专题4.33 相似三角形几何模型-一线三等角（基础篇）（专项练习）-2022-2023学年九年级数学上册基础知识专项讲练（浙教版）.docx

1、专题4.33 相似三角形几何模型-一线三等角（基础篇）（专项练习）一、单选题1如图，在正方形ABCD中，P是BC上一点（点P不与点B，C重合），连接AP作PEAP，PE交CD于点E若AB6，点P为BC的中点，则DE（）ABCD2如图，在矩形ABCD中，点E、F分别在边AD、DC上，AB6，DE2，DF3，则BE的长是（）A12B15CD3如图，在等边三角形ABC中，AB4，P是边AB上一点，BP，D是边BC上一点（点D不与端点重合），作PDQ60，DQ交边AC于点Q若CQa，满足条件的点D有且只有一个，则a的值为（）ABC2D34如图，在ABC中，ABAC，D在AC边上，E是BC边上一点，若A

2、B3，AE2，AEDB，则AD的长为（）ABCD5如图，在中，点是边上一点，且，下列说法错误的是（）ABCD6如图，在ABC中，ABAC，D在AC边上，E是BC边上一点，若AB6，AE3，AEDB，则AD的长为（）A3B4C5D5.57如图，在等边三角形ABC中，P为边BC上一点，D为边AC上一点，且APD=60，BP=1，CD=，则ABC的边长为（）A3B4C5D68如图，D是等边三角形ABC边上的点，AD3，BD5，现将ABC折叠，使点C与点D重合，折痕为EF，且点E点F分别在边AC和BC上，则的值为() ABCD9如图，在矩形ABCD中，E，F，G分别在AB，BC，CD上，DEEF，EF

3、FG，BE3，BF2，FC6，则DG的长是（）A4BCD510如图，在测量旗杆高度的数学活动中，小达同学在脚下放了一面镜子，然后向后退，直到他刚好在镜子中看到旗杆的顶部若眼睛距离地面米，同时量得米，米，则旗杆高度为（）A7.5米B米C7米D9.5米二、填空题11如图，在矩形中，是上的点，点在上，要使与相似，需添加的一个条件是_(填一个即可)12如图，在边长为a的正方形中，E、F分别为边BC和CD上的动点，当点E和点F运动时， AE和EF保持垂直则ABEFCE;当BE=a时、梯形ABCF的面积最大；当点E运动到BC中点时Rt ABERtAEF;当Rt ABERtAEF时cosAFE=其中正确结论

4、的序号是 13如图，在正方形中，是的中点，是上一点，且，给出下列结论：；其中正确结论的序号为_14如图，四边形是正方形，E是中点，连接，的垂直平分线分别交于M、O、N，连接，过E作交于F，则_15如图，在矩形ABCD中，E，F分别是边BC，CD上的点，若与以E，C，F为顶点的三角形相似，则BE的长为_16如图，在等边三角形ABC中，点D、点E分别在BC，AC上，且ADE60，（1）写出和CDE相等的角：_；（2）若AB3，BD1，则CE长为_17如图，在矩形ABCD中，点E、F分别在边AD、DC上，ABEDEF，AB=3，AE=4，DE=1.2，则EF=_18如图，是等边三角形的边上一点，且：

5、，现将折叠，使点与点重合，折痕为，点、分别在和上，且：的值为_19如图，在矩形中，是的中点，连接，过点作交于点若，则的长为_20如图，将长方形纸片ABCD沿MN折叠，使点A落在BC边上点A处，点D的对应点为D，连接AD交边CD于点E，连接CD，若AB9，AD6，A点为BC的中点，则线段ED的长为 _三、解答题21如图，正方形ABCD中，点E，F，G分别在AB，BC，CD上，且EFG90求证：EBFFCG22如图，等边三角形ACB的边长为3，点P为BC上的一点，点D为AC上的一点，连接AP、PD，APD=60(1) 求证：ABPPCD；(2) 若PC=2，求CD的长23如图，在ABC中，AD是角

6、平分线，点E是边上一点，且满足(1) 证明：；(2) 若，求AB的长24如图，在中，D为BC边上一点，E为AC边上一点，且，求证：25在矩形ABCD中，将矩形折叠，使点A落在点P处，折痕为DE(1)如图，若点P恰好在边BC上，连接AP，求的值；(2)如图，若E是AB的中点，EP的延长线交BC于点F，求BF的长26通过对下面数学模型的研究学习，解决下列问题：(1)如图1，点A在直线l上，过点B作于点C，过点D作交于点E由，得又，可以推理得到进而得到结论：_，_我们把这个数学模型称为“K字”模型或“一线三直角”模型；(2)如图2，于点C，于点G，由（1）易知_，与直线l交于点P，求证：参考答案1B

