专题4 有理数的乘方-2022-2023学年初中数学学科素养能力培优竞赛试题精选专练（解析版）.docx

1、专题4 有理数的乘方一、乘方的应用【典例】有人说，将一张纸对折，再对折，重复下去，第43次后纸的厚度便超过地球到月球的距离，已知一张纸厚0.006cm，地球到月球的距离约为3.85108m，用计算器算一下这种说法是否可信【解答】解：对折43次后，这张纸的厚度为0.0062435.281010（cm）5.28108（m），5.28108m3.85108m，这种说法是可信的【巩固】1883年，康托尔构造的这个分形，称作康托尔集，从数轴上单位长度线段开始，康托尔取走其中间三分之一而达到第一阶段，然后从每一个余下的三分之一线段中取走其中间三分之一而达到第二阶段，无限地重复这一过程，余下的无穷点集就称做

2、康托尔集，上图是康托尔集的最初几个阶段，当达到第n个阶段时，余下的所有线段的长度之和为（）A2n3B23C(23)nD(23)n-1【解答】解：根据题意知：第一阶段时，余下的线段的长度之和为23，第二阶段时，余下的线段的长度之和为2323=（23）2，第三阶段时，余下的线段的长度之和为232323=（23）3，以此类推，当达到第n个阶段时（n为正整数），余下的线段的长度之和为（23）n故选：C二、等比数列求和【典例】阅读下列材料：小明为了计算1+2+22+22020+22021的值，采用以下方法：设S1+2+22+22020+22021则2S2+22+22021+22022得，2SSS2202

3、21请仿照小明的方法解决以下问题：（1）2+22+220 ；（2）求1+12+122+1250= ；（3）求1+a+a2+a3+an的和（a1，n是正整数，请写出计算过程）【解答】解：（1）设S2+22+220，则：2S22+23+220+221，2SS（22+23+220+221）（2+22+220）2212，S2212，故答案为：2212（2）设S1+12+122+1250，则：2S2+1+12+122+1249，2SS（2+1+12+122+1249）（1+12+122+1250）2-1250，S2-1250，故答案为：2-1250（3）设S1+a+a2+a3+an，则：aSa+a2+a

4、3+an+an+1，aSS（a1）S（a+a2+a3+an+an+1）（1+a+a2+a3+an）an+11S=an+1-1a-1【巩固】计算：【解答】设，则，巩固练习1已知（a+1）225，且a0，|a+3|+|b+2|14，且ab0，则a+b（）A19B9C13D3【解答】解；（a+1）225，a+15，a6或4，a0，a6，|a+3|+|b+2|14b+211，b9或13，ab0，a0，b0，b13，a+b61319故选：A2若a，b，c均为整数且满足（ab）10+（ac）101，则|ab|+|bc|+|ca|（）A1B2C3D4【解答】解：因为a，b，c均为整数，所以ab和ac均为整数

5、，从而由（ab）10+（ac）101可得|a-b|=1|a-c|=0或|a-b|=0|a-c|=1.若|a-b|=1|a-c|=0则ac，从而|ab|+|bc|+|ca|ab|+|ba|+|aa|2|ab|2若|a-b|=0|a-c|=1则ab，从而|ab|+|bc|+|ca|aa|+|ac|+|ca|2|ac|2因此，|ab|+|bc|+|ca|2故选：B3如图，小明在33的方格纸上写了九个式子（其中的n是正整数），每行的三个式子的和自上而下分别记为A1，A2，A3，每列的三个式子的和自左至右分别记为B1，B2，B3，其中值可以等于732的是（）AA1BB1CA2DB3【解答】解：A12n2

6、+2n4+2n6732，整理可得：2n248，n不为整数；A22n8+2n10+2n12732，整理可得：2n254，n不为整数；B12n2+2n8+2n14732，整理可得：2n252，n不为整数；B32n6+2n12+2n18732，整理可得：2n256，n8；故选：D4若|a+b+1|与（ab+1）2互为相反数，则a与b的大小关系是（）AabBabCabDab【解答】解：|a+b+1|与（ab+1）2互为相反数，|a+b+1|+（ab+1）20，|a+b+1|0，（ab+1）20，即a+b+10，ab+10，a1，b0，10，即ab故选：C5很多整数都可以表示为几个互异的平方数之和，例如

