专题40 代数综合压轴题（解析版）.docx

1、专题 40 代数综合压轴题（解析版）类型一 配方法的应用1（2022南京模拟）利用我们学过的完全平方公式及不等式知识能解决方程或代数式的一些问题，请阅读下列材料：阅读材料：若 m22mm+2n28n+160，求 m、n 的值 解：m22mn+2n28n+160，（m22mn+n2）+（n28n+16）0，（mn）2+（n4）20，（mn）20，（n4）20，n4，m4 根据你的观察，探究下面的问题：（1）已知 a2+4ab+5b2+6b+90，求 a ，b ；（2）已知ABC 的三边长 a、b、c 都是正整数，且满足 a24a+2b24b+60，求 c 的值；（3）若 A3a2+3a4，B2a

2、2+4a6，试比较 A 与 B 的大小关系，并说明理由 思路引领：（1）将 a2+4ab+5b2+6b+90 的左边分组配方，然后根据偶次方的非负性，可求出 a，b 的值；（2）将 a24a+2b24b+60 的左边分组配方，然后根据偶次方的非负性，可求出 a，b 的值，根据三角形的三边关系求出 c；（3）让多项式 3a2+3a4 与 2a2+4a6 作差，结果配方，根据偶次方的非负性判断大小 解：（1）a2+4ab+5b2+6b+9a2+4ab+4b2+b2+6b+9（a+2b）2+（b+3）20，a+2b0，b+30，解得 a6，b3 故答案为：6，3；（2）a24a+2b24b+6a24

3、a+4+2b24b+2（a2）2+2（b1）20，a20，b10，解得 a2，b1，a、b、c 是ABC 的三边长，1c3，c 是正整数，c2；（3）AB，理由如下：A3a2+3a4，B2a2+4a6，AB3a2+3a4（2a2+4a6）3a2+3a4（2a2+4a6）3a2+3a42a24a+6a2a+2（a 12）2+74，（a 12）20，（a 12）2+74 0，AB 总结提升：本题考查了配方法的应用，结合偶次方的非负性求值的问题，本题属于中档题 2（2022 秋和平区校级期末）已知多项式 A2x2+my12，Bnx23y+6（1）若（m+2）2+|n3|0，化简 AB；（2）若 A+

4、B 的结果中不含有 x2 项以及 y 项，求 m+n+mn 的值 思路引领：（1）先根据整式的加减运算法则进行化简，然后将 m 与 n 的值代入原式即可求出答案（2）先根据整式的加减运算法则进行化简，然后令含有 x2 的项和 y 的项的系数为零，从而可求出 m 与n 的值 解：（1）AB（2x2+my12）（nx23y+6）2x2+my12nx2+3y6，由题意可知：m+20，n30，m2，n3，原式2x22y123x2+3y6 x2+y18（2）A+B（2x2+my12）+（nx23y+6）2x2+my12+nx23y+6（n+2）x2+（m3）y6，令 n+20，m30，m3，n2，原式3

5、2+3（2）16 5 总结提升：本题考查整式的加减运算，解题的关键是熟练运用整式的加减运算法则，本题属于基础题型 3已知 a+b+c1，b2+c24ac+6c+10，求 abc 的值 思路引领：由 a+b+c1，得出 a1bc，进一步代入 b2+c24ac+6c+10 整理得出 a、b、c 的数值得出答案即可 解：a+b+c1，a1bc，b2+c24ac+6c+1 b2+c24（1bc）c+6c+1 b2+c24c+4bc+4c2+6c+1（b+2c）2+（c+1）20，解得：c1，b2，a1bc0，abc0 总结提升：此题考查因式分解的实际运用，非负数的性质，掌握完全平方公式是解决问题的关键

6、 类型二 一元二次方程与二次函数的综合4（2011东城区二模）已知关于 x 的一元二次方程 x2+2ax+b20，a0，b0（1）若方程有实数根，试确定 a，b 之间的大小关系；（2）若 a：b2：3，且 2x1x22，求 a，b 的值；（3）在（2）的条件下，二次函数 yx2+2ax+b2 的图象与 x 轴的交点为 A、C（点 A 在点 C 的左侧），与y 轴的交点为 B，顶点为 D若点 P（x，y）是四边形 ABCD 边上的点，试求 3xy 的最大值 思路引领：（1）根据方程有实数根可以得到其根的判别式为非负数，然后再根据 a0，b0 作出判断即可；（2）利用 a 与 b 的比值分别设出

