专题42 圆锥曲线中的向量问题（教师版）.docx

1、专题42 圆锥曲线中的向量问题一、题型选讲题型一 、有向量关系求圆锥曲线的离心率例1、（2020届浙江省高中发展共同体高三上期末）已知椭圆的内接的顶点为短轴的一个端点，右焦点，线段中点为，且，则椭圆离心率的取值范围是_.【答案】【解析】由题意可设，线段中点为，且，可得为的重心，设，由重心坐标公式可得，即有的中点，可得，由题意可得点在椭圆内，可得，由，可得，即有.故答案为：.例2、（2020届江苏省如皋中学、徐州一中、宿迁中学三校高三联合考试）已知双曲线的右焦点为，过且斜率为的直线交于、两点，若，则的离心率为_.【答案】【解析】因为直线过点，且斜率为所以直线的方程为：与双曲线联立消去，得设所以因

2、为，可得代入上式得消去并化简整理得：将代入化简得：解之得因此，该双曲线的离心率故答案为：例3、（2019届全国100所名校最新高考模拟示范卷）椭圆C:x2a2+y2b2=1ab0的右焦点为Fc,0，直线x22y=0与C相交于A、B两点.若AFBF=0，则椭圆C的离心率为_.【答案】32【解析】设A22y0,y0，AFBF=0，即AFBF，OF=OA，则8y02+y02=c2，即9y02=c2，又8y02a2+y02b2=1，y02=a2b28b2+a2，由得8c418a2c2+9a4=0，即8e418e2+9=0，e2=34或e2=32（舍去），解得e=32.故答案为：32.题型二、求向量数量

3、积的范围例4、【2020年高考江苏】在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆的左、右焦点分别为F1，F2，点A在椭圆E上且在第一象限内，AF2F1F2，直线AF1与椭圆E相交于另一点B（1）求的周长；（2）在x轴上任取一点P，直线AP与椭圆E的右准线相交于点Q，求的最小值；（3）设点M在椭圆E上，记与的面积分别为S1，S2，若，求点M的坐标【解析】（1）椭圆的长轴长为，短轴长为，焦距为，则.所以的周长为.（2）椭圆的右准线为.设，则， 在时取等号.所以的最小值为.（3）因为椭圆的左、右焦点分别为，点在椭圆上且在第一象限内，则.所以直线 设，因为，所以点到直线距离等于点到直线距离的3倍. 由此得，则或

4、.由得，此方程无解；由得，所以或.代入直线，对应分别得或.因此点的坐标为或.例5、(2018苏州暑假测试）如图，已知椭圆O：y21的右焦点为F，点B，C分别是椭圆O的上、下顶点，点P是直线l：y2上的一个动点(与y轴的交点除外)，直线PC交椭圆于另一个点M.(1) 当直线PM经过椭圆的右焦点F时，求FBM的面积；(2) 记直线BM，BP的斜率分别为k1，k2，求证：k1k2为定值；求的取值范围【解析】(1) 由题意B(0，1)，C(0，1)，焦点F(，0)，当直线PM过椭圆的右焦点F时，则直线PM的方程为1，即yx1，联立解得或(舍)，即M.(2分)连结BF，则直线BF：1，即xy0，而BFa

5、2，点M到直线BF的距离为d.故SMBFBFd2.(4分)(2) 解法1(点P为主动点) 设P(m，2)，且m0，则直线PM的斜率为k，则直线PM的方程为yx1，联立化简得x2x0，解得M，(6分)所以k1m，k2，(8分)所以k1k2m为定值(10分)由知，(m，3)，(m，2)，所以(m，3)，(12分)令m24t4，故t7，(14分)因为yt7在t(4，)上单调递增，所以t7479，即的取值范围为(9，)(16分)解法2(点M为主动点) 设点M(x0，y0)(x00)，则直线PM的方程为yx1，令y2，得P.(6分)所以k1，k2，(8分)所以k1k2(定值)(10分)由知，(12分)所

6、以3(y02)3(y02)3(y02).(14分)令ty01(0，2)，则t7，因为yt7在t(0，2)上单调递减，所以t7279，即的取值范围为(9，)(16分)例6、(2019苏州暑假测试）如图，已知椭圆C1：1(ab0)的右焦点为 F，上顶点为 A，P为椭圆C1上任一点，MN是圆C2：x2(y3)21的一条直径，在y轴上截距为3的直线l与AF平行且与圆C2相切(1) 求椭圆C1的离心率；(2) 若椭圆C1的短轴长为 8，求的最大值【解析】 (1) 由题意得F(c,0)，A(0，b)，则kAF.(2分)因为在y轴上截距为3的直线l与AF平行，所以直线l：yx3，即bxcy(3)c0.(4分

