专题37 因式分解-2022-2023学年初中数学学科素养能力培优竞赛试题精选专练（解析版）.docx

1、专题37 因式分解一、十字相乘【学霸笔记】利用十字交叉线来分解系数，将二次三项式分解因式的方法叫做十字相乘法，主要分为以下两类：1.二次项系数是1的二次三项式的十字相乘法对首项是1的二次三项式的十字相乘法主要就是要能够运用公式进行因式分解.对于二次三项式，若存在则，即把常数项分解成两个数的积，且其和刚好等于一次项系数.技巧1：在对分解因式时，先从常数项c的正负入手：若，则、同号，若，则、异号，然后根据一次项系数的正负进一步确定、的符号；技巧2：若中的b、c为整数时，要先将c分解成两个整数的积，然后再考虑这两个整数和能否等于一次项系数（再分解时，要考虑分解的多种可能，直至凑对为止）.2.二次项系

2、数不为1的十字相乘在二次三项式中，如果二次项系数a可以分解成两个因数的积，常数项c也可以分解成两个因数的积，即，将、按照以下进行排列：按照斜线交叉相乘，再相加，得到，若它正好等于二次三项式一次项系数b，即，那么二次三项式就可以分解成两个因式与之积，即.PS：若二次项系数是负数，可以先提个负号，分解括号里面的二次三项式，最后结果不要忘记添上负号.【典例】若能分解成两个一次因式的积，则的值为（ ）A. 1B. C. D. 2【解答】C【解析】，可分解成或，分以下两种情况考虑：由可得m1，由可得，故选C.【巩固】求证：若是7的倍数，其中x、y都是整数，则是49的倍数.【解答】见解析【解析】证明：是7

3、的倍数，设（m为整数），则，x、m是整数，也是整数，是49的倍数.二、利用因式分解计算求值【典例】已知x、y是二元一次方程组x-2y=32x+4y=5的解，则代数式x24y2的值为 【解答】解：x-2y=32x+4y=5，2得8y1，y=-18，把y=-18代入得2x-12=5，x=114，x24y2（114）2-4(-18)2=152，故答案为：152【巩固】设a=20042-2003(20042+2005)2003(20022-2001)-20023，b=20053-2004(20052+2006)2004(20032-2002)-20033，则a、b的大小关系是（）AabBabCabD无

4、法确定【解答】解：a=20042-2003(20042+2005)2003(20022-2001)-20023=20042(1-2003)-20032005200320022-20032001-20023 =20042-200422003-(2004-1)(2004+1)200320022-20032001-20023 =20042-200422003-20042+120022(2003-2002)-(2002+1)(2002-1) =-200422003+120022-20022+1 200422003+10，b=20053-2004(20052+2006)2004(20032-2002)-

5、20033=20053-200420052-20042006200420032-20042002-20033 =20052(2005-2004)-(2005-1)(2005+1)(2004-2003)20032-(2003+1)(2003-1) =20052-20052+120032-20032+1 10，ab故选：C三、利用因式分解证明【典例】求证：当n为整数时，多项式（2n+1）2（2n1）2一定能被8整除【解答】证明：原式（2n+1+2n1）（2n+12n+1）24n8n，n为整数，8n被8整除，即多项式（2n+1）2（2n1）2一定能被8整除【巩固】（1）证明：199920002001

6、200320042005+36是一个完全平方数；（2）证明：98n+478n+4能被8整除（n为正整数）【解答】（1）证明：设a2002，原式（a3）（a2）（a1）（a+1）（a+2）（a+3）+36（a21）（a24）（a29）+36a6（1+4+9）a4+（4+9+36）a236+36a614a4+49a2a2（a414a2+49）a2（a7）2a（a7）2故199920002001200320042005+362002（20027）2（20021995）2，即199920002001200320042005+36是一个完全平方数；（2）证明：98n+478n+4（92n+1）4（72n