7、a 和 b，利用根与系数的关系用设出的未知数表示出方程的两个解，代入的 2x1x22 中求得 a 与 b 的值即可；（3）将上题中求得的 a 与 b 的值代入到函数中确定函数的解析式，然后求得与 x 轴的交点坐标，与 y 轴的交点坐标和顶点坐标，据此可以求出 3xy 的最大值 解：（1）关于 x 的一元二次方程 x2+2ax+b20 有实数根，（2a）24b20，有 a2b20，（a+b）（ab）0 a0，b0，a+b0，ab0 ab （2）a：b2：3，设=2，=3 解关于 x 的一元二次方程 x2+4kx+3k20，得 xk 或3k 当 x1k，x23k 时，由 2x1x22 得 k2 当

8、 x13k，x2k 时，由 2x1x22 得=25（不合题意，舍去）=4，=23 （3）当=4，=23时，二次函数 yx2+8x+12 与 x 轴的交点坐标分别为 A（6，0）、C（2，0），与 y 轴交点坐标为 B（0，12），顶点坐标 D 为（4，4）设 z3xy，则 y3xz 画 出 函 数y x2+8x+12和y 3x的 图 象，若 直 线y 3x平 行 移 动 时，如 图 可以发现当直线经过点 C 时符合题意，此时最大 z 的值等于6 总结提升：本题考查了函数综合知识，函数综合题是初中数学中覆盖面最广、综合性最强的题型近几年的中考压轴题多以函数综合题的形式出现解决函数综合题的过程就是

9、转化思想、数形结合思想、分类讨论思想、方程思想的应用过程 5（2021 秋沙市区校级期中）已知：关于 x 的一元二次方程（m1）x2+（m2）x10（m 为实数）（1）若方程有两个不相等的实数根，求 m 的取值范围；（2）在（1）的条件下，求证：无论 m 取何值，抛物线 y（m1）x2+（m2）x1 总过 x 轴上的一个固定点 思路引领：（1）根据 b24ac 与零的关系即可判断出的关于 x 的一元二次方程（m1）x2+（m2）x10（m 为实数）的解的情况；（2）法 1：用十字相乘法来转换 y（m1）x2+（m2）x1，即 y（m1）x1（x+1），令 y0即可确定出抛物线过 x 轴上的固定

10、点坐标；法 2：函数解析式变形后，根据题意确定出 x 的值进而得出定点即可（1）解：根据题意，得（m2）24（m1）（1）0，即 m20，解得 m0 或 m0，又m10，m1，由，得 m0，0m1 或 m1；（2）法 1：证明：由 y（m1）x2+（m2）x1，得 y（m1）x1（x+1），抛物线 y（m1）x1（x+1）与 x 轴的交点就是方程（m1）x1（x+1）0 的两根，则+1=0(1)1=0，由得，x1，即一元二次方程的一个根是1，无论 m 取何值，抛物线 y（m1）x2+（m2）x1 总过 x 轴上的一个固定点（1，0）；法 2：y（m1）x2+（m2）x1（x2+x）mx22x1

11、，无论 m 取何值，抛物线 y（m1）x2+（m2）x1 总过 x 轴上的一个固定点，x2+x0，即 x（x+1）0，解得：x0 或 x1，当 x0 时，y1，定点为（0，1）；当 x1 时，y0，定点为（1，0），则无论 m 取何值，抛物线 y（m1）x2+（m2）x1 总过 x 轴上的一个固定点 总结提升：此题考查了抛物线与 x 轴的交点，以及根的判别式，在解一元二次方程的根时，利用根的判别式b24ac 与 0 的关系来判断该方程的根的情况；用十字相乘法对多项式进行分解，可以降低题的难度 类型三 含参二次函数6（2021邯郸模拟）如图 1，在平面直角坐标系 xOy 中，已知抛物线 G：ya

