专题4.16 相似三角形动点问题（分层练习）（综合练）-2023-2024学年九年级数学上册全章复习与专题突破讲与练（浙教版）.docx

1、专题4.16 相似三角形动点问题（分层练习）（综合练）一、 单选题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）1（2023春安徽合肥九年级校考阶段练习）如图，在平行四边形中，对角线、相交于点，点是的延长线上一动点，连接交于点，若，则的长为（）A B C D2（2023湖南益阳统考一模）矩形中，点P是上的动点，当时，的长是（）A1 B3 C1或3 D1或43（2023春安徽九年级专题练习）如图，在中，点E为边上一动点，连接并延长至点F，使得，以，为邻边构造，连接交于点O当的长最小时，的长为（）A B1 C2 D4（2023春湖北武汉九年级校考阶段练习）如图，在中，点D是边上的一个动点，点E在上，点

2、D在运动过程中始终保持当时，则的长为（）A2 B C3 D5（2023春吉林长春九年级校考开学考试）如图，中，点是边上的一个动点，连接，当是直角三角形时，的值是（）A2或 B C3或 D36（2023河南开封一模）如图，已知矩形，对角线与相交于点，是边上一动点，当取最小值时，的长为（）A B C2 D7（2023福建厦门福建省厦门第六中学校考二模）如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点B的坐标为，D为的中点，E是上一动点，将四边形沿折叠，使点A落在F处，点O落在G处，当线段的延长线恰好经过的中点H时，点F的坐标为（）A B C D8（2023重庆九年级专题练习）如图，正方形的边长为12，点E为边

3、上一点，点F为边上一动点，连接交于点G，连接，当时，则的长为（）A B C D59（2023春山东淄博八年级统考期末）如图，矩形，点是边上的动点，点F是射线BC上的动点，且，连接，若，则m的最小值为（）A B C D10（2023春重庆渝中八年级统考期末）如图，中，D为的中点，若动点E以的速度从A点出发，沿着AB的方向运动，设E点的运动时间为t秒（），连接，当以B、D、E为顶点的三角形与相似时，t的值为（）A2 B2.5或3.5 C2或3.5 D2或2.5二、 填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分）11（2023河南洛阳统考一模）矩形中，点E是的动点，若，则的长为 12（2023山东滨

4、州统考二模）如图，在中，D为平面内一动点，连接，将绕点D逆时针旋转得到，连接，当点E落在的边上时，的长为 13（2023河南平顶山统考模拟预测）如图，中，点D、E分别是边上的动点，折叠得到，且点落在BC边上，若恰好与相似，则的长为 14（2023春辽宁本溪九年级统考开学考试）如图，点，点是第一象限内一动点，且，若与相似，则的长为 15（2023秋辽宁大连九年级统考期末）如图，是等边三角形，点D为边上的动点，交于点E，若，则的值为 16（2022秋江苏盐城九年级东台市三仓镇中学校联考阶段练习）如图，在中， ，点是上的一点，是和上的一动点，直线把该三角形分成一个三角形和一个四边形，当被分成的三角形

5、与原三角形相似时，的长为 17（2023春河南南阳九年级校考阶段练习）如图，在直角中，分别为边上的两个动点，若要使且是直角三角形，则的长为 18（2023山西朔州校联考模拟预测）如图，在中，D，E分别为线段，上的动点，且，连接，交于点F，若点F为的中点，则线段的长为 三、解答题（本大题共6小题，共58分）19（8分）（2023春江苏苏州八年级苏州工业园区星湾学校校考阶段练习）如图，矩形中，点E为的中点，动点F从点A出发沿射线方向以每秒2个单位的速度运动，连接过点作的平行线交射线于点H，设点F的运动时间为t（不考虑、在一条直线上的情况）（1）填空：当_时，此时_；（2）当与相似时，求t的值20（

