专题37 二次函数的性质综合题（4大类型）（解析版）.docx

1、模块三 重难点题型专项训练专题37 二次函数的性质综合题（4大类型） 考查类型考查类型一 交点问题考查类型二 恒成立问题考查类型三 函数值最值问题考查类型四 其他性质综合题新题速递考查类型一 交点问题例1 （2022山东烟台统考中考真题）二次函数yax2+bx+c（a0）的部分图象如图所示，其对称轴为直线x，且与x轴的一个交点坐标为（2，0）下列结论：abc0；ab；2a+c0；关于x的一元二次方程ax2+bx+c10有两个相等的实数根其中正确结论的序号是（）ABCD【答案】D【分析】根据对称轴、开口方向、与y轴的交点位置即可判断a、b、c与0的大小关系，然后将由对称可知ab，从而可判断答案【

2、详解】解：由图可知：a0，c0，0，b0，abc0，故不符合题意由题意可知：，ba，故符合题意将（2，0）代入yax2+bx+c，4a2b+c0，ab，2a+c0，故符合题意由图象可知：二次函数yax2+bx+c的最小值小于0，令y1代入yax2+bx+c，ax2+bx+c1有两个不相同的解，故不符合题意故选：D【点睛】本题考查二次函数的图像与系数的关系，解题的关键是正确地由图象得出a、b、c的数量关系，本题属于基础题型例2 （2022湖北荆州统考中考真题）规定：两个函数，的图象关于y轴对称，则称这两个函数互为“Y函数”例如：函数与的图象关于y轴对称，则这两个函数互为“Y函数”若函数（k为常数

3、）的“Y函数”图象与x轴只有一个交点，则其“Y函数”的解析式为_【答案】或【分析】分两种情况，根据关于y轴对称的图形的对称点的坐标特点，即可求得【详解】解：函数（k为常数）的“Y函数”图象与x轴只有一个交点，函数（k为常数）的图象与x轴也只有一个交点，当k=0时，函数解析为，它的“Y函数”解析式为，它们的图象与x轴只有一个交点，当时，此函数是二次函数，它们的图象与x轴都只有一个交点，它们的顶点分别在x轴上，得，故k+1=0，解得k=-1，故原函数的解析式为，故它的“Y函数”解析式为，故答案为：或【点睛】本题考查了新定义，二次函数图象与x轴的交点问题，坐标与图形变换-轴对称，求一次函数及二次函数

4、的解析式，理解题意和采用分类讨论的思想是解决本题的关键例3 （2022山西中考真题）阅读与思考下面是小宇同学的数学小论文，请仔细阅读并完成相应的任务用函数观点认识一元二次方程根的情况我们知道，一元二次方程的根就是相应的二次函数的图象（称为抛物线）与x轴交点的横坐标抛物线与x轴的交点有三种情况：有两个交点、有一个交点、无交点与此相对应，一元二次方程的根也有三种情况：有两个不相等的实数根、有两个相等的实数根、无实数根因此可用抛物线与x轴的交点个数确定一元二次方程根的情况下面根据抛物线的顶点坐标（，）和一元二次方程根的判别式，分别分和两种情况进行分析：（1）时，抛物线开口向上当时，有，顶点纵坐标顶点

5、在x轴的下方，抛物线与x轴有两个交点（如图1）当时，有，顶点纵坐标顶点在x轴上，抛物线与x轴有一个交点（如图2）一元二次方程有两个相等的实数根当时，（2）时，抛物线开口向下任务：(1)上面小论文中的分析过程，主要运用的数学思想是 （从下面选项中选出两个即可）；A数形结合B统计思想C分类讨论D转化思想(2)请参照小论文中当时的分析过程，写出中当时，一元二次方程根的情况的分析过程，并画出相应的示意图；(3)实际上，除一元二次方程外，初中数学还有一些知识也可以用函数观点来认识，例如：可用函数观点来认识一元一次方程的解请你再举出一例为【答案】(1)AC(2)分析见解析；作图见解析(3)答案见解析【分析

6、】（1）解一元二次方程的解转化为抛物线与x轴交点的横坐标；还体现了分类讨论思想；（2）依照例题，画出图形，数形结合，可以解答；（3）结合所学知识，找到用转化思想或数形结合或分类讨论思想解决问题的一种情况即可【详解】（1）解：上面解一元二次方程的过程中体现了转化思想、数形结合、分类讨论思想，故答案为：AC；（2）解：a0时，抛物线开口向上当=b24ac0a0，顶点纵坐标顶点在x轴的上方，抛物线与x轴无交点（如图）：一元二次方程ax2+bx+c=0(a0)无实数根（3）解：可用函数观点认识二元一次方程组的解（答案不唯一又如：可用函数观点认识一元一次不等式的解集，等）【点睛】本题考查的二次函数与一元

7、二次方程的关系，根据转化思想将一元二次方程的解的问题转化成抛物线与x轴交点的横坐标的问题，再根据数形结合的思想用抛物线与x轴的交点个数确定一元二次方程根的情况是本题的关键二次函数与X轴的交点有三种可能，分别是有两个交点、一个交点和无交点。在初中范围内，二次函数与Y轴始终有交点（当x=0时，y必有一个值）。在实际解题中，与Y轴的交点纵坐标的值，就是函数表达式中c的值。二次函数与X轴若有两个交点，则求根公式大于0，如果一个交点，则求根公式等于0，如果无交点，则求根公式小于0。通常情况下，二次函数的求解中都是有两个交点。只是要注意，不同的题型，不同的情况下求解方法也不同。总之在求解中要灵活应用各种公

8、式，巧妙应对，解题就变得轻巧。二次函数与X轴交点的求解方法以上简要介绍二次函数与X轴的交点，而在实际情况中，更加的复杂，下面从常见的四种情况进行解析：1、无交点；如果二次函数与X轴无交点，则判别公式b2-4ac0,k0则一定与X轴无交点。2、有一个交点；这种情况下求根公式等于0，函数解析式应该可以进行因式分解，并且是一个完全平方数，作为学生要对x+1,x-1,x+2,x-2等式子的完全平方式非常熟悉，一看就知道是完全平方式。常见的y=x2+2x+1,或者y=x2-2x+1都是完全平方式。3、有两个交点；这种情况下求根公式大于0，通常情况下，二次函数都是与X轴有两个交点。这两个交点也有三种可能，

9、第一种是一个交点在正半轴，一个交点在负半轴；第二种可能是两个都在正半轴；第三种可能是都在负半轴。4、有交点；这个时候，一定要注意，有交点有两层含义，一层含义是有一个交点，第二层含义是有两个交点。部分同学只注意到有两个交点，疏忽有一个交点也算是有交点，犯错的原因是对题目意思没有理解。二次函数与Y轴交点的求解方法函数与Y轴的交点，要么在Y轴的正半轴，要么在Y轴的负半轴，还有一种特别情况，就是过原点，此时的函数解析式的常数项必是0。如果与Y轴的正半轴有交点，则常数项c大于0，如果与Y轴的负半轴有交点，则常数项c小于0。通常在解题中，会出现这样的题型：已知某二次函数经过（0，c)，题目中会具体地指出c

