专题31 三角形全等模型-2022-2023学年初中数学学科素养能力培优竞赛试题精选专练（解析版）.docx

1、专题31 三角形全等模型一、倍长中线【典例】如图，已知在ABC中，AD是BC边上的中线，F是AD上一点，延长BF交AC于E，且AEEF，求证：BFAC【解答】解：如图，延长FD到G，使DGDF，连接CGAD是BC边的中线，BDCD在BDF和CDG中BD=CDBDF=CDGDF=DG，BDFCDG（SAS），BFCG，BFDGAEEF，EAFEFABFD，GCAG，ACCG，BFAC【巩固】（1）方法呈现：如图：在ABC中，若AB6，AC4，点D为BC边的中点，求BC边上的中线AD的取值范围解决此问题可以用如下方法：延长AD到点E，使DEAD，再连接BE，可证ACDEBD，从而把AB、AC，2A

2、D集中在ABE中，利用三角形三边的关系即可判断中线AD的取值范围是 1AD5（直接写出范围即可）这种解决问题的方法我们称为“倍长中线法”；（2）探究应用：如图，在ABC中，点D是BC的中点，DEDF于点D，DE交AB于点E，DF交AC于点F，连接EF，判断BE+CF与EF的大小关系，并说明理由；（3）问题拓展：如图，在四边形ABCD中，ABCD，AF与DC的延长线交于点F，点E是BC的中点，若AE是BAF的角平分线，试探究线段AB、AF、CF之间的数量关系，并说明理由【解答】解：（1）如图，延长AD到点E，使DEAD，连接BE，D是BC的中点，BDCD，ADCBDE，ACDEBD（SAS），B

3、EAC4，在ABE中，ABBEAEAB+BE，64AE6+4，2AE10，1AD5，故答案为：1AD5；（2）BE+CFEF，理由如下：延长FD至点M，使DMDF，连接BM、EM，如图所示同（1）得：BMDCFD（SAS），BMCF，DEDF，DMDF，EMEF，在BME中，由三角形的三边关系得：BE+BMEM，BE+CFEF；（3）AF+CFAB，理由如下：如图，延长AE，DF交于点G，ABCD，BAGG，在ABE和GCE中，CEBE，BAGG，AEBGEC，ABEGEC（AAS），CGAB，AE是BAF的平分线，BAGGAF，FAGG，AFGF，FG+CFCG，AF+CFAB二、一线三等角

4、模型【典例】通过对下面数学模型的研究学习，解决下列问题：【模型呈现】（1）如图1，BAD90，ABAD，过点B作BCAC于点C，过点D作DEAC于点E由1+22+D90，得1D又ACBAED90，可以推理得到ABCDAE进而得到AC ，BC 我们把这个数学模型称为“K字”模型或“一线三等角”模型；【模型应用】（2）如图2，BADCAE90，ABAD，ACAE，连接BC，DE，且BCAF于点F，DE与直线AF交于点G求证：点G是DE的中点；如图3，在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为（2，6），点B为平面内任一点若AOB是以OA为斜边的等腰直角三角形，请直接写出点B的坐标【解答】（1）解：1+

5、22+D90，1D，在ABC和DAE中，1=DACB=DEAAB=AD，ABCDAE（SAS），ACDE，BCAE，故答案为：DE，AE；（2）证明：如图2，作DMAF于M，ENAF于N，BCAF，BFAAMD90，BAD90，1+21+B90，B2，在ABF与DAM中，BFAAMD，BFA=AMDB=2AB=AD，ABFDAM（AAS），AFDM，同理，AFEN，ENDM，DMAF，ENAF，GMDGNE90，在DMG与ENG中，DMG=ENGDGM=EGNDM=EN，DMGENG（AAS），DGEG，即点G是DE的中点；解：如图3，ABO和ABO是以OA为斜边的等腰直角三角形，过点B作DC

