专题5 构造函数证明不等式（原卷版）.docx

1、专题5 构造函数证明不等式一、考情分析函数与导数一直是高考中的热点与难点, 利用导数证明不等式在近几年高考中出现的频率比较高求解此类问题关键是要找出与待证不等式紧密联系的函数,然后以导数为工具来研究该函数的单调性、极值、最值(值域),从而达到证明不等式的目的二、解题秘籍(一) 把证明转化为证明此类问题一般是有最小值且比较容易求,或者有最小值,但无法具体确定,这种情况下一般是先把的最小值转化为关于极值点的一个函数,再根据极值点所在范围,确定最小值所在范围【例1】（2024届重庆市南开中学高三上学期第一次质量检测）已知函数.(1)求证：当时，；(2)求证：.【解析】（1）证明：因为，则，当时，函数

2、单调递减，则成立；当时，令，则，因为函数、在上均为减函数，所以，函数在上为减函数，因为，所以存在，使得，且当时，此时函数单调递增，当时，此时函数单调递减，而，所以，又因为，所以存在，使得，当时，此时函数单调递增，当时，此时函数单调递减，因为，所以，所以，对任意的时，成立，综上，对任意的恒成立.（2）证明：由（1），对任意的，则，即，对任意的，所以，则，所以，从而可得，上述两个不等式相加可得，所以，又由（1），因为，则，可得，当且时，所以，即，所以，当时，从而有，上述两个不等式相加得：，所以，当时，即，所以，对任意的，因此，. (二) 把证明 转化为证明此类问题是证明不等式中最基本的一类问题,把

3、两个函数通过作差转化为一个函数,再利用导数研究该函数的性质,通过函数性质证明该不等式.【例2】（2024届广东省河源市高三上学期开学联考）已知函数，其中.(1)求过点且与函数的图象相切的直线方程；(2)求证：当时，；若函数有两个不同的零点，求证：.【解析】（1），设切点的坐标为，则切线方程为，因为切线过点，所以，解得，所以切线方程为.（2）令，令，则，当时，所以在上单调递增，所以，所以在上单调递增，所以，即当时，；，若，则在上单调递增，最多只有一个零点，不符合题意；若，令，因为，且，当时，所以在上单调递增，又因为当时，；当时，又因为，所以恰有一解，当时，单调递增；当时，单调递减，所以为函数的唯

4、一的极大值点，因为当时，当时，所以函数有两个不同的零点，等价于，即，不妨设，当，所以，由（1）得，直线与函数切于原点得：当时，因为，所以当时，结合中有，令，即当时，所以一定存在两个不同的根，设为，因为，所以，又因为，位于单调递减区间，所以，同理，所以，所以，因为，所以，又因为，所以，所以.(三) 把证明 转化为证明有时候把证明 转化为证明后,可能会出现的导函数很复杂,很难根据导函数研究的最值,而的最小值及的最大值都比较容易求,可考虑利用证明的方法证明原不等式,但要注意这种方法有局限性,因为未必有.【例3】（2024届广东省部分学校高三上学期第二次联考）已知函数.(1)讨论的单调性；(2)当时，

5、证明：.【解析】（1）由题意可得.则时，由，得，由，得，则在上单调递减，在上单调递增；当时，由，得，由，得，则在上单调递增，在上单调递减.（2）因为，所以.因为，所以.要证，即证，即证.设，则.当时，当时，则在上单调递减，在上单调递增.故.设，则.当时，当时，则在上单调递增，在上单调递减.故.因为，且两个最值的取等条件不同，所以，即当时，.(四) 把证明转化为证明 若直接证明比较困难,有时可利用导数中的常见不等式如构造一个中间函数,或利用不等式的性质通过放缩构造一个中间函数,再通过证明来证明原不等式.【例4】已知函数在区间上单调(1)求的最大值；(2)证明：当时,【解析】 (1)由已知得,要使

6、函数在区间上单调,可知在区间上单调递增,令,得,即,解得,（）,当时满足题意,此时,在区间上是单调递增的,故的最在值为.(2)当时,要证明,即证明,而,故需要证明.先证：,（）记,时,所以在上递增,故,即.再证：,（）令,则则,故对于,都有,因而在,上递减,对于,都有,因此对于,都有.所以成立,即成立,故原不等式成立.(五) 改变不等式结构,重新构造函数证明不等式此类问题要先对待证不等式进行重组整合,适当变形,找到其等价的不等式,观察其结构,根据结构构造函数.常见的变形方法有：去分母,把分数不等式转化为整式不等式；两边取对数,把指数型不等式转化为对数型不等式；不等式为类型,且的解集比较容易确定

