专题4.10 直线与角章末九大题型总结（培优篇）（沪科版）（解析版）.docx

1、专题4.10 直线与角章末九大题型总结（培优篇）【沪科版】【题型1 直线、射线、线段、角的相关概念辨析】1【题型2 根据线段间的关系判断结论】4【题型3 根据线段间的关系求线段长度】8【题型4 钟表中的角度计算】11【题型5 根据角与角之间的关系判断结论】18【题型6 根据角与角之间的关系求角度】22【题型7 线段中的分类讨论思想问题】29【题型8 角度中的分类讨论思想问题】34【题型9 展开与折叠】39【题型1 直线、射线、线段、角的相关概念辨析】【例1】（2023上河南七年级河南省实验中学校考期中）下列语句正确的有()（1）线段AB就是A、B两点间的距离；（2）画射线AB=10cm；（3）

2、A，B两点之间的所有连线中，最短的是线段AB；（4）在直线上取A，B，C三点，若AB=5cm，BC=2cm，则AC=7cmA1个B2个C3个D4个【答案】A【分析】根据两点之间距离的定义可以判断A、C，根据射线的定义可以判断B，据题意画图可以判断D【详解】线段AB的长度是A、 B两点间的距离，（1）错误；射线没有长度，（2）错误；两点之间，线段最短（3）正确；在直线上取A，B，C三点，使得AB=5cm，BC=2cm，当C在B的右侧时，如图，AC=5+2=7cm当C在B的左侧时，如图，AC=5-2=3cm，综上可得AC=3cm或7cm，（4）错误；正确的只有1个，故选：A【点睛】本题考查了线段与

3、射线的定义，线段的和差，熟记基本定义，以及两点之间线段最短是解题的关键【变式1-1】（2023上黑龙江牡丹江七年级统考期末）如图，线段条数为m，小于平角的角的个数为n，则n-m的值为（）A4B3C2D1【答案】D【分析】根据线段的定义和小于平角的角的性质得出m，n的值，再代入求解即可【详解】由题意得m=7，n=8故n-m=8-7=1故答案为：D【点睛】本题考查了线段和平角的问题，掌握线段的定义和平角的定义是解题的关键【变式1-2】（2023上天津北辰七年级统考期末）如图，辰辰同学根据图形写出了四个结论：图中有两条直线；图中有5条线段；射线AC和射线AD是同一条射线；直线BD经过点C其中结论正确

4、的结论是 【答案】【分析】根据直线、射线、线段的定义结合图形即可分析判断求解【详解】解：直线是没有端点，向两边无限延伸，图中有两条直线，分别是：直线BC和直线BD，故说法正确；直线上两点及两点之间的部分是线段，图中有6条线段，分别是：线段AB、线段BC、线段BD、线段AC、线段CD、线段AD，故说法错误；射线AC和射线AD是同一条射线，都是以点A为端点，同一方向的射线，故说法正确；直线BD和直线BC相交于点B，直线BD经过点B，不经过点C，故说法错误，故答案为：【点睛】本题考查直线、射线、线段的定义，解题的关键是熟练掌握并区分相关定义【变式1-3】（2023上七年级单元测试）如图,已知A、B、

5、C、D四点,根据下列要求画图:(1)画直线AB、射线AD；(2)画CDB；(3)找一点P，使点P既在AC上又在BD上.【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析.【分析】（1）利用直线以及射线的定义画出图形即可；（2）利用角的定义作射线DC，DB即可；（3）连接AC，与BD的交点即为所求【详解】解：（1）如图所示：直线AB、射线AD即为所求；（2）如图所示：CDB即为所求；（3）如图所示：点P即为所求【点睛】此题主要考查了直线、射线以及角的定义，正确把握相关定义是解题关键【题型2 根据线段间的关系判断结论】【例2】（2023上浙江杭州七年级统考期末）如图，D、E顺次为线段AB上的两点，A