12、x24ax+1（a0）（1）若抛物线过点 A（1，6），求出抛物线的解析式；（2）当 1x5 时，y 的最小值是1，求 1x5 时，y 的最大值；（3）已知直线 yx+1 与抛物线 yax24ax+1（a0）存在两个交点，若两交点到 x 轴的距离相等，求 a 的值；（4）如图 2，作与抛物线 G 关于 x 轴对称的抛物线 G，当抛物线 G 与抛物线 G围成的封闭区域内（不包括边界）共有 11 个横、纵坐标均为整数的点时，直接写出 a 的取值范围 思路引领：（1）将 A（1，6）代入 yax24ax+1，列方程求出 a 的值；（2）求出抛物线的对称轴为直线 x2，可知顶点的纵坐标就是 y 的最小

13、值1，由此求出抛物线的解析式，再由二次函数的性质求出 y 的最大值；（3）由直线与抛物线都经过 y 轴上的定点（0，1），可知直线与抛物线的两个交点到 x 轴的距离都为 1，由另一个交点的纵坐标为1，求出这个点的坐标并且代入抛物线的解析式即可求出此时 a 的值；（4）抛物线 G 与抛物线 G围成的封闭区域是以 x 轴为对称轴的轴对称图形，这样只考虑 x 轴下方（或上方）的情况即可，即抛物线 G 当 x 等于 1 时的 y 值不小于2 而小于1，其顶点的纵坐标不小于3而小于2，列不等式组求出 a 的取值范围 解：（1）把 A（1，6）代入 yax24ax+1，得 a+4a+16，解得 a1，抛物

14、线的解析式为 yx24x+1（2）yax24ax+1a（x2）24a+1，抛物线的对称轴为直线 x2，抛物线的顶点的横坐标在 1x5 的范围内，抛物线的顶点的纵坐标就是 y 的最小值1，4a+11，解得 a=12，抛物线的解析式为 y=12x22x+1，当 1x2 时，y 随 x 的增大而减小，当 x1 时，y 最大=12 2+1=12；当 2x5 时，y 随 x 的增大而增大，当 x5 时，y 最大=252 10+1=72，12 72，y 的最大值为72（3）直线 yx+1 及抛物线 yax24ax+1 与 y 轴的交点都是（0，1），直线 yx+1 与抛物线 yax24ax+1 的两个交点

15、到 x 轴的距离都是 1，且其中一个交点坐标为（0，1），另一个交点的纵坐标为1，当 y1 时，由1x+1，得 x2，另一交点坐标为（2，1），把（2，1）代入 yax24ax+1 得 4a8a+11，解得=12（4）由题意可知，抛物线 G 与抛物线 G围成的封闭区域是以 x 轴为对称轴的轴对称图形，该区域内 x 轴上有三个横、纵坐标均为整数的点，x 轴的下方和上方各有四个这样的点，且两两关于 x轴对称 如图，对于抛物线 G，当 x1 时，y3a+1；当 x2 时，y4a+1，由题意，得2 3+1 13 4+1 2，解得34 a1，a 的取值范围是34 a1 总结提升：此题重点考查二次函数的图

16、象与性质、轴对称的特征以及列不等式组求取值范围等知识和方法，解题的关键是数形结合，确定所需要的数量关系，利用函数解析式列方程或不等式组，此题中等难度，是很好的练习题 7（2022河南模拟）已知二次函数 y（t+1）x2+2（t+2）x+32在 x0 和 x2 时的函数值相等（1）求二次函数的解析式；（2）若一次函数 ykx+6 的图象与二次函数的图象都经过点 A（3，m），求 m 和 k 的值；（3）把二次函数的图象与 x 轴两个交点之间的部分记为图象 G，把图象 G 向左平移 n（n0）个单位后得到的图象记为 M，请结合图象回答：当（2）中得到的直线与图象 M 有公共点时，求 n 的取值范围

17、 思路引领：（1）根据已知条件知，该函数的对称轴方程为 x1，则 2(+2)2(+1)=1，据此易求 t 的值，把 t的值代入函数解析式即可；根据图象与坐标轴的交点坐标，顶点坐标画出图象；（2）把点 A 的坐标代入二次函数解析式，利用方程可以求得 m 的值；然后把点 A 的坐标代入一次函数解析式，也是利用方程来求 k 的值；（3）求出点 B、C 间的部分图象的解析式是 y=12（x3）（x+1），得出抛物线平移后得出的图象 G 的解析式是 y=12（x3+n）（x+1+n），n1x3n，直线的解析式是 y4x+6，若两图象有一个交点时，得出方程 4x+6+n=12（x3+n）（x+1+n）有两

