专题4.19 相似三角形综合专题（分层练习）（培优练）-2023-2024学年九年级数学上册全章复习与专题突破讲与练（浙教版）.docx

1、专题4.19 相似三角形综合专题（分层练习）（培优练）1（2023春安徽九年级专题练习）如图，点M，N分别在矩形的边和（或延长线）上，连接，若（1）求证：是等腰三角形；（2）当M为中点时，交于点，若，求的长；（3）当M为上任意一点，探究，间的数量关系，并证明2（2023春浙江杭州九年级校考阶段练习）如图，在中，点D为边上一点，连接，过点D作交于点E（1）求证：；（2）若，求3（2022福建厦门校考二模）如图，在中，将绕点逆时针旋转到的位置，使点落在上（1）在图中求作；要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹（2）若交于点，求的长4（2023春吉林长春九年级校考阶段练习）如图，在中，点D是的中点，

2、动点P从点B出发以每秒2个单位的速度向终点C运动，连接，作点B关于直线的对称点Q，连接、，设P点运动时间为t秒（1）用含的代数式表示的长（2）连接，求的最小值（3）当所在直线与边所夹锐角等于时，求的面积（4）当的边与的任意一边平行时，直接写出t的值5（2022河北邯郸校考三模）在正方形中，F为对角线上一动点，连接，以为斜边向右下方作等腰直角，连接（1）如图1，当点E落在线段上时，求证：；（2）如图2，当点E不在线段上时，判断（1）中的结论是否成立，若成立，请证明；若不成立，请说明理由；（3）当时，求线段的长；（4）若点F从点B运动到点D，直接写出点E经过的路径长6（2023黑龙江绥化统考模拟预

3、测）如图，在正方形中，点E是边上一点，与交于点M，延长交于点H，连接（1）求证：；（2）若，求的值；（3）已知正方形的边长为1，点E在运动过程中，的长能否为，请说明理由7（2023江苏泰州校考三模）如图，已知中，E是上的一点，点D是线段上的一个动点，沿折叠，点C与重合，连接（1）求证：；（2）若点F是上一点，且，求的最小值8（2022秋吉林九年级校考期末）如图所示，中，点从点出发，以的速度沿边向终点运动，过点作于点，并作关于直线对称的，设点的运动时间为，与的重叠面积为（1）当点在边上时， _（用含的代数式表示）（2）当点与点重合时，求的值；（3）求与的函数关系式，并直接写出自变量的取值范围9（

4、2023春山东青岛九年级统考开学考试）如图1，在中，动点从点出发，沿折线匀速运动至点停止若点的运动速度为，设点的运动时间为的长度为，与的函数图象如图2所示（1）当恰好平分时，求的值；（2）满足（1）的条件下，求证：10（2022安徽合肥合肥市第四十五中学校考模拟预测）已知：如图，在中，点D在边上，与分别相交于点 （1）求证：；（2）连接，求证：；（3）若，点D是的中点，连接，求的长11（2022秋湖南永州九年级统考期中）如图，在梯形中，点、分别在线段、上，的延长线交边于点，交于点、其延长线交的延长线于点（1）求证：；（2）设，的面积为，求关于的函数解析式，并写出它的定义域；（3）联结，当与相似

5、时，求的长12（2021安徽九年级专题练习）如图，将矩形ABCD沿AF折叠，使点D落在BC边的点E处，过点E作EGCD交AF于点G，连接DG（1）求证：四边形EFDG是菱形；（2）求证EG2GFAF；（3）若AG3，EG，求BE的长13（2022辽宁朝阳统考三模）如图，在ABC中，BCA90，点E在BC上，且ECAC连接AE，F为AE的中点，CDAB于D，过点E作EHCD交DF的延长线于点H，DH交BC于M（1）探究EAB和BCD之间的数量关系，并证明；（2）求证ADEH；（3）若BCkAC，求的值（用含有k的代数式表示）14（2022山东德州校考二模）如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD

