专题4.2.3 相似三角形的性质（知识解读）-2022-2023学年九年级数学上册《同步考点解读•专题训练》（北师大版）.docx

1、 专题4.2.3 相似三角形的性质（知识解读）【直击考点】 【学习目标】1、 理解并掌握相似三角形的性质，注意对应点、对应线段、对应角写在对应位置上；2、 灵活运用相似三角形的性质进行证明、计算；3、运用相似三角形的性质解决综合问题。【知识点梳理】考点1 相似三角形的性质性质1：相似三角形的对应角相等，对应边对应成比例.性质2：相似三角形中的重要线段的比等于相似比. 相似三角形对应高，对应中线，对应角平分线的比都等于相似比.注意：要特别注意“对应”两个字，在应用时，要注意找准对应线段.性质3：相似三角形周长的比等于相似比如图一： ，则由比例性质可得： 图一性质4：相似三角形面积的比等于相似比的

2、平方如图二，则分别作出与的高和，则 图二注意：相似三角形的性质是通过比例线段的性质推证出来的.考点2 相似三角形的性质与判定综合【典例分析】【考点1 相似三角形的性质】【典例1】（2016兰州）已知ABCDEF，若ABC与DEF的相似比为，则ABC与DEF对应中线的比为（）ABCD【变式1-1】（2019自贡模拟）如图，在正方形网格上有两个相似三角形ABC和DEF，则BAC的度数为（）A105B115C125D135【变式1-2】（2015贵阳）如果两个相似三角形对应边的比为2：3，那么这两个相似三角形面积的比是（）A2：3B：C4：9D8：27【变式1-3】（2015黔西南州）已知ABCAB

3、C且，则SABC：SABC为（）A1：2B2：1C1：4D4：1【典例2】（2022富阳区二模）如图，在ABC中，点D，E分别在AB，AC上，若，且ADE的面积为9，则四边形BCED的面积为（）A18B27C72D81【变式2-1】（2022灞桥区校级模拟）如图，在ABC中，点E、F分别在AB、AC上，EFBC，四边形BCFE的面积为21，则ABC的面积是（）AB25C35D63【变式2-2】（2021南明区模拟）如图，在平行四边形ABCD中，点E在边DC上，DE：EC3：1，连接AE交BD于点F，则DEF的面积与DAF的面积之比为（）A9：16B3：4C9：4D3：2【典例3】（2019秋长

4、清区期末）如图，AB与CD相交于点O，OBDOAC，OB6，SAOC50，求：（1）AO的长；（2）SBOD【变式3-1】（2021丽水模拟）如图，已知ABCBDC，其中AC4，CD2，则BC（）A2BCD4【变式3-2】（2021罗湖区校级模拟）如图，已知ADEABC，且AD6，AE4，AB12，求CD的长【变式3-3】（2016秋雨花区期末）如图，已知ABCADE，AB30cm，AD18cm，BC20cm，BAC75，ABC40（1）求ADE和AED的度数；（2）求DE的长【变式3-4】（2016秋相城区期末）如图，AC4，BC6，B36，D117，ABCDAC（1）求BAD的大小；（2）

5、求CD的长【考点2 相似三角形的性质与判定综合应用】【典例4】（2022杭州）如图，在ABC中，点D，E，F分别在边AB，AC，BC上，连接DE，EF已知四边形BFED是平行四边形，（1）若AB8，求线段AD的长（2）若ADE的面积为1，求平行四边形BFED的面积【变式4-1】（2022江西）如图，四边形ABCD为菱形，点E在AC的延长线上，ACDABE（1）求证：ABCAEB；（2）当AB6，AC4时，求AE的长【变式4-2】（2022春海淀区校级期中）如图，四边形ABCD为平行四边形，ABC的角平分线BE交AD于点E，连接AC交BE于点F（1）求证：BCCD+ED；（2）若ABAC，AF3

6、，AC8，求AE的长【变式4-3】（2022长沙县一模）如图，四边形ABCD是平行四边形，F为BC边上一点，连接DF并延长，交AB的延长线于E，且EDBC（1）求证：ADEDBE；（2）若DC10cm，BE18cm，求DE的长【典例5】（2022建邺区二模）如图，在ABC中，ABAC，BAC120，点D在BC上且DAAC，垂足为A（1）求证：AB2BDBC；（2）若BD2，则AC的长是 【变式5-1】（2022拱墅区模拟）如图，在ABC中，点D在AB边上，ABCACD（1）求证：ABCACD；（2）若AD2，AB6求AC的长【变式5-2】（2021秋秦都区期末）如图，点P是菱形ABCD的对角线