18、个相等的实数解，求出判别式24n0，求出的 n 的值与已知 n0 相矛盾，得出直线与抛物线有两个公共点，设两个临界的交点为（n1，0），（3n，0），代入直线的解析式，求出 n 的值，即可得出答案 解：（1）二次函数 y（t+1）x2+2（t+2）x+32在 x0 和 x2 时的函数值相等，对称轴 x=2(+2)2(+1)=0+22=1，解得，t=32，则二次函数的解析式为：y（32+1）x2+2（32+2）x+32，即 y=12（x+1）（x3）或 y=12（x1）2+2，（2）二次函数的象经过点 A（3，m），m=12（3+1）（33）6 又一次函数 ykx+6 的图象经过点 A（3，m）

19、，m3k+6，即63k+6，解得，k4 综上所述，m 和 k 的值分别是6、4；（3）解：由题意可知，图象 G 的解析式是 y=12x2+x+32=12（x22x3）=12（x3）（x+1），1x3，则抛物线平移后得出的图象 M 的解析式是 y=12（x3+n）（x+1+n），n1x3n，此时直线平的解析式是 y4x+6，如果直线与平移后的二次函数相切，则方程 4x+6=12（x3+n）（x+1+n）有两个相等的实数解，即 x2+（2n+6）x+n26n+90 有两个相等的实数解，判别式（2n+6）24（n26n+9）48n0，即 n0，与已知 n0 相矛盾，直线与平移后的抛物线不相切，结合图

20、象可知，如果直线与抛物线有公共点，则两个临界的交点为（n1，0），（3n，0），则 04（n1）+6，n=12，04（3n）+6，n=92，即 n 的取值范围是：12 n 92 总结提升：本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的图象以及二次函数图象上点的坐标特征求得二次函数的解析式时，利用了二次函数图象的对称性质 8已知抛物线 ymx2+（32m）x+m2（mO）与 x 轴有两个不同的交点（1）求 m 的取值范围；（2）判断点 P（1，1）是否在抛物线上；（3）当 m1 时，求抛物线的顶点 Q 及 P 点关于抛物线的对称轴对称的点 P的坐标，并过 P，Q，P三点，画出抛物线草图 思路

21、引领：（1）与 x 轴有两个不同的交点即令 y0，得到的一元二次方程的判别式0，据此即可得到不等式求解；（2）把点（1，1）代入函数解析式判断是否成立即可；（3）首先求得函数解析式，即可求得定点坐标以及对称轴，则 P的坐标即可求得，然后根据三点即可作出函数图象 解：（1）（32m）24m（m2）94m0，解得：m 94且 m0；（2）当 x1 时，ym+32m+m21，则点 P（1，1）在抛物线上；（3）当 m1 时，抛物线是：yx2+x1，x=2=12，把 x=12代入 yx2+x1 得 y=54，则 Q 的坐标是（12，54）；对称轴是直线 x=12，则 P的坐标是（2，1）则函数的图象是

22、：总结提升：本题考查了二次函数图象与 x 轴的公共点的个数的判定方法，如果0，则抛物线与 x 轴有两个不同的交点；如果0，与 x 轴有一个交点；如果0，与 x 轴无交点 9（2020西青区二模）已知抛物线 yax24ax5（a0）（I）当 a1 时，求抛物线的顶点坐标及对称轴；（II）试说明无论 a 为何值，抛物线一定经过两个定点，并求出这两个定点的坐标；将该抛物线沿这两个定点所在直线翻折，得到抛物线 C1，直接写出 C1 的解析式；（III）若（II）中抛物线 C1 的顶点到 x 轴的距离为 2，求 a 的值 思路引领：（1）将 a1 代入解析式，把解析式化成顶点式，即可求得抛物线的顶点和对

23、称轴；（2）化简抛物线解析式，即可求得两个定点的横坐标，即可解题；根据抛物线翻折理论即可解题；（3）根据（2）中抛物线 C1 解析式，分类讨论 y2 或2，即可解题；解：（1）当 a1 时，抛物线解析式为 yx24x5（x2）29，顶点为（2，9），对称轴为 x2；（2）抛物线解析式为：yax24ax5，整理得：yax（x4）5；当 ax（x4）0 时，y 恒定为5；抛物线一定经过两个定点（0，5），（4，5）；这两个点连线为 y5；将抛物线沿 y5 翻折，得到抛物线 C1，开口方向变了，但是对称轴没变；抛物线 C1 解析式为：yax2+4ax5，（3）抛物线 C1 的顶点到 x 轴的距离为

