专题4.11 一次函数的图象（知识梳理与考点分类讲解）-2023-2024学年八年级数学上册基础知识专项突破讲与练（北师大版）.docx

1、专题4.11 一次函数的图象（知识梳理与考点分类讲解）【知识点1】一次函数的图象一次函数的图象：一次函数的图象是一条恒经过点和的直线.【知识点2】一次函数图象和性质y=kx+b图像经过象限升降趋势增减性k0，b0一、二、三从左向右上升y随着x的增大而增大k0，b0一、三、四k0，b0一、二、四从左向右下降y随着x的增大而减小k0，b0二、三、四【知识点3】一次函数的图象与k、b之间的联系b决定直线与y轴的交点位置时，直线交y轴于正半轴；时，直线交y轴于负半轴；时，直线经过原点.直线上坡，y随x的增大而增大；直线下坡，y随x的增大而减小.越大，直线越陡.【知识点4】确定一次函数表达式（1）待定系

2、数法步骤：设：设函数表达式为；代：将已知点的坐标代入函数表达式，解方程或方程组；解：求出k与b的值，得到函数表达式（2）常见类型已知两点确定表达式；已知两对函数对应值确定表达式；平移转化型：如已知函数是由y=2x平移所得到的，且经过点（0,1），则可设要求函数的解析式为y=2x+b，再把点（0,1）的坐标代入即可.【知识点5】图象的平移一次函数向左平移m个单位后的解析式为；一次函数向右平移m个单位后的解析式为；一次函数向上平移m个单位后的解析式为；一次函数向上平移m个单位后的解析式为.平移规律：左加右减，上加下减.【知识点6】两条直线间的位置关系设直线，.(1)相交；（2）平行；（3）垂直.补

3、充：若直线经过，两点，则.【考点一】一次函数的图象及其位置【例1】（2022秋陕西西安八年级校考期中）已知一次函数（a为常数）（1）若这个函数的图象经过原点，求a的值；（2）若，直接写出这个函数图象经过的象限【答案】（1）；（2）当时，函数图象经过一、三、四象限【分析】（1）经过原点则，据此求解；（2）把代入，得，根据，即可得出结论（1）解：因为经过原点，所以，解得（2）解：当时，则，函数图象经过一、三、四象限【点拨】本题考查了一次函数的图象性质，掌握一次函数的图象性质是解答本题的关键，难度不大【举一反三】【变式1】（2023春四川德阳八年级统考阶段练习）在同一平面直角坐标系中，函数与的图像不

4、可能是（）A B CD【答案】C【分析】分四种情况，根据、的符号，确定一次函数经过的象限，结合函数图象与选项进行判断即可解：当，时，对于，图像经过第一，三，四象限，则经过一，二，三象限，则选项符合题意；当，时，对于，图像经过第一，二，三象限，则经过一，二，四象限，题目中没有符合的；当，时，对于，图像经过第二，三，四象限，则经过一，三，四象限，则选项符合题意；当，时，对于，图像经过第一，二，四象限，则经过二，三，四象限，则选项符合题意；故选：【点拨】此题主要考查了一次函数的性质与图像，正确记忆一次函数图像经过象限与系数关系是解题关键【变式2】（2023春山东菏泽八年级统考期末）已知一次函数的图象

5、经过第一、三、四象限，则函数的图象经过的象限是 【答案】一、二、四【分析】先根据一次函数的图象经过第一、三、四象限判断b的取值范围，再判断函数的图象经过的象限解：一次函数的图象经过第一、三、四象限，函数的图象经过一、二、四象限故答案为：一、二、四【点拨】本题考查了一次函数的图象与性质，对于一次函数（k为常数，），当时，y随x的增大而增大；当时，y随x的增大而减小当，图象与y轴的正半轴相交，当，图象与y轴的负半轴相交，当，图象经过原点【考点二】一次函数与坐标轴交点【例2】（2023春陕西商洛八年级校考期末）如图，直线与x轴交于点A，与y轴交于点B（1）求点A，B的坐标（2）若点C在x轴上，且，求