7、BD上一点，连接CP并延长交AD于点E，交BA的延长线于点F（1）求证：APDCPD；（2）求证：APEFPA；（3）若PE4，PF12，求PC的长【典例6】（2021秋南京期末）如图，在RtABC中，ACB90，点D在AB上，且（1）求证ACDABC；（2）若AD3，BD2，求CD的长【变式6-1】（2022义乌市校级开学）如图，在ABC中，ACB90，CDAB，若AD4，BD8，则CD的长为（）A4B4C4D【变式-2】（2021秋江都区期末）如图，RtABC中，ACB90，CDAB于点D（1）求证：AC2ABAD；（2）若BD9，AC6，求AD的长【典例7】（2022龙岗区模拟）如图，在

8、ABC中，ADBC于点D，E为BD上一点，过点E作EFBC交AB于点F，过点F作FGEF分别交AD，AC于点N，G，过点G作GHEF交BC于点H（1）求证：AFGABC；（2）若AD3，BC9，设EF的长度为x，四边形EFGH的面积为y，求y与x之间的函数表达式，并求y的最大值【变式7-1】（2020蔡甸区模拟）在锐角ABC中，边BC长为18，高AD长为12（1）如图，矩形EFCH的边GH在BC边上，其余两个顶点E、F分别在AB、AC边上，EF交AD于点K，求的值；（2）设EHx，矩形EFGH的面积为S，求S与x的函数关系式，并求S的最大值【变式7-2】（2021秋金川区校级期末）如图，在AB

9、C中，BC120，高AD60，四边形EFGH一边在BC上，点E，F分别在AB，AC上，AD交EF于点N；（1）如图1，若四边形EFGH是正方形，求AN的长度；（2）如图2，若四边形EFGH是矩形，则EH的长为多少时，它的面积最大？最大面积为多少？ 专题4.2.3 相似三角形的性质（知识解读）【直击考点】 【学习目标】3、 理解并掌握相似三角形的性质，注意对应点、对应线段、对应角写在对应位置上；4、 灵活运用相似三角形的性质进行证明、计算；3、运用相似三角形的性质解决综合问题。【知识点梳理】考点1 相似三角形的性质性质1：相似三角形的对应角相等，对应边对应成比例.性质2：相似三角形中的重要线段的

10、比等于相似比. 相似三角形对应高，对应中线，对应角平分线的比都等于相似比.注意：要特别注意“对应”两个字，在应用时，要注意找准对应线段.性质3：相似三角形周长的比等于相似比如图一： ，则由比例性质可得： 图一性质4：相似三角形面积的比等于相似比的平方如图二，则分别作出与的高和，则 图二注意：相似三角形的性质是通过比例线段的性质推证出来的.考点2 相似三角形的性质与判定综合【典例分析】【考点1 相似三角形的性质】【典例1】（2016兰州）已知ABCDEF，若ABC与DEF的相似比为，则ABC与DEF对应中线的比为（）ABCD【答案】A【解答】解：ABCDEF，ABC与DEF的相似比为，ABC与D

11、EF对应中线的比为，故选：A【变式1-1】（2019自贡模拟）如图，在正方形网格上有两个相似三角形ABC和DEF，则BAC的度数为（）A105B115C125D135【答案】D【解答】解：EF2，DE，DF，BC5，AB，AB，ABCEDF，BACDEF，又DEF90+45135，BAC135，故选：D【变式1-2】（2015贵阳）如果两个相似三角形对应边的比为2：3，那么这两个相似三角形面积的比是（）A2：3B：C4：9D8：27【答案】C【解答】解：两个相似三角形面积的比是（2：3）24：9故选：C【变式1-3】（2015黔西南州）已知ABCABC且，则SABC：SABC为（）A1：2B2

12、：1C1：4D4：1【答案】C【解答】解：ABCABC，（）2，故选：C【典例2】（2022富阳区二模）如图，在ABC中，点D，E分别在AB，AC上，若，且ADE的面积为9，则四边形BCED的面积为（）A18B27C72D81【答案】C【解答】解：，AA，ADEABC，（）2（）2，ADE的面积为9，ABC的面积81，四边形BCED的面积ABC的面积ADE的面积81972，故选：C【变式2-1】（2022灞桥区校级模拟）如图，在ABC中，点E、F分别在AB、AC上，EFBC，四边形BCFE的面积为21，则ABC的面积是（）AB25C35D63【答案】B【解答】解：EFBC，AEFABC，（）2

