专题41 全国初中数学竞赛分类汇编卷（八）分式综合（提优）-2022-2023学年初中数学学科素养能力培优竞赛试题精选专练（解析版）.docx

1、专题41 全国初中数学竞赛分类汇编卷（七）分式综合（提优）1如果a，b，c是正数，且满足a+b+c9，1a+b+1b+c+1c+a=109，那么ab+c+bc+a+ca+b的值为（）A6B7C9D10【解答】解：a，b，c是正数，且满足a+b+c9，a9bc，b9ac，c9ab，原式=9-b-cb+c+9-a-cc+a+9-a-ba+b=9b+c+9c+a+9a+b-39109-37，故选：B2当x分别取值12021、12020、12019，12、1、2，2019、2020、2021时，求出代数式x21+x2的值，然后将所求得的这些结果相加，其和等于（）A1B2020C202012D0【解答】

2、解：当x分别取值12021、12020、12019，12、1、2，2019、2020、2021时，代数式x21+x2的值为：120212+1，120202+1，120192+1，.，122+1，112+1，2222+1，.，2019220192+1，2020220202+1，2021220212+1，结果的和为：120212+1+120202+1+120192+1+.+122+1+112+1+2222+1+.+2019220192+1+2020220202+1+2021220212+1=1+1+1+.+12020个1+12 202012，故选：C3若a，b是两个正数，且a-1b+b-1a+1=

3、0，则（）A0a+b13B13a+b1C1a+b43D43a+b2【解答】解：由a-1b+b-1a+1=0，去分母得：a2a+b2b+ab0，整理得：a2+ab+b2a+b，（a+b）2aba+b，ab（a+b）2（a+b）（a+b）（a+b1），a，b是两个正数，ab0，a+b0，a+b10，即：a+b1（a+b）2（ab）2+4ab4ab，结合式可得：a+b4a+b-1，a+b43因此，1a+b43故选：C4如图，第（1）个多边形由正三角形“扩展”而来，边数记为a3，第（2）个多边形由正方形“扩展”而来，边数记为a4，依此类推，由正n边形“扩展”而来的多边形的边数记为an（n3）当an13

4、2时，n的值为11【解答】解：由图可知a31234，a42045，a55630，ann（n+1），可得：n（n+1）132，解得：n11，故答案为：115龟兔进行1000米赛跑，兔子速度是龟的速度的5倍，当它们从起点一起出发后，龟不停地跑，兔子跑到某一地点开始睡觉，兔子醒来时，龟已经领先它500米，兔子奋起直追，但龟到达终点时，兔子仍落后100米，那么兔子睡觉期间，龟跑了820米？【解答】解；设龟速度为x，则兔子速度为5x龟用掉的总时间为1000x，兔子跑得时间为9005x，因为兔子睡觉的时间加上跑步的时间等于龟用掉的时间所以兔子睡觉时间为1000x-9005x，龟在这段时间里跑了x（1000

5、x-9005x）820米故填820米6甲乙两个机器人同时按匀速进行100米速度测试，自动记录仪表明：当甲距离终点差1米，乙距离终点2米；当甲到达终点时，乙距离终点1.01米，经过计算，这条跑道长度不标准，则这条跑道比100米多1米【解答】解：设这条跑道长x米根据两人的速度比相等，速度比即在相等的时间内路程之比，得x-1x-2=xx-1.01，x101经检验，x101是原分式方程的解这条跑道比100米多1米7已知关于x方程x+bx=a+ba的解是x1a，x2=ba，那么方程x-2x-1=a-2a-1的解是x1a，x2a-3a-1【解答】解：x-2x-1=a-2a-1可化为：x1+-2x-1=a1

6、+-2a-1x1+-2x-1=a1+-2a-1的解为：x1a1或x1=-2a-1x1a，x2=a-3a-1故答案为：a，a-3a-18已知对于任意正整数n，都有a1+a2+ann3，则1a2-1+1a3-1+1a100-1=33100【解答】解：当n2时，有a1+a2+an1+ann3，a1+a2+an1（n1）3，两式相减，得an3n23n+1，1an-1=13n(n-1)=13（1n-1-1n），1a2-1+1a3-1+1a100-1，=13（1-12）+13（12-13）+13（199-1100），=13（1-1100），=33100故答案为：331009已知a，b，c均为非零实数，满足

7、：b+c-aa=c+a-bb=a+b-cc，则(a+b)(b+c)(c+a)abc的值为1或8【解答】解：（1）当a+b+c0时：b+c-aa=c+a-bb=a+b-cc，利用等比性质得到：(b+c-a)+(c+a-b)+(a+b-c)a+b+c=a+b+ca+b+c=b+c-aa=c+a-bb=a+b-cc=1；而b+c-aa=b+ca-1=1，b+ca=2，同理c+ab=a+bc=2，(a+b)(b+c)(c+a)abc=8；（2）当a+b+c0时，则b+ca，a+bc，c+ab，则(a+b)(b+c)(c+a)abc=(-a)(-b)(-c)abc=-110对于正数x，规定f（x）=x1

8、+x，例如：f（2）=21+2=23，f（3）=31+3=34，f（12）=121+12=13，f（13）=131+13=14，利用以上规律计算：f（12019）+f（12018）+f（12017）+f（13）+f（12）+f（1）+f（2）+f（2019）的值为：201812【解答】解：f（12019）+f（12018）+f（12017）+f（13）+f（12）+f（1）+f（2）+f（2019）=12020+12019+12018+14+13+12+23+20172018+20182019+20192020 （12020+20192020）+（12019+20182019）+（12018+