10、的值，这个时候，可以把函数解析式y=ax2+bx+c得c的具体值直接带入解析式中，求解更加方便。还有根据函数经过Y轴正半轴或者负半轴，可以肯定必定过哪个象限，如果经过Y轴的正半轴，则必定经过第二象限。如果经过Y轴负半轴，则必定经过第三象限。【变式1】（2022福建福州福建省福州教育学院附属中学校考模拟预测）已知抛物线与轴的交点为和，点，是抛物线上不同于，的两个点，记的面积为，的面积为，有下列结论：当时，；当时，；当时，；当时，其中正确结论的序号是（）ABCD【答案】D【分析】不妨假设，利用图像法一一判断即可【详解】解：抛物线与轴的交点为和，抛物线的对称轴为，不妨假设如图1中，当，点，满足，的面

11、积，的面积，故错误；当，满足，这时点，在抛物线对称轴的左侧，的面积，的面积，故错误，在轴的上方，且离轴的距离比离轴的距离大，的面积，的面积，故正确如图中，当，点，满足，的面积，的面积，故错误故选：D【点睛】本题考查抛物线与轴的交点，二次函数图像上的点的特征等知识解题的关键是学会利用图像法解决问题【变式2】（2022福建漳州统考模拟预测）在平面直角坐标系中，已知函数，其中a，b，c是正实数，且满足设函数，的图象与x轴的交点个数分别为，则下列说法一定正确的是（）A若，则B若，则C若，则D若，则【答案】C【分析】利用二次函数与一元二次方程的关系和判别式的性质逐项判断即可【详解】解：A、由，可得，取，

12、则，此时，故错误B、由，可得，取，则，此时，故B错误C、，是正实数，对于，则有，选项C正确；D、由，可得，取，则，此时，故D错误故选：C【点睛】本题考查抛物线与x轴的交点，一元二次方程的根的判别式等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题【变式3】（2022山东青岛山东省青岛实验初级中学校考模拟预测）函数（a为常数）的图象与坐标轴只有两个交点，则_【答案】0或或【分析】当时，可知满足条件，当时，分当函数图象过原点时和不过原点，当过原点时，可知满足条件，当不过原点时，可知二次函数图象与轴只有一个交点，令，得到一个关于的一元二次方程，可知该方程有两个相等的实数根，由一元二次方程根的判别

13、式等于0可求得的值【详解】解：当时，函数为，与坐标轴只有两个交点，满足条件；当时，分两种情况：当函数图象过原点时，则有，解得，此时满足条件；当函数图象不过原点时，令可得，因其与轴有一个交点，所以该方程有两个相等的实数根，即，整理可得，解得，综上可知的值为0或或故答案为：0或或【点睛】本题主要考查函数与坐标轴的交点，由条件得出函数图象与轴只有一个交点是解题的关键，注意分类讨论思想的应用【变式4】（2022浙江宁波校考模拟预测）已知关于的方程的两个根分别是，若点是二次函数的图象与轴的交点，过作轴交抛物线于另一交点，则的长为 _【答案】【分析】先利用一元二次方程根与系数的的关系得出，进而得出，B点的

14、纵坐标为，将点的坐标代入二次函数解析式，解方程求得，进而即可求解【详解】解：，令，轴，轴，B点的纵坐标为，把代入，得，解得，故答案为：【点睛】本题考查了抛物线的性质、抛物线与x轴的交点以及根与系数的关系，把求二次函数 (是常数，)与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程是解题的关键【变式5】（2021江苏南通统考一模）已知抛物线yx2+2mx+m21（m是常数）(1)求该抛物线与x轴交点坐标及顶点坐标（可用含m的代数式表示）；(2)将该抛物线先向右平移2个单位长度，再向上平移（2m1）个单位长度，若平移后的抛物线与x轴没有公共点，且当x0时，y随x的增大而减小，求m的取值范围；(3)已

15、知A（1，1），B（3，1），若该抛物线与线段AB只有一个公共点，直接写出m的取值范围【答案】(1)抛物线与x轴的交点坐标是（1m，0）与（1m，0），抛物线的顶点坐标是（m，1）(2)m的取值范围：1m2(3)3m1或3m1【分析】（1）方程x2+2mx+m2- 1=0的解就是抛物线与x轴的交点的横坐标，用顶点坐标公式直接求出顶点坐标；（2）先由平移的性质求出平移后的函数解析式，再根据0和x0时，y随x的增大而减小求出m的取值范围；（3）先求出令y= 1求出x和x2，再根据若该抛物线与线段AB只有一个公共点求出m的取值范围（1）解：yx2+2mx+m21（x+m）21，抛物线的顶点坐标是（m

16、，1）；当y0时，x2+2mx+m210，即（x+m）210，解得x11m，x21m，抛物线与x轴的交点坐标是（1m，0）与（1m，0），（2）解：y（x+m）21，将该抛物线先向右平移2个单位长度，再向上平移（2m1）个单位长度可得：y（x+m2）21+2m1（x+m2）2+2m2x2+2（m2）x+m22m+2，平移后的抛物线与x轴没有公共点，2（m2）24（m22m+2）0，解得：m1，当x0时，y随x的增大而减小，对称轴x（m2）0，解得：m2，m的取值范围：1m2；（3）解：令yx2+2mx+m211，解得：x1m+，x2m，M1（m+，1），M2（m，1），若该抛物线与线段AB只有

17、一个公共点，则M1在线段AB间或M2在线段AB间，1m+3或1m3，解得：3m1或3m1，m的取值范围：3m1或3m1【点睛】本题主要考查二次函数的图象与系数的关系，图象的平移、交点坐标等知识，熟悉函数与坐标轴的交点、顶点等点坐标的求法，平移后函数解析式的求法是解题的关键考查类型二 恒成立问题例1 （2020浙江嘉兴统考中考真题）小飞研究二次函数y=-(x-m)2-m+1(m为常数)性质时如下结论：这个函数图象的顶点始终在直线y=-x+1上；存在一个m的值，使得函数图象的顶点与轴的两个交点构成等腰直角三角形；点A(x1,y1)与点B(x2,y2)在函数图象上，若x12m，则y1y2；当-1x2

18、时，y随x的增大而增大，则m的取值范围为m2其中错误结论的序号是（）ABCD【答案】C【分析】把顶点坐标代入y=-x+1即可判断；根据勾股定理即可判断；根据在对称轴的右边y随x的增大而减小可判断；根据在对称轴的右边y随x的增大而增大可判断【详解】把（m，-m+1）代入y=-x+1，-m+1=-m+1，左=右，故正确；当-(x-m)2-m+1=0时，x1=, x2=,若顶点与轴的两个交点构成等腰直角三角形，则1-m+(1-m)2+1-m+(1-m)2=4(1-m)，即m2-m=0，m=0或1时，存在一个m的值，使得函数图象的顶点与轴的两个交点构成等腰直角三角形；故正确；当x12m这说明A,B两点

19、的中点在对称轴右侧，B离对称轴比A点远 y1y2，故错误；-10时，抛物线开口向上，在对称轴的左侧y随x的增大而减小，在对称轴的右侧y随x的增大而增大；当a0)顶点在线段AB上运动，形状保持不变，与x轴交于C，D两点（C在D的右侧），下列结论：c2；当x0时，一定有y随x的增大而增大；若点D横坐标的最小值为5，点C横坐标的最大值为3；当四边形ABCD为平行四边形时，a=其中正确的是（）ABCD【答案】D【分析】根据顶点在线段AB上抛物线与y轴的交点坐标为（0，c）可以判断出c的取值范围，可判断；根据二次函数的增减性判断；先确定x=1时，点D的横坐标取得最大值，然后根据二次函数的对称性求出此时点