6、相交于点O，AE平分BAC，交BC于点E作DFAE于点H，分别交AB，AC于点F，G（1）判断AFG的形状并说明理由（2）求证：（3）记DGO的面积为S1，DBF的面积为S2，当时，求的值15（2021浙江九年级专题练习）已知：正方形ABCD，等腰直角三角板的直角顶点落在正方形的顶点D处，使三角板绕点D旋转（1）当三角板旋转到图1的位置时、猜想CE与AF的数量关系，并加以证明；（2）若BC6，点M是边AB的中点，连接DM，DM与AC交于点O，当三角板的边DF与边DM重合时（如图2），若OF，求出DF和DN的长16（2021秋河南南阳九年级统考期末）如图，在ABC中，AB=AC， BAC=90，

7、AD平分BAC，连接DB，将线段DB绕点D逆时针旋转90得到线段DE，连接BE、CE（1）求的值；（2）求射线AD与直线CE相交所成的较小角的度数；（3）题设其它条件不变，若点D是BAC平分线上的一个动点，且AB=1，DBC=15，直接写出线段CE的长17（2020秋安徽合肥九年级统考期末）如图，已知矩形ABCD与矩形AEFG，连接GD，BE相交于点Q（1）求证：GADEAB；（2）猜想GD与BE之间的位置关系，并证明你的结论；（3）请连接DE，BG，若AB=6，AE=3，求DE2+BG2的值18（2019春浙江杭州九年级期中）如图，在矩形中，E为边上的一个动点，以为边作正方形，与交于点H，的

8、延长线交于点M，连结（1）当时，求的长（用含a的代数式表示）；（2）试证是一个定值；（3）直接写出的取值范围（用含a的代数式表示）19（2023春安徽九年级专题练习）已知：在中，点E是的中点，F是直线上一点，连接，将沿着折叠，点C的对应点为D，连接（1）如图1，若点D在线段上，求证：；（2）如图2，与交于点M，连接，若，求证：点M是的中点；（3）如图3，点F在延长线上，与交于点M，交于点N，若，求20（2023内蒙古统考中考真题）已知正方形，是对角线上一点（1）如图1，连接，求证：；（2）如图2，是延长线上一点，交于点，判断的形状并说明理由；（3）在第（2）题的条件下，求的值21（2019辽宁

9、抚顺九年级统考学业考试）在中，在中，且（1）如图1，当时，连接，请直接写出线段和线段的数量关系；（2）当时，绕点C逆时针旋转到如图2的位置，时，试猜想线段三条线段之间的数量关系，并证明你的猜想；（3）当时，绕点C逆时针旋转到如图3的位置，时，请直接写出线段三条线段之间的数量关系22（2022秋江苏泰州九年级靖江市靖城中学校联考阶段练习）在矩形ABCD的CD边上取一点E，将沿BE翻折至的位置（1）如图1，当点F落在矩形ABCD内部时，连接CF并延长，交AD于点G，若，则GF的长度为_；（2）如图2，当点C恰好落在AD边上点F处时，若，且，求BC的长；（3）如图3，当点C恰好落在AD边上点F处时，

10、延长EF，与的角平分线交于点M，BM交AD于点N，当时，求的值23（2022秋浙江九年级期末）在中，点D在直线上，连结，以为边作等腰直角（点E在直线右侧），连结（1）如图1，若，且点D在边上，求证：；（2）如图2，若，且，求的长；（3）如图3，若点D在的延长线上，相交于点F，设的面积为，的面积为，的面积为，则，请说明理由24（2021安徽统考中考真题）如图1，在四边形ABCD中，点E在边BC上，且，作交线段AE于点F，连接BF（1）求证：；（2）如图2，若，求BE的长；（3）如图3，若BF的延长线经过AD的中点M，求的值参考答案1（1）见分析；（2）；（3），理由见分析【分析】（1）由矩形的性

11、质得，则，而，所以，即可证明是等腰三角形；（2）作于点，则四边形和四边形都是矩形，所以，设，则，由勾股定理得，则，所以，由，根据平行线分线段成比例定理，；（3）作于点，则，因为，所以，得，即可证明解：（1）证明：四边形是矩形，是等腰三角形（2）解：如图1，作于点，四边形和四边形都是矩形，为中点，设，则，解得，的长是；（3）解：，理由如下：如图2，作于点，【点拨】此题重点考查矩形的判定与性质、平行线的性质、等腰三角形的判定与性质、勾股定理、平行线分线段成比例定理、相似三角形的判定与性质等知识，此题综合性强，难度较大，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键2（1）见分析；（2）【分析】（1）根据，得