7、【分析】根据正方形的性质，余角，可证明出ABPPCE，再根据相似三角形的性质即可求出CE的值，最后根据线段的和差关系即可求解解：在正方形ABCD中，AB=BC=CD=6，B=C=90，P为BC中点，BP=PC=AB=3，APPE，APE=90=APB+EPC，B=90，APB+BAP=90，BAP=EPC，B=C=90，ABPPCE，即，DE=CD-CE=，故选：B【点拨】本题主要考查了正方形的性质、相似三角形的判定与性质，证得ABPPCE是解答本题的关键2C【分析】利用相似三角形的性质求出AE的长，再利用勾股定理求解即可解：，矩形ABCD中，A=90，故选：C【点拨】本题考查了矩形的性质、相

8、似三角形的性质、勾股定理，解题关键是求出AE的长后利用勾股定理求解3B【分析】先证明BPDCDQ，利用相似三角形的性质得出比例式，进而建立关于BD的一元二次方程，再判别式为0，建立方程求解，即可得出结论解：ABC是等边三角形，B=C=60，BPD+BDP=180-B=120，PDQ=60，BDP+CDQ=120，BPD=CDQ，B=C=60，BPDCDQ，2BP2-8BP+3a=0，满足条件的点P有且只有一个，方程2BP2-8BP+3a=0有两个相等的实数根，=82-423a=0，a=故选：B【点拨】此题是相似形综合题，主要考查了等式的性质，相似三角形的判定和性质，一元二次方程根的判别式，利用

9、方程的思想解决问题是解本题的关键4C【分析】由等边对等角可得B=C，即得出C=AED再结合题意易证EADCAE，即得出，代入数据即可求出AD的长解：根据题意可知AB=AC=3，B=C，B=AED，C=AED，又EAD=CAE，EADCAE，即，解得：,故选C【点拨】本题考查等腰三角形的性质，相似三角形的判定和性质掌握相似三角形的判定方法是解题关键5D【分析】根据和，可证得ABDDCE，ADEACD，再逐项判断即可求解解：，B=C，ADC=B+BAD，ADC=ADE+CDE，BAD=CDE，ABDDCE，故C正确，不符合题意；，故A正确，不符合题意；，B=C，ADE=C，DAE=CAD，ADEA

10、CD，故B正确，不符合题意；，AED=ADC，点是边上一点，AC不一定等于CD，ADC不一定等于DAC，AED不一定等于DAC，AD不一定等于DE，故D错误，符合题意；故选：D【点拨】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定和性质定理6A【分析】由等边对等角可得，即得出再结合题意易证，即得出，代入数据即可求出AD的长解：根据题意可知，又，即，解得：故选A【点拨】本题考查等腰三角形的性质，三角形相似的判定和性质掌握三角形相似的判定方法是解题关键7A【分析】根据等边三角形性质求出AB=BC=AC，B=C=60，推出BAP=DPC，证BAPCPD，得出，代入求出即可

11、解：ABC是等边三角形，AB=BC=AC，B=C=60，BAP+APB=180-60=120，APD=60，APB+DPC=180-60=120，BAP=DPC，即B=C，BAP=DPC，BAPCPD，CP=BC-BP=x-1，BP=1，解得：AB=3故选A【点拨】本题考查了相似三角形的性质和判定，等边三角形的性质，三角形的内角和定理的应用，关键是推出BAPCPD，主要考查了学生的推理能力和计算能力8A【分析】根据等边三角形的性质、相似三角形的性质得到AED=BDF，根据相似三角形的周长比等于相似比计算即可解：ABC是等边三角形，A=B=C=60，AB=AC=BC=3+5=8，由折叠的性质可知

12、，EDF=C=60，EC=ED，FC=FD，AED=BDF，AEDBDF，故选A【点拨】本题考查的是翻转变换的性质、相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定定理和性质定理、翻转变换的性质是解题的关键9B【分析】先运用勾股定理可求得EF, 过G作GHDE垂足为H，则四边形EFGH是矩形可得HG=EF,再说明EBFDAE、DAEGHD，进一步可得EBFGHD，最后运用相似三角形的性质解答即可.解：在RtBEF中，BF=2,BE=3EF= 如图：过G作GHDE垂足为H，DEEF，EFFG四边形EFGH是矩形HG=EF=矩形ABCDA=B=90AED+ADE=90DEEFAED+BEF=90BEF

