专题4.17 相似三角形动点问题（分层练习）（培优练）-2023-2024学年九年级数学上册全章复习与专题突破讲与练（浙教版）.docx

1、专题4.17 相似三角形动点问题（分层练习）（培优练）一、 单选题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）1（2023福建厦门福建省厦门第六中学校考二模）如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点B的坐标为，D为的中点，E是上一动点，将四边形沿折叠，使点A落在F处，点O落在G处，当线段的延长线恰好经过的中点H时，点F的坐标为（）A B C D2（2022秋全国九年级专题练习）如图，在矩形ABCD中，DE平分交BC于点E，点F是CD边上一点（不与点D重合）点P为DE上一动点，将绕点P逆时针旋转90后，角的两边交射线DA于H，G两点，有下列结论：；，其中一定正确的是（）A B C D3（2022广东深

2、圳深圳市海滨中学校考模拟预测）如图，正方形ABCD中，点E是边CD上的动点（不与点C、D重合），以CE为边向右作正方形CEFG，连接AF，点H是AF的中点，连接DH、CH下列结论：ADHCDH；AF平分DFE；若BC4，CG3，则AF5；若，则其中正确的有（）A1个 B2个 C3个 D4个4（2021广东汕头统考一模）如图，已知等边三角形ABC绕点B顺时针旋转60得BCD，点E、F分别为线段AC和线段CD上的动点，若AECF， 则下列结论正确的有（）四边形ABDC为菱形；ABECBF；BEF为等边三角形；CFBCGE；若CE=3，CF1，则A5个 B4个 C3个 D2个5（2021山东淄博统考

3、一模）如图，中，点G是AB上的一个动点，过点G作GF垂直于AC于点F，点P是BC上的点若是以GF为斜边的等腰直角三角形则此时PC长为（）A B C D6（2023湖北鄂州统考中考真题）如图，在平面直角坐标系中，为原点，点为平面内一动点，连接，点是线段上的一点，且满足当线段取最大值时，点的坐标是（）A B C D7（2023秋黑龙江大庆八年级校联考开学考试）如图，P为等腰的斜边上的一动点，连接，垂足分别为点E、F，已知，以下结论错误的是（）A B若，则C D若时，8（2023广东深圳深圳市宝安中学（集团）校考二模）如图，射线都垂直于线段，E为上一动点，于点F，交于点C，于点D，设，设时，k的值为

4、（）A1 B C D不存在9（2021秋湖北省直辖县级单位九年级校考阶段练习）如图，点E和点F是正方形ABCD的边BC和边CD上的两动点，且EAF45，有下列结论：EFBE+DF；AEBAEF；BG2+DG22AG2；如果BECE，那么DF：CF1：3；AFEAGM且相似比是；其中正确的结论有（）个A1 B2 C3 D410（2023全国九年级假期作业）如图，正方形中，点坐标为，连接，点为边上一个动点，连接，过点作于点，连接，当取最小值时，点的纵坐标为（）A B C D二、 填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分）11（2023河北沧州校考模拟预测）矩形在平面直角坐标系如图所示，点、分别

5、是、上的动点，点、分别从A、同时出发，沿、方向，分别以每秒1个单位长度和每秒2个单位长度的速度向点、运动，当运动 秒时，；当时，直线的解析式为 12（2023秋河北石家庄九年级校联考期末）如图，等边三角形的边长为16，动点从点出发沿运动到点，连接，作，交于点若，则的长为 ；动点从点运动到点时，点的运动路径长为 13（2023春安徽滁州九年级校考阶段练习）如图，在ABC中，AB=9、BC=6，ACB=2A，CD平分ACB交于AB点D，点M是AC一动点（AMAC），将ADM沿DM折叠得到EDM，点A的对应点为点E，ED与AC交于点F，则CD的长度是 ；若ME/CD，则AM的长度是 ；14（2022

6、河南新乡统考二模）如图，菱形ABCD中，AB10cm，AC16cm，点E是边AD上一个动点，交AC于点G，交AB于点F，P是AG中点，Q是CD中点，QHAC于点H，当点E是边AD的三等分点时，PH的长为 cm15（2022秋安徽九年级期末）如图，线段，点P为AB的中点，射线于点A，于点B，C、D分别是射线AM、BN上的动点，且满足，则：（1）的值为 ；（2）如图，E是射线AM上另一动点，满足，垂足为Q，时，AC的值为 16（2023春河南南阳九年级淅川县第一初级中学校联考期中）如图，在矩形中，为的中点，为边上一动点，把矩形沿折叠，点，的对应点分别为，连接并延长交射线于点，交于点，当恰好运动到的