6、8分）（2023秋四川达州九年级统考期末）如图，在中，点为边上一动点（不与点、重合），过点作射线交于点，使（1）求证：；（2）当为直角三角形时，求线段长度21（10分）（2023春安徽九年级专题练习）如图，中，分别是边，的中点，为边上一动点，于，交于（1）_；（2）当和相似时，求的长22（10分）（2023春山东济宁九年级统考期末）如图，在平面直角坐标系中，O是坐标原点，矩形的两边分别在x轴和y轴上，点B的坐标为，现有两动点P，Q，点P以每秒3个单位的速度从点O出发向终点A运动，同时点Q以每秒2个单位的速度从点A出发向终点B运动，连接，设运动时间为t秒（1）点P的坐标为_，点Q的坐标为_（用含

7、t的代数式表示）；（2）请判断四边形的面积是否会随时间t的变化而变化，并说明理由；（3）若A，P，Q为顶点的三角形与相似时，请求出t的值23（10分）（2023秋陕西榆林九年级校考期末）（1）问题发现，如图1，在中，点是边上一动点（不与点重合），连接（1）求的值；求的度数（2） 拓展探究，如图2，在中，点是边上一动点（不与点重合），连接，请判断与的数量关系以及与之间的数量关系，并说明理由24（12分）（2023春江西鹰潭九年级校考阶段练习）综合与探究问题提出：数学课上，老师提出了一个问题：在中，于点D，E为上的一动点，与相交于点G，点F在上，于点E，试探究与的数量关系，并加以证明特例故知：（1

8、）勤奋小组从特殊情况入手：如图1，E为的中点，则与的数量关系为_变式探究（2）希望小组受此启发，作了如下改变：如图2，将（1）中“”改为“”，其他条件不变，试探究与的数量关系，并加以证明拓展提高（3） 经过前两个小组的探究，智慧小组将该问题的条件更一般化：如图3，试探究与的数量关系，并加以证明参考答案1A【分析】如图所示，取的中点，连接，可得是中位线，可算出，的长度，根据相似三角形的判定和性质即可求解解：如图所示，取的中点，连接，四边形是平行四边形，点是的中点，是的中位线，且，且，则，解得，故选：【点拨】本题主要考查平行四边形的性质，三角形的中位线，相似三角形的判定和性质的综合，掌握以上知识的

9、综合运用是解题的关键2D【分析】结合矩形的性质，证明，即可得，进而可得，问题随之得解解：矩形中，在中，又，整理：，解得：，或者，故选：D【点拨】本题主要考查了矩形的性质，相似三角形的判定与性质，一元二次方程的应用等知识，证明是解答本题的关键3B【分析】利用证明，根据已知条件求出与的线段比例关系，从而得出的长最小时，的长最小，即可求出根据和推出四边形的形状，进而证明，即可求出的长度解：过点A作交于M， 为平行四边形， ，的长最小时，的长最小，在中， ，在中，四边形为平行四边形， 故选：B【点拨】本题考查了平行四边形的综合运用，涉及到的知识点有三角形相似，30所对应的直角边是斜边的一半等，综合性较

10、强解题的关键在于是否能根据线段之间比例关系推出，从而求出长度，解题的重点在于能否想到作辅助线4D【分析】证明，得出，即，求出，得出解：，故选：D【点拨】本题主要考查了三角形相似的判定和性质，解题的关键是熟练掌握三角形相似的判定方法5A【分析】根据含30度的直角三角形的性质求出，分两种情况：，根据相似三角形的性质和判定求出，求出；，根据相似三角形的性质和判定求出，求出即可解：，当时，即，；当时，即，；综上：的值是2或，故选A【点拨】本题考查了相似三角形的性质和判定，含30度角的直角三角形的性质等知识点，能求出符合题意的所有情况是解此题的关键6C【分析】作点关于的对称点，连接，则 当、三点在同一直

11、线上时， 最小，最小为 进而证明，根据相似三角形的性质，即可求解解：作点关于的对称点，连接，则 ，当、三点在同一直线上时， 最小，最小为 过作于，则，故选：C【点拨】本题考查了轴对称求线段和的最值问题，相似三角形的性质与判定，进行的性质，熟练掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键7A【分析】连接，根据勾股定理得到，延长交的延长线于，根据三角形中位线定理得到，根据平行四边形的性质得到，根据折叠的性质得到，求得，过作于，根据相似三角形的判定和性质定理即可得到结论解：连接，矩形的顶点的坐标为，延长交的延长线于，为的中点，为的中点，四边形是平行四边形，将四边形沿折叠，使点落在处，点落在处，过作于，故选