12、到，根据，推出；（2）设，根据，得到，根据等边对等角得到，根据等角的余角相等得到，根据，推出，得到，推出，根据勾股定理得到，根据（1）中结论得到，得到，推出解：（1），,，；（2）设，【点拨】本题主要考查了相似三角形，等腰三角形，勾股定理熟练掌握相似三角形判定和性质，等腰三角形性质，勾股定理解直角三角形，是解决问题的关键3（1）作图见分析；（2）的长为【分析】（1）根据旋转的性质即可完成作图；（2）根据旋转的性质证明，可得，然后证明，可得，进而可以解决问题（1）解：如图，即为所作；（2）根据旋转可知：，四边形是平行四边形，在和中，的长为【点拨】本题考查作图复杂作图，旋转的性质，平行四边形的性质

13、，相似三角形的判定与性质，等边对等角，平行线的性质，全等三角形的判定和性质掌握基本作图的方法、相似三角形的判定和性质和全等三角形的判定和性质是解题的关键4（1）；（2）；（3）或9；（4）【分析】（1）由题意列出式子即可；（2）当点三点共线时，的长最小，故而得出答案；（3）分两种情况进行计算，当时，延长交于点E通过平行得到，得到，得出，最终得出答案，当时，即可得出答案；（4）分三种情况：当时，当时，当时，分别利用平行线的性质、勾股定理等算出结果（1）解：由题意得（2）当点三点共线时，的长最小的最小值为（3）当时，延长交于点E，当时，（4）解：如图当时，则，又，如图，当时，即为的中点，如图，当时

14、，延长交于，又，点D是的中点，由折叠可知，在中，即，解得，故【点拨】本题考查了折叠的性质，平行线的判定及性质，相似三角形的判定与性质及勾股定理的应用，其中能够根据题意找出所有的符合题意得情况是解题的关键5（1）见分析；（2）成立，理由见分析；（3）的长为1或7；（4）点E经过的路径长为【分析】（1）由正方形的性质得，再证明为等腰直角三角形，根据等腰三角形的三线合一的性质可得结论；（2）（1）中的结论仍然成立，连接与交于点O，连接，先证明，得，再证明，便可得了结论；（3）延长，与交于点H，由勾股定理求得，进而求得，再由，求得；（4）不论F点运动到什么位置，得E点的运动轨迹是的垂直平分线，当点F与

15、B点重合时，点E与点O重合，当F点与D点重合时，点E与G点重合，求得的长度便可解：（1）证明：在正方形中，F为对角线上一动点，是等腰直角三角形，（2）解：（1）中的结论仍然成立理由如下：连接与交于点O，连接，如图，四边形是正方形，是等腰直角三角形，在和中，（3）解：延长，与交于点H，如图，当在的下方时，同法可得综上所述，的值为1或7；（4）解：由题意知，不论F点运动到什么位置，E点的运动轨迹是的垂直平分线，当点F与B点重合时，点E与点O重合，当F点与D点重合时，点E与G点重合，如图，点F从点B运动到点D，点E经过的路径长为【点拨】本题考查了正方形的性质、等腰直角三角形的性质、全等和相似三角形的

16、判定和性质、勾股定理等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题6（1）见分析；（2）；（3）的长不可能为，理由见分析【分析】（1）由正方形的性质得出，即，由证明得出，即可得出结论；（2）先证明得出，在证明得出，由三角函数得出，得出，作交于P，则，得出，即可得出结果；（3）假设，先判断出点G在的延长线上，同（2）的方法得， ，得出，再判断出，得出，进而得出，即可得出结论解：（1）证明：四边形和四边形是正方形，在和中，；（2）解：四边形是正方形，在和中，在和中，作交于P，则，；（3）解：的长不可能为，理由：假设的长为，点E是边上一点，且，点G在的延长线上，同（2）的方法得， ，在中，是斜边，正

17、方形的边长为1，点G在正方形的边上，与点G在的延长线上相矛盾，假设错误，即：的长不可能为【点拨】此题是相似形综合题，主要考查了全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，构造出相似三角形是解本题的关键，用反证法说明不可能为是解本题的难度7（1）见分析；（2）【分析】（1）折叠，得到，根据的值，求出的值，进而得到，再根据，即可得证；（2）根据相似的性质得到，得到，得到当三点共线时，的值最小为的长，过点作于点，易得，求出的长，利用勾股定理求出的长即可（1）解：沿折叠，点C与重合，又，；（2），当点E，点，点F三点共线时，有最小值为的长，如图，过点E作于H，的最小值【点拨】本题考查了相似三角形的