7、三等分点处时，的长为 17（2023春江苏宿迁九年级统考阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，过点作垂直于x轴，交直线于点D，连接、，点P为直线上一动点，设其纵坐标为m，过点P的一条直线同时交的边于M，交边于N，若对于每个确定的m值，恰好有两个与相似，则m的取值范围是 18（2022秋河南鹤壁九年级鹤壁市外国语中学校考期中）如图，在平面直角坐标系中，点，分别在，轴上，点是线段上一动点（不与端点重合），过点作轴于点，作点关于直线的对称点若点，则当是直角三角形时，点的坐标是 三、解答题（本大题共6小题，共58分）19（8分）（2023春安徽九年级专题练习）如图，四

8、边形中，对角线平分，点是边上的动点（点在点的左侧）(1）若，求证：；(2）若，求证：；(3）在（1）、（2）的条件下，若，求的值20（8分）（2023秋陕西榆林九年级绥德中学校考期末）如图，在平面直角坐标系中，点，在轴上(点在点的左侧），且点，的横坐标是方程的解，点为轴正半轴上一动点，连接，与的垂直平分线交于点(1）求点的坐标；(用含m的代数式表示）(2）点是点关于轴的对称点，连接，已知存在，使得以点，为顶点的三角形与相似，请求出符合条件的的值21（10分）（2023山西晋中山西省平遥中学校校考模拟预测）问题情境：如图1在正方形中，点是对角线上的一个动点（不与，重合）连接，将绕点顺时针旋转到，

9、连接交于点猜想证明：(1）在点的运动过程中，试判断的形状，并说明理由；(2）问题解决：在点的运动过程中，求线段的最小值；(3）当点为线段近点的三等分线时（如图2）直接写出此时线段的长度22（10分）（2023湖北武汉校考一模）如图，已知，M为边上一动点，D为边上一动点，交于点N(1）【问题提出】三角形的三条中线会相交于一点，这一点就叫做三角形的重心，重心有很多美妙的性质，请大家探究以下问题若，则_（直接写出结果）(2）【问题探究】若，猜想与n存在怎样的数量关系？并证明你的结论(3）【问题拓展】若，则_（直接写出结果）23（10分）（2023春四川南充九年级校考阶段练习）在矩形中，点是对角线上一

10、动点，连接，过点作交于点(1）如图1，当时，求证：；(2）如图2，点在运动过程中的值是否发生变化？请说明理由；(3）如图3，若点为的中点，连接交于点，将沿翻折得到，连接交于点，当，时，求的长24（12分）（2022秋上海徐汇九年级校考阶段练习）在梯形中，点P是射线上一动点，连接，且，(1）当点P在边上，如图所示证明：；求线段的长；(2） 当时，求的值参考答案1A【分析】连接，根据勾股定理得到，延长交的延长线于，根据三角形中位线定理得到，根据平行四边形的性质得到，根据折叠的性质得到，求得，过作于，根据相似三角形的判定和性质定理即可得到结论解：连接，矩形的顶点的坐标为，延长交的延长线于，为的中点，

11、为的中点，四边形是平行四边形，将四边形沿折叠，使点落在处，点落在处，过作于，故选：A【点拨】本题是四边形的综合题，考查了矩形的性质，相似三角形的判定和性质，折叠的性质，平行四边形的判定和性质，三角形中位线定理，正确地作出辅助线是解题的关键2D【分析】根据旋转的性质判断得，可判断正确，证可判断正确，从而得出结果.解：根据旋转的性质可知，DE平分，PH=PD，在和中，故正确；，即，故正确；根据已知条件无法证明DH=DE，DP=DG.故选：D【点拨】本题主要考查矩形的性质、三角形的全等、三角形的相似，掌握相关知识并灵活应用是解题的关键3A【分析】连接，利用已知条件可以判定为直角三角形，利用直角三角形

12、斜边上的中线等于斜边的一半，可得，利用边边边公理即可判定，说明的结论正确；假定成立，则必须，利用点是边上的动点（不与点、重合），可知不一定成立；延长交于点，利用勾股定理求出的长度即可判定不正确；利用同高的三角形的面积比等于它们底的比，计算出，从而判定的结论不正确解：连接，如图，四边形和四边形为正方形，是的中点，在和中，的结论正确；，若平分，则必须，即需要，点是边上的动点（不与点、重合），与不一定相等，不一定成立，平分不一定成立，的结论不正确；延长交于点，如图，则，的结论错误；，的结论错误综上所述，只有的结论正确，故选：A【点拨】本题主要考查了正方形的性质，相似三角形是判定与性质，全等三角形的判