6、点C的坐标【答案】（1），；（2）或【分析】（1）当时求解的值及当时求解的值即可求解（2）由（1）得，根据可得，进而可求解（1）解：当时，点B的坐标为：，当时，点A的坐标为：（2）由（1）得：，则：，即：，点C的坐标为：或【点拨】本题考查了一次函数的图象，熟练掌握一次函数的图象是解题的关键【举一反三】【变式1】（2022秋陕西西安八年级校考期中）如图，在同一平面直角坐标系中，一次函数与的图象分别为直线和直线，下列结论正确的是（）ABCD【答案】B【分析】根据图示，可得，根据不等式的性质即可求解解：根据图示，可知一次函数中，；一次函数中，、，故原选项错误，不符合题意；、，故原选项正确，符合题意；

7、、，且，故原选项错误，不符合题意；、，故原选项错误，不符合题意；故选：【点拨】本题主要考查一次函数图象的性质，掌握一次函数图象的性质，不等式的性质是解题的关键【变式2】（2023秋四川成都八年级校考阶段练习）如图，直线与x轴、y轴交于点A、B，M、N分别是、的中点，点P是y轴上一个动点，当的值最小时，点P的坐标为 【答案】【分析】先求出的坐标，根据中点，得到的坐标，求出点关于y轴的对称点的坐标，连接，根据两点之间线段最短，得到与轴的交点即为点，求出的解析式，即可解：，当时，当时，M、N分别是、的中点，点关于y轴的对称点为，连接，点P是y轴上一个动点，当三点共线时，的值最小，设直线的解析式为，则

8、：，当时，；故答案为：【点拨】本题考查一次函数，坐标与轴对称解题的关键是掌握将军饮马模型，确定点的位置【考点三】一次函数图象的平移【例3】（2023春福建福州八年级校考期末）已知一次函数（1）在平面直角坐标系中，画出该函数图象；（2）把该函数图象向上平移3个单位，判断点是否在平移后的函数图象上【答案】（1）见分析；（2）在【分析】（1）根据函数图象与，轴的坐标交点坐标，画出图象即可；（2）根据平移的特点得出解析式，进而解答（1）解：列表：200过点和点画出直线，；（2）解：把函数图象向上平移3个单位，得函数的解析式为，当时，点在平移后的直线上【点拨】本题考查一次函数与几何变换，关键是根据函数图

9、象与，轴的坐标交点画出图象【举一反三】【变式1】（2022陕西西安校考模拟预测）将正比例函数向上平移1个单位长度，则平移后的函数图象与一次函数的图象的交点不可能在（）A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限【答案】D【分析】首先求得平移后的一次函数的解析式为，根据函数不经过第四象限，即可得出结论解：将正比例函数向上平移1个单位长度得到，一次函数经过第一、二、三象限，不经过第四象限，平移后的函数图象与一次函数的图象的交点不可能在第四象限，故选：D【点拨】本题考查的是一次函数的性质及一次函数的图象与几何变换，熟知一次函数的性质及函数图象平移的法则是解答此题的关键【变式2】（2023春八年级课时练习

10、）如图，在平面直角坐标系中，直线，与轴分别相交于两点，将沿过点的直线折叠，使点落在x轴负半轴上的点处，折痕所在直线交y轴正半轴于点C把直线AB向左平移，使之经过点，则平移后直线的函数关系式是 【答案】【分析】先求得的坐标，然后由勾股定理求出，再由折叠的性质得出，求得，在中，根据勾股定理，列出方程，解方程即可求得点的坐标，即可求得平移后的解析式解：直线，与轴分别相交于两点，令，解得，令，解得，设，在中，即，解得，平移后的直线的解析式为故答案为：【点拨】本题考查了勾股定理与折叠的性质，一次函数的平移，一次函数与坐标轴的交点，求得点的坐标是解题的关键【考点四】一次函数图象的增减性求参数判断位置【例4