18、判定和性质，折叠的性质，勾股定理解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定定理，证明三角形相似8（1）；（2）；（3）【分析】（1）由勾股定理得出，由题意得出，通过证明，得出，即，进行计算即可得到答案；（2）由（1）知：，可得，即，由题意得出，即可求得答案；（3）分三种情况：当时，重叠部分为，且；当时，重叠部分为四边形，利用计算即可得到答案；当时，重叠部分为直角三角形，运用相似三角形的性质即可求得答案（1）解：中，点从点出发，以的速度沿边向终点运动，当点在边上时，即，解得：，故答案为：；（2）解：当点与点重合时，如图，由（1）知：，即，由题意知：当时，解得，故当点与点重合时，的值为；（3）解：当时，

19、如图，由（1）知：，即，与关于直线对称，；当时，如图，设交于，取的中点，作交于，连接，则，；当时，如图，过点作于，即，即，即，综上所述，与的函数关系式为【点拨】本题主要考查了相似三角形的判定与性质、勾股定理、三角形面积等知识，解题的关键是灵活运用分类讨论思想解决问题9（1）；（2）见详解【分析】（1）由图象可得，通过证明，可求的长，即可求解；（2）根据（1）中，可得结论（1）解：如图，连接，由图2可得，平分，（负值舍去），；（2）证明：由（1）知，【点拨】本题是动点问题的函数图象，考查了等腰三角形的性质，相似三角形的判定和性质，证明三角形相似是解题的关键10（1）见分析；（2）见分析；（3）【

20、分析】（1）通过证明，可得，由平行线的性质可得，且，可证；（2）由相似三角形的性质可得，且，可证，可得，由平行线分线段成比例可得，可得结论；（3）根据等腰三角形的性质可得，由相似三角形的判定与性质可得，最后根据勾股定理计算即可得到答案解：（1），又，又，（2）连接，又，（3），点D是的中点，由（1）知，在中，在中， 【点拨】本题考查了相似三角形的判定和性质，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，属于中考常考题型11（1）见分析；（2）y（0x9）；（3）3或【分析】（1）由ADBC知，结合DB=DC=15，DE=DF=5知，从而得，据此可得答案；（2）作DPBC，NQAD，求得BP=CP=9

21、，DP=12，由知BG=CH=2x，BH=18+2x，根据得，即DN，再根据知NQ，由三角形的面积公式可得答案；（3）分ADN=FGH和ADN=GFH两种情况分别求解可得解：（1）ADBC，DB=DC=15，DE=DF=5，BG=CH（2）过点D作DPBC，过点N作NQAD，垂足分别为点P、QDB=DC=15，BC=18，BP=CP=9，DP=12，BG=CH=2x，BH=18+2xADBC，DNADBC，ADN=DBC，sinADN=sinDBC，NQyADNQx（0x9）（3）ADBC，DAN=FHG（i）当ADN=FGH时，ADN=DBC，DBC=FGH，BDFG，BG=6，AD=3（i

22、i）当ADN=GFH时，ADN=DBC=DCB，又AND=FGH，ADNFCG，x（182x） 10，整理得x2-3x-29=0，解得x，或x（舍去）综上所述，当HFG与ADN相似时，AD的长为3或【点拨】本题是相似三角形的综合问题，解题的关键是掌握平行线分线段成比例定理及相似三角形的判定与性质、分类讨论思想的运用等知识点12（1）证明见分析；（2）证明见分析；（3）【分析】（1）先依据翻折的性质和平行线的性质证明DGF=DFG，从而得到GD=DF，接下来依据翻折的性质可证明DG=GE=DF=EF；（2）连接DE，交AF于点O由菱形的性质可知GFDE，OG=OF=GF，接下来，证明DOFADF

23、，由相似三角形的性质可证明DF2=FOAF，于是可得到GE、AF、FG的数量关系；（3）过点G作GHDC，垂足为H利用（2）的结论可求得FG=4，然后再ADF中依据勾股定理可求得AD的长，然后再证明FGHFAD，利用相似三角形的性质可求得GH的长，最后依据BE=AD-GH求解即可解：（1）证明：GEDF，EGF=DFG由翻折的性质可知：GD=GE，DF=EF，DGF=EGF，DGF=DFGGD=DFDG=GE=DF=EF四边形EFDG为菱形（2）证明：如图1所示：连接DE，交AF于点O四边形EFDG为菱形，GFDE，DOF=ADF=90，OFD=DFA，DOFADF，即DF2=FOAF，；（3