13、定及性质，直角三角形斜边上的中线长性质，勾股定理，同高三角形的面积比等于底的比，角平分线的定义，解题的关键是利用已知条件及相关的定理与性质对每个选项进行判断4A【分析】由等边三角形和旋转的性质结合菱形的判定定理即可知正确；直接利用“SAS”即可判定，即正确；由全等三角形的性质可知，再结合，即求出，即证明为等边三角形，即正确；由三角形外角性质得：，再根据，即可证明 ，故正确；根据AE=CF即可求出BC的长，再根据结合题意，易证，即，即可求出CG的长，最后即可求出BG的长，即可判断正确解：由等边三角形和旋转的性质可知，即四边形为菱形，故正确；在和中，故正确；，即，为等边三角形，故正确；，又，故正确

14、；，即，故正确综上，都正确，个数为5个故选A【点拨】本题考查等边三角形的判定和性质，图形旋转的性质，菱形的判定，全等三角形的判定和性质，三角形外角性质以及相似三角形的判定和性质熟练掌握各知识点并利用数形结合的思想是解答本题的关键5A【分析】依题意补全图形，判定FPC是等腰直角三角形及AFGABC，从而得比例式，设CP=CF=x，将相关线段的值或含x的代数式代入比例式，求解即可解：依题意补全图形，如图：由题可知，GFAC，GFP是以GF为斜边的等腰直角三角形，在RtABC中，BCAC，GFBC，GFP=FPC=45，C=90，PFC=FPC=45，FPC是等腰直角三角形，设CP=CF=x，则，A

15、C=3，AF=3-x，GFBC，AFGABC，即，解得：，故选：A【点拨】本题考查了相似三角形的判定与性质及等腰直角三角形的判定与性质，数形结合、熟练掌握相关性质及定理是解题的关键6D【分析】由题意可得点在以点为圆心，为半径的上，在轴的负半轴上取点，连接，分别过、作，垂足为、，先证，得，从而当取得最大值时，取得最大值，结合图形可知当，三点共线，且点在线段上时，取得最大值，然后分别证，利用相似三角形的性质即可求解解：点为平面内一动点，点在以点为圆心，为半径的上，在轴的负半轴上取点，连接，分别过、作，垂足为、，当取得最大值时，取得最大值，结合图形可知当，三点共线，且点在线段上时，取得最大值，轴轴，

16、即，解得，同理可得，即，解得，当线段取最大值时，点的坐标是，故选D【点拨】本题主要考查了勾股定理、相似三角形的判定及性质、圆的一般概念以及坐标与图形，熟练掌握相似三角形的判定及性质是解题的关键7D【分析】先证明，可得，可判断A，C选项；当时，可得，再根据，可得，从而得到，可判断B选项；当时，是等腰直角三角形，可得，从而得到，再由，可判断D选项，即可解：等腰中，故A选项正确，不符合题意；，故C选项正确，不符合题意；当时，即，故B选项正确，不符合题意；当时，此时是等腰直角三角形，即，故D选项错误，符合题意；故选：D【点拨】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形

17、的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质是解题的关键8C【分析】由于，易得，因此只需求得即可可设；再证明得到，联立，即可求得的比例关系，由此得解解：设，则射线都垂直于线段，；，四边形是矩形，；，整理得，解得,故选：C【点拨】此题主要考查了矩形的性质、直角三角形及相似三角形的性质能够正确的在中求得的比例关系是解答此题的关键9D【分析】延长CB至Q，使BQDF，连接AQ，由“SAS”可证AEFAEQ，可得EQEF，AEBAEF，可得BE+BQBE+DFEF，故正确；由结论及勾股定理可求DF，CF的长，可得DF：CF1：2，故错误；由旋转的性质

18、可得APAG，ADPABG45，由勾股定理可求，故正确；通过证明EAFMAG，可得相似比为，故正确；即可求解解：如图，延长CB至Q，使BQDF，连接AQ，四边形ABCD是正方形，ABAD，ADFABQ=90， BQDF，ADFABQ（SAS），AFAQ，DAFBAQ，EAF45，EAQBAQ+BAEDAF+BAE90EAF45，EAQEAF45，在AEF和AEQ中，AEFAEQ（SAS），EQEF，AEBAEF，BE+BQBE+DFEF，故正确；设ABBCCD2a，当BEECa时， ， ，DFa，CFa，DF：CF1：2，故错误；如图，将ABG绕点A逆时针旋转90，连接PG，APAG，PAG9