7、)因为圆C2的圆心C2(0,3)，半径r1，直线l与圆C2相切，所以1，即1，所以e.(6分)(2) 因为椭圆C1 的短轴长为 8，所以2b8，即b4.因为a2b2c2，1，所以ac,2c2b2c2.(8分)所以cb4，a4，所以椭圆方程是1.(10分)设P(x，y)，则()()()2()()2x2(y3)2132(y3)21y26y40(y3)249，又y4,4，所以当y3时，的最大值是49.(16分)题型二、由向量关系求参数的范围例7、(2019扬州期末）在平面直角坐标系中，椭圆M：1(ab0)的离心率为，左、右顶点分別为A，B，线段AB的长为4.P在椭圆M上且位于第一象限，过点A，B分别

8、作l1PA，l2PB，直线l1，l2交于点C.(1) 若点C的横坐标为1，求点P的坐标；(2) 若直线l1与椭圆M的另一交点为Q，且，求的取值范围【解析】 由题意得解得所以b2a2c23，所以椭圆M的方程是1且A(2，0)，B(2，0)(3分)解法1(点参数法) (1)设P(x0，y0)，kPA，因为l1PA，所以直线AC的方程为y(x2)同理直线BC的方程为y(x2)联立方程组解得.又因为点P(x0，y0)在椭圆上，故1，所以y0，所以点C的坐标为.(6分)因为点C的横坐标为1，所以x01.又因为P为椭圆M上第一象限内一点，所以y0，所以点P的坐标为.(8分)(2)解法1 设Q(xQ，yQ)

9、，因为，所以解得 因为点Q在椭圆M上，所以1.又y3，整理得7x36(1)x0721000，解得x02或x0.(14分)因为P为椭圆M上第一象限内一点 所以02，解得，故的取值范围是.(16分)解法2 P为椭圆M上第一象限内由(1)可知直线AC的斜率为k，直线AC的方程为yk(x2)，联方方程组得(4k23)x216k2x16k2120，所以xAxQ(2)xQ，故xQ，故.因为0x02，所以.解法2(线参数法) (1) 设直线AP的斜率为k，P(x0，y0)因为P为椭圆M上第一象限内一点，所以0k，所以kAPkBP，所以直线BP的斜率为.故直线AP，BP的方程分别为yk(x2)，y(x2)联立

10、方程组解得即P.因为l1PA，所以kAC，则直线AC的方程为y(x2)因为l2PB，所以kBCk，则直线BC的方程为yk(x2)联立言程组得即C.(6分)因为点C的横坐标为1，所以1，解得k.因为0k，所以k，所以点P的坐标为.(8分)(2)设Q(xQ，yQ)，C(xC，yC)，又直线AC的方程为y(x2)联立方程组得(3k24)x216x1612k20，所以2xQ，解得xQ.因为，所以1.(14分)因为0k，所以.(16分)例8、【2018年高考北京卷理数】已知抛物线C：=2px经过点（1，2）过点Q（0，1）的直线l与抛物线C有两个不同的交点A，B，且直线PA交y轴于M，直线PB交y轴于N

11、（1）求直线l的斜率的取值范围；（2）设O为原点，求证：为定值【解析】（1）因为抛物线y2=2px经过点P（1，2），所以4=2p，解得p=2，所以抛物线的方程为y2=4x由题意可知直线l的斜率存在且不为0，设直线l的方程为y=kx+1（k0）由得依题意，解得k0或0k1又PA，PB与y轴相交，故直线l不过点（1，-2）从而k-3所以直线l斜率的取值范围是（-，-3）（-3，0）（0，1）（2）设A（x1，y1），B（x2，y2）由（1）知，直线PA的方程为令x=0，得点M的纵坐标为同理得点N的纵坐标为由，得，所以所以为定值题型三、与向量有关的其它应用例9、【2018年高考全国卷理数】已知斜率

