点，A为定点，连接AP，Q为AP中点Q点轨迹是？ 如图，连接AO，取AO中点M，任意时刻，均有AMQAOP，QM:PO=AQ:AP=1:2则动点Q是以M为圆

2、心，MQ为半径的圆。模型1-2. 如图，APQ是直角三角形，PAQ=90且AP=kAQ，当P在圆O运动时，Q点轨迹是？ 如图，连结AO，作AMAO，AO:AM=k:1；任意时刻均有APOAQM，且相似比为k。则动点Q是以M为圆心，MQ为半径的圆。模型1-3. 定义型：若动点到平面内某定点的距离始终为定值，则其轨迹是圆或圆弧。（常见于动态翻折中）如图，若P为动点，但AB=AC=AP，则B、C、P三点共圆，则动点P是以A圆心，AB半径的圆或圆弧。 模型1-4. 定边对定角（或直角）模型1）一条定边所对的角始终为直角，则直角顶点轨迹是以定边为直径的圆或圆弧如图，若P为动点，AB为定值，APB=90，

3、则动点P是以AB为直径的圆或圆弧。2）一条定边所对的角始终为定角，则定角顶点轨迹是圆弧如图，若P为动点，AB为定值，APB为定值，则动点P的轨迹为圆弧。 【模型原理】动点的轨迹为定圆时，可利用：“一定点与圆上的动点距离最大值为定点到圆心的距离与半径之和，最小值为定点到圆心的距离与半径之差”的性质求解。例1（2023山东泰安统考中考真题）如图，在平面直角坐标系中，的一条直角边在x轴上，点A的坐标为；中，连接，点M是中点，连接将以点O为旋转中心按顺时针方向旋转，在旋转过程中，线段的最小值是（）A3BCD2例2（2023四川广元统考一模）如图，线段为的直径，点在的延长线上，点是上一动点，连接，以为斜

4、边在的上方作Rt，且使，连接，则长的最大值为 例3（2023四川宜宾统考中考真题）如图，是正方形边的中点，是正方形内一点，连接，线段以为中心逆时针旋转得到线段，连接若，则的最小值为 例4（2023湖南统考中考真题）如图，在矩形中，动点在矩形的边上沿运动当点不与点重合时，将沿对折，得到，连接，则在点的运动过程中，线段的最小值为 例5（2023山东统考中考真题）如图，在四边形中，点E在线段上运动，点F在线段上，则线段的最小值为 例6（2023浙江金华九年级校考期中）如图，点A，C，N的坐标分别为，以点C为圆心、2为半径画，点P在上运动，连接，交于点Q，点M为线段的中点，连接，则线段的最小值为 例7

5、（2023上江苏连云港九年级校考阶段练习）已知矩形为矩形内一点，且，若点绕点逆时针旋转到点，则的最小值为 例8（2023下陕西西安九年级校考阶段练习）问题提出：（1）如图，在中，则的长为_；问题探究：（2）如图，已知矩形，点P是矩形内一点，且满足，连接，求线段的最小值；问题解决：（3）如图所示，我市城市绿化工程计划打造一片四边形绿地，其中，点E为边上一点，且，为了美化环境，要求四边形的面积尽可能大，求绿化区域面积的最大值课后专项训练1（2023安徽合肥校考一模）如图，在中，以为边作等腰直角，连，则的最大值是（）ABCD2（2023春广东九年级专题练习）已知：如图，在中，面积的最大值是（）ABC

6、D3（2022秋江苏扬州九年级校考阶段练习）如图，A是上任意一点，点C在外，已知是等边三角形，则的面积的最大值为（ ）AB4CD64（2023山东济南一模）正方形ABCD中，AB=4，点E、F分别是CD、BC边上的动点，且始终满足DE=CF，DF、AE相交于点G.以AG为斜边在AG下方作等腰直角AHG使得AHG=90，连接BH则BH的最小值为（） ABCD5（2023上江苏连云港九年级统考期中）如图，在矩形中，已知，点是边上一动点点不与点，重合，连接，作点关于直线的对称点，连接，则的最小值为 6（2023春广东深圳九年级专题练习）如图，点G是内的一点，且，是等边三角形，若，则的最大值为 7（2

7、023江苏泰州九年级专题练习）如图，在矩形中，P为的中点，连接在矩形外部找一点E，使得，则线段的最大值为 8（2023陕西渭南三模）如图，在矩形ABCD中，点E在BC上，且，点M为矩形内一动点，使得，连接AM，则线段AM的最小值为_9（2023江苏扬州三模）如图，在等边ABC和等边CDE中，AB6，CD4，以AB、AD为邻边作平行四边形ABFD，连接AF若将CDE绕点C旋转一周，则线段AF的最小值是_ 10（2023秋湖北武汉九年级校考阶段练习）如图，为等腰直角三角形，点为所在平面内一点，以、为边作平行四边形，则的最小值为 11（2023福建泉州统考模拟预测）如图，点是正方形的内部一个动点（含

8、边界），且，点在上，则以下结论：的最小值为；的最小值为；的最小值为；正确的是 12（2021广东中考真题）在中，点D为平面上一个动点，则线段长度的最小值为_13（2023广东深圳市二模）如图，在矩形ABCD中，AB3，BC4，E为边BC上一动点，F为AE中点，G为DE上一点，BFFG，则CG的最小值为_14（2023秋广东汕头九年级校考期中）如下图，在正方形中，点是以为直径的圆上的点，连接，将线段绕点逆时针旋转，得到线段，连接，则线段的最大值与最小值的和 15（2023陕西渭南统考一模）如图，在矩形中，Q是矩形左侧一点，连接、，且，连接，E为的中点，连接，则的最大值为 16（2023安徽亳州统

9、考模拟预测）等腰直角中，点是平面内一点，连接，将绕点逆时针旋转得到，连接，当 填度数度时，可以取最大值，最大值等于 17（2023河北廊坊统考二模）已知如图，是腰长为4的等腰直角三角形，以A为圆心，2为半径作半圆A，交所在直线于点M，N点E是半圆A上仟意一点连接，把绕点B顺时针旋转90到的位置，连接，(1)求证：；(2)当与半圆A相切时，求弧的长；(3)直接写出面积的最大值18（2022北京中考真题）在平面直角坐标系中，已知点对于点给出如下定义：将点向右或向左平移个单位长度，再向上或向下平移个单位长度，得到点，点关于点的对称点为，称点为点的“对应点”(1)如图，点点在线段的延长线上，若点点为点

10、的“对应点”在图中画出点；连接交线段于点求证：(2)的半径为1，是上一点，点在线段上，且，若为外一点，点为点的“对应点”，连接当点在上运动时直接写出长的最大值与最小值的差（用含的式子表示）19（2023下广东广州九年级校考阶段练习）如图，为等边三角形，点P是线段上一动点（点P不与A，C重合），连接，过点A作直线的垂线段，垂足为点D，将线段绕点A逆时针旋转得到线段，连接，(1)求证：；(2)连接，延长交于点F，若的边长为2；求的最小值；求的最大值20（2023江苏常州统考二模）如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图像与x轴交于点A和点，与y轴交于点C(1)求二次函数的表达式；(2)若点P是抛物线上一点，满足，求点P的坐标；(3)若点Q在第四象限内，且，点M在y轴正半轴，线段是否存在最大值，如果存在，直接写出最大值；如果不存在，请说明理由