13、=ADE又A=B=90EBFDAE同理：DAEGHDEBFGHD,即,解得DG=. 故选B.【点拨】本题主要考查了矩形的判定与性质、运用勾股定理解直角三角形、相似三角形的判定与性质等知识点，灵活运用相似三角形的判定与性质是解答本题的关键.10A【分析】由平面镜反射可得： 再证明再利用相似三角形的性质可得答案.解：由平面镜反射可得： 米，米，米， 解得：，经检验：符合题意， 旗杆高度为7.5米.故选A【点拨】本题考查的是相似三角形的应用，掌握“利用相似三角形的性质列方程求解”是解本题的关键.11或BAECEF，或AEBEFC（任填一个即可）【分析】根据相似三角形的判定解答即可解：矩形ABCD，A

14、BEECF90，添加BAECEF，或AEBEFC，或AEEF，ABEECF，故答案为：BAECEF，或AEBEFC，或AEEF【点拨】此题考查相似三角形的判定，关键是根据相似三角形的判定方法解答12解：证明：四边形ABCD为正方形，B=C=90，又AEEF，AEF=90，AEB+FEC=90，而AEB+BAE=90，BAE=FEC，RtABERtECF，故正确 解 ：RtABERtECF，AB：EC=BE：CF，又AB=a，设BE=x，则CE=ax，a：（ax）=x：CF，CF=，当时，取得最大值故正确当点E运动到BC中点时，BE=EC=在直角三角形ABE中，由勾股定理解得又由RtABERtE

15、CF可知即解得CF=，EF=所以在直角三角形AEF中，由勾股定理得在直角三角形ABE和直角三角形AEF中，Rt ABE与RtAEF相似故正确由可知当Rt ABERtAEF时,点E是BC的中点故错误考点：相似三角形的判定与性质；正方形的性质；梯形点评：本题主要考查相似三角形的判定与性质，掌握相似三角形的判定定理，灵活运用勾股定理是本题的关键13【分析】容易证明ABEECF；利用可得，可得AEEF；且可得可证得ABEAEF，而所以不正确解：E为BC中点，CF:CD=1:4， 且B=C，ABEECF，正确；BAE=FEC,且 AEEF，正确；由可得 ,且 ABEAEF，正确； ADF和ECF不相似，

16、不正确，综上可知正确的为：，故答案为.【点拨】考查相似三角形的判定与性质，掌握相似三角形的判定方法是解题的关键.142【分析】垂直平分，得出，利用，在中利用勾股定理求得的长，再证明，利用相似比求得的长度，进而求得的长度解：设，则垂直平分在中，又E是中点解得又故答案为：2【点拨】本题考查线段垂直平分线的应用，勾股定理及相似三角形的应用，解决本题的关键是各知识点的综合应用15或【分析】设BE=x，当ECF时，即，当FCE时，即，解方程即可解：设BE=x，当ECF时，即整理得，解得，经检验都符合题意，当FCE时，即，解得经检验符合题意，故答案为或【点拨】本题考查三角形相似性质，列分式方程，正确三角形

17、相似性质，列分式方程是解题关键16 BAD 【分析】(1) 根据ABC是等边三角形,得到B=C= 60， AB= BC；又因为ADC=B+BAD，EDC+ADE= B+BAD就得到EDC=BAD(2) 因为EDC=BAD，C=B得到ABDDCE，得到 ，即可求出EC；(1) 证明: ABC是等边三角形,B=C= 60， AB= BC；又ADC=B+BADEDC+ADE= B+BAD又ADE=B=60EDC=BAD所以和CDE相等的角为：BAD故答案为：BAD(2) EDC=BADC=BABDDCE， 又 解得：EC=故答案为： ；【点拨】此题主要考查了等边三角形的性质和相似三角形的判定和性质，

18、能够证得ABDDCE是解答此题的关键172【分析】由勾股定理，求出BE=5，由ABEDEF，得=，进而求出EF的长解：在矩形ABCD中A=90AB=3，AE=4BE=5ABEDEF=解得EF=2故答案为：2【点拨】本题主要考查相似三角形的性质，借助于矩形的性质和勾股定理求边长，熟练掌握以上性质是解题的关键18【分析】设ADk，则DB2k，得到ABACBC=3k，ABCEDF60，进而证明AEDBDF，得到AED与BDF的相似比为4：5，即可求出CE：CFDE：DF4：5，问题得解解：设ADk，则DB2k，ABC为等边三角形，CEF折叠得到DEF，ABACBC=3k，ABCEDF60，EDA+F

