专题5.1 投影（知识解读）-2022-2023学年九年级数学上册《同步考点解读•专题训练》（北师大版）.docx

1、 专题5.1 投影（知识解读）【直击考点】 【学习目标】1以分析实际例子为背景，认识投影和视图的基本概念和基本性质；2.懂得运用投影知识解决有关的实际问题。【知识点梳理】考点1 平行投影1.一般地，用光线照射物体，在某个平面(地面或墙壁等)上得到的影子，叫做物体的投影.只要有光线，有被光线照到的物体，就存在影子.太阳光线可看做平行的，象这样的光线照射在物体上，所形成的投影叫做平行投影.由此我们可得出这样两个结论：(1)等高的物体垂直地面放置时，如图1所示，在太阳光下，它们的影子一样长.(2)等长的物体平行于地面放置时，如图2所示，它们在太阳光下的影子一样长，且影长等于物体本身的长度.2. 物高

2、与影长的关系（1）在不同时刻，同一物体的影子的方向和大小可能不同.不同时刻，物体在太阳光下的影子的大小在变，方向也在改变，就北半球而言，从早晨到傍晚，物体影子的指向是：西西北北东北东，影长也是由长变短再变长.（2）在同一时刻，不同物体的物高与影长成正比例.即：.利用上面的关系式可以计算高大物体的高度，比如旗杆的高度等.注意：利用影长计算物高时，要注意的是测量两物体在同一时刻的影长.注意：1平行投影是物体投影的一种，是在平行光线的照射下产生的.利用平行投影知识解题要分清不同时刻和同一时刻.2物体与影子上的对应点的连线是平行的就说明是平行光线.考点2 中心投影若一束光线是从一点发出的，像这样的光线

3、照射在物体上所形成的投影，叫做中心投影.这个“点”就是中心，相当于物理上学习的“点光源”.生活中能形成中心投影的点光源主要有手电筒、路灯、台灯、投影仪的灯光、放映机的灯光等.相应地，我们会得到两个结论：(1)等高的物体垂直地面放置时，如图1所示，在灯光下，离点光源近的物体它的影子短，离点光源远的物体它的影子长.(2)等长的物体平行于地面放置时，如图2所示.一般情况下，离点光源越近，影子越长；离点光源越远，影子越短，但不会比物体本身的长度还短.在中心投影的情况下，还有这样一个重要结论：点光源、物体边缘上的点以及它在影子上的对应点在同一条直线上，根据其中两个点，就可以求出第三个点的位置.注意： 光

4、源和物体所处的位置及方向影响物体的中心投影，光源或物体的方向改变，则该物体的影子的方向也发生变化，但光源、物体的影子始终分离在物体的两侧.考点3 平行投影与中心投影的区别与联系1. 联系：（1）中心投影、平行投影都是研究物体投影的一种，只不过平行投影是在平行光线下所形成的投影，通常的平行光线有太阳光线、月光等，而中心投影是从一点发出的光线所形成的投影，通常状况下，灯泡的光线、手电筒的光线等都可看成是从某一点发射出来的光线.（2）在平行投影中，同一时刻改变物体的方向和位置，其投影也跟着发生变化；在中心投影中，同一灯光下，改变物体的位置和方向，其投影也跟着发生变化.在中心投影中，固定物体的位置和方

5、向，改变灯光的位置，物体投影的方向和位置也要发生变化.2.区别：（1）太阳光线是平行的，故太阳光下的影子长度都与物体高度成比例；灯光是发散的，灯光下的影子与物体高度不一定成比例.（2）同一时刻，太阳光下影子的方向总是在同一方向，而灯光下的影子可能在同一方向，也可能在不同方向.注意：在解决有关投影的问题时必须先判断准确是平行投影还是中心投影，然后再根据它们的具体特点进一步解决问题.考点4 正投影正投影的定义：如图所示，图(1)中的投影线集中于一点，形成中心投影；图(2)(3)中，投影线互相平行，形成平行投影；图(2)中，投影线斜着照射投影面；图(3)中投影线垂直照射投影面(即投影线正对着投影面)

6、，我们也称这种情形为投影线垂直于投影面.像图(3)这样，投影线垂直于投影面产生的投影叫做正投影.(1)线段的正投影分为三种情况.如图所示. 线段AB平行于投影面P时，它的正投影是线段A1B1，与线段AB的长相等； 线段AB倾斜于投影面P时，它的正投影是线段A2B2，长小于线段AB的长； 线段AB垂直于投影面P时，它的正投影是一个点.(2)平面图形正投影也分三种情况，如图所示.当平面图形平行于投影面Q时，它的正投影与这个平面图形的形状、大小完全相同，即正投影与这个平面图形全等；当平面图形倾斜于投影面Q时，平面图形的正投影与这个平面图形的形状、大小发生变化，即会缩小，是类似图形但不一定相似.当平面