6、B=20，C为AD的中点，则下列选项正确的是（）A若BE-DE=0，则AE-CD=7B若BE-DE=2，则AE-CD=7C若BE-DE=4，则AE-CD=7D若BE-DE=6，则AE-CD=7【答案】D【分析】先利用中点的含义及线段的和差关系证明AE-CD=CE,再逐一分析即可得到答案.【详解】解： C为AD的中点，AC=CD=12AD, BE-DE=0，则BE=DE=12BD, AE-CD=AC+CD+DE-CD=AC+DE=CD+DE=CE=12AB=10, 故A不符合题意； BE-DE=2，则BE=DE+2, 2CD+DE+DE+2=20, CD+DE=CE=9, 同理：AE-CD=CE

7、=9, 故B不符合题意； BE-DE=4，则BE=DE+4, 2CD+DE+DE+4=20, CD+DE=CE=8, 同理：AE-CD=CE=8, 故C不符合题意； BE-DE=6，则BE=DE+6, 2CD+DE+DE+6=20, CD+DE=CE=7, 同理：AE-CD=CE=7, 故D符合题意；故选D【点睛】本题考查的是线段的和差关系，线段的中点的含义，掌握“线段的和差关系即中点的含义证明AE-CD=CE”是解本题的关键【变式2-1】（2023上湖北咸宁七年级统考期末）如图，点C是线段AB上的一个动点（不与A，B重合），点D，E，P分别是线段AC，BC，DE的中点，下列结论：图中的点D，

8、P，C，E都是动点；ADBE；AB=2DE；当AC=BC时，点P与点C重合其中正确的是 （把你认为正确结论的序号都填上）【答案】【分析】由题意可知随着C的运动，D、P、E都在动，故正确；可以推得当C点在AB中点左边（不含中点）运动时，ACBC，故错误；由题意及中点的性质可知正确；由题意，当AC=BC时，C为DE中点，根据已知，P也为DE中点，所以点P与点C重合【详解】解：点C是线段AB上的一个动点（不与A，B重合），点D，E，P分别是线段AC，BC，DE的中点，D、E随着C的运动而运动，点P随着D、E的运动而运动，因此，随着C的运动，D、P、E都在动，本选项正确；AD=12AC，BE=12BC

9、，当C点在AB中点左边（不含中点）运动时，由于ACBC，AD0），请你试着解决他们提出的下列问题：(1)当t=3秒时，求AOB的度数；(2)当OA与OB第三次重合时，求BOM的度数；(3)在OA与OB第四次重合前，当t=_时，直线MN平分AOB【答案】(1)120(2)45(3)18或54秒【分析】（1）根据AOB=180-AON-BON，求出AON、BON即可（2）设t秒后第三次重合，由题意得15t+5t=3602+180，解方程求出t，进一步即可求出BOM的度数（3）先用t的代数式表示BON和AON，然后根据BON=AON求出t的值，即可得到答案【详解】（1）解：当t=3秒时，AOM=15

10、3=45，BON=53=15，AOB=180-45-15=120；（2）解：设t秒后第三次重合，由题意得15t+5t=3602+180，解得t=45，545-180=45答：BOM的度数为45；（3）解：在OA与OB第一次重合前，直线MN不可能平分AOB；在OA与OB第一次重合后第二次重合前，BON=5t，AON=15t-180依题意有5t=15t-180，解得t=18；在OA与OB第二次重合后第三次重合前，直线MN不可能平分AOB；在OA与OB第三次重合后第四次重合前，BON=360-5t，AON=3602+180-15t=900-15t，依题意有3605t=900-15t，解得t=54故当

11、t=18或54秒时，直线MN平分AOB故答案为：18或54秒【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键【变式4-3】（2023上山东济南七年级统考期末）如图1，已知AOB60，OM平分AOB(1)BOM_；(2)若在图1中画射线OC，使得BOC20，ON平分BOC，求MON的大小；(3)如图2，若线段OA与OB分别为同一钟表上某一时刻的时针与分针，AOB60，在时针与分针转动过程中，OM始终平分AOB，则经过多少分钟后，BOM的度数第一次等于50【答案】(1)30(2)20或40(3)8011分钟【分析】（1）根据角平分线的定义即可得出答案；（2）根据