11、】（2019春广西贵港八年级统考期末）已知一次函数.（1）若这个函数的图象经过原点，求a的值.（2）若这个函数的图象经过一、三、四象限，求a的取值范围.【答案】（1）；（2）【分析】（1）y=kx+b经过原点则b=0，据此求解；（2）y=kx+b的图象经过一、三、四象限，k0，b0，据此列出不等式组求解即可解：（1）由题意得， ，（2）由题意得 解得， a的取值范围是【点拨】考查了一次函数的性质，了解一次函数的性质是解答本题的关键【举一反三】【变式1】（2022四川眉山中考真题）一次函数的值随的增大而增大，则点所在象限为（）A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限【答案】B【分析】根据一次函数

12、的性质求出m的范围，再根据每个象限点的坐标特征判断P点所处的象限即可解：一次函数的值随的增大而增大，解得：在第二象限故选：B【点拨】本题考查了一次函数的性质和各个象限坐标特点，能熟记一次函数的性质是解此题的关键【变式2】（2023春安徽池州八年级统考开学考试）如图，平面直角坐标系中，ABC的顶点坐标分别是A（1，1），B（3，1），C（2，2），当直线yxb与ABC有交点时，b的取值范围是 【答案】【分析】将A（1，1），B（3，1），C（2，2）的坐标分别代入直线yxb中求得b的值，再根据一次函数的增减性即可得到b的取值范围解：直线yxb经过点B，将B（3，1）代入直线yxb中，可得，解得；

13、直线yxb经过点A，将A（1，1）代入直线yxb中，可得，解得；直线yxb经过点C，C（2，2）代入直线yxb中，可得，解得；故b的取值范围是故答案为：【点拨】本题考查一次函数图象上的点的特征，待定系数法等知识，解题的关键是应用数形结合思想，属于中考常考题型【考点五】一次函数图象的增减性求最值【例5】（2023春江苏淮安八年级统考期末）学习“一次函数”时，我们从“数”和“形”两方面研究一次函数的性质，并积累了一些经验和方法小聪同学尝试运用积累的经验和方法对函数的图像与性质进行探究，下面是小聪同学的探究过程，请你补充完整（1）列表：x01234y10ab1则_， _（2）描点并画出该函数的图像；

14、（3）请写出一条关于函数的性质：_；观察函数图像，当时，x的取值范围是_；观察图像，直接写出函数的最小值_【答案】（1），0；（2）见分析；（3）当时，y随x的增大而增大（答案不唯一）；或；【分析】（1）直接将、分别代入函数中求解即可；（2）根据描点法画函数出图像即可；（3）可根据图像的对称性、增减性等方面得出函数的性质即可；根据图像的增减性可求解；根据图像的最低点可求得该函数的最小值（1）解：由表格知，当时，当时，故答案为：，0；（2）解：根据所给表格数据，在平面直角坐标系中描点、连线，则函数图像如图所示：（3）解：根据图像，当时，y随x的增大而增大，或函数关于直线对称，等，故答案为：当时，

15、y随x的增大而增大（答案不唯一）；根据图像，当时，y随x的增大而增大，当时，y随x的增大而减小，当时，由得或，当时，由得或，当时，x的取值范围是或，故答案为：或；由图像知，当时，函数取得最小值，最小值为，故答案为：【点拨】本题考查一次函数的图像与性质，理解题意，能从函数图像得出所需信息是解答的关键【举一反三】【变式1】（2021春全国八年级专题练习）设0k2，关于x的一次函数y=（k-2）x+2，当1x2时，y的最小值是（）A2k-2Bk-1CkDk+1【答案】A【分析】先根据0k2判断出k-2的符号，进而判断出函数的增减性，根据1x2即可得出结论解：0k2，k-20，此函数是减函数，1x2，