24、2，则 x2 时，y2 或者2；当 y2 时，24a+8a5，解得，a=74；当 y2 时，24a+8a5，解得，a=34；a=74或34 总结提升：本题考查了待定系数法求抛物线解析式的方法，考查了抛物线翻折后对称轴不变的原理，考查了抛物线顶点的求解 类型四 二次函数与几何综合10（2022东海县一模）如图，已知抛物线 y=12x2+32 +2与 x 轴交于点 A、B，与 y 轴交于点 C（1）则点 A 的坐标为 ，点 B 的坐标为 ，点 C 的坐标为 ；（2）设点 P（x1，y1），Q（x2，y2）（其中 x1x2）都在抛物线=12 2+32 +2上，若 x1+x21，请证明：y1y2；（3

25、）已知点 M 是线段 BC 上的动点，点 N 是线段 BC 上方抛物线上的动点，若CNM90，且CMN与OBC 相似，试求此时点 N 的坐标 思路引领：（1）先令 x0，求得点 C 的坐标，再令 y0，求得点 A、B 的坐标；（2）分别将 x1，x2 代入函数解析式求得 y1，y2 的值，得到 y1y2 的值，再结合 x1+x21 化简，得到 y1y2 的正负，即可得到结果；（3）先求得直线 BC 的解析式，过点 N 作 NGy 轴于点 G，过点 M 作 MHGN 于点 H，证明GCNHNM，设点 N 的坐标，GN、NH、CG，然后分情况讨论，NCMOCB，NCMOBC，得到点 M 的坐标，再

26、将点 M 的坐标代入直线 BC 的解析式，求得点 N 的坐标（1）证明：当 x0 时，y2，点 C（0，2），当 y0 时，12x2+32 +2=0，解得：x1 或 x4，点 A（1，0），B（4，0）（2）证明：由题意得：y1y2=12x12+32x1+2（12x22+32x2+2）=12x22 12x12+32x1 32x2=12（x2+x1）（x2x1）+32（x1x2），x1+x21，y1y2x1x2，又x1x2，y1y2（3）解：设直线 BC 的解析式为 ykx+b，则 4+=0=2，解得：=12=2，直线 BC 的解析式为 y=12x+2，如图，过点 N 作 NGy 轴于点 G，过

27、点 M 作 MHGN 于点 H，则CGNH90，GNC+GCN90，CNM90，GNC+HNM90，GCNHNM，CNGNMH，=，设点 N 的坐标为（n，12 2+32 +2），则 GNn，GC=12 2+32，当NCMOCB 时，=，OB4，OC2，CN：MNOC：OB1：2，NH2CG2（12 2+32）n2+3n，HM2NG2n，GHGN+NHn+（n2+3n）n2+4n，yMGC+COMH=12 2+32 +22n=12n2 12n+2，点 M 的坐标为（n2+4n，12n2 12n+2），点 M 在直线 BC 上，12（n2+4n）+2=12n2 12n+2，解得：n0（舍去）或2

28、=32，点 N 坐标为（32，258）；当NCMOBC 时，=，OB4，OC2，CN：MNOB：OC2：1，NH=12CG=12（12 2+32）=14n2+34n，HM=12GN=12n，GHGN+NHn+（14n2+34n）=14n2+74n，yMGC+COMH=12 2+32 +2 12n=12n2+n+2，点 M 的坐标为（14n2+74n，12n2+n+2），12（14n2+74n）+2=12n2+n+2，解得：n0（舍去）或 n3，点 N 坐标为（3，2），综上所述，点 N 的坐标为（32，258）或（3，2）总结提升：本题考查了一次函数和二次函数图象上点的坐标特征，一次函数的解析