7、图形垂直于投影面Q时，它的正投影是直线或直线的一部分.(3)立体图形的正投影.物体的正投影的形状、大小与物体相对于投影面的位置有关，立体图形的正投影与平行于投影面且过立体图形的最大截面全等.注意：(1)正投影是特殊的平行投影，它不可能是中心投影.(2)由线段、平面图形和立体图形的正投影规律，可以识别或画出物体的正投影.(3)由于正投影的投影线垂直于投影面，一个物体的正投影与我们沿投影线方向观察这个物体看到的图象之间是有联系的.【典例分析】【考点1 平行投影】【典例1】（2022河池模拟）下列四幅图，表示两棵树在同一时刻阳光下的影子是（）ABCD【变式1-1】（2021铁岭模拟）下列投影是平行投

8、影的是（）A太阳光下窗户的影子B台灯下书本的影子C在手电筒照射下纸片的影子D路灯下行人的影子【变式1-2】（2021秋兰州期末）如图是滨河公园中的两个物体，一天中四个不同时刻在太阳光的照射下落在地面上的影子，按照时间的先后顺序排列正确的是（）A（3）（4）（1）（2）B（4）（3）（1）（2）C（4）（3）（2）（1）D（2）（4）（3）（1）【典例2】（2021秋太平区期末）小红想利用阳光下的影长测量学校旗杆AB的高度如图，他在某一时刻在地面上竖直立一个2米长的标杆CD，测得其影长DE0.4米（1）请在图中画出此时旗杆AB在阳光下的投影BF（2）如果BF1.6，求旗杆AB的高【变式2-1】（

9、2014秋福鼎市校级期中）已知，如图，AB和DE是直立在地面上的两根立柱AB6m，某一时刻AB在太阳光下的投影BC3m（1）请你在图中画出此时DE在太阳光下的投影EF；（2）在测量AB的投影时，同时测量出DE在太阳光下的投影EF长为6m，请你计算DE的长【变式2-3】（盐城校级模拟）如图，小明与同学合作利用太阳光线测量旗杆的高度，身高1.6m的小明落在地面上的影长为BC2.4m（1）请你在图中画出旗杆在同一时刻阳光照射下落在地面上的影子EG；（2）若小明测得此刻旗杆落在地面的影长EG16m，请求出旗杆DE的高度【考点2中心投影】【典例3】（2022锡山区一模）如图，晚上小亮在路灯下散步，在小亮

10、由A处径直走到B处这一过程中，他在地上的影子（）A逐渐变短B先变短后变长C先变长后变短D逐渐变长【变式3-1】（2021秋新华区校级期末）太阳发出的光照在物体上是（），路灯发出的光照在物体上是（）A平行投影，中心投影B中心投影，平行投影C平行投影，平行投影D中心投影，中心投影【变式3-2】（2021秋龙岗区校级期末）晚上，人在马路上走过一盏路灯的过程中，其影子长度的变化情况是（）A先变短后变长B先变长后变短C逐渐变短D逐渐变长【变式3-3】（2021秋市北区期末）在同一时刻的太阳光下，小刚的影子比小红的影子长，那么，在晚上同一路灯下（）A不能够确定谁的影子长B小刚的影子比小红的影子短C小刚跟小

11、红的影子一样长D小刚的影子比小红的影子长【考点3 中心投影与相似】【典例4】（2021秋衡阳期末）如图，王华晚上由路灯A下的B处走到C处时，测得影子CD的长为1米，继续往前走3米到达E处时，测得影子EF的长为2米，已知王华的身高是1.5米，那么路灯A的高度AB是多少？【变式4-1】（2021秋深圳期中）如图，一路灯距地面5.6米，身高1.6米的小方从距离灯的底部（点O）5米的A处，沿OA所在的直线行走到点C时，人影长度增长3米，求小方行走的路程【变式4-2】（2019秋揭西县期末）如图，在地面上竖直安装着AB、CD、EF三根立柱，在同一时刻同一光源下立柱AB、CD形成的影子为BG与DH（1）

12、填空：判断此光源下形成的投影是： 投影（2）作出立柱EF在此光源下所形成的影子【考点4 视点、视角和盲区】【典例5】（2020碑林区校级一模）在同车道行驶的机动车，后车应当与前车保持足以采取紧急制动措施的安全距离，如图，在一个路口，一辆长为10m的大巴车遇红灯后停在距交通信号灯20m的停止线处，小张驾驶一辆小轿车跟随大巴车行驶设小张距大巴车尾xm，若大巴车车顶高于小张的水平视线0.8m，红灯下沿高于小张的水平视线3.2m，若小张能看到整个红灯，求出x的最小值【变式5-1】（2021秋中原区校级期中）如图，EB为驾驶员的盲区，驾驶员的眼睛点P处与地面BE的距离为1.6米，车头FACD近似看成一个

13、矩形，且满足3FD2FA，若盲区EB的长度是6米，则车宽FA的长度为（）米ABCD2【变式5-2】（2019秋凤翔县期末）小明开着汽车在平坦的公路上行驶，前方出现两座建筑物A、B（如图），在（1）处小明能看到B建筑物的一部分，（如图），此时，小明的视角为30，已知A建筑物高25米（1）请问汽车行驶到什么位置时，小明刚好看不到建筑物B？请在图中标出这点（2）若小明刚好看不到B建筑物时，他的视线与公路的夹角为45，请问他向前行驶了多少米？（ 精确到0.1） 专题5.1 投影（知识解读）【直击考点】 【学习目标】1以分析实际例子为背景，认识投影和视图的基本概念和基本性质；2.懂得运用投影知识解决有关