7、+1）4（92n+1）2+（72n+1）2（92n+1）2（72n+1）2（92n+1）2+（72n+1）2（92n+1+72n+1）（92n+172n+1），n为正整数，（92n+1）2+（72n+1）2，92n+1+72n+1，92n+172n+1都是偶数，（92n+1）2+（72n+1）2（92n+1+72n+1）（92n+172n+1）能被8整除，即98n+478n+4能被8整除巩固练习1已知x2m+n+2和xm+2n时，多项式x2+4x+6的值相等，且mn+20，则当x3（m+n+1）时，多项式x2+4x+6的值等于（）A7B9C3D5【解答】解：x2m+n+2和xm+2n时，多项式

8、x2+4x+6的值相等，二次函数yx2+4x+6的对称轴为直线x=2m+n+2+m+2n2=3m+3n+22，又二次函数yx2+4x+6的对称轴为直线x2，3m+3n+22=-2，3m+3n+24，m+n2，当x3（m+n+1）3（2+1）3时，x2+4x+6（3）2+4（3）+63故选：C2已知a+b+c3，a2+b2+c23，则a2017+b2018+c2019的值是 【解答】解：a+b+c3，a2+b2+c23，a2+b2+c22（a+b+c）+30，（a1）2+（b1）2+（c1）20，（a1）20，（b1）20，（c1）20，a-1=0b-1=0c-1=0，a=1b=1c=1，a20

9、17+b2018+c201912017+12018+120193，故答案为：33已知：x28x30，则（x1）（x3）（x5）（x7）的值是 【解答】解：x28x30，x28x3（x1）（x3）（x5）（x7）（x28x+7）（x28x+15），把x28x3代入得：原式（3+7）（3+15）180故答案是：1804设实数a，b满足：3a210ab+8b2+5a10b0，求u9a2+72b+2的最小值【解答】解：由3a210ab+8b2+5a10b5（a2b）+（a2b）（3a4b）（a2b）（3a4b+5）0，所以a2b0，或3a4b+50当a2b0，即a2b时，u9a2+72b+236b2+

10、72b+236（b+1）234，于是b1时，u的最小值为34，此时a2，b1当3a4b+50时，u9a2+72b+216b2+32b+2716（b+1）2+11，于是b1时，u的最小值为11，此时a3，b1综上可知，u的最小值为345已知a2019x+2016，b2019x+2017，c2019x+2018，求多项式a2+b2+c2abbcac的值【解答】解：a2019x+2016，b2019x+2017，c2019x+2018，ab1，ac2，bc1，a2+b2+c2abbcac=12（ab）2+（bc）2+（ac）2=12（1）2+（1）2+（2）236已知n是正整数，且n416n2+10

11、0是质数，求n的值【解答】解：n416n2+100n4+20n2+10036n2（n2+6n+10）（n26n+10），n2+6n+101，而n416n2+100为质数，n26n+101，即|（n3）20，解得n3故答案为：37设k为正整数，证明：（1）如果k是两个连续正整数的乘积，那么25k+6也是两个连续正整数的乘积；（2）如果25k+6是两个连续正整数的乘积，那么k也是两个连续正整数的乘积【解答】证明：（1）设两个连续正整数可表示为x，x+1，那么kx（x+1）， 25k+6，25x（x+1）+6，25x2+25x+6，（5x+2）（5x+3），也是两个连续数的乘积，如果k是两个连续正整

12、数的乘积，那么25k+6也是两个连续正整数的乘积；（2）设25k+6m（m+1），m为正整数，则100k+254m（m+1）+14m2+4m+1（2m+1）252（4k+1），2m+1是5的倍数，且（2m+1）/5是奇数，设2m+15=2x+1（x为正整数），则4k+1（2m+15）2（2x+1）2，4k+14x2+4x+1，4k4x2+4x，kx（x+1），k是连续两个正整数的积8已知关于x、y的二次式x2+7xy+ay25x45y24可分解为两个一次因式的乘积，求a的值【解答】解：x25x24（x8）（x+3），设原式（x8+my）（x+3+ny）x2+（m+n）xy+mny25x+（8n