7、3012+22+32+4212+22+52，现将2012表示为k（k为正整数）个互异的平方数之和，则k的最小值是（）A2B3C4D5【解答】解：2012392+212+72+12，k的最小值是4故选：C6计算：-75(-212)-191(-0.75)2-|2+(-12)352|= 【解答】解：原式7552-19169-98=5219916-98=-31327若（x+1）2与|xy+2|互为相反数，则：1(x+2)y+1(x+3)(y+1)+1(x+2011)(y+2009)的值是 【解答】解：（x+1）2与|xy+2|互为相反数，（x+1）20，|xy+2|0，x1，y2代入原式可得112+1

8、23+120102011=1-12+12-13+13+12010-12011=20102011故答案为201020118试写出所有3个连续正整数立方和的最大公约数，并证明【解答】解：设三个连续的正整数的立方和为f（n）（n1）3+n3+（n+1）33n3+6n3n33n+9n3n（n1）（n+1）+9n又当n2时，（n1）n（n+1）是三个连续的整数的积，所以必是3的倍数，所以3n（n1）（n+1）能被9整除f（n）能被9整除三个连续的正整数的立方和的最大公约数是99已知a，b为正整数，求M3a2ab22b4能取到的最小正整数值【解答】解：a，b为正整数，要使得M3a2ab22b4的值为正整数

9、，显然有a2，当a2时，b只能为1，此时M4，故M3a2ab22b4能取到的最小正整数值不超过4；当a3时，b只能为1或2，若b1，则M18，若b2，则M7；当a4时，b只能为1或2或3，若b1，则M38，若b2，则M24，若b，3，则M2；若M1，即3a2ab22b41，即3a2ab22b+5，注意到2b+5为奇数，3a2是偶数，又偶数减奇数才得奇数，a是偶数，b是偶数此时3a2ab2被4整除所得余数为3，2b+5被4整除所得余数为1，故式不可能成立，即M1故M3a2ab22b4能取到的最小正整数值为210日常生活中，我们使用的是十进制数，而计算机使用的数是二进制数（数位的进位方法是“逢二进

10、一”），有时候也会用到三进制数（数位的进位方法是“逢三进一”）如三进位制数201可用十进制数表示为232+03+119；二进位制数1011可用十进制数表示为123+022+12+111（1）现有三进位制数a221，二进位制数b10111，试比较a与b的大小关系（2）填空：将十进制数18用二进制数表示为 （3）我国古代易经一书中记载，远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳计数”如图是一位母亲在从右到左依次排列的绳子上打结，满七进一，用来记录孩子自出生后的天数求孩子出生的天数【解答】解：（1）三进位制数a221用十进制数表示为232+23+125，二进位制数b10111用十进制数表示为

11、24+22+12+123，所以ab（2）因为1824+2，所以十进制数18用二进制数表示为10010故答案为：10010（3）图中的数为6+27+372+73510，即孩子出生510天11阅读下列材料：小明为了计算1+2+22+22020+22021的值，采用以下方法：设S1+2+22+22020+22021则2S2+22+22021+22022得，2SSS220221请仿照小明的方法解决以下问题：（1）2+22+220 ；（2）求1+12+122+1250= ；（3）求1+a+a2+a3+an的和（a1，n是正整数，请写出计算过程）【解答】解：（1）设S2+22+220，则：2S22+23+

12、220+221，2SS（22+23+220+221）（2+22+220）2212，S2212，故答案为：2212（2）设S1+12+122+1250，则：2S2+1+12+122+1249，2SS（2+1+12+122+1249）（1+12+122+1250）2-1250，S2-1250，故答案为：2-1250（3）设S1+a+a2+a3+an，则：aSa+a2+a3+an+an+1，aSS（a1）S（a+a2+a3+an+an+1）（1+a+a2+a3+an）an+11S=an+1-1a-112老财主临终前将全部银元分给他的四个儿子老大分得全部银元4等份中的1份，多出的1枚银元给了丫环；老二

13、分得余下银元4等份中的1份，多出的1枚银元给了丫环；老三分得余下银元4等份中的1份，多出的1枚银元给了丫环；老四分得余下银元4等份中的1份，多出的1枚银元给了丫环；余下的银元又分成4等份，四个儿子各得一份，多出的1枚银元给了丫环问老财主至少要有多少块银元才够分【解答】解：从每次分得的银元都多出一枚可知，只要增加3枚银元，则每次分到的都是4的倍数，共分了5次4的倍数，所以至少要有44444451024枚，由于增加了3枚银元，所以至少要102431021枚银元才够分，具体情况如下：第一次：老大分得（10211）4255枚，第二次：老二分得（25531）4191枚，第三次：老三分得（19131）4143枚，第四次：老四分得（14331）4107枚，第五次：四个儿子各分得（10731）480枚，所以老财主至少要有1021块银元才够分