13、，（）2（）2，四边形BCFE的面积为21，SABCSAEF+S四边形BCFE，SABC4+2125，故选：B【变式2-2】（2021南明区模拟）如图，在平行四边形ABCD中，点E在边DC上，DE：EC3：1，连接AE交BD于点F，则DEF的面积与DAF的面积之比为（）A9：16B3：4C9：4D3：2【答案】B【解答】解：四边形ABCD为平行四边形，ABCD，ABCD，DE：EC3：1，DE：ABDE：DC3：4，DEAB，DEFBAF，DEF的面积与DAF的面积之比EF：AF3：4故选：B【典例3】（2019秋长清区期末）如图，AB与CD相交于点O，OBDOAC，OB6，SAOC50，求：

14、（1）AO的长；（2）SBOD【解答】解：（1）OBDOAC，BO6，AO10；（2）OBDOAC，SAOC50，SBOD18【变式3-1】（2021丽水模拟）如图，已知ABCBDC，其中AC4，CD2，则BC（）A2BCD4【答案】B【解答】解：ABCBDC，AC4，CD2，BC2ACCD428，BC2故选：B【变式3-2】（2021罗湖区校级模拟）如图，已知ADEABC，且AD6，AE4，AB12，求CD的长【解答】解：ADEABC，AD6，AE4，AB12，AC8，CDACAD862【变式3-3】（2016秋雨花区期末）如图，已知ABCADE，AB30cm，AD18cm，BC20cm，B

15、AC75，ABC40（1）求ADE和AED的度数；（2）求DE的长【解答】解：（1）BAC75，ABC40，C180BACABC180754065，ABCADE，ADEABC40，AEDC65；（2）ABCADE，即，解得DE12cm【变式3-4】（2016秋相城区期末）如图，AC4，BC6，B36，D117，ABCDAC（1）求BAD的大小；（2）求CD的长【解答】解：（1）ABCDAC，DACB36，BACD117，BADBAC+DAC153（2）ABCDAC，又AC4，BC6，CD；【考点2 相似三角形的性质与判定综合应用】【典例4】（2022杭州）如图，在ABC中，点D，E，F分别在边

16、AB，AC，BC上，连接DE，EF已知四边形BFED是平行四边形，（1）若AB8，求线段AD的长（2）若ADE的面积为1，求平行四边形BFED的面积【解答】解：（1）四边形BFED是平行四边形，DEBF，DEBC，ADEABC，AB8，AD2；（2）ADEABC，（）2（）2，ADE的面积为1，ABC的面积是16，四边形BFED是平行四边形，EFAB，EFCABC，（）2，EFC的面积9，平行四边形BFED的面积16916【变式4-1】（2022江西）如图，四边形ABCD为菱形，点E在AC的延长线上，ACDABE（1）求证：ABCAEB；（2）当AB6，AC4时，求AE的长【解答】（1）证明：

17、四边形ABCD为菱形，ACDBCA，ACDABE，BCAABE，BACEAB，ABCAEB；（2）解：ABCAEB，AB6，AC4，AE9【变式4-2】（2022春海淀区校级期中）如图，四边形ABCD为平行四边形，ABC的角平分线BE交AD于点E，连接AC交BE于点F（1）求证：BCCD+ED；（2）若ABAC，AF3，AC8，求AE的长【解答】（1）证明：四边形ABCD是平行四边形，ADBC，ABCD，ADBC，AEBEBC，BE平分ABC，ABEEBC，ABEAEB，ABAE，AECD，ADAE+DE，BCCD+ED；（2）AF3，AC8，CFACAF835，AEBEBC，AFEBFC，A

18、FECFB，设AE3x，BC5x，ABAE3x，ABAC，BAC90，AB2+AC2BC2，（3x）2+82（5x）2，x2或x2（舍去），AE3x6，AE的长为6【变式4-3】（2022长沙县一模）如图，四边形ABCD是平行四边形，F为BC边上一点，连接DF并延长，交AB的延长线于E，且EDBC（1）求证：ADEDBE；（2）若DC10cm，BE18cm，求DE的长【解答】（1）证明：四边形ABCD是平行四边形，AC，EDBC，AEDB，又EE，ADEDBE；（2）解：四边形ABCD是平行四边形，DCAB，由（1）得ADEDBE，DC10cm，BE18cm，ABDC10cm，AEAB+BE2

19、8cm，即 ，DE6（cm）【典例5】（2022建邺区二模）如图，在ABC中，ABAC，BAC120，点D在BC上且DAAC，垂足为A（1）求证：AB2BDBC；（2）若BD2，则AC的长是 2【解答】（1）证明：ABAC，BAC120，BC30，DAAC，DAC90，BDADAC+C120，BACBDA120，BB，BDABAC，AB2BDBC；（2）BAC120，DAC90，BADBACDAC30，B30，BBAD，BDAD2，在RtADC中，C30，ACAD2，故答案为：2【变式5-1】（2022拱墅区模拟）如图，在ABC中，点D在AB边上，ABCACD（1）求证：ABCACD；（2）若