20、C的横坐标，即可判断；令y=0，利用根与系数的关系与顶点的纵坐标求出CD的长度的表达式，然后根据平行四边形的对边平行且相等可得AB=CD，然后列出方程求出a的值，判断【详解】解：点A，B的坐标分别为(-3，-2)和(1，-2)，线段AB与y轴的交点坐标为(0，-2)，又抛物线的顶点在线段AB上运动，抛物线与y轴的交点坐标为(0，c) ，C-2，(顶点在y轴上时取“=”)，故正确；抛物线的顶点在线段AB上运动，开口向上，当x1时，一定有y随x的增大而增大，故错误；若点D的横坐标最小值为-5，则此时对称轴为直线x=-3，根据二次函数的对称性，点C的横坐标最大值为1+2=3，故正确；令y=0，则ax

21、2+bx+c=0，设该方程的两根为x1，x2，则x1+x2=-，x1x2=，CD2=( x1-x2) 2=( x1+x2) 2-4x1x2，根据顶点坐标公式，即，四边形ACDB为平行四边形，CD=AB=1-（-3)=4，=42=16，解得a=，故正确；综上所述，正确的结论有故选：D【点睛】本题考查了二次函数的综合题型，主要利用了二次函数的顶点坐标，二次函数的对称性，根与系数的关系，平行四边形的对边平行且相等的性质，要注意顶点在y轴上的情况例2 （2021内蒙古统考中考真题）已知抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，点在抛物线上，E是该抛物线对称轴上一动点当的值最小时，

22、的面积为_【答案】4【分析】根据题意画出函数图像，要使的值最小，需运用对称相关知识求出点E的坐标，然后求的面积即可【详解】解：根据题意可求出，抛物线的对称轴为：，根据函数对称关系，点B关于的对称点为点A，连接AD与交于点E，此时的值最小，过D点作x轴垂线，垂足为F，设抛物线对称轴与x轴交点为G，过点C作的垂线，垂足为H，所以四边形ACHE的面积等于与梯形ACHG的面积和，即，则S四边形ACHE-，故答案为：4【点睛】本题主要考查二次函数的交点坐标、对称轴、相似三角形、对称等知识点，根据题意画出图形，可以根据对称求出点E的坐标是解决本题的关键例3 （2022山东日照统考中考真题）在平面直角坐标系

23、xOy中，已知抛物线y=-x2+2mx+3m，点A（3，0）(1)当抛物线过点A时，求抛物线的解析式；(2)证明：无论m为何值，抛物线必过定点D，并求出点D的坐标；(3)在（1）的条件下，抛物线与y轴交于点B，点P是抛物线上位于第一象限的点，连接AB，PD交于点M，PD与y轴交于点N设S=SPAMSBMN，问是否存在这样的点P，使得S有最大值？若存在，请求出点P的坐标，并求出S的最大值；若不存在，请说明理由【答案】(1)y=-x2+2x+3；(2)证明见解析，；(3)存在，点的坐标是（1，4），过程见解析【分析】（1）把x=3，y=0代入y=-x2+2mx+3m，从而求得m，进而求得抛物线的解

24、析式；（2）将抛物线的解析式变形为：y=x2+m（2x+3），进而根据2x+3=0，求得x的值，进而求得结果；（3）将S变形为：S=（SPAM+S四边形AONM）（S四边形AONM+SBMN）=S四边形AONPSAOB，设P（m，-m2+2m+3），设PD的解析式为：y=kx+b，将点P和点D坐标代入，从而求得PD的解析式，进而求得点N的坐标，进而求得S关于m的解析式，进一步求得结果【详解】（1）解：把x=3，y=0代入y=-x2+2mx+3m得，-9+6m+3m=0，m=1，y=-x2+2x+3；（2）证明：y=-x2+m（2x+3），当2x+3=0时，即时，无论m为何值，抛物线必过定点D，

25、点D的坐标是；（3）如图，连接OP，设点P（m，-m2+2m+3），设PD的解析式为：y=kx+b，PD的解析式为：y，当x0时，y，点N的坐标是（0，），S=SPAM-SBMN，S=（SPAM+S四边形AONM）（S四边形AONM+SBMN）=S四边形AONP-SAOB，当x0时，y=-x2+2x+33，点B的坐标是（0，3），OB3，当时，当时，点的坐标是（1，4）【点睛】本题考查了一次函数的图象和性质、二次函数的图象和性质、待定系数法求函数解析式、二次函数求最值、三角形的面积等知识，解决问题的关键是数形结合和变形S，转化为常见的面积计算方法总结二次函数在自变量的给定范围内，对应的图象是抛

26、物线上的一段那么最高点的纵坐标即为函数的最大值，最低点的纵坐标即为函数的最小值。解决二次函数最值问题，若遇见对称轴和取值范围都给定，可分为对称轴在取值范围内和不在取值范围内两种情形。若对称轴在取值范围内，顶点为最值点，（开口向上为最小值，开口向下为最大值），离对称轴较远的一个端点为另一个最值点（前者是最大值则后者是最小值，否则为最大值）。【变式1】（2021宁夏吴忠校考一模）如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点在轴的正半轴上，顶点的坐标为，是抛物线上一点，且在轴上方，则面积的最大值为（）ABCD【答案】C【分析】求出，设点，然后根据的面积列式，再利用二次函数求最值的方法解答即可【详解】解：菱形

27、顶点的坐标为，设点，则的面积，当x3时，面积有最大值，故选：C【点睛】本题考查的是二次函数的最值问题，菱形的性质，勾股定理的应用，通过点的坐标确定菱形的边长是解答本题的关键【变式2】（2022山东济南统考一模）在平面直角坐标系中，若点P的横坐标和纵坐标相等，则称点P为雅系点已知二次函数的图象上有且只有一个雅系点，且当时，函数的最小值为6，最大值为2，则的取值范围是（）ABCD【答案】C【分析】根据雅系点的概念令ax2-4x+c=x，即ax2-5x+c=0，由题意，=（-5）2-4ac=0，即4ac=25，方程的根为，从而求得a=-1，c=-，所以函数y=ax2-4x+c+=-x2-4x-6，根

28、据函数解析式求得顶点坐标与纵坐标的交点坐标，根据y的取值，即可确定x的取值范围【详解】解：令ax2-4x+c=x，即ax2-5x+c=0， 由题意，=（-5）2-4ac=0，即4ac=25，又方程的根为，解得a=-1，c=-，故函数y=ax2-4x+c+=-x2-4x-6，y=-x2-4x-6=-（x+2）2-2，函数图象开口向下，顶点为（-2，-2），与y轴交点为（0，-6），由对称性，该函数图象也经过点（-4，-6）由于函数图象在对称轴x=-2左侧y随x的增大而增大，在对称轴右侧y随x的增大而减小，且当0xm时，函数y=-x2-4x-6的最小值为-6，最大值为-2，-4m-2，故选：C【点

29、睛】本题是二次函数的综合题，考查了二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质以及根的判别式等知识，利用分类讨论以及数形结合得出是解题关键【变式3】（2022安徽合肥合肥市五十中学西校校考三模）已知，点和点在二次函数的图象上，若点是该二次函数图象上任意一点，且满足（1）用含a的代数式表示b为_；（2）mn的最大值为_【答案】 【分析】（1）由点是该二次函数图象上任意一点，且满足，可得是二次函数的顶点，且二次函数的开口向上，可得，（2）用含a的代数式表示mn，利用二次函数的性质求解最大值即可【详解】解：（1） 点是该二次函数图象上任意一点，且满足，是二次函数的顶点，且二次函数的开口向上， 抛物线的