12、：A【点拨】本题是四边形的综合题，考查了矩形的性质，相似三角形的判定和性质，折叠的性质，平行四边形的判定和性质，三角形中位线定理，正确地作出辅助线是解题的关键8D【分析】通过作辅助线，以及等腰三角形三线合一、梯形中位线定理得出，的长，再经过勾股定理及两个三角形相似计算出长，最终得到答案解：作，,，且，根据勾股定理得：,，解得，故答案选 D【点拨】本题考查了正方形的性质、等腰三角形的性质、勾股定理、梯形中位线定理、相似三角形的判定及应用等知识，其中相似三角形对应边成比例是解题的关键9C【分析】延长到G，使，连接、，得到，从而可得，再利用勾股定理即可求出最小值解：如图，延长到G，使，连接、，在矩形

13、，又，即，当G、E、C三点共线时，m取最小值为GC，m的最小值为故选C【点拨】本题主要考查了矩形的性质、相似三角形的判定和性质、最短距离问题，一般求两条线段最短距离问题，都转化为一条线段本题通过构造，得到，利用两点间线段最短解决m取最小值的问题10C【分析】求出，分两种情况：当时，得出，即可得出；当时，证出，得出，因此，得出，；即可得出结果解：，分两种情况：当时，D为的中点，E为的中点，；当时，；综上所述：当以B、D、E为顶点的三角形与相似时，t的值为2或3.5；故选：C【点拨】本题考查了相似三角形的判定、平行线的性质、含30度角的直角三角形的性质等知识；熟记相似三角形的判定方法是解决问题的关

14、键，注意分类讨论112或8【分析】由矩形的性质，垂直的定义推出，即可证明，得到，设，列出关于x的方程，求出x的值即可解：设，四边形是矩形，即，整理得，或8，的长是2或8故答案为：2或8【点拨】本题考查相似三角形的判定和性质，矩形的性质，关键是由条件证明，并注意有两个答案12或【分析】首先得到，均为等腰直角三角形，然后根据题意分两种情况讨论，点E落在边上和点E落在边上，然后分别根据勾股定理和相似三角形的性质求解即可解：在中，为等腰直角三角形，将绕点D逆时针旋转得到，均为等腰直角三角形，当点E落在边上时，如图所示，则点D在边上，在中，；当点E落在边上时，如解图2所示，综上所述，的长为或【点拨】此题

15、考查了旋转的性质，等腰直角三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，解题的关键是根据题意分情况讨论13或【分析】由折叠的性质可得，先证明只存在和两种情况，再设设，则，分两种情况利用相似三角形的性质列出方程求解即可解：由折叠的性质可得，互不相等，恰好与相似，只存在和两种情况，设，则，当时，则，解得，；当时，则，解得，；综上所述，的长为或，故答案为：或【点拨】本题主要考查了相似三角形的性质，熟知相似三角形对应边成比例是解题的关键14或【分析】分两种情况：当时，当时，结合相似三角形的性质，即可求解解：，当时，解得：；当时，解得：；综上所述，的长为或故答案为：或【点拨】本题主要考查了相似三角形的性质

16、，熟练掌握相似三角形的性质是解题的关键，注意分类讨论15/【分析】根据等边三角形的性质得到，于是得到，根据已知条件得到，等量代换得到，推出，由相似三角形的性质得到，即可得到结论解：是等边三角形，解得：故答案为：【点拨】本题考查了相似三角形的判定和性质，等边三角形的性质，证得是解题的关键16【分析】根据题意分在上两种情况讨论，进而根据相似三角形的性质与判定，即可求解解：在中， ，当在上时，如图所示，当时，则，则，,如图所示，当时，,如图所示，当在上时，则，则，；当时，如图所示，；综上所述，的长为【点拨】本题考查了相似三角形的性质与判定，分类讨论是解题的关键17或【分析】先勾股定理求得，再分和两种