19、0，ADPABG45，BDP90，故正确；如图，连接ME，CBDEAF45，点A，点B，点E，点M四点共圆，AEMEAM45，AMEM，AEAM，AMBADBDAM =45DAM，DAGEAFDAM45DAM，DAGAMB，DAGAEB，AEBAEF，AMBAEF，又EAFGAM，EAFMAG，相似比为，故正确；故选：D【点拨】本题主要考查了正方形的性质、全等三角形的判定及性质、勾股定理以及相似三角形的判定及性质，熟练掌握正方形的性质是解题的关键10B【分析】取CD的中点为O1，连接EO1，所以点E的运动轨迹在以点O1为圆心，EO1为半径的圆上，证明当O1、E、A三点共线时，AE最小，作，再证

20、明，利用相似性质及已知条件求解即可解：，取CD的中点为O1，连接EO1，则，点E的运动轨迹在以点O1为圆心，EO1为半径的圆上，点为边上一个动点，E从O运动到C（逆时针），当O1、E、A三点共线时，AE最小，作，点坐标为且OABC为正方形，O1为CD中点，即，解得：故选：B【点拨】本题考查动点问题，勾股定理，相似三角形的判定及性质，解题的关键是找出当O1、E、A三点共线时，AE最小11 6 【分析】首先设当运动秒时，由此得，再根据得和相似，根据相似三角形的性质可求出的值，当时，则有，再列方程求出的值，然后再求出点与点的坐标，最后根据待定系数法可求出直线的解析式解：设当运动秒时，依题意得：，四边

21、形为矩形，即：，解得：，当时，且，又，则有，点的坐标为，点的坐标为，设直线的解析式为：，将点，代入，得：，解得：，直线的解析式为：故答案为：6，【点拨】此题主要考查了相似三角形的判定和性质，待定系数法求一次函数的解析式，解答此题的关键是熟练掌握系数法求一次函数的解析式，难点是根据相似三角形的性质求出点，的坐标12 3 8【分析】证明，根据相似三角形的性质即可求解；分点P从点B运动到中点和点P从中点运动到点C时，两种情况讨论，利用含30度角的直角的性质即可求解解：是等边三角形，即，；如图，当时，即，当点P从点B运动到中点时，点D的运动路径长为，当点P从中点运动到点C时，点D的运动路径长为，点D的

22、运动路径长为8故答案为：3；8【点拨】本题考查了相似三角形的判定和性质，等边三角形的性质，含30度角的直角的性质，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题13 5 2.5【分析】（1）根据已知条件可得ACD=A=BCD，所以AD=CD，然后证明ABCCBD，进而可以解决问题；（2）由翻折可得AM=EM，CAD=E，由MECD，可得E=EDC，DF/BC，且DF=CF，进而得到ADFABC，求出DF、CF的长，再由AF：CF=AD：BD求出AF及MF的长， 再证明MEFCDF，最后求得AM的长解：（1）ACB=2A，CD平分ACB，BCD=ACD=CAD，B=B，BCDBAC，BC：AB=BD：BC

23、，即6：9=BD：6，BD=4，AD=CD=9-4=5；（2）ADM沿DM折叠得到EDM，AM=EM，CAD=E，ME/CD，E=CDE，BCD=ACD=CAD，CDE=BCD=ACD，DF/BC，且DF=CF，ADFABC，DF：BC=AD：AB，即DF：6=5：9，解得DF=，CF=；DF/BC，AF：CF=AD：BD，即AF：=5：4，解得：AF=，设AM=ME=x，则MF=-x；ME/CD，MEFCDF，ME：CD=MF：CF，即x：5=（-x）：，解得x=2.5；故答案：5； 2.5；【点拨】本题考查了相似三角形的判定与性质，翻折变换，解决本题的关键是得到CM=DE=5，然后由ABC

24、CBD解决问题14或【分析】连接，根据菱形的性质可得由Q是CD中点，QHAC可证明求出，分两种情况求出AP，再根据可求解解：连接，交AC于点如图1，四边形ABCD是菱形，在中，点E是边AD的三等分点,分两种情况讨论求解：当时，如图1，P是AG中点，当时，如图2，同理可得，综上，的长为或故答案为：或【点拨】本题主要考查了菱形的性质，相似三角形的判定与性质，求出CH和AP的长是解答本题的关键15 16 【分析】（1）先证明，再证明，根据相似三角形的性质可得结论；（2）证明得，根据SAS可证，进一步楞证明四边形AEDB是平行四边形，可得，求出BD的长，再证明，根据相似三角形的性质可求出结果解：又又，