29、式，相似三角形的判定与性质，解题的关键是熟知二次函数和一次函数图象上点的坐标特征 11（2021 秋越秀区校级期中）已知抛物线 yx2+2ax+a22（a 为常数）（1）求证：无论 a 取任何实数，此抛物线与 x 轴总有两个不相同的交点；（2）抛物线与 x 轴的两个交点为 A（x1，0），B（x2，0），x1x2，抛物线顶点为点 D 若 x1，x2 是直角三角形两条直角边的长，该直角三角形斜边长为 4，求 a 的值；点 E 在抛物线对称轴上，BDE 是等腰三角形，求出点 E 的纵坐标 思路引领：（1）令 y0，则 x2+2ax+a220，由一元二次方程根的判别式得（2a）241（a22）80，

30、则该一元二次方程有两个不相等的实数根，由此可证明无论 a 取任何实数，此抛物线与 x轴总有两个不相同的交点（2）由一元二次方程根与系数的关系可得 x1+x22a，x1x2a22，再由 x1，x2 是直角三角形两条直角边的长且该直角三角形斜边长为 4，得 x12+x2242，可变形为（x1+x2）22x1x216，则有（2a）22（a22）16，解方程求出符合题意的 a 值即可；设抛物线的对称轴交 x 轴于点 Q，当 y0 时，则 x2+2ax+a220，解关于 x 的方程得 x1a2，x2a+2，则 AB（a+2）（a2）22，则 QB=2，根据勾股定理求得 BD=6，BDE 是等腰三角形分三

31、种情况，即 BDBE 或 BEDE 或 EDBD，分别求出相应的点 E 的纵坐标即可（1）证明：yx2+2ax+a22，令 y0，则 x2+2ax+a220，（2a）241（a22）4a24a2+880，无论 a 取任何实数，一元二次方程 x2+2ax+a220 总有两个不相等的实数根，无论 a 取任何实数，此抛物线与 x 轴总有两个不相同的交点（2）解：抛物线与 x 轴的两个交点为 A（x1，0），B（x2，0），x1，x2 是方程 x2+2ax+a220 的两根，x1+x22a，x1x2a22，x1，x2 是直角三角形两条直角边的长，该直角三角形斜边长为 4，x12+x2242，且 0 x

32、1x2，2a0，（x1+x2）22x1x216，（2a）22（a22）16，且 a0，解得 a1=6，a2=6（不符合题意，舍去），a 的值为6 设抛物线的对称轴交 x 轴于点 Q，当 y0 时，则 x2+2ax+a220，解得 x1a2，x2a+2，A（a2，0），B（a+2，0），AB（a+2）（a2）22，QB=12AB=12 22=2；yx2+2ax+a22（x+a）22，抛物线的顶点 D 的坐标为（a，2），QD2，如图 1，BDBE，BQDE，QEQD2，E（a，2），此时点 E 的纵坐标为 2；如图 2，BEDE，BEDE2QE，BQE90，QE2+（2）2（2QE）2，解得 Q

33、E=12，E（a，12），此时点 E 的纵坐标为 12；如图 3，EDBD或 EDBD，BD=22+(2)2=6，DEDE=6，QE=6 2 或 QE=6+2，E（a，6 2）或 E（a，6 2），此时点 E 的纵坐标为6 2 或点 E的纵坐标为6 2，综上所述，点 E 的纵坐标为 2 或 12或6 2 或6 2 总结提升：此题重点考查二次函数的图象与性质、一元二次方程根与系数的关系、一元二次方程根的判别式、解一元二次方程、勾股定理等知识与方法，解题过程中还应注意数形结合、分类讨论等数学思想的运用，此题综合性较强，属于考试压轴题 类型五 一次函数与二次函数的综合实际应用12（2022铁西区二模

34、）某商家经销一种绿茶，已知绿茶每千克成本 50 元，在第一个月的试销时间内发现，销量随销售单价的变化而变化，具体变化规律如表：销售单价（元/千 70 75 80 85 x 克）月销售量（千克）100 90 80 （1）请根据上述关系，完成表格（2）用含有的代数式表示月销售利润；并利用配方法求月销售利润最大值；（3）在第一个月里，按月销售利润取最大值时的销售单价进行销售后，在第二个月里受物价部门干预，销售单价不得高于 90 元；且加上其他费用 3000 元若商家要想在全部收回投资的基础上使第二个月的利润达到 1700 元，那么第二个月里应该确定销售单价为多少元？思路引领：（1）利用表格中数据，判