30、对称轴为： （2）由（1）得：抛物线为： 点和点在二次函数的图象上， 由 则有最大值，当时，最大，最大值为： 故答案为：【点睛】本题考查的是二次函数的图象与性质，利用二次函数的性质求解代数式的最值，熟练的判断A是顶点是解本题的关键【变式4】（2022河北石家庄二模）在中，的顶点P在BC上滑动，PM始终过点A，且，在点P滑动的过程中：（1）当_时，；（2）BD的最大值为_【答案】 PC#CP 【分析】（1）先证BDPCPA，再根据AAS添加条件BD=PC，即可求解答案；（2）根据（1）的结论得到BDPCPA，即有，进而有，再结合已知的线段长度，可得到，再根据二次函数的性质即可得到BD的最大值【详

31、解】（1）BD=PC时，BDPCPA，理由如下：AB=AC，B=C，C=MPN，MPB=C+PAC=DPB+MPNDPB=PAC，BDPCPA，即有当BD=PC时，有BDPCPA；（2），理由如下：根据（1）的结果有：BDPCPA，AB=AC=4，BC=6，BP=BC=PC=6-PC，整理得：，,当PC=3时，BD有最大值，且最大值为，故答案为：PC，【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定以及二次函数求最值等知识，利用BDPCPA得到二次函数是解答本题的关键【变式5】（2022吉林长春校考模拟预测）在平面直角坐标系中，抛物线（a为常数）(1)当在抛物线上，求m的值(2)当抛

32、物线的最低点到直线的距离恰好是时，求a的值(3)已知、，连接当抛物线与线段有交点时，记交点为P（点P不与A、B重合），将线段绕点P顺时针旋转得到线段，以、为邻边构造矩形若抛物线在矩形内部的图象的函数值y随自变量x的增大而减小时，求a的取值范围当抛物线在矩形内部（包含边界）图象所对应的函数的最大值与最小值的差为时，直接写出a的值【答案】(1)(2) 或 或(3)或；或或【分析】(1)将代入解析式，即可求解；(2)求出顶点坐标，由题意列出方程即可求解；(3)通过数形结合，讨论抛物线对称轴与矩形边的位置关系与抛物线经过临界点时的值即可求解；分类讨论点B在A上方与点B在A下方两种情况，分别求出最高点与

33、最低点坐标作差即可求解【详解】（1）解：将代入可得：，解得（2）解：，抛物线顶点坐标为，抛物线的最低点到直线的距离恰好是，解得：或或；（3）所在直线解析式为，将代入，得，点P坐标为，当点B在点A上方时，解得：，点M横坐标为，抛物线对称轴在点M右侧，满足题意，当点B在点A下方时，解得：，点M横坐标为，当抛物线经过点M时，解得：，满足题意综上所述，或；由得Q的横坐标为，Q的坐标为，当，抛物线经过点Q时，将代入抛物线解析式得：，解得或（舍去），抛物线与直线交点为，当时，抛物线与矩形交点最高点为点，最低点纵坐标为1，则时，解得（舍），当点P为最高点，抛物线与交点E为最低点时，则，解得：（舍）或当时，抛

34、物线经过点Q时，时，抛物线与矩形交点最高点纵坐标为1，最低点纵坐标为点P纵坐标为，当时，当时，抛物线与直线交点为最高点，点P为最低点，当时，解得：（舍）或，综上所述，或或【点睛】本题考查了二次函数综合题，考查了二次函数的性质，矩形的性质，旋转的性质等知识，利用数形结合的思想解决问题是解题的关键考查类型四 其他性质综合问题例1 （2022四川宜宾统考中考真题）已知抛物线的图象与x轴交于点、，若以AB为直径的圆与在x轴下方的抛物线有交点，则a的取值范围是（）ABCD【答案】A【分析】根据题意，设抛物线的解析式为，进而求得顶点的的坐标，结合图形可知当顶点纵坐标小于或等于-3满足题意，即可求解【详解】

35、解：抛物线的图象与x轴交于点、，设抛物线的解析式为顶点坐标为， ,以AB为直径的圆与在x轴下方的抛物线有交点，则圆的半径为3，如图，解得故选：A【点睛】本题考查了圆的的性质，二次函数图象的性质，求得抛物线的顶点纵坐标的范围是解题的关键例2 （2021黑龙江齐齐哈尔统考中考真题）如图，抛物线的解析式为，点的坐标为，连接：过A1作，分别交y轴、抛物线于点、：过作，分别交y轴、抛物线于点、；过作，分别交y轴、抛物线于点、：按照如此规律进行下去，则点（n为正整数）的坐标是_【答案】【分析】根据待定系数法分别求出直线、的解析式，即可求得、P2、P3的坐标，得出规律，从而求得点Pn的坐标【详解】解：点的坐

36、标为，直线的解析式为，设的解析式为，解得，所以直线的解析式为，解，求得，设的解析式为，解求得，设的解析式为，故答案为：【点睛】本题考查了二次函数的性质，二次函数图像上点的坐标特征，待定系数法求一次函数解析式，根据一次函数图像上点的坐标特征得出规律是解题的关键例3 （2022广东深圳统考中考真题）二次函数先向上平移6个单位，再向右平移3个单位，用光滑的曲线画在平面直角坐标系上(1)的值为；(2)在坐标系中画出平移后的图象并求出与的交点坐标；(3)点在新的函数图象上，且两点均在对称轴的同一侧，若则（填“”或“”或“”）【答案】(1)(2)图见解析，和(3)或【分析】（1）把点代入即可求解（2）根据

37、描点法画函数图象可得平移后的图象，在根据交点坐标的特点得一元二次方程，解出方程即可求解（3）根据新函数的图象及性质可得：当P，Q两点均在对称轴的左侧时，若，则，当P，Q两点均在对称轴的右侧时，若，则，进而可求解（1）解：当时，（2）平移后的图象如图所示：由题意得：，解得，当时，则交点坐标为：，当时，则交点坐标为：，综上所述：与的交点坐标分别为和（3）由平移后的二次函数可得：对称轴，当时，随x的增大而减小，当时，随x的增大而增大，当P，Q两点均在对称轴的左侧时，若，则，当P，Q两点均在对称轴的右侧时，若，则，综上所述：点在新函数图象上，且P，Q两点均在对称轴同一侧，若，则或，故答案为：或【点睛】

38、本题考查了二次函数的图象及性质，二次函数图象的平移，理解二次函数的性质，利用数形结合思想解决问题是解题的关键一般式：（，为常数，）；函数二次函数（a、b、c为常数，a0）图象开口方向向上向下对称轴直线直线顶点坐标增减性在对称轴的左侧，即当时，y随x的增大而减小；在对称轴的右侧，即当时，y随x的增大而增大简记：左减右增在对称轴的左侧，即当时，y随x的增大而增大；在对称轴的右侧，即当时，y随x的增大而减小简记：左增右减最大(小)值抛物线有最低点，当时，y有最小值，抛物线有最高点，当时，y有最大值， 知识点：二次函数图象的平移由二次函数的性质可知，抛物线()的图象是由抛物线()的图象平移得到的.在平