13、+3m）y24，即x2+7xy+ay25x45y24x2+（m+n）xy+mny25x+（8n+3m）y24，8n+3m45，m+n7，m1，n6，amn6答：a的值为69已知四个实数a，b，c，d，且ab，cd若四个关系式：a2+ac4，b2+bc4，c2+ac8，d2+ad8同时成立，试求a，c的值【解答】解：由（a2+ac）（b2+bc）440，（c2+ac）（d2+ad）880，得 （ab）（a+b+c）0，（cd）（a+c+d）0，ab，cd，a+b+c0，a+c+d0，bd（a+c）又（a2+ac）+（c2+ac）4+812，（a2+ac）（c2+ac）484，得a+c=23，（a

14、c）（a+c）4当a+c=23时，a-c=-233，解得a=233，c=433，b=d=-23当a+c=-23，a-c=233，解得a=-233，c=-433，b=d=2310已知a，b，c为正数，满足如下两个条件：a+b+c32 b+c-abc+c+a-bca+a+b-cab=14是否存在以a，b，c为三边长的三角形？如果存在，求出三角形的最大内角【解答】解法1：将两式相乘，得(b+c-abc+c+a-bca+a+b-cab)(a+b+c)=8，即(b+c)2-a2bc+(c+a)2-b2ca+(a+b)2-c2ab=8，即(b+c)2-a2bc-4+(c+a)2-b2ca-4+(a+b)2

15、-c2ab=0，即(b-c)2-a2bc+(c-a)2-b2ca+(a+b)2-c2ab=0，即(b-c+a)(b-c-a)bc+(c-a+b)(c-a-b)ca+(a+b+c)(a+b-c)ab=0，即(b-c+a)abca(b-c-a)-b(c-a+b)+c(a+b+c)=0，即(b-c+a)abc2ab-a2-b2+c2=0，即(b-c+a)abcc2-(a-b)2=0，即(b-c+a)abc(c+a-b)(c-a+b)=0，所以bc+a0或c+ab0或ca+b0，即b+ac或c+ab或c+ba因此，以a，b，c为三边长可构成一个直角三角形，它的最大内角为90解法2：结合式，由式可得32

16、-2abc+32-2bca+32-2cab=14，变形，得1024-2(a2+b2+c2)=14abc又由式得（a+b+c）21024，即a2+b2+c210242（ab+bc+ca），代入式，得1024-21024-2(ab+bc+ca)=14abc，即abc16（ab+bc+ca）4096（a16）（b16）（c16）abc16（ab+bc+ca）+256（a+b+c）1634096+256321630，所以a16或b16或c16结合式可得b+ac或c+ab或c+ba因此，以a，b，c为三边长可构成一个直角三角形，它的最大内角为9011对于一个各个数位上的数字均不为零的三位正整数n，如果它

17、的百位数字、十位数字、个位数字是由依次增加相同的非零数字组成，则称这个三位数为“递增数”，记为D（n），把这个“递增数”的百位数字与个位数字交换位置后，得到321，即E（123）321，规定F（n）=E(n)-D(n)198，如F（123）=321-123198=1（1）计算：F（159），F（246）；（2）若D（s）是百位数字为1的数，D（t）是个位数字为9的数，且满足F（s）+F（t）5，记k=2D(s)+D(t)9，求k的最大值【解答】解：（1）D（159）159E（159）951F（159）=E(159)-D(159)198=792198=4D（246）246E（246）642F（2

18、46）=E(246)-D(246)198=396198=2（2）设s、t的每个数位上的数字递增数值分别为x、yx、y为各个数位上的递增数值，递增后的数值不能使各数位上的数字超过9x、y分别取14的整数D（s）100+10（1+x）+（1+2x）12x+111D（t）100（92y）+10（9y）+9999210yE（s）100（1+2x）+10（1+x）+1210x+111E（t）900+10（9y）+（92y）99912yF（s）=E(s)-D(s)198=(210x+111)-(12x+111)198=x同理F（t）yF（s）+F（t）5x+y5y5xk=2D(s)+D(t)9k=2(12x+111)+(999-210y)9=24x+222+999-210(5-x)9 26x+191x4，且x为整数当x4时，k最大值为123