35、断出是一次函数关系，设出解析式，进而求出一次函数关系式，整理即可；（2）利用销售利润单价销售量成本列出函数关系式，利用配方法可求最值；（3）首先根据第一个月的利润，得出要想在全部收回投资的基础上使第二个月的利润达到 1700 元，即第二个月必须获得 2250 元的利润，把函数值 2250 代入，解一元二次方程即可 解：（1）设 wkx+b（k0）将（70，100），（75，90）代入上式得：70+=10075+=90，解得：=2=240，则 w2x+240，当 x85 时，w285+24070（千克）故答案为：70，w2x+240（2）y（x50）w（x50）（2x+240）2x2+340 x

36、12000，因此 y 与 x 的关系式为：y2x2+340 x12000，2（x85）2+2450，故当 x85 时，y 的值最大为 2450（3）故第 1 个月还有 30002450550 元的投资成本没有收回，则要想在全部收回投资的基础上使第二个月的利润达到 1700 元，即 y2250 才可以，可得方程2（x85）2+24502250，解这个方程，得 x175，x295；根据题意，x295 不合题意应舍去 答：当销售单价为每千克 75 元时，可获得销售利润 2250 元，即在全部收回投资的基础上使第二个月的利润达到 1700 元 总结提升：此题考查了待定系数法求一次函数解析式以及二次函数

37、的最值以及二次函数与一元二次方程的关系等知识，注意题目中细节描述得出要想在全部收回投资的基础上使第二个月的利润达到 1700 元，即 y2250 进而求出是解题关键 类型六 绝对值概念的应用13（2021 秋姜堰区期中）【阅读】已知 m、n 两个数在数轴上对应的点为 M、N，其中 mn，求 M、N 两点之间的距离 MN 小明利用绝对值的概念，结合数轴，进行探索：解：因为 mn，所以有以下情况：情况 1：若 m0，n0，如图，M、N 两点之间的距离 MN|m|n|mn；情况 2：若 m0，n0，如图，M、N 两点之间的距离 MN|m|+|n|mn；情况 3：若 m0，n0，如图，M、N 两点之间

38、的距离 MN|n|m|mn 由此小明得出结论：若 m、n 两个数在数轴上对应的点为 M、N，其中 mn，则 M、N 两点之间的距离MNmn 【应用】在数轴上，点 A 表示的数为 a，点 B 表示的数为 b，点 C 对应的数为 c（1）若 b1，AB2，则 a （2）若 a2，b4，点 C 到点 A 的距离是点 C 到点 B 距离的 n（n0）倍 当 n=12时，求 c 的值；对于任意一个 n 的值，满足条件的点 C 的个数始终有 2 个，请直接写出 n 取值范围 （3）若 a+b5，且 a、b 为整数，当 ab 的值最大时，求 A、B 两点之间的距离 AB 思路引领：（1）分两种情况讨论，即点

39、 A 在点 B 的左侧，点 A 在点 B 的右侧；（2）分两种情况讨论，即点 C 在线段 AB 之间，点 C 在点 A 的左侧；分三种情况讨论，即点 C 在点 A 的左侧，点 C 在线段 AB 之间，点 C 在点 B 的右侧；（3）根据 a+b5，ab 的值最大，a，b 两个数一定都是负数，又因为 a、b 为整数，所以 a，b 的值就确定了，即可求出 AB 解：（1）分两种情况：当点 A 在点 B 的右侧，即 ab 时，因为 AB2，所以 ab2，ab+23，当点 A 在点 B 的左侧，即 ab 时，因为 AB2，所以 ba2，ab21；（2）分两种情况：当点 C 在线段 AB 之间时，CA=12CB，即 ca=12（bc），c0，当点 C 在点 A 的左侧时，CA=12CB，即 ac=12（bc），c8，所以 c0 或8；分三种情况：当点 C 在点 A 的左侧时，0n1，当点 C 在点 B 的右侧时；n1，当点 C 在线段 AB 之间时，0n1 或 n1，又因为点 C 的个数始终有两个，n1，所以 n0 且 n1；（3）因为 a+b5，ab 的值最大，所以 a0，b0，因为 a、b 为整数，所以 a2，b3 或 a3，b2，所以 AB1 总结提升：本题考查了两点间的距离，数轴，绝对值的意义，在未画图类问题中，正确画图是解决问题的关键，同时本题渗透了分类讨论的思想