39、移时，不变(图象的形状、大小不变)，只是顶点坐标中的或发生变化(图象的位置发生变化)。平移规律是“左加右减，上加下减”，左、右沿轴平移，上、下沿轴平移，即.因此，我们在解决抛物线平移的有关问题时，首先需要化抛物线的解析式为顶点式，找出顶点坐标，再根据上面的平移规律，解决与平移有关的问题，注意：(1)a 的绝对值越大，抛物线的开口越小. (2)理解并掌握平移的过程，由，的图象与性质及上下平移与左右平移的规律：将抛物线解析式转化成顶点式，确定其顶点坐标；保持抛物线的形状不变，将其顶点平移到处，具体平移方法如下：平移规律：概括成八个字“左加右减，上加下减”【变式1】（2022浙江宁波一模）已知A，B

40、两点的坐标分别为，线段上有一动点，过点M作x轴的平行线交抛物线于两点（P在Q的左侧）若恒成立，则a的取值范围为（）ABCD【答案】D【分析】根据两点的坐标，得出线段AB（B除外）位于第四象限，再根据抛物线解析式，得出抛物线的顶点坐标为，此顶点位于第一象限，得出，再结合图象，得出若，则当时，二次函数的函数值；当时，二次函数的函数值，即可联立不等式组，解出即可得出结论【详解】解：如图，由题意得：线段AB（B除外）位于第四象限，过点M且平行x轴的直线在x轴的下方，抛物线的顶点坐标为，此顶点位于第一象限，结合图象可知，若，则当时，二次函数的函数值；当时，二次函数的函数值，即，解得：，又，故选：D【点睛

41、】本题考查了二次函数的图象与性质、二次函数与一元一次不等式组，根据图象正确理解恒成立是解本题的关键【变式2】（2022辽宁鞍山统考二模）如图，在正方形中，点P从点A出发沿路径向终点C运动，连接，作的垂直平分线与正方形的边交于M，N两点，设点P的运动路程为x，的面积为y，则下列图象能大致反映y与x函数关系的是（）ABCD【答案】A【分析】分点P在AB和BC上两种情况，分别求出MN和PF长，利用面积公式求解【详解】解：（1）如图，当0x4时，点P在AB上，过点N作NEAD于点E，设MN与PD交于点F，NE=DC=AD，则PD= ，又MN垂直平分PD，PF= ，MDF+FMD=MNE+FME=90，

42、MNE=PDA，在MNE和PDA中， APDEMN，PD=MN= ，y= ,（2）如图，当4x8时，点P在BC上，过点N作NECD于点E，设MN交PD于点F，则PD= ,PF用（1）的方法得MN,y=，故 故选择A【点睛】本题考查分段函数，解决问题的关键是根据点P的位置确定自变量的取值范围得出函数解析式【变式3】（2022广东模拟预测）若抛物线的顶点为，抛物线的顶点为B，且满足顶点A在抛物线上，顶点B在抛物线上，则称抛物线与抛物线互为“关联抛物线”，已知顶点为M的抛物线与顶点为N的抛物线互为“关联抛物线”，直线MN与轴正半轴交于点D，如果，那么顶点为N的抛物线的表达式为_【答案】【分析】设顶点

43、为N的抛物线顶点坐标N为（a，b），由题意可知，即可求得D点坐标为（6，0），则有直线MD解析式为，因为N点过直线MD，N点也过抛物线，故有，解得，故N点坐标为（，），可设顶点为N的抛物线的表达式为，又因为M点过，即可解得a=-1，故顶点为N的抛物线的表达式为【详解】设顶点为N的抛物线顶点坐标N为（a，b）已知抛物线的顶点坐标M为（2，3）即解得直线MN与轴正半轴交于点DD点坐标为（6，0）则直线MD解析式为N点在直线MD上，N点也在抛物线故有化简得联立得化简得解得a=或a=2（舍）将a=代入有解得故N点坐标为（，）则顶点为N的抛物线的表达式为将（2，3）代入有化简得解得a=-1故顶点为N的抛

44、物线的表达式为故答案为：【点睛】本题考查了二次函数的图象及其性质，三角函数的应用理解题意所述“关联抛物线”的特点，即若抛物线的顶点为，抛物线的顶点为B，且满足顶点A在抛物线上，顶点B在抛物线上是解题的关键【变式4】（2021安徽阜阳统考一模）如图1，E是等边的边BC上一点（不与点B，C重合），连接AE，以AE为边向右作等边，连接已知的面积（S）与BE的长（x）之间的函数关系如图2所示（为抛物线的顶点）（1）当的面积最大时，的大小为_ （2）等边的边长为_ 【答案】 【分析】（1）过点F作FDBC于点D，由已知先证，得，进可得FCD的度数，所以可求得FD，设等边ABC的边长为a，则可把ECF的面

45、积表示出来，并求出面积的最大值，此时便可求得FEC的度数；（2）由图知ECF的最大值，由（1）中计算知道它的面积的最大值，则两者相等，可求得等边ABC的边长【详解】过F作，交BC的延长线于D，如图：为等边三角形，为等边三角形，设等边边长是a，则，当时，有最大值为，(1)当的面积最大时，即E是BC的中点，故答案为：；（2）当时，有最大值为，由图可知最大值是，解得或边长，舍去，等边的边长为，故答案为：【点睛】本题考查等边三角形及二次函数知识，解题关键是证明由，用x的代数式表示的面积【变式5】（2022山东德州校考二模）在平面直角坐标系中，已知抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交

46、于点C，顶点为点D(1)当时，直接写出点A，C，D的坐标：A_，C_，D_；(2)如图1，直线DC交x轴于点E，若，求a的值和CE的长；(3)如图2，在（2）的条件下，若点N为OC的中点，动点P在第三象限的抛物线上，过点P作x轴的垂线，垂足为Q，交AN于点F；过点F作，垂足为H设点P的横坐标为t，记用含t的代数式表示f；设，求f的最大值【答案】(1)，(2)，(3)；【分析】1）当a6时，抛物线的表达式为：y6x224x18，即可求解；（2）由点C、D的坐标得，直线CD的表达式为：y2ax4a6，进而求出点E（，0），利用tanAED，即可求解；（3）证明FJHECO，故，则 ，即可求解；（）

47、，即可求解【详解】（1）当时，当时，解得或则点A的坐标为当时，则点C的坐标为将化成顶点式为则点D的坐标为故答案为：，；（2）如图，作轴于点将化成顶点式为则顶点D的坐标为，在中，即解得，在中，即，解得，将点代入得：，解得；（3）如图，作与的延长线交于点由（2）可知，当时，解得或，为OC的中点，设直线AN的解析式为将点，代入得：，解得则直线AN的解析式为，由（2）知，设直线CE的解析式为将点，代入得：，解得则直线CE的解析式为，轴，即解得即；将化成顶点式为由二次函数的性质可知：则当时，取得最大值，最大值为【点睛】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数的性质、三角形相似的判定与性质等，综合性较

48、强，难度较大【培优练习】1（2021浙江九年级自主招生）已知抛物线的顶点为坐标原点，过作两条互相垂直的直线分别与抛物线交于点、，连接求边上的高的最大值为（）ABCD【答案】B【分析】设出、两点的坐标，并表示出三条直线的表达式，可以得出直线过定点，可知当与轴平行时，边上的高有最大值【详解】解：如图：设点，则：直线的表达式为：直线的表达式为：直线的表达式为：，过点分别作轴垂线，交轴于点则：则直线的表达式为：直线必过点当与轴平行时，边上的高有最大值，为故选B【点睛】本题考查了最值问题，主要知识点有：求一次函数表达式、相似三角形，表示出直线的表达式是解题关键2（2023秋河北廊坊九年级统考期末）如图，