24、）如图2所示：过点G作GHDC，垂足为H，整理得：FG2+3FG-10=0解得：FG=2，FG=-5（舍去）GHDC，ADDC，GHADFGHFAD，即，【点拨】本题主要考查的是四边形与三角形的综合应用，解答本题主要应用了矩形的性质、菱形的判定和性质、相似三角形的性质和判定、勾股定理的应用，利用相似三角形的性质得到DF2=FOAF是解题答问题（2）的关键，依据相似三角形的性质求得GH的长是解答问题（3）的关键13（1）BCDBAE45，见分析；（2）见分析；（3）【分析】（1）在直角三角形中，两锐角和为，再利用等腰直角三角形角度的特殊性，通过等量代换即可证明；（2）添加辅助线后，证明三角形全等

25、得到对应边相等，得到一个等腰直角三角形，再利用平行线的性质，再次证明三角形全等，得到对应边相等，根据等腰直角三角形腰相等，通过等量代换即可证明；（3）引进未知数，通过证明三角形相似，得对应边成比例，通过等量代换把表示出来，即可和相比解：（1）BCDBAE45证明：CDAB于点D，CDA90CADACD90ACDBCD90，BCDCADACCE，ACE90，CAECEA45BCDCADBAECAEBAE45（2）证明：连接CF，作FNDF，垂足为点F，FN交CD于点N，作EGAD，EG与DH交于点GACE90，F是AE的中点CFAFEF，CFAEAFCCFE90FNDF，DFN90AFDAFNA

26、FNCFN90AFDCFNBCDBAE45，FCE45，BAEFCN，ADFCNFFNFD又DFN90，FDNFND45HECD，HFDN45ADFADCFDN135EG/AD，FGDADF135又AFDEFG，ADFEGFEGADEGH180EGF18013545，HEGHEHEGADEH（3）解：设ACCEm，BCkm，BEBCCE（k1）mADCACB，DACCAD，ACDABCHFDN，HMEDMC，MCDMEH又CMMECE，【点拨】本题考查了直角三角形、等腰直角三角形、三角形全等的判定与性质、相似三角形的判断与性质，题目综合性较强，解题的关键是：熟练掌握相关定理，添加适当辅助线，通

27、过三角形全等或相似找到边角之间的等量关系，通过等量代换求解该题14（1）是等腰三角形，证明见详解；（2）证明见详解；（3）【分析】（1）如图1中，是等腰三角形利用全等三角形的性质证明即可；（2）如图2中，过点作交于，则首先证明，再证明，即可解决问题；（3）如图3中，过点作于，则，利用相似三角形的性质解决问题即可（1）解：如图1中，是等腰三角形；理由：平分，是等腰三角形（2）证明：如图2中，过点作交于，则，四边形是矩形，；（3）解：如图3中，过点作于，则，又，设，则，【点拨】本题属于四边形综合题，考查了矩形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质等知识，学会利用参数构建方程解决问题

28、是解题的关键15（1）CEAF，见分析；（2）DN，DF【分析】（1）由正方形和等腰直角三角形的性质判断出ADFCDE即可；（2）证MAODCO得 ，由勾股定理得DM3 ，据此求得DO2，结合OF 知DF ，再证DFNDCO得 ，据此计算可得解：（1）CEAF，理由如下：在正方形ABCD和等腰直角三角形CEF中，FDDE，CDCA，ADCEDF90，ADFCDE，ADFCDE（SAS），CEAF；（2）M是AB的中点，MA ABAD，ABCD，MAODCO，在RtDAM中，AD6，AM3，DM3，DO2，OF，DF，DFNDCO45，FDNCDO，DFNDCO， ， ，DN【点拨】本题考查了旋