9、20172018）+（14+34）+（13+23）+122018+12=201812故答案为：20181211观察图形，解答问题：（1）按下表已填写的形式填写表中的空格：图图图三个角上三个数的积1（1）22（3）（4）（5）60（2）（5）17170三个角上三个数的和1+（1）+22（3）+（4）+（5）12（2）+（5）+1710积与和的商221（60）（12）51701017（2）请用你发现的规律求出图中的数y；（3）请用你发现的规律直接写出图中的数x【解答】解：（1）图：（60）（12）5，图：（2）（5）17170，（2）+（5）+1710，1701017图图图三个角上三个数的积1（1

10、）22（3）（4）（5）60（2）（5）17170三个角上三个数的和1+（1）+22（3）+（4）+（5）12（2）+（5）+1710积与和的商221，（60）（12）5，1701017（2）图：5（8）（9）360，5+（8）+（9）12，y360（12）30；（3）图：1x31+x+3=-3，解得x2；经检验x2是原方程的根，图中的数x为2故答案为：（2）（5）17170；（2）+（5）+1710；（60）（12）5；170101712某商场在一楼和二楼之间安装了一自动扶梯，以均匀的速度向上行驶，一男孩和一女孩同时从自动扶梯上走到二楼（扶梯行驶，两人也走梯）如果两人上梯的速度都是匀速的，每

11、次只跨1级，且男孩每分钟走动的级数是女孩的2倍已知男孩走了27级到达扶梯顶部，而女孩走了18级到达顶部（1）扶梯露在外面的部分有多少级？（2）现扶梯近旁有一从二楼下到一楼的楼梯道，台阶的级数与自动扶梯的级数相等，两个孩子各自到扶梯顶部后按原速度再下楼梯，到楼梯底部再乘自动扶梯上楼（不考虑扶梯与楼梯间的距离）求男孩第一次追上女孩时走了多少级台阶？【解答】解：（1）设女孩上梯速度为x级/分，自动扶梯的速度为y级/分，扶梯露在外面的部分有S级，则男孩上梯的速度为2x级/分由题意，有272x=S-27y18x=S-18y，解得S54答：扶梯露在外面的部分有54级（2）设男孩第一次追上女孩时走过自动扶梯

12、m遍，走过楼梯n遍，则女孩走过自动扶梯（m1）遍、走过楼梯（n1）遍由题意，有54my+2x+54n2x=54(m-1)y+x+54(n-1)x由（1）中可求得y2x，代入上面方程化简得6n+m16无论男孩第一次追上女孩是在自动扶梯还是在下楼时，m、n中一定有一个是正整数，且0|mn|1试验知只有m3，n=216符合要求327+21654198（级）答：男孩第一次追上女孩时走了198级台阶13设绝对值小于1的全体实数的集合为S，在S中定义一种运算“*”，使得a*b=a+b1+ab（1）证明：结合律（a*b）*ca*（b*c）成立（2）证明：如果a与b在S中，那么a*b也在S中（说明：可能用到的

13、知识：|a|1即a21）【解答】证明：（1）由新运算得，（a*b）*c=a+b1+ab*c=a+b1+ab+c1+a+b1+abc=a+b+c+abc1+bc+ca+ab，a*（b*c）a*b+c1+bc=a+b+c1+bc1+ab+c1+bc=a+b+c+abc1+bc+ca+ab，（注：此式关于a，b，c对称，所以即得（a*b）*ca*（b*c）成立，（a*b）*ca*（b*c），即：结合律（a*b）*ca*（b*c）成立；（2）由题意知，0|a|1，0|b|1，0a21，0b21，1（a+b1+ab）21-(a+b)2(1+ab)2=(1+ab)2-(a+b)2(1+ab)2 =(1+a

14、b+a+b)(1+ab-a-b)(1+ab)2 =(a+1)(b+1)(1-a)(1-b)(1+ab)2 =(1-a2)(1-b2)(1+ab)2，0a21，0b21，1a20，1b20，(1-a2)(1-b2)(1+ab)20，1（a+b1+ab）20(a+b1+ab)21，|a+b1+ab|1，a*b也在S中14已知整数a、b、c、d满足abcd6（a1）（b1）（c1）（d1）（1）是否存在满足上述条件的a、b、c、d均为整数？若存在，求出所有的解，若不存在，请说明理由（2）若a1、b1、c1、d1，求出a+b+c+d的最小值（参考知识：当a、b、c、d0时，abcd(a+b+c+d4)

15、4，等号当且仅当abcd时成立当a、b、c、d0时，（a+b+c+d）（1a+1b+1c+1d）16，等号当且仅当abcd时成立）【解答】解：（1）存在，设满足条件的整数abcd，abcd6（a1）（b1）（c1）（d1），d1，a-1ab-1bc-1cd-1d=16，若d3，则由参考知识知a-1ab-1bc-1cd-1d（23）4=168116，与矛盾，故d2，从而化简为a-1ab-1bc-1c=13，若c3，则由参考知识知a-1ab-1bc-1c（34）3=276413，与矛盾，故c2或3，若c2，则已知等式变为：2ab3（a1）（b1）3（abab+1），（a3）（b3）6，a，b为整数，且ab，a=9b=4或a=6b=5，若c3，则已知等式变为：ab2（a1）（b1）2（abab+1），（a2）（b2）6，a，b为整数，且ab，a=4b=3，故a、b、c、d的值为（9，4，2，2）或（6，5，2，2）或（4，3，3，2）；（2）由（1）知a、b、c、d的值为（9，4，2，2）或（6，5，2，2）或（4，3，3，2），a+b+c+d的最小值4+3+3+212