49、抛物线的对称轴为直线，若关于x的一元二次方程（t为实数）在的范围内有解，则t的取值范围是（）ABCD【答案】B【分析】已知抛物线的对称轴，可求出m=4，进而求出抛物线的解析式；把关于x的一元二次方程有解的问题，转化为抛物线与直线y=t的交点问题，可求出t的取值范围；最后将所给的四个选项逐一与t的范围加以对照，即可得出正确答案【详解】抛物线的对称轴为直线,，解得，抛物线的解析式为，当时，抛物线的顶点坐标为当时，当时，关于x的一元二次方程是，方程在的范围内有解，抛物线与直线在范围内有公共点，如图所示，故选：B【点睛】本题考查了二次函数的对称轴、顶点坐标、与一元二次方程的关系等知识点，熟知二次函数的

50、对称轴、顶点坐标的计算方法是解题的基础，解题的关键是熟知二次函数与一元二次方程的互相转化3（2023秋河北保定九年级校考期末）定义：若函数，则该函数的最大值为（）A0B2C3D4【答案】D【分析】设直线，抛物线，联立直线与抛物线方程得抛物线与直线交点坐标，结合图象求解【详解】解：设直线，抛物线，联立直线与抛物线方程得，解得或，直线与抛物线交点坐标为，如图，时，由图象可得函数的最大值为，时，由图象可得函数的最大值为，当时，由图象可得，函数的最大值为4，故选：D【点睛】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握函数与方程及不等式的关系，通过数形结合求解4（2023秋福建泉州九年级泉州五中校联考期末）已

51、知、是一元二次方程的两个不相等的实数根，、是一元二次方程的两个不相等的实数根，其中若，则的值为（）A8B9C12D18【答案】D【分析】根据抛物线表达式以及分析出抛物线图像的大致情况，得到，再根据抛物线对称轴得到，从而推出，即点C坐标，代入抛物线表达式中，即可求出n【详解】解：由题意画图可得：抛物线与x轴交于A，C，抛物线与x轴交于B，D，两个抛物线与y轴都交于，抛物线的对称轴为直线，物线的对称轴为直线，即，代入中，得：，故选D【点睛】本题考查了二次函数的综合性质，解题的关键是要读懂题意，通过对图像的分析将转化为5（2023秋河北邢台九年级邢台三中校考期末）已知二次函数的图象如图所示，点是坐标

52、系的原点，点是图象对称轴上的点，图象与轴交于点，则下面结论：；关于的方程的解是，；当时，；当时，；周长的最小值是正确的有（）A2个B3个C4个D5个【答案】D【分析】利用二次函数的性质得到抛物线的对称轴为直线，则根据抛物线的对称性得到抛物线与轴的另一个交点坐标为，于是根据抛物线与轴的交点问题，从而可以对进行判断；再把代入中求出得到抛物线解析式为，则可计算出和所对应的函数值，从而可对进行判断；作原点关于直线的对称点，如图，则，连接交直线于点，利用两点之间线段最短得到此时的值最小，周长有最小值，然后利用勾股定理计算出，从而可对进行判断【详解】解：二次函数图象与轴有两个交点，故说法正确，符合题意；利

53、用二次函数的性质得到抛物线的对称轴为直线，则根据抛物线的对称性得到抛物线与轴的另一个交点坐标为，关于的方程的解是，故说法正确，符合题意；把代入中，解得，抛物线的解析式为：，当时，故说法正确，符合题意；抛物线解析式为：，当时，故说法正确，符合题意；作原点关于直线的对称点，如图，则，连接交直线于点，此时的值最小，此时周长有最小值，周长的最小值为，故说法正确，符合题意；故选：D【点睛】本题考查了抛物线与轴的交点：把求二次函数与轴的交点坐标问题转化为解关于的一元二次方程，也考查了二次函数的性质和最短路径问题6（2022秋河南商丘九年级校考阶段练习）如图，在四边形ABCD中，动点P从点D出发以每秒2个单

54、位长度的速度沿着边运动，到达点C时停止运动；另一动点Q同时从点D出发，以每秒1个单位长度的速度沿着边向点C运动，到达点C时停止运动设点P的运动时间为t，的面积为S，则S关于t的函数图象是（）ABCD【答案】B【分析】当时，排除A、D，当时，排除C【详解】当时，由题意得：，是关于t的二次函数，且开口向上，排除A、D，当时，过点P作，四边形是矩形，根据勾股定理得：当P运动到线段上时，是关于t的二次函数，且开口向下，排除CB选项正确；故选：B【点睛】本题考查函数与几何图形的动点问题，解题的关键是分段求出函数关系式，利用排除法求解7（2023秋山东济南九年级校考期末）规定：在平面直角坐标系中，横坐标与

55、纵坐标均为整数的点为整点对于题目：抛物线与轴分别交于、两点（点M在点N的左侧），线段与抛物线围成的封闭区域记作（包括边界），若区域内有6个整点，求的取值范围则（）ABC或D或【答案】C【分析】先求出对称轴，再根据，求出，的坐标，可得到，从而得到顶点坐标为，再分两种情况讨论的取值范围即可【详解】解：，抛物线的对称轴为直线，点在点的左侧，令，则，即，顶点坐标为，线段上有3个整点，区域内有6个整点，当时，即；当时，即，综上所述，的取值范围为或，故选：C【点睛】本题考查了抛物线与轴的交点，二次函数的性质，关键是根据二次函数的性质进行分类求解8（2021春河南郑州八年级校考期中）如图，中，是线段上一个动

56、点，以为边在外作等边若是的中点，则的最小值为（）A16B18C15D21【答案】B【分析】过点作于，过点作于，设等边的边长为，解直角三角形，再求出，然后根据梯形的中位线等于两底和的一半求出，再求出，然后利用勾股定理列式表示出，再根据二次函数的增减性求出的最小值，然后开方即可【详解】解：如图，过点作于，过点作于，设等边的边长为，是等边三角形，为中点，是梯形的中位线，在中，为线段AB上一个动点，当时有最小值，的最小值为，故选：B【点睛】本题考查了勾股定理，二次函数的最值问题，等边三角形的性质，解直角三角形，梯形的中位线等于两底和的一半，解题的关键是熟记各性质与定理并作辅助线构造出以为斜边的直角三角

57、形9（2022秋浙江温州九年级校考阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，的边OA在x轴上，抛物线与OB交于C点，过点C作交AB于D点若CD过的重心G，则点G的坐标为_【答案】【分析】连接，延长与交于点E，设B点坐标为（2，b），根据三角形的重心用b表示G点坐标，再用b表示直线的解析式，进而求得与抛物线的交点C，然后根据轴列出方程求得b的值，便可写出G点坐标【详解】解：连接，延长与交于点E，则，设B点坐标为，G是的重心，G点横坐标，G点横坐标，设直线的解析式为，则，直线的解析式为，当时，或，轴，解得（舍）或，故答案为：【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质，一次函数的图象与性质，三角形的重心性质，