7、,可考虑两边同时除以；不等式中含有,有时为了一次求导后不再含有对数符号,可考虑不等式两边同时除以；通过换元把复杂的不等式转化为简单不等式.【例5】（2024届江西省稳派上进教育高三上学期8月考试）已知函数，分别为，的导函数，且对任意的，存在，使(1)求实数a的取值范围；(2)证明：，有【解析】（1）因为，所以，所以在区间上单调递增，故因为，所以令，则，又，所以，故在区间上单调递增，所以又对任意的，存在，使，所以，即，解得，故实数a的取值范围为（2）令，则令，解得，则当时，单调递减；当时，单调递增，所以，即（当且仅当时，等号成立）令，则令，解得，则当时，单调递减；当时，单调递增，所以，即（当且仅

8、当时，等号成立），故（当且仅当时，等号成立）又，所以因为，所以，故，即(六) 通过减元法构造函数证明不等式对于多变量不等式 ,一般处理策略为消元或是把一个看作变量其他看作常量；当都不能处理的时候,通过变形,再换元产生一个新变量,从而构造新变量的函数.【例6】（2024届江西省宜春市宜丰中学高三上学期考试）已知函数.注：为自然对数的底数，.(1)若，求函数的单调区间；(2)若函数有两个不相等的零点，极值点为，证明：（i）；（ii）.【解析】（1）由，得，令得，令得.所以函数的单调递增区间是，单调递减区间是.（2）（i），设，存在唯一且，使得.当时，当时，所以在上递减，在上递增，是极小值点.若，则

9、，令，则，当时，当时，所以在上递减，在上递增，所以，所以，此时不存在两个零点，不满足要求，故要使函数有两个不相等的零点，则.于是.（ii），-得，整理得.下证：.不妨设，令，则.可化为，即.令，于是在上单调递增，又，所以，从而，得.于是式可化为，得.得证. (七) 与数列前n项和有关的不等式的证明此类问题一般先由已知条件及导数得出一个不等式,再把该不等式中的自变量依次用1,2,3,n代换,然后用叠加法证明. 【例7】（2024届黑龙江省哈尔滨高三上学期开学考试）已知函数，其中(1)讨论函数零点个数；(2)求证：【解析】（1）当时，即在单调递减， 又，只有一个零点.当时，令则，当时，当时，故在单

10、调递增，在单调递减，令，则，故当时，单调递减，当时，单调递增，故，又，故当时，只有一个零点，当且时，有两个零点，综上可知：故当或时，只有一个零点，当且时，有两个零点，（2）由（1）可知，当时，在单调递减，故当时，故，取，则，即，相加可得，三、典例展示【例1】（2023届福建省三明市高三三模）已知函数.(1)讨论的单调性；(2)若，证明：.【解析】（1）定义域为，因为，所以.令，则，所以，当时，此时，所以在上单调递减.当时，令，则，所以当时，即在上单调递减.当时，令，则，所以当时，即在和上单调递减，当时，即在上单调递增.综上所述：当时，在上单调递减；当时，在和上单调递减，在上单调递增（2）要证明

11、：，只要证明：，只要证明：只要证明：.只要证明：，只要证明：，只要证明：.由（1）知，当时，在上单调递减.即要证明，即要证明.即证明.因为，所以，所以原不等式成立.解法二：要证明：，只要证明：.只要证明：只要证明：只要证明：.令，所以所以.因为，所以，即在上单调递增.所以，即原不等式成立【例2】（2024届江苏省南通市如皋市高三上学期8月诊断测试）已知函数.(1)求的最大值;(2)证明：【解析】（1），定义域为，则，令，因为恒成立，所以在上单调递增，所以，即当时，令，可得，得在上单调递增，在上单调递减，所以.（2）要证，即证，令令得，即在上单调递减，在上单调递增， ，即，即欲证，只需证也就是证