29、转的性质，正方形的性质，等腰直角三角形的性质，全等三角形的性质和判定，相似三角形的性质和判定，灵活运用这些性质解决问题是本题的关键16（1）；（2）射线AD与直线CE相交所成的较小角的度数为45；（3）CE的长为或【分析】（1）根据等腰直角三角形性质，证ABDCBE，求相似比即可；（2）延长AD、CE相交于点F，由相似可知BCF=BAD=45，再根据角平分线和三角形内角和求F即可；（3）作DFAB，垂足为F，根据D点在三角形内和外分类讨论，利用30角的直角三角形性质和等腰直角三角形的性质以及（1）的结论可求EC解：（1）由题意知ABC和BDE均为等腰直角三角形，ABC=DBE=45，ABC=D

30、BE=45ABD=CBEABDCBE（2）延长AD、CE相交于点F，AB=AC，BAC=90，ABC=ACB=45AF平分BAC，BAD=CAF=BAC=45ABDCBEBCF=BAD=45F=180-BCF-ACB -CAF=45射线AD与直线CE相交所成的较小角的度数为45（3）如图1，作DFAB，垂足为F，DBC=15，ABC=45，DBA=30，设DF为x，BD为2x，BF=，BAD=45，DF=AF=x，AD=AB=1，解得，AD=，CE=，如图2，作DFAB，垂足为F，DBC=15，ABC=45，DBA=60，BDF=30，设BF为x，BD为2x，DF=，BAD=45，DF=AF=

31、，AD=AB=1，解得，AD=，CE=，CE的长为或【点拨】本题考查相似三角形的综合问题，涉及到了直角三角形的有关性质，解题关键是熟练的判定三角形相似，画出准确图形，树立分类讨论思想17（1）证明见分析；（2）GDBE，理由见分析；（3）125【分析】（1）根据四边形ABCD与AEFG为矩形，可得到DAG=EAB，又因为，即可证得GADEAB；（2）设QE与AG相交于点M，根据GADEAB可得到AGD=AEB，又因为QMG=AME，得到GQE=GAE，进而证得GDBE；（3）连接BD和EG，根据GDBE，得到，进而得到，根据勾股定理得到，再根据，求出AD、AG，即可求得解：（1）四边形ABCD

32、与AEFG为矩形，DAB=EAG=90，DAG=EAB，即，GADEAB；（2）GDBE，理由如下：如图，设QE与AG相交于点M，GADEAB；AGD=AEB，又QMG=AME，GQE=GAE，又GAE=90，GQE=90，GDBE；（3）如图，连接BD和EG，GDBE，即，AB=6，AE=3，AD=8，AG=4，【点拨】本题考查三角形的相关性质及勾股定理及其逆定理，解题的关键是综合运用相关知识18（1）；（2），证明见分析；（3）【分析】（1）证明ABEECH，可得，代入计算即可解决问题（2）如图，作GKAD交AD的延长线于K证明AKGABE（AAS），推出AKAB3a，DKa，由DMGK，

33、可得解决问题（3）由AKGABE，可得GKBE推出当点E与点C重合时，GKBE2a，此时DG的值最大，当点E与点B重合时，点G与K重合，此时DG的值最小，求出DG的最大值与最小值即可解决问题解：（1）四边形是矩形，四边形是正方形，（2）如图，作交的延长线于K，（定值） （3），当点E与点C重合时，此时的值最大，当点E与点B重合时，点G与K重合，此时的值最小，的取值范围为【点拨】本题属于相似形综合题，考查了相似三角形的判定和性质，矩形的性质，正方形的性质，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考压轴题19（1）见分析；（2）见分析；（3）【分

34、析】（1）连接，由折叠性质得到，由中点性质得到，推出点A、D、C三点在以为直径的圆上，根据垂直同一直线的两直线平行，即可得到结论；（2）根据平行线性质得到，根据，得到，推出，得到点A、F、C三点在以为直径的圆上，设，得到，推出，推出MAFMFA，据此即可证明结论；（3）连接、，设C，根据，结合折叠与中点性质，得到，推出，根据三角形外角性质以及折叠性质，得到，根据等边对等角，得到，根据，推出，得到，推出，得到，推出，得到，得到，推出，根据，得到，得到解：（1）证明：连接，由折叠可知，点E是的中点，点A、D、C三点在以为直径的圆上，即，；（2）证明：由（1）知，点A、F、C三点在以为直径的圆上，设