12、题意分类讨论，分为射线OC在AOB内部和外部两种情况计算即可；（3）根据钟表转动求出时针和分针转动的速度，再根据分针转动的角度-时针转动的角度=AOB增加的度数，建立方程解出答案即可【详解】（1）解：AOB60，OM平分AOB，BOM=12AOB=1260=30；（2）当射线OC在AOB内部时，如图所示，BOC20，ON平分BOC，BON=12BOC=1220=10，MON=BOM-BON=30-10=20；当射线OC在AOB外部时，如图所示，BOC20，ON平分BOC，BON=12BOC=1220=10，MON=BOM+BON=30+10=40；综上所述，MON的度数为20或40；（3）OM

13、平分AOB，BOM50AOB=2BOM=100设经过x分钟后，BOM的度数第一次等于50，分针OB的运动速度为每分钟转动：36060=6，时针OA的运动速度为每分钟转动：3601260=0.5，6x-0.5x=100-60，解得x=8011，所以经过8011分钟后，BOM的度数第一次等于50【点睛】本题考查了角平分线的定义，分类讨论思想，一元一次方程的应用之行程问题，分类讨论思想和方程思想是本题的关键【题型5 根据角与角之间的关系判断结论】【例5】（2023上湖北襄阳七年级统考期末）如图，OB在AOC内部，且BOC=3AOB，OD是AOB的平分线，BOC=3COE，则下列结论：EOC=13AO

14、E；DOE=5BOD；BOE=12AOE+BOC；AOE=65BOC-AOD其中正确结论有 （写序号）【答案】【分析】根据BOC=3AOB，BOC=3COE，得到AOB=COE，进而得到AOE=BOC，根据OD是AOB的平分线，得到AOD=BOD=12AOB，再根据角之间的和差，倍数关系，逐一进行判断即可【详解】解：BOC=3AOB，BOC=3COE，AOB=COE，AOB+BOE=COE+BOE，AOE=BOC，AOE=3COE，AOE=3AOB，COE=13AOE；故正确；BOE=2AOB，OD是AOB的平分线，BOD=AOD=12AOB，BOE=2AOB=4BOD，DOE=5BOD，故正

15、确；AOE=3AOB，BOC=3AOB，AOE+BOC=6AOB，12AOE+BOC=3AOB，BOE=2AOB，BOE12AOE+BOC，故错误；65BOC-AOD=653AOB-12AOB=3AOB，AOE=3AOB，AOE=65BOC-AOD；故正确；故答案为：【点睛】本题考查几何图形中角度的计算正确的识图，理清角度之间的和差，倍数关系，是解题的关键【变式5-1】（2023上江苏苏州七年级校联考期末）如图，已知AOB=BOC=COD，下列结论中错误的是（）AOB、OC分别平分AOC、BODBAOD=AOB+AOCCBOC=12AOD-AOBDCOD=12(AOD-BOC)【答案】C【分析

16、】根据角平分线的定义和角的和差逐一进行判断即可【详解】A、AOB=BOC=COD，OB、OC分别平分AOC、BOD，故正确；B、AOB=BOC=COD，AOC=BOD，AOD=AOB+BOD，AOD=AOB+AOC，故正确；C、BOCAOC-AOB，AOB=BOC=COD，AOC=23AOD，BOC=23AOD-AOB，故错误；D、AOB=COD，COD=AOD-BOC-AOB，2COD=AOD-BOC，COD=12(AOD-BOC)，故正确，故选C【点睛】本题考查了角平分线的定义，熟练掌握角平分线的定义和角的和差是解题的关键【变式5-2】（2023上贵州铜仁七年级统考期末）如图，已知O为直线