25、即P为AB的中点，故答案为：16；（2）又又在和中，即 AB/ED又AE/BD四边形AEDB是平行四边形在中，又又在中，故答案为【点拨】本题主要考查了相似三角形的判断与性质，正确识图，理清边角关系是解答本题的关键161或5【分析】分两种情况：当时过点作于点，则四边形为矩形；当时，过点作于点，则四边形为矩形，根据矩形的性质得再由折叠的性质可得，然后根据相似三角形的判定与性质可得答案解：当时如图，过点作于点，则四边形为矩形，为的中点，由折叠与对应，即又，解得，当时，如图，过点作于点，则四边形为矩形，为的中点， 由折叠与对应， ，即又，解得，综上，的长为或故答案为：或【点拨】此题考查的是翻折变换折叠

26、问题、矩形的性质，正确作出辅助线是解决此题的关键17【分析】先求出A、B的坐标，即有，可得是直角三角形，对于每个确定的m值，恰好有两个与相似，有两个临界点，第一种情况：点P与点C重合时，此时；第二种情况：过A点作，交与点P，与x轴的交点为G点，证明，即，则问题随之得解解：令时，令时，解得，是直角三角形，根据题意可知：对于每个确定的m值，恰好有两个与相似，有两个临界点，第一种情况：点P与点C重合时，此时，如图，P点的纵坐标为；第二种情况：过A点作，交与点P，与x轴的交点为G点，如图，在中， ，即，P点此时的纵坐标为：，当此时P点往上移动时，过P点的直线即垂直，此时即有：，综上：m的取值范围为：【

27、点拨】本题主要考查相似三角形的性质与判定，勾股定理，分类讨论思想等相关知识，根据点P的运动，得到两个临界点是解题关键18或【分析】设直线的函数关系式为，先求出解析式，若，证得，可得，求出，即可得到的长，即可求得点C的坐标；若，可证，得到，求出，即可得到的长，即可求得点C的坐标；若，可得是等腰直角三角形，与题意不符，故此情况不存在解：设的函数关系式为，将点，点，代入可得：，解得，点，点，如图，若，则，点A与点E关于对称，点A与点E关于对称，当时，点C的坐标为，如图，若，则，点A与点E关于对称，当时，点C的坐标为，若，则，点A与点E关于对称，是等腰直角三角形，由题意可得不是等腰直角三角形，即，此情

28、况不存在，综上，点C的坐标为或，故答案为：或【点拨】本题考查了求一次函数的解析式，相似三角形的判定与性质，根据利用数形结合的思想解决问题是解题的关键19（1）见分析；（2）见分析；（3）【分析】（1）运用证明（2）运用两个角对应相等的三角形相似证明即可（3）设，则，结合（2）结论计算即可解：（1）平分，（2）由（1）知：是等腰直角三角形，（3）设，则，是等腰直角三角形，由（2）知：解得：，【点拨】本题考查了三角形全等的判定和性质，等腰在直角三角形的性质，三角形相似的判定和性质，熟练掌握三角形全等的判定和性质，三角形相似的判定和性质是解题的关键20（1）点的坐标为，；（2）或【分析】（1）解方程

29、，求出得出，根据线段垂直平分线的性质得到点的横坐标为利用待定系数法求出直线的解析式为把代入求出即可得到点的坐标；（2）根据条件得出，在第三象限，分别过、作轴的平行线，过作轴的平行线，交于点，证明，得出，由与相似，得出或分两种情况进行讨论：如果；如果根据相似三角形对应边成比例计算即可（1）解：解方程，得或，点，点在轴上点在点的左侧，且点、的横坐标是方程的解，的垂直平分线为的解析式为直线，点的横坐标为设直线的解析式为将，代入，得，解得，直线的解析式为当时，点的坐标为，；（2）点，为轴正半轴上一动点，即，点，在第二象限，点是点关于轴的对称点，在第三象限，又，如图，分别过、作轴的平行线，过作轴的平行线