12、明设，则，令，得当时，；当时，当时，取到最小值故式成立，从而成立.【例3】（2024届湖北省高中名校联盟高三上学期第一次联合测评）已知函数.(1)讨论的单调性；(2)若两个不相等的正实数a，b满足，求证：；(3)若，求证：.【解析】（1）函数的定义域是.由，得在上单调递减；由，得在上单调递增，综上知，的单调递减区间是，单调递增区间是.（2）由（1）得在的值域为，在上的值域为.注意到，.不妨设，则欲证，即证.由于由（）得在上单调递增，故只需证，由已知，即证，也即，方法一：令，.，由，在单调递增，得单调递增，且.由于，故满足.由单调递增知：当时，单调递减，值域为；当时，单调递增，值域为；设，则，单

13、调递减，故，即，取，得，即综上，得，即，得证.方法二：（重新同构）令，即，证：，由于，从而.故要证成立，只需在单调递增成立即可.，令，则，在单调递减，故在单调递增成立，原命题成立.方法三：（比值代换）由对称性，不妨设，则由于，欲证，即证：，即证，可变为，由证法二可知成立，从而得证；方法四：（切、割线放缩）1、由于故，即；2、由方法二知，故，即，故，；由1、2知，故成立，原命题成立.（3）由（2）知，当时，在上单调递增，故.当时，由，取，得（）时，有，即.由在上单调递增，故，综上，得时，当成立.【例4】（2023届贵州省贵阳市2023届高三3 3 3高考备考诊断性联考）实数，.(1)讨论的单调性

14、并写出过程；(2)求证：.【解析】（1）若，令，的定义域为.此时当时，时，在上是增函数；时，在上是减函数；时，在上是增函数；当时，在上单调递增；当时，时，在上是增函数，时，在上是减函数，时，是增函数.若时，时，在上是减函数；时，在上是增函数；若，则的定义域为，此时且，当时，当时，；当时，；当时，；故在，上为增函数，在，上为减函数（2）由（1）得时，在上是减函数，即当时，即，即.令，求和即得.【例5】（2024届黑龙江省鹤岗市高三上下学期开学考试）已知函数，（为自然对数的底数）(1)当时，求函数的极大值；(2)已知，且满足，求证：【解析】（1）当时，定义域为，则，所以在上单调递增，在上单调递减，

15、故的极大值为；（2）由题意知，由可得，所以，令，由（1）可知，在上单调递增，在上单调递减，则，令，又，所以，则，若，则，即，所以；若，设，且满足，如图所示，则，所以，下证：令，则，所以在上单调递增，所以，所以，即，又因为，所以，所以，即，又因为，所以，即由可知，得证.四、跟踪检测1. （2024届云南省昆明市第一中学高三上学期第一次月考）已知函数，(1)若，求a；(2)若，的极大值大于b，证明：2（2024届全国名校大联考高三上学期第一联考）已知函数（）(1)若在上恒成立，求a的取值范围：(2)设，为函数的两个零点，证明：3（2024届山东省青岛市高三上学期期初调研检测）已知，函数.(1)若，

16、求在点处的切线方程；(2)求证：；(3)若为的极值点，点在圆上.求.4（2024届湖南省株洲市第二中学教育集团2高三上学期开学联考）已知函数，(1)证明：当时，恒成立；(2)若关于的方程在内有解，求实数的取值范围.5（2024届辽宁省十校联合体高三上学期八月调研考试）设方程有三个实数根.(1)求的取值范围；(2)请在以下两个问题中任选一个进行作答，注意选的序号不同，该题得分不同.若选则该小问满分4分，若选则该小问满分9分.证明：；证明：.6（2024届安徽省江淮十校高三第一次联考）已知函数，.(1)讨论的单调性；(2)设函数，当时，证明：.7（2024届内蒙古包头市高三上学期调研考试）设函数，已知是函数的极值点.(1)求；(2)设函数，证明：.8（2024届北京市景山学校高三上学期开学考试）已知函数，曲线在点处的切线方程是.(1)求、的值；(2)求证：；(3)若函数在区间上无零点，求的取值范围.9（2024届山西省大同市高三上学期质量检测）已知函数(1)讨论的单调性；(2)若的两个极值点分别为，证明：10（2024届黑龙江省哈尔滨市第三中学校高三上学期开学测试）已知函数.(1)讨论函数的单调性；(2)求证：，.