58、关键是根据C、G点的位置关系列出方程10（2022秋辽宁盘锦九年级校考阶段练习）如图抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，点是抛物线对称轴上任意一点，若点，分别是，的中点，连接，则的最小值为_【答案】【分析】根据中位线定理得到，进而得到，当最小时，最小，点关于对称轴对称的点为点，连接，则：，即三点共线时，的值最小，进行求解即可【详解】解：，当时，解得：；当时，；，点，分别是，的中点，当最小时，最小，点关于对称轴对称的点为点，连接，则：，即三点共线时，的值最小，即：的最小值为，的最小值为：；故答案为：【点睛】本题考查二次函数的综合应用熟练掌握三角形的中位线定理，利用轴对称的性质，数形结合的思想进行求

59、解，是解题的关键11（2023秋河北石家庄九年级校考期末）在平面直角坐标系中，点，连接，抛物线经过点，且与线段恰有一个公共点（1）抛物线的对称轴为直线_；（2）的取值范围为_【答案】 或或【分析】（1）代入对称轴公式即可求出；（2）当顶点线段上时，纵坐标为，若顶点不在线段上时，则A定在抛物线内，列出不等式组解之即可【详解】解：（1）对称轴为：，故答案为：（2）当抛物线的顶点在线段上时，即，解得：；若抛物线与线段恰有一个公共点，当时；当时；由于对称轴是，所以A定在抛物线内，即可以得到：或解得：或，故答案为：或或【点睛】本题考查二次函数的对称轴，用不等式组解决交点问题，解题的关键是利用分类讨论的数

60、学思想解决问题12（2022秋浙江温州九年级校考期中）如图，已知A，B是抛物线上的点，线段，且轴，过A，B两点作半径为5的圆（圆心在下方），点P是圆上任意一点，连接，取的中点Q，将该抛物线下方的部分沿直线向上翻折，交y轴于点C，连接，则的最大值是_【答案】【分析】先求得，设过A，B两点作半径为5的圆（圆心在AB下方）为，连接，过I作于D，则，由勾股定理，得，从而得，当P在上运动时，点Q在以中点K为圆心，为半径的圆上运动，所以当经过圆心K时，此时最大，然后求出点，从而求得，即可由求解【详解】解：线段，且轴，设点，则，把点，代入，得，解得，设过A，B两点作半径为5的圆（圆心在AB下方）为，连接，过

61、I作于D，如图，由勾股定理，得， Q是的中点，当P在上运动时，点Q在以中点K为圆心，为半径的圆上运动，当经过圆心K时，此时最大，的中点，抛物线的顶点坐标为，将AB下方的部分沿直线AB向上翻折，翻折后抛物线的顶点坐标为，翻折后抛物线的解析式为，令，则，故答案为：【点睛】本题考查抛物线的性质，抛物线的几何变换，点的坐标，勾股定理，垂径定理，本题属抛物线与几何图形综合题目，解题关键是得出当P在上运动时，点Q在以中点K为圆心，为半径的圆上运动，所以当经过圆心K时，此时最大13（2022秋浙江宁波九年级校联考期中）已知顶点为A的抛物线与顶点为C的抛物线交于，则四边形的周长为_【答案】【分析】根据B、D的

62、纵坐标可知两个抛物线的对称轴一样是，由对角线互相垂直平分可知四边形是菱形，把整个菱形和函数平移，使菱形的对角线交点也就是的中点在原点，然后求出A、B坐标求出菱形的边长，进而求出周长即可【详解】解：由题意可知，则，对称轴都是，两个抛物线的a值是相反的，四边形是菱形，抛物线的a值确定，抛物线的形状固定，的长度固定，则菱形的形状固定，直接算菱形的边长比较麻烦，可以将整个菱形和函数平移，使菱形的对角线交点也就是的中点在原点，此时对称轴为y轴，则，将代入可得：，解得，则，则四边形的周长为故答案为：【点睛】本题主要考查了二次函数的图像与系数的关系、菱形的判定、勾股定理等知识点，灵活应用相关知识点是解答本题

63、的关键14（2022秋河北石家庄九年级校考期末）小明以等腰三角形底边的中垂线和所在的直线建立平面直角坐标系如图，抛物线经过A、两点，点的坐标为_；若一条与轴重合的直线以每秒3个单位长度的速度向右平移，分别交线段、和抛物线于点、和点，连接、设直线移动的时间为秒，当的面积最大时，点的坐标为_；若使是直角三角形，则_【答案】 1【分析】（1）抛物线的解析式中，令，能确定点B的坐标，根据等腰三角形的性质，得出，确定C点坐标；（2）先求出，然后求出直线解析式为，然后设点P的坐标为，用t表示出，求出当时，的面积最大，则求出点P的坐标即可；（3）中，是锐角，而轴，也不可能是直角，所以只有是直角一种可能，证明

64、，得出，代入t解方程即可得出答案【详解】解：（1）把，代入可得， 为等腰三角形，；（2）把代入得：，解得：，设的解析式为：，把，代入得：，解得：，抛物线的关系式为，直线以每秒3个单位长度的速度向右平移，点P的坐标为，把代入得，当时，的面积最大，此时；（3）轴，；而是锐角，所以若是直角三角形，只能是，点P的坐标为：，为等腰三角形，即，解得：或（舍去）故答案为：；1【点睛】本题主要考查的是函数图象与坐标轴的交点坐标的求法、图形面积的解法以及直角三角形的判定；最后一空中关键是将不可能的情况排除掉，可大大的简化解答过程15（2022秋重庆沙坪坝九年级校考期中）某公司去年推出一种节能产品，售价元个与月销

65、量个的函数关系如下表，成本为元个，同时每月还需支出固定广告费元售价y（元/个）月销量x（个）(1)请观察题中的表格，用所学过的一次函数或反比例函数的有关知识，写出与之间的函数关系式；(2)若出售这种节能产品的月利润为元，请用含的代数式表示月利润，并求出当月销售量为个时的月利润；(3)该公司去年每个月都销售了个这种节能产品从今年一月份开始，因物价上涨，广告费每月上涨了元，产品成本增加了%，因此售价上调元，由此月销量减少结果今年一月份的月利润比去年每个月的月利润减少了元求的整数值（参考数据：，）【答案】(1)(2)，当月销售量为个时的月利润为元(3)【分析】（1）根据表格数据，是的一次函数，设，待

66、定系数法求解析式即可求解；（2）根据利润等于售价乘以销量减去成本以及广告费，列出函数关系式，令，求得当月销售量为个时的月利润；（3）先表示出成本，售价，以及销量，根据题意列出一元二次方程，解一元二次方程即可求解【详解】（1）解：根据表格数据可知，是的一次函数，设，将，代入得，解得：，将表格其他数据代入也符合关系式，与之间的函数关系式为，（2）解：依题意， 当时，（3）解：广告费每月上涨了元，则广告费为元，产品成本增加了%，则成本为元个，销售量为，售价为元，根据题意得，设，整理得解得：（负值舍去）【点睛】本题考查了一次函数的应用，二次函数的应用，一元二次方程的应用，根据题意列出关系式以及方程是解

67、题的关键16（2023秋广东江门九年级统考期末）已知关于x的一元二次方程(1)求证：无论a为任何实数，此方程总有两个不相等的实数根；(2)如图，若抛物线与x轴交于点和点B，与y轴交于点C，连结与对称轴交于点D求抛物线解析式和点B的坐标；若点P是抛物线上位于直线的上方一动点，连接、，过点P作轴，交于点M，求面积的最大值及此时点P的坐标【答案】(1)见解析(2)抛物线的解析式为，B点坐标为有最大值此时点P的坐标为【分析】（1）说明方程的判别式即可；（2）利用待定系数法将点A坐标代入解析式求得a值即可求出二次函数的解析式；令，解一元二次方程即可得出结论；设点，则线段的长度可得，利用，得到与x的函数关