16、当x=2时，y最小=2（k-2）+2=2k-2故选A【点拨】本题考查的是一次函数的性质，熟知一次函数y=kx+b（k0）中，当k0，b0时函数图象经过一、二、四象限是解答此题的关键【变式2】（2023春天津滨海新八年级校考期末）已知一次函数，当时，函数的最大值是 【答案】3【分析】根据知道一次函数是单调递减函数，即y随x的增大而减小，代入计算即可得到答案解：，一次函数是单调递减函数，即y随x的增大而减小，当时，在时y取得最大值，即：当时，y的最大值为：，故答案为：3【点拨】本题主要考查了一次函数的性质，一次函数，当时y随x的增大而减小，时，y随x的增大而增大；掌握一次函数的性质是解题的关键【考

17、点六】一次函数图象的增减性比较大小【例6】（2023春全国八年级专题练习）已知一次函数（1）在平面直角坐标系中画出该函数的图象；（2）若，点，都在一次函数的图象上，试比较与的大小，并说明理由【答案】（1）见分析；（2），理由见分析【分析】（1）求出一次函数图象与坐标轴的交点坐标，过这两点的直线即为该函数的图象；（2）由函数解析式可判断该函数y随x的增大而减小，又可判断，即可确定解：（1）对于，当时，即，；当时，即函数的图象经过点（2，0）、（0，4）；函数的图象如图所示（2），y随x的增大而减小点，都在一次函数的图象上，【点拨】本题考查画一次函数的图象，一次函数的增减性熟练掌握一次函数的性质是

18、解题关键【举一反三】【变式1】（2022春河北邯郸八年级校考阶段练习）已知点（2，），（1，），（1，）都在直线yx7上，则，的大小关系是（）A B CD【答案】A【分析】判断-2-11，根据一次函数的性质，得到结论解：直线yx7中k= -10，y随x的增大而减小，点（2，），（1，），（1，）都在直线yx7上，且-2-11，故选A【点拨】本题考查了一次函数的增减性，熟练掌握性质是解题的关键【变式2】（2023春广东湛江八年级校考期中）若，分别是一次函数图象上两个不相同的点，记，则W 0（请用“”，“”或“”填写）【答案】【分析】根据一次函数的性质进行判断即可得到答案解：一次函数，随增大而减小

19、，当时，当时，故答案为：【点拨】本题考查一次函数的性质，解题的关键是熟知一次函数的图形性质【考点七】一次函数的图象一次函数与一元一次方程【例7】（2019春广东江门八年级阶段练习）如图，已知直线l1：y=2x+3，直线l2：y=x+5，直线l1、l2分别交x轴于B、C两点，l1、l2相交于点A（1）求A、B、C三点坐标；（2）求ABC的面积【答案】（1）A（，），B（）,C（5,0）（2） 解：（1）由题意得，令直线l1、直线l2中的y为0，得：x1=-，x2=5，由函数图象可知，点B的坐标为（-，0），点C的坐标为（5，0），l1、l2相交于点A，解y=2x+3及y=-x+5得：x=，y=点

20、A的坐标为（，）；（2）由（1）题知：|BC|=，又由函数图象可知SABC=|BC|yA|=【举一反三】【变式1】（2022秋辽宁丹东八年级校考期中）如图所示，已知点A（1，2）是一次函数ykx+b（k0）的图象上的一点，则下列判断中正确的是（） Ay随x的增大而减小Bk0，b0C当x0时，y0D方程kx+b2的解是x1【答案】D【分析】根据一次函数的性质判断即可解：由图象可得：A、y随x的增大而增大；B、k0，b0；C、当x0时，y0或y0；D、方程kx+b2的解是x1，故选：D【点拨】考查了一次函数与一元一次方程的关系，一次函数图象与系数的关系，正确的识别图象是解题的关键【变式2】（2023秋全国八年级专题练习）如图，直线与相交于点，则关于x的方程的解是 .【答案】【分析】首先利用函数解析式求出的值，然后再根据两函数图象的交点横坐标就是关于的方程的解可得答案解：直线与相交于点，当时，关于的方程的解是，故答案为：【点拨】此题主要考查了一次函数与一元一次方程，关键是求得两函数图象的交点坐标