19、DB120，EDA+AED120，FDBAED，AEDBDF，由CEF折叠得到DEF，得CEDE，CFDF，AED的周长为4k，BDF的周长为5k，AED与BDF的相似比为4：5，CE：CFDE：DF4：5故答案为：【点拨】本题主要考查了相似的性质与判定、等边三角形的性质、翻折变换的性质及其应用等知识，熟知等边三角形、翻折变换的性质，借助相似三角形的判定与性质（用含有k的代数式表示）将两条线段的比转化为相似比是解题的关键19【分析】结合矩形的性质证明可求得的长，再利用可求解解：四边形为矩形，是的中点，解得，故选：【点拨】本题主要考查矩形的性质，相似三角形的判定与性质，证明是解题的关键20【分析

20、】根据折叠的性质可得，设，则，由线段中点可得，在中，利用勾股定理可得，利用相似三角形的判定定理及性质可得，代入求解，同时根据线段间的数量关系即可得出结果解：将长方形纸片ABCD沿着MN折叠，使点A落在BC边上点处，设，则，是BC的中点，在中，即，解得：，即，故答案为：【点拨】题目主要考查长方形中的折叠问题，包括勾股定理，相似三角形的判定及性质等，结合图形，熟练掌握运用折叠的性质及相似三角形的性质是解题关键21见分析【分析】根据正方形的性质得BC90，再利用等角的余角相等得BEF=CFG，然后根据有两组角对应相等的两个三角形相似可得到EBFFCG解：四边形ABCD为正方形，BC90，BEFBFE

21、90，EFG90，BFECFG90，BEFCFG，EBFFCG【点拨】本题考查正方形的性质，相似三角形的判定，解的关键是掌握相似三角形的判定定理22(1)见分析(2)CD的长为【分析】（1）由等边三角形和APD=60得，B=C=APD=60，APB+CPD=120，在APB中，APB+BAP=120，由此可得BAP=CPD因此ABPPCD；（2）由（1）的结论ABPPCD 可得，从而可以求出线段CD的长（1）证明：等边三角形ABC，B=C=60，APD=60，APB+CPD=120，在APB中，APB+BAP=120，BAP=CPD，ABPPCD；（2）解：等边三角形边长为3，PC=2，由（1

22、）得ABPPCD，CD=答：CD的长为【点拨】本题考查了相似三角形的性质和判定，等边三角形的性质，三角形的内角和定理的应用，关键是推出ABPPCD23(1)见分析(2)【分析】（1）证出BAD=EAD根据相似三角形的判定可得出结论；（2）由相似三角形的性质可得出，则可得出答案解：(1)AD是BAC的角平分线，BAD=EADADE=B，ADBAED(2)ADBAED，AE=3，AD=5，【点拨】本题考查了相似三角形的判定与性质以及三角形内角和定理，熟练掌握相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键24见分析【分析】利用三角形的外角性质证明EDC=DAB，即可证明ABDDCE证明：AB=AC，且B

23、AC=120，ABD=ACB=30，ADE=30，ABD=ADE=30，ADC=ADE+EDC=ABD+DAB，EDC=DAB，ABDDCE【点拨】本题考查了三角形相似的判定、等腰三角形的性质、三角形的外角性质，利用三角形的外角性质证明EDC=DAB是解题的关键25(1)(2)【分析】（1）根据矩形的性质可得BAD=ABC=90，再由折叠的性质可得可证得即可求解；（2）过点E作交AD于H，由折叠的性质可得，从而得到然后设，则，由勾股定理可得，从而得到再证得，即可求解(1)解：在矩形ABCD中，BAD=ABC=90， ，由折叠性质得：，(2)解：过点E作交AD于H，由折叠性质得，DPE=A=90

24、，设，则，E是AB的中点，AE2+AH2=EH2，解得：，即，HEP=90，AEH+BEF=90，A=B=90，AEH+AHE=90，AHE=BEF，即，解得，BF的长为【点拨】本题主要考查了矩形与折叠问题，相似三角形的判定和性质，熟练掌握矩形与折叠的性质，相似三角形的判定和性质是解题的关键26(1)DE，AE；(2)AC证明见详解【分析】（1）根据，得出AC=DE，BC=AE即可；（2）过D作DE直线l于E，先证MCAAGN（AAS），得出AC=NG，由（1）知，得出AC=DE，再证NGPDEP（AAS）即可(1)解：，AC=DE，BC=AE，故答案为DE，AE；(2)证明：过D作DE直线l于E，CAM+NAG=90，BMl，MCA=90，M+CAM=90，M=NAG，AGN=90，在MCA和AGN中，MCAAGN（AAS），AC=NG，由（1）知，AC=DE，NG=DE，在NGP和DEP中，NGPDEP（AAS）NP=DP，故答案为AC【点拨】本题考查一线三直角全等问题，掌握余角性质，三角形全等判定与性质是解题关键