35、，即，即点M是的中点；（3）解：连接、，设，同理，【点拨】本题主要考查了等腰三角形，翻折，勾股定理，相似三角形，圆周角，熟练掌握等腰三角形的判定与性质，翻折的性质，勾股定理解直角三角形，相似三角形的判定与性质，圆周角定理推论，是解决问题的关键20（1）见分析；（2）是等腰三角形，理由见分析；（3）【分析】（1）利用正方形的性质得出，进而即可得到；（2）先判断出，进而判断出，即可得到结论；（3）先求出的长，可证明是等腰直角三角形从而得到的长，再利用，可证得，进而得到，从而可得到答案（1）解：四边形是正方形，是对角线，在和中（2）解：是等腰三角形，理由如下：，四边形是正方形，是等腰三角形（3）解：

36、，又，是等腰直角三角形，【点拨】本题考查四边形综合题，主要考查了正方形的性质，全等三角形，等腰三角形以及相似三角形，熟练掌握等腰三角形以及全等三角形的判定与性质是解题的关键21（1）；（2），证明见分析；（3）【分析】（1）根据条件证明即可；（2）连接，根据第（1）问和，可得，根据勾股定理即可证明；（3）连接，根据条件证明，同（2）可证，利用相似三角形的性质即可求解（1）解：，都是等边三角形，；（2）解：，连接，如图，由（1）得，；（3）解：，连接，如图，都是等腰直角三角形， ，同第（2）问可证：，；【点拨】本题属于几何变换综合题，考查了等边三角形的性质， 等腰直角三角形的性质，勾股定理，全等

37、三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形或相似三角形解决问题，属于中考压轴题22（1）；（2）；（3）【分析】（1）设CF交BE于点H，利用勾股定理求得，证，利用相似三角形的性质求出的长，由翻折得，求得，最后；（2）由翻折和矩形的性质证出，利用相似三角形的性质运算求出的长，由线段的数量关系得到，利用勾股定理求得的长，再由计算即可；（3）过点作于点，证出，利用相似三角形的比值关系和角平分线的性质分别用含和的式子表示出，的长，利用勾股定理可得到，代入后可得到与的数量关系，即可用含的式子表示出，再利用比值关系进行比较即可解：（1）设CF交BE于点H，四边形为矩

38、形，由翻折可得：，为的中垂线，由翻折得故答案为：（2）将沿BE翻折，使点C恰好落在AD边上点F处，又矩形ABCD中，（3）过点作于点，设平分，设，则解得【点拨】本题主要考查了矩形的翻折综合，其中涉及到了相似三角形的性质及判定，勾股定理，角平分线的性质，熟悉利用相似三角形的比值关系进行列式运算是解题的关键23（1）见分析；（2）；（3）见分析【分析】（1）根据可得是等腰直角三角形，根据角的和差得出，根据等腰直角三角形的性质可得，即可判定；（2）点在线段上时，过点作于，作，交的延长线于点，设、交于点，易得，可推出，可得四边形是正方形，设，证明，得出，即，求出，即可得的长，同理，可得出点在线段的延长

39、线上时，的长；（3）作交于点，则是等腰直角三角形，证明，可得，即，即可得出结论解：（1）证明：，是等腰直角三角形，是等腰直角三角形，即，；（2）点在线段上时，过点作于，作，交的延长线于点，设、交于点，是等腰直角三角形，四边形是正方形，在和中，设，解得：，在中，；同理，点在线段的延长线上时，；（3）作交于点，是等腰直角三角形，是等腰直角三角形，即，即，【点拨】此题属于相似形综合题综合题，主要考查了三角形相似的性质和判定，等腰直角三角形的性质，勾股定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考压轴题24（1）见分析；（2）6；（3）【分析】（1）根据平行线的性质及已知条件易证，即可得，；再证四边形AFCD是平行四边形即可得，所以，根据SAS即可证得；（2）证明，利用相似三角形的性质即可求解；（3）延长BM、ED交于点G易证，可得；设，由此可得，；再证明，根据全等三角形的性质可得证明，根据相似三角形的性质可得，即，解方程求得x的值，继而求得的值解：（1）证明：，；，四边形AFCD是平行四边形在与中，（2），在中，又，在与中，；，；，；，或（舍）；（3）延长BM、ED交于点G与均为等腰三角形，设，则，；在与中，；，（舍），【点拨】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的性质及判定、相似三角形的性质及判定，熟练判定三角形全等及相似是解决问题的关键