17、情况，利用相似三角形的性质求解即可解：在直角中，若要使且是直角三角形，可分两种情况：当时，则，则,，解得；当时，则，则,，解得，综上，的长为或【点拨】本题考查相似三角形的判定与性质、勾股定理，熟练掌握相似三角形的判定与性质，分类讨论是解答的关键18【分析】根据已知条件可以得到是等边三角形，作的中点N，连接，过点E作，垂足为M，先证明，再证明，根据相似比得到，再根据勾股定理得到，设，利用直角三角函数进行推算，建立关于x的一元二次方程，解方程即可得到答案解：如下图所示，作的中点N，连接，过点E作，垂足为M，是等边三角形，设，则，点F为的中点，点N为的中点，,，化解方程得，或，故舍去，故答案为：【点

18、拨】本题考查等边三角形、全等三角形、相似三角形和一元二次方程，解题的关键是通过相似比和勾股定理建立等式，最终建立一元二次方程19（1）2；2；（2）t的值为2或4或【分析】（1）证明，利用相似三角形的性质解决问题即可；（2）由，利用相似三角形的性质求得，分当点F在点B的左边和点F在点B的右边时，利用相似三角形的性质列式计算即可求解（1）解：，点E为的中点，即：，即：，解得：；故答案为：2；2；（2）解：由得，又，即，当点F在点B的左边时，即时，当时：，即，解得：，；当时：有，即，解得：；当点F在点B的右边时，即时，当时：，即，解得：（负值已舍）；综上，t的值为2或4或【点拨】此题考查了相似图形

19、，掌握相似三角形的判定和性质等相关知识是解题的关键20（1）见分析；（2）或【分析】（1）由题意易得，则有，证明，进而问题可证；（2）当为直角三角形时，则可分当时和当时进行分类讨论求解解：（1）证明：如图1，；（2）解：由题意知， 当时，如图2，由（1）知，点为中点，当时，如图3，由（1）知，作于点，则，的长是或【点拨】本题主要考查相似三角形的性质与判定，熟练掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键21（1）；（2）【分析】（1）过作于交于，根据勾股定理得到，根据三角形的中位线定理得到，根据相似三角形的性质得到，于是得到结论；（2）先根据角的大小关系判断相似三角形的对应关系，再根据相似三角形的性

20、质即可得到结论（1）解：过作于交于，在中，分别是边，的中点，故答案为：；（2），当和相似时，则，【点拨】本题考查了相似三角形的判定和性质，三角形中位线定理，正确地作出辅助线是解题的关键22（1），；（2）四边形的面积不会随时间t的变化而变化，理由见分析；（3）或【分析】（1）根据题意和坐标与图形性质直接求解即可；（2）根据求解即可；（3）分和两种情况，利用相似三角形的性质求解即可（1）解：根据题意，又点B的坐标为，则点P坐标为，点Q坐标为，故答案为：，；（2）解：四边形的面积不会随时间t的变化而变化，理由：点B坐标为，四边形是矩形，则四边形的面积；（3）解：当时，即，解得：，当时，即，解得：或

21、（不合题意，舍去），综上所述：或【点拨】本题考查坐标与图形、相似三角形的判定与性质、矩形的性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质，分类讨论是解答的关键23（1）1；（2），理由见分析【分析】（1）根据已知条件推出，根据全等三角形的性质得到，于是得到；（2）根据已知条件得到，由相似三角形的性质得到，得到，根据相似三角形的性质得到结论；解：（1），在与中，故答案为：1，；（2），；理由是：，【点拨】本题考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键24（1）；（2），证明见分析；（3），证明见分析【分析】（1）过点E作，垂足分别为，证明，即可得出结论；（2）过点E作，垂足分别为，证明，结合解直角三角形的知识进行解答即可；（3）过点E作，垂足分别为，证明，结合解直角三角形的知识进行解答即可解：（1）过点E作，垂足分别为，和为等腰直角三角形，E为的中点，四边形是矩形，在和中，故答案为：；（2）过点E作，垂足分别为，同理可得四边形是矩形，E为的中点，即；（3）过点E作，垂足分别为，同（2）可得，即【点拨】本题考查了全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，解直角三角形等知识点，运用类比的方法解题是本题的关键