6、x轴于点C，过点A作DEy轴于点E，两直线交于点D，则四边形OCDE为矩形，DEOC，OECD，由可知，ADBBCO，ADBC，BDOC，BDOCDEAD+2BC+2，BC+BC+26，解得，BC2，OC4，点B的坐标为（4，2），同理，点B的坐标为（2，4），综上所述，AOB是以OA为斜边的等腰直角三角形，点B的坐标为（4，2）或（2，4）【巩固】如图1，ABC中，ABAC，BAC90，AE是过A点的一条直线，且B、C在DE的异侧，BDAE于D，CEAE于E（1）ABD与CAE全等吗？BD与DE+CE相等吗？请说明理由（2）如图2，若直线AE绕点A旋转到图2所示的位置（BDCE）时，其余条件

7、不变，则BD与DE、CE的关系如何？（只需回答结论）（3）如图3，若直线AE绕点A旋转到图3所示的位置（BDCE）时，其余条件不变，则BD与DE、CE的关系如何？（只需回答结论）【解答】解：证明如下：（1）BAC90，BAD+CAE90，CEAE，ACE+CAE90，ACEBAD；又BDAE，CEAE，ADBCEA90，在ABD和CAE中，ADB=CEAACE=BADAB=AC，ABDCAE（AAS），BDAE，ADCE；AEDE+AD，BDDE+CE；（2）DEBD+CEBAC90，BAD+CAE90，CEAE，ACE+CAE90，ACEBAD；又BDAE，CEAEADBCEA90，在ABD

8、和CAE中，ADB=CEAACE=BADAB=AC，ABDCAE（AAS），BDAE，ADCE；DEAE+AD，DEBD+CE；（3）结论是：当B、C在AE两侧时，BDDE+CE；当B、C在AE同侧时，BDDECE，DEBD+CE三、角含半角模型【典例】正方形ABCD中，E，F分别是边BC，CD上的点，且EAF45，将ABE绕点A逆时针旋转90，得到ADG求证：EFBE+DF【解答】证明：如图，由题意得：ABEADG，BAEDAG，AEAG，BEDG；FGBE+DF；BAE+FADFAD+DAG；EAF45，BAD90，BAE+FAD904545，FAG45，EAFFAG；在EAF与GAF中，

9、AE=AGEAF=GAFAF=AF，EAFGAF（SAS），EFFG，而FGBE+DF，EFBE+DF【巩固】如图1，四边形ABCD中，BCCD，BCD120，E、F分别为AB、AD上的点，ECFA60求证：EFBE+DF；如图2，将图1中点E移至BA延长线上，点F移至AD延长线上，其余条件不变，写出EF和BE，DF之间的数量关系并证明；如图3，将图1中点E移至AB延长线上，点F移至DA延长线上，其余条件不变，直接写出EF和BE，DF之间的数量关系为 【解答】（1）证明：延长EB至点G，使BGDF，连接CG，如图1所示：A+BCD60+120180，ABC+D360180180，ABC+CBG

10、180，CBGD，在CBG和CDF中，BC=CDCBG=DBG=DF，CBGCDF（SAS），CGCF，BCGDCF，BCE+DCFBCDECF1206060，BCE+BCG60，即ECG60，ECGECF，在ECG和ECF中，CG=CFECG=ECFCE=CE，ECGECF（SAS），EGEF，EGBE+BGBE+DF，EFBE+DF；（2）解：EF和BE，DF之间的数量关系为：EFBEDF，理由如下：在BA上截取BGDF，连接CG，如图2所示：由（1）得：B+ADC180，ADC+CDF180，BCDF，在CBG和CDF中，BC=CDB=CDFBG=DF，CBGCDF（SAS），CGCF，