20、AD2，AB6求AC的长【解答】（1）证明：ABCACD，AA，ABCACD；（2）解：由（1）得：ABCACD，AC2ADAB，AC22612，AC2或AC2（舍去），AC的长为2【变式5-2】（2021秋秦都区期末）如图，点P是菱形ABCD的对角线BD上一点，连接CP并延长交AD于点E，交BA的延长线于点F（1）求证：APDCPD；（2）求证：APEFPA；（3）若PE4，PF12，求PC的长【解答】（1）证明：如图，四边形ABCD是菱形，ADCDABCB，在ADB和CDB中，ADBCDB（SSS），PDAPDC，在APD和CPD中，APDCPD（SAS）（2）证明：如图，CDAB，FPC

21、D，PAEPCD，PAEF，PAEFPA，APEFPA（3）解：如图，APEFPA，PE4，PF12，PA2PEPF41248，PA4，PCPA4PC的长为4【典例6】（2021秋南京期末）如图，在RtABC中，ACB90，点D在AB上，且（1）求证ACDABC；（2）若AD3，BD2，求CD的长【解答】（1）证明：，AA，ACDABC；（2）解：ACDABC，ACDB，ACB90，A+B90，A+ACD90，ADC90，ADCBDC，ACDB，ACDCBD，CD【变式6-1】（2022义乌市校级开学）如图，在ABC中，ACB90，CDAB，若AD4，BD8，则CD的长为（）A4B4C4D【解

22、答】解：ACB90，A+B90，CDAB，DCB+B90，ADCB，ADCCDB90，ADCCDB，即，解得：CD4，故选：A【变式-2】（2021秋江都区期末）如图，RtABC中，ACB90，CDAB于点D（1）求证：AC2ABAD；（2）若BD9，AC6，求AD的长【解答】（1）证明：ACB90，CDAB，ACBADC，ACD+A90，B+A90，ACDB，ADCACB，AC2ABAD；（2）解：AC2ABAD，BD9，AC6，36（AD+9）AD，解得：AD13，AD212（舍去），则AD的长为3【典例7】（2022龙岗区模拟）如图，在ABC中，ADBC于点D，E为BD上一点，过点E作E

23、FBC交AB于点F，过点F作FGEF分别交AD，AC于点N，G，过点G作GHEF交BC于点H（1）求证：AFGABC；（2）若AD3，BC9，设EF的长度为x，四边形EFGH的面积为y，求y与x之间的函数表达式，并求y的最大值【解答】（1）证明：EFBC，FGEF，EFGH为矩形，FGBC，BACFAG，AFGABC；（2）解：EFBC，GHEF，FEH90，GHBC，GHE90，又FGEF，ADBC，EFGADB90，四边形EFGH，EFND都是矩形，NDEF，ANFG，EFx，AD3，NDEFx，ANADND3x由（1）得AFGABC，即，FG93x，S四边形EFGHEFFG，yx（93x

24、）3x2+9x3（x）2+（0x3），当x时，y取得最大值，最大值为【变式7-1】（2020蔡甸区模拟）在锐角ABC中，边BC长为18，高AD长为12（1）如图，矩形EFCH的边GH在BC边上，其余两个顶点E、F分别在AB、AC边上，EF交AD于点K，求的值；（2）设EHx，矩形EFGH的面积为S，求S与x的函数关系式，并求S的最大值【解答】解：（1）AEFABC，边BC长为18，高AD长为12，；（2）EHKDx，AK12x，EF（12x），Sx（12x）（x6）2+54，当x6时，S有最大值为54【变式7-2】（2021秋金川区校级期末）如图，在ABC中，BC120，高AD60，四边形EF

25、GH一边在BC上，点E，F分别在AB，AC上，AD交EF于点N；（1）如图1，若四边形EFGH是正方形，求AN的长度；（2）如图2，若四边形EFGH是矩形，则EH的长为多少时，它的面积最大？最大面积为多少？【解答】解：（1）设正方形EFGH的边长EFEHx，四边形EFGH是正方形，HEFEHG90，EFBC，AEFABC，AD是ABC的高，HDN90，四边形EHDN是矩形，DNEHx，AEFABC，BC120，AD60，AN60x，解得：x40，AN60x604020；（2）设矩形EFGH的边长EHy，同理可证AEFABC，EF1202y，S矩形EFGHEFEHy（1202y）2（y30）2+1800，当y30时，矩形EFGH有最大面积，当EH30时，矩形EFGH有最大面积，最大面积为1800