30、，交于点，则，是直角三角形，当与相似时，也是直角三角形，或如果，此时，解得负值舍去；如果，此时，解得综上所述，存在这样的值，使与相似，此时的值为或【点拨】本题考查了相似三角形的判定与性质，待定系数法求一次函数的解析式，一次函数图象上点的坐标特征，解一元二次方程，线段垂直平分线的性质，求出点的横坐标与直线的解析式是解决第一问的关键；证明，以及进行分类讨论是解决第二问的关键21（1）直角三角形，理由见分析；（2）6；（3）【分析】（1）由旋转的性质可得，由正方形的性质得，推出，进而可得，根据全等的性质得，由直角三角形的两锐角互余，等量代换，即可得出结论；（2）由等腰直角三角形的性质得，根据垂线段最

31、短得时，取最小，取最小值，根据正方形的性质求得，进一步求解即可；（3）由全等的性质得，根据三等分点的性质求得，再由勾股定理求得，由求得，由等腰直角三角形的性质得，推出，根据相似三角形的性质求解即可（1）解：是直角三角形，理由如下：由旋转可知，四边形是正方形，即是直角三角形且；（2）解：在中，由勾股定理，得，当最小时，取最小值，点是对角线上的一个动点，时，取最小，四边形是正方形，为的中点在中，最小值为6；（3）解：由（1）得，当点为线段靠近点的三等分线时，此时线段MP的长度为【点拨】本题考查了正方形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理

32、，熟练掌握知识点并灵活运用是解题的关键22（1）2；（2）；（3）【分析】（1）连接，根据，可得是的中位线，从而可证，即可得到，即可求出结果；（2）过点B作，交的延长线于点E，根据可得，证明可得，从而可得，再证明，即可求出结果；（3）过点A作，根据，可得是的中线，由（2）可知，设，分别表示出，即可求解（1）解：如图，连接，点D、M分别是、的中点，是的中位线，故答案为：2（2）解：过点B作，交的延长线于点E，又，又，（3）解：过点A作，是的中线，设，由（2）可知，又因为，【点拨】本题考查了中位线的性质和判定、三角形相似的性质和判定和平行线的性质及中线的性质，准确作出辅助线，构造相似三角形是解题的

33、关键23（1）见分析；（2）的值不变；（3）【分析】（1）连接，证明，由全等三角形的性质得出；（2）如图，过点作于点，过点作于点，证明，得出比例线段，证明，得出比例线段，由可得，则可得出结论；（3）连接交于点，由勾股定理求出的长，证明，由相似三角形的性质得出，则，由折叠的性质可知，证明，由相似三角形的性质得出，证明，由相似三角形的性质得出，由勾股定理可求出答案解：（1）证明：如图，连接，在矩形中，又，；（2）解：的值不变；如图，过点作于点，过点作于点，四边形是矩形，即，又，由可得，与的值不变，的值不变；（3）解：连接交于点，点是的中点，在中，由（2）知，在中，又，由折叠的性质可知，又，又，【点

34、拨】本题是四边形综合题，考查了全等三角形的判定与性质，折叠的性质，相似三角形的性质与判定，直角三角形的性质，矩形的性质等知识的综合运用，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键24（1）见分析；8；（2）或【分析】（1）先利用平行线的性质和垂直定义得到，再由已知得到，然后根据斜边和一条直角边对应成比例的两个直角三角形相似证明可得结论；过D作于E，并交于F，连接，证明四边形是矩形得到，利用四边形的内角和为和等角的补（余）角相等得到，则有，根据等腰三角形的判定得到，设点O为的中点，根据直角三角形斜边上的中线性质得到点F与点O重合，连接，则，根据等腰三角形的三线合一性质可求解；（2）当点P在边上时

35、，过D作于H，证明平分，利用角平分线的性质得到，利用三角形的面积公式求得，进而求得 ，设，由列方程求解即可；同理，当点P在延长线上时求解即可解：（1）证明：如图，；解：过D作于E，并交于F，连接，则，四边形是矩形，又，由知，设点O为的中点，连接，则，点F与点O重合，连接，则，；（2）解：当点P在边上时，过D作于H，连接，则，由知，垂直平分，则；， ，平分，又则，设，即，解得，当时，即，故舍去；当时，满足，；当点P在延长线上时，如图，过D作于H，过D作于E，连接，同理可得，则，设，由求得， ，舍去，当时，满足，综上，的值为或【点拨】本题是四边形的综合题，考查了相似三角形的判定与性质、矩形的判定与性质、直角三角形斜边上的中线性质、等腰三角形的判定与性质、角平分线的性质、勾股定理、解一元二次方程等知识，涉及知识点较多，综合性强，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解答的关键