11、BCGDCF，BCDBCG+DCG120，DCF+DCG120，即GCF120，ECGGCFECF1206060，ECGECF，在ECG和ECF中，CG=CFECG=ECFCE=CE，ECGECF（SAS），GEEF，GEBEBGBEDF，EFBEDF；（3）解：EF和BE，DF之间的数量关系为：EFDFBE，理由如下：在DF上截取DGBE，连接CG，如图3所示：由（1）得：ABC+D180，ABC+CBE180，DCBE，在CDG和CBE中，CD=CBD=CBEDG=BE，CDGCBE（SAS），CGCE，DCGBCE，BCDBCG+DCG120，BCG+BCE120，即GCE120，GCF

12、GCEECF1206060，GCFECF，在GCF和ECF中，CG=CEGCF=ECFCF=CF，GCFECF（SAS），FGEF，FGDFDGDFBE，EFDFBE，故答案为：EFDFBE巩固练习1如图，ABAC，ADAE，BACDAE，125，230，连接BE，点D恰好在BE上，则3（）A60B55C50D无法计算【解答】解：BACDAE，即1+DACDAC+CAE，1CAE，在ABD和ACE中，AB=AC1=CAEAD=AE，ABDACE（SAS），ABD230，31+ABD25+3055故选：B2如图，在ABC与AEF中，ABAE，BCEF，ABCAEF，EAB40，AB交EF于点D，

13、连接EB下列结论：FAC40；AFAC；EFB40；ADAC，正确的个数为（）A1个B2个C3个D4个【解答】解：在ABC和AEF中，AB=AEABC=AEFBC=EF，ABCAEF（SAS），AFAC，EAFBAC，AFEC，故正确，BAEFAC40，故正确，AFBC+FACAFE+EFB，EFBFAC40，故正确，无法证明ADAC，故错误，故选：C3如图，在ABC中，ADBC于点D，BEAC于点E，AD，BE交于点F，ADCBDF，若BD4，CD2，则ABC的面积为（）A24B18C12D8【解答】解：ADCBDF，ADBD，BD4，AD4，DC2，BCBD+DC4+26，SABC=12B

14、CAD=1264=12，故选：C4如图，方格中ABC的三个顶点分别在正方形的顶点（格点上），这样的三角形叫格点三角形，图中可以画出与ABC全等的格点三角形共有（）个（不含ABC）A28B29C30D31【解答】解：当点B在下面时，根据平移，对称，可得与ABC全等的三角形有8个，包括ABC，当点B在其它3条边上时，有3824（个）三角形与ABC全等，一共有：8+24131（个）三角形与ABC全等，故选：D5如图，在ABC中，ABC45，CDAB于点D，BE平分ABC，且BEAC于点E，与CD相交于点F，DHBC于点H，交BE于点G下列结论：BDCD；AD+CFBD；CE=12BF；AECF其中正

15、确的是 （填上正确结论的序号）【解答】解：CDAB，ABC45，ABCBCD45，BDCD故正确；在RtDFB和RtDAC中，DBF90BFD，DCA90EFC，且BFDEFC，DBFDCA又BDFCDA90，BDCD，DFBDACBFAC；DFADCDCF+DF，AD+CFBD；故正确；在RtBEA和RtBEC中BE平分ABC，ABECBE又BEBE，BEABEC90，RtBEARtBEC（ASA）CEAE=12AC又由（1），知BFAC，CE=12AC=12BF；故正确；CEF中，CF是斜边，CE是直角边，CFECAEEC，CFAE故错误，故答案为：6如图，在ABC中，点D为BC的中点，点

16、E为AB上一点，DFDE交AC于F，延长ED至G，使EDGD（1）求证：BECG；（2）求证：BE+CFEF【解答】证明：（1）点D为BC的中点，BDCD，在BDE和CDG中，BD=CDBDE=CDGED=GD，BDECDG（SAS），BECG；（2）连接FG，EDGD，DFDE，EFGF，在CFG中，CF+CGGF，BECG，BE+CFEF7如图，点C在线段AB上，DAAB，EBAB，FCAB，且DABC，EBAC，FCAB，AFB51，求DFE度数【解答】证明：如图，连接BD、AE，DAAB，FCAB，ADCF，DABBCF90，又DABC，FCAB，DABBCF（SAS），BDBF，BD