17、AB上一点，将直角三角板MON的直角顶点放在点O处，若OC是MOB的平分线，则下列结论正确的是（）A AOM=3NOCBAOM=2NOCC2AOM=3NOCD3AOM=5NOC【答案】B【分析】先求解2BON=180-2AOM,利用角平分线的定义再求解AOM=180-2BOC=180-2BON-2CON,从而可得答案.【详解】解：MON=90, AOM=90-BON, 2BON=180-2AOM, OC平分BOM, MOC=BOC=12MOB, AOM=180-2BOC=180-2BON-2CON, AOM=180-(180-2AOM)-2CON, AOM=2CON. 故选B【点睛】本题考查的

18、是角的和差运算，角平分线的定义，熟练的运用角的和差关系探究角与角之间的关系是解本题的关键.【变式5-3】（2023上福建福州七年级统考期末）如图，已知射线OC在AOB内部，OD平分AOC，OE平分BOC，OF平分AOB，现给出以下4个结论：DOE=AOF；2DOF=AOF-COF；AOD=BOC；EOF=12COF+BOF其中正确的结论有（填写所有正确结论的序号） 【答案】【分析】根据OD平分AOC，OE平分BOC，OF平分AOB，得出AOD=COD=12AOC，BOE=COE=12BOC，AOF=BOF=12AOB，求出DOE=12AOB，即可得出结论；根据角度之间的关系得出DOF=12BO

19、C=COE，得出AOF-COF=BOF-COF=BOC，即可得出结论；无法证明AOD=BOC；根据DOF=12BOC=COE，得出EOF=COD，COF+BOF=2COD，即可得出结论【详解】解：OD平分AOC，OE平分BOC，OF平分AOB，AOD=COD=12AOC，BOE=COE=12BOC，AOF=BOF=12AOB，AOC+BOC=AOB，DOC+COE=AOD+BOE=12AOB，即DOE=12AOB，DOE=AOF，故正确；DOF=DOE-EOF=12AOB-COF+12BOC=12AOB-COF-12BOC=12AOB-BOF-BOC-12BOC=12AOB-12AOB-BOC

20、-12BOC=12AOB-12AOB+BOC-12BOC=12BOCAOF-COF=BOF-COF=BOC，2DOF=AOF-COF，故正确；AOD与BOC不一定相等，故错误；根据解析可知，DOF=12BOC=COE，EOF=EOC+COF=COF+DOF=COD，COF+BOF=COF+AOF=AOC=2COD，EOF=12COF+BOF，故正确；综上分析可知，正确的有故答案为：【点睛】本题主要考查了角平分线的有关计算，根据角度之间的关系得出DOF=12BOC=COE，是解题的关键【题型6 根据角与角之间的关系求角度】【例6】（2023上黑龙江大庆七年级校考期末）已知AOB=120，从AOB

21、的顶点O引出一条射线OC，射线OC在AOB的内部，将射线OC绕点O逆时针旋转60形成COD(1)如图1，若AOD=90，比较AOC和BOD的大小，并说明理由；(2)作射线OE，射线OE为AOD的平分线，设AOC=如图2，当060，若射线OC恰好平分AOE，求BOD的度数；当60时，请探究EOC与BOD之间的数量关系【答案】(1)AOC=BOD，理由见解析(2)40COE=12BOD【分析】（1）根据AOC=AOD-COD=30，BOD=AOB-AOD=30，即可确定两个角的大小；（2）根据角平分线的定义可得AOE=2AOC=2，COD=COE+DOE=3，根据COD=60列方程，求出的值，再根

22、据BOD=AOB-AOD计算即可；分两种情况：当060时，当60120时，分别根据角平分线的定义，角的和差计算即可【详解】（1）解：AOC=BOD，理由如下：COD=60，AOD=90，AOC=AOD-COD=30，又AOB=120BOD=AOB-AOD=30，BOD=AOC；（2）OC恰好平分AOE，AOC=EOC=，AOE=2AOC=2，OE为AOC的平分线，DOE=AOE=2，COD=COE+DOE=3，COD=60，3=60，=20，BOD=AOB-AOD=120-4=40；分情况讨论：当060时， BOD=AOB-COD-AOC=60-，AOD=+60，OE为AOD的平分线， AOE=12AOD=12+60， COE=AOE-AOC=12a+60-a=1260-a，