12、为的直线与椭圆交于，两点，线段的中点为（1）证明：；（2）设为的右焦点，为上一点，且证明：，成等差数列，并求该数列的公差【解析】（1）设，则两式相减，并由得由题设知，于是由题设得，故（2）由题意得，设，则由（1）及题设得又点P在C上，所以，从而，于是，同理，所以，故，即成等差数列设该数列的公差为d，则将代入得，所以l的方程为，代入C的方程，并整理得，故，代入解得，所以该数列的公差为或例10、【2019年高考全国卷理数】已知抛物线C：y2=3x的焦点为F，斜率为的直线l与C的交点为A，B，与x轴的交点为P（1）若|AF|+|BF|=4，求l的方程；（2）若，求|AB|【答案】（1）；（2）.【解

13、析】设直线（1）由题设得，故，由题设可得由，可得，则从而，得所以的方程为（2）由可得由，可得所以从而，故代入的方程得故二、达标训练1【2020届江苏省南通市如皋市高三下学期二模】在平面直角坐标系中，已知双曲线：的左，右焦点分别为，设过右焦点且与轴垂直的直线与双曲线的两条渐近线分别交于，两点，若是正三角形，则双曲线的离心率为_.【答案】【解析】不妨设点在轴上方，联立得.因为是正三角形，所以.所以.故答案为：2、（2020届浙江省之江教育评价联盟高三第二次联考）已知双曲线：的左右焦点分别为，过的直线与的两条渐近线分别交于两点，若，则的离心率为_.【答案】.【解析】：设双曲线的渐近线方程为，的方程为

14、，设，直线的方程为，联立，可得，)，联立，可得，)，由，可得)，化为，可得，即，化为，由可得，则，故答案为：.3、（2020届山东省济宁市高三上期末）已知抛物线的焦点为，准线，是上一点， 是直线与的一个交点，若，则_.【答案】【解析】根据题意画出图形，设与轴的交点为M，过Q向准线，垂足是N，抛物线，焦点为，准线方程为，4、（2019山东高三月考）已知椭圆的左、右焦点分别为，过点的直线与椭圆交于两点，延长交椭圆于点，的周长为8.（1）求的离心率及方程；（2）试问：是否存在定点，使得为定值？若存在，求；若不存在，请说明理由.【解析】（1）由题意可知，则，又的周长为8，所以，即，则，.故的方程为.（

15、2）假设存在点，使得为定值.若直线的斜率不存在，直线的方程为，则.若直线的斜率存在，设的方程为，设点，联立，得，根据韦达定理可得：，由于，则 因为为定值，所以，解得，故存在点，且.5、【江苏省南通市海安高级中学2019-2020学年3月线上考试】在平面直角坐标系中，已知焦点为的抛物线上有两个动点、，且满足，过、两点分别作抛物线的切线，设两切线的交点为.（1）求：的值；（2）证明：为定值.【解析】（1）设，焦点，消得，化简整理得，.（定值）.（2）抛物线方程为，过抛物线、两点的切线方程分别为和，即和，联立解出两切线交点的坐标为，（定值）.6、(2017南京、盐城二模）如图，在平面直角坐标系xOy

16、中，焦点在x轴上的椭圆C：1经过点(b,2e)，其中e为椭圆C的离心率过点T(1,0)作斜率为k(k0)的直线l交椭圆C于A，B两点(A在x轴下方)(1) 求椭圆C的标准方程；(2) 过点O且平行于l的直线交椭圆C于M，N两点，求的值；(3) 记直线l与y轴的交点为P，若，求直线l的斜率k.【解析】 (1) 由点(b,2e)在椭圆C上，得1.因为e21，所以.(2分)又b21）的左、右顶点，G为E的上顶点，P为直线x=6上的动点，PA与E的另一交点为C，PB与E的另一交点为D（1）求E的方程；（2）证明：直线CD过定点.【解析】（1）由题设得A（a，0），B（a，0），G（0，1）.则，=（a，1）.由=8得a21=8，即a=3.所以E的方程为+y2=1（2）设C（x1，y1），D（x2，y2），P（6，t）.若t0，设直线CD的方程为x=my+n，由题意可知3n3.由于直线PA的方程为y=（x+3），所以y1=（x1+3）.直线PB的方程为y=（x3），所以y2=（x23）.可得3y1（x23）=y2（x1+3）.由于，故，可得，即将代入得 所以，代入式得解得n=3（含去），n=.故直线CD的方程为，即直线CD过定点（，0）若t=0，则直线CD的方程为y=0，过点（，0）.综上，直线CD过定点（，0）.