17、FBFD，又ADCF，ADFCFD，ABFDFB+ADFBFC+2CFD，同理可得，BAFAFC+2CFE，又AFB51，ABF+BAF129，BFC+2CFD+AFC+2CFE51+2DFE129，DFE39答：DFE度数是398如图1，在RtABC中，BAC90，ABAC，D为ABC内一点，将线段AD绕点A逆时针旋转90得到AE，连接CE，BD的延长线与CE交于点F（1）求证：BDCE，BDCE；（2）如图2，连接AF，DC，已知BDC135，判断AF与DC的位置关系，并说明理由【解答】证明（1）如图1，设AC与BF交于O点，线段AD绕点A逆时针旋转90得到AE，ADAE，DAE90，BA

18、C90，BACDAE，BADCAE，在ABD和ACE中，AB=ACBAD=CAEAD=AE，ABDACE（SAS），BDCE，ABDACE，又AOBCOF，BFCBAC90，BDCE；（2）AFCD，理由如下：如图2，作AGBF于G，AHCE于H，由（1）知ABDACE，BDCE，SABDSACE，AGAH，又AGBF，AHCE，AF平分BFE，又BFE90，AFD45，BDC135，FDC45，AFDFDC，AFCD9如图（1），AB4cm，ACAB，BDAB，ACBD3cm点P在线段AB上以1cm/s的速度由点A向点B运动，同时，点Q在线段BD上由点B向点D运动它们运动的时间为t（s）（1

19、）若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，当t1时，ACP与BPQ是否全等，并判断此时线段PC和线段PQ的位置关系，请分别说明理由；（2）如图（2），将图（1）中的“ACAB，BDAB”改为“CABDBA60”，其他条件不变设点Q的运动速度为xcm/s，是否存在实数x，使得ACP与BPQ全等？若存在，求出相应的x、t的值；若不存在，请说明理由【解答】解：（1）当t1时，APBQ1，BPAC3，又AB90，在ACP和BPQ中，AP=BQA=BAC=BP，ACPBPQ（SAS）ACPBPQ，APC+BPQAPC+ACP90CPQ90，即线段PC与线段PQ垂直（2）存在，理由：若ACPBPQ，则ACB

20、P，APBQ，则3=4-tt=xt，解得t=1x=1；若ACPBQP，则ACBQ，APBP，则3=xtt=4-t，解得：t=2x=32；综上所述，存在t=1x=1或t=2x=32，使得ACP与BPQ全等10如图，等腰RtABC中，ABC90，点A、B分别在坐标轴上（1）如图1，若C点的横坐标为5，求B点的坐标；（2）如图2，若BC交x轴于点M，过C点作CDBC交y轴于D点求证：BCCDMC；（3）如图3，若点A的坐标为（4，0），点B是y轴正半轴上的一个动点，分别以OB、AB为直角边在第一、第二象限作等腰RtOBF，等腰RtABE，连接EF交y轴于P点，当点B在y轴上运动时，PB的长度是否发生

21、改变？若不变，求出PB的值；若变化，求PB的取值范围【解答】解：（1）作CHy轴于H，则BHC90，HBC+HCB90，ABC90，HBC+OBA90，OBAHCB，在AOB和BHC中，OBA=HCBAOB=BHCAB=BC，AOBBHC（AAS）OBCH5，B点的坐标为（0，5）；（2）在ABM和BCD中，BAM=CBDAB=BCABM=BCD=90，ABMBCD（ASA），BMCD，BCCDBCBMMC；（3）PB的长度不变，作EGy轴于G，点A的坐标为（4，0），OA4，BAO+OBA90，OBA+EBG90，BAOEBG，在BAO和EBG中，AOB=BGEBAO=EBGAB=BE，BAOEBG（AAS），BGAO4，EGOB，OBBF，BFEG，在EGP和FBP中，EPG=FPBEGP=FBPEG=FB，EGPFBP（AAS），PBPG，PB=12BG2