68、系式，利用配方法即可求得的面积的最大值，利用此时的x的值即可求得点P坐标【详解】（1）证明：关于x的一元二次方程，无论a为任何实数，此方程总有两个不相等的实数根；（2）抛物线与x轴交于点，解得：，令，则，解得：，抛物线与x轴的交点为和，抛物线的解析式为，B点坐标为；由知，抛物线解析式为，对称轴为，令，则，设直线的解析式为,，则，解得：，直线的解析式为，设抛物线的对称轴于x轴交于点E，如图，设点，=，当时，有最大值此时点P的坐标为【点睛】本题主要考查了抛物线与x轴的交点，待定系数法，配方法确定抛物线的顶点坐标，一元二次方程根的判别式，一次函数图象的性质，抛物线上点的坐标的特征，一次函数图象上点的

69、坐标的特征，梯形的面积，利用点的坐标表示出相应线段的长度是解题的关键17（2023秋广东惠州九年级校考期末）已知O为坐标原点，抛物线与x轴相交于点，与y轴交于点C，且O，C两点之间的距离为3，点A，C在直线上(1)求点C的坐标(2)当随着x的增大而增大时，求自变量x的取值范围(3)将抛物线向左平移个单位，记平移后y随着x的增大而增大的部分为P，直线向下平移n个单位，当平移后的直线与P没有公共点时，求的最小值【答案】(1)点或(2)若，当y随x的增大而增大时，若，当y随x的增大而增大时，(3)【分析】（1）令，故点，由O，C两点之间的距离为3得到，即，即可得到答案；（2）分即和点，即两种情况进行

70、求解即可；（3）分和两种情况根据平移规律进行求解即可【详解】（1）令，故点，O，C两点之间的距离为3，即，点或（2），异号，若即，把代入中，即，直线，将点代入中，则，解得，点，异号，即，则点，将点和点，点代入中得，解得，当时，y随x的增大而增大当点，即，把代入中得，解得，把点代入中，即点，异号，则点，将点，点，点代入中得， 解得则当时，y随x的增大而增大综上所述：若，当y随x的增大而增大时，若，当y随x的增大而增大时，（3）若，则，向左平移n个单位后，则解析式为：，则当时，y随x增大而增大，向下平移n个单位后，则解析式为：，要使平移后直线与P有公共点，则当，即，解得：，不符合条件，应舍去若，则

71、，向左平移n个单位后，则解析式为：，则当时，y随x的增大而增大，向下平移n个单位后，则解析式为：，要使平移后的直线与P有公共点，则当时，即，解得，综上所述，当时，的最小值为：【点睛】此题考查了待定系数法求函数解析式、二次函数的性质、二次函数和一次函数的平移等知识，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键18（2022秋黑龙江哈尔滨九年级校考期中）已知：如图，抛物线（）交轴于、两点，交轴于点，直线：交轴于点，交轴于点(1)求抛物线的解析式；(2)若为抛物线上一点，连接、，设点的横坐标为（），的面积为，求与函数关系式；（不要求写出自变量的取值范围）(3)在（2）的条件下，点在线段上，点是第二象限抛物线上

72、一点，且，求点的坐标【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）先求出一次函数解析式，再将E点坐标代入一次函数解析式中求出m即可；（2）利用梯形的面积减去两个直角三角形的面积即可；（3）先求出直线AQ的解析式，再设出M、N的坐标，构造全等三角形，利用全等三角形的性质建立方程求解即可【详解】（1）解：当时，将代入中得，将代入得，解得：，抛物线的解析式为：（2），如图，过Q点作于B，即（3）当时，（正值舍去）当时，设直线AQ的解析式为：，如图，分别过Q点、N点作x轴的垂线，分别与过A点、M点作的x轴的平行线分别交于点K、点H，过M点作x轴的垂线，垂足为G，,，设，（负值舍去），【点睛】本题考查了抛物线

73、与一次函数、三角形面积问题等知识，设计到了全等三角形的判定与性质、待定系数法、等腰直角三角形的判定与性质、二元一次方程组等知识，解题关键是理解图形、能构造全等三角形19（2023秋湖南邵阳九年级统考期末）如图，抛物线与x轴交于点、B两点，顶点，过点A的直线与抛物线相交于点C，与抛物线对称轴DF交于点E，(1)求该抛物线解析式；(2)在对称轴上是否存在一点M，使以点A、E、M为顶点的三角形与相似，若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由(3)点P是线段上一动点，过点P作直线轴交抛物线于点Q，当线段的长度最大时，求P点坐标与的最大值【答案】(1)或(2)存在，或(3)，【分析】（1）根据抛物线

74、的顶点为可设，再把A的坐标代入计算即可；（2）如图，的对称轴为直线，先求解直线；由，结合勾股定理可得，再分两种情况讨论：当时，则，当时，则，从而可得答案；（3）设点，则点，可得，再利用二次函数的性质解决问题即可【详解】（1）解：由题意可设，将代人解析式中得，或（2）如图，的对称轴为直线，而，设为，解得：，直线；令，解得， 所以；由，结合勾股定理可得，当时，则，则，当时，则，此时，重合，存在点或；（3）如图，设点，则点，当时，PQ最大，最大值为此时【点睛】本题考查的是利用待定系数法求解抛物线的解析式，勾股定理的应用，相似三角形的判定与性质，二次函数的性质，清晰的分类讨论与数形结合的方法都是解本题

75、的关键20（2023秋江西宜春九年级统考期末）如图，抛物线与y轴交于点A，过点A的直线与抛物线交于另一点B，过点B作轴，垂足为点(1)求直线AB的函数解析式(2)动点P在线段OC上，从原点O出发以每秒1个单位的速度向点C移动，过点P作轴，交直线AB于点M，交抛物线于点N，设点P移动的时间为t秒，MN的长为s个单位，求s与t的函数解析式，并写出t的取值范围(3)在（2）的条件下（不考虑点P与点O、C重合的情况），连接CM、BN，是否存在某一时刻使得四边形BCMN为菱形？若存在，请求出t的值，若不存在，请说明理由【答案】(1)(2)(3)存在，【分析】（1）先求出A、B点的坐标，再用待定系数法求解

76、即可；（2）先用t表示P、M、N 的坐标，由等式得到函数关系式即可；（3）由平行四边形对边相等的性质得到等式，然后再对邻边是否相等分类讨论即可【详解】（1）解：（1）时，点A的坐标为：，轴，垂足为点，点B的横坐标为，当时， ，点B的坐标为（，），设直线的函数关系式为，由题意可得：，解得：，则直线的函数关系式（2）解：当时，点M的坐标为（t，），当时，点N的坐标为（3）解：若四边形为平行四边形，则有，解得，当或-2时，四边形为平行四边形，当时，时，四边形BCMN为菱形；当时，此时四边形BCMN不是菱形综上，当时，四边形为菱形【点睛】本题考查的是二次函数的性质、待定系数法求函数解析式、菱形的判定，正确求出二次函数的解析式、利用配方法把一般式化为顶点式、求出函数的最值是解题的关键，注意菱形的判定定理的灵活运用