14、的实际问题。【知识点梳理】考点1 平行投影1.一般地，用光线照射物体，在某个平面(地面或墙壁等)上得到的影子，叫做物体的投影.只要有光线，有被光线照到的物体，就存在影子.太阳光线可看做平行的，象这样的光线照射在物体上，所形成的投影叫做平行投影.由此我们可得出这样两个结论：(1)等高的物体垂直地面放置时，如图1所示，在太阳光下，它们的影子一样长.(2)等长的物体平行于地面放置时，如图2所示，它们在太阳光下的影子一样长，且影长等于物体本身的长度.2. 物高与影长的关系（1）在不同时刻，同一物体的影子的方向和大小可能不同.不同时刻，物体在太阳光下的影子的大小在变，方向也在改变，就北半球而言，从早晨到

15、傍晚，物体影子的指向是：西西北北东北东，影长也是由长变短再变长.（2）在同一时刻，不同物体的物高与影长成正比例.即：.利用上面的关系式可以计算高大物体的高度，比如旗杆的高度等.注意：利用影长计算物高时，要注意的是测量两物体在同一时刻的影长.注意：1平行投影是物体投影的一种，是在平行光线的照射下产生的.利用平行投影知识解题要分清不同时刻和同一时刻.2物体与影子上的对应点的连线是平行的就说明是平行光线.考点2 中心投影若一束光线是从一点发出的，像这样的光线照射在物体上所形成的投影，叫做中心投影.这个“点”就是中心，相当于物理上学习的“点光源”.生活中能形成中心投影的点光源主要有手电筒、路灯、台灯、

16、投影仪的灯光、放映机的灯光等.相应地，我们会得到两个结论：(1)等高的物体垂直地面放置时，如图1所示，在灯光下，离点光源近的物体它的影子短，离点光源远的物体它的影子长.(2)等长的物体平行于地面放置时，如图2所示.一般情况下，离点光源越近，影子越长；离点光源越远，影子越短，但不会比物体本身的长度还短.在中心投影的情况下，还有这样一个重要结论：点光源、物体边缘上的点以及它在影子上的对应点在同一条直线上，根据其中两个点，就可以求出第三个点的位置.注意： 光源和物体所处的位置及方向影响物体的中心投影，光源或物体的方向改变，则该物体的影子的方向也发生变化，但光源、物体的影子始终分离在物体的两侧.考点3

17、 平行投影与中心投影的区别与联系2. 联系：（1）中心投影、平行投影都是研究物体投影的一种，只不过平行投影是在平行光线下所形成的投影，通常的平行光线有太阳光线、月光等，而中心投影是从一点发出的光线所形成的投影，通常状况下，灯泡的光线、手电筒的光线等都可看成是从某一点发射出来的光线.（2）在平行投影中，同一时刻改变物体的方向和位置，其投影也跟着发生变化；在中心投影中，同一灯光下，改变物体的位置和方向，其投影也跟着发生变化.在中心投影中，固定物体的位置和方向，改变灯光的位置，物体投影的方向和位置也要发生变化.2.区别：（1）太阳光线是平行的，故太阳光下的影子长度都与物体高度成比例；灯光是发散的，灯

18、光下的影子与物体高度不一定成比例.（2）同一时刻，太阳光下影子的方向总是在同一方向，而灯光下的影子可能在同一方向，也可能在不同方向.注意：在解决有关投影的问题时必须先判断准确是平行投影还是中心投影，然后再根据它们的具体特点进一步解决问题.考点4 正投影正投影的定义：如图所示，图(1)中的投影线集中于一点，形成中心投影；图(2)(3)中，投影线互相平行，形成平行投影；图(2)中，投影线斜着照射投影面；图(3)中投影线垂直照射投影面(即投影线正对着投影面)，我们也称这种情形为投影线垂直于投影面.像图(3)这样，投影线垂直于投影面产生的投影叫做正投影.(1)线段的正投影分为三种情况.如图所示. 线段

19、AB平行于投影面P时，它的正投影是线段A1B1，与线段AB的长相等； 线段AB倾斜于投影面P时，它的正投影是线段A2B2，长小于线段AB的长； 线段AB垂直于投影面P时，它的正投影是一个点.(2)平面图形正投影也分三种情况，如图所示.当平面图形平行于投影面Q时，它的正投影与这个平面图形的形状、大小完全相同，即正投影与这个平面图形全等；当平面图形倾斜于投影面Q时，平面图形的正投影与这个平面图形的形状、大小发生变化，即会缩小，是类似图形但不一定相似.当平面图形垂直于投影面Q时，它的正投影是直线或直线的一部分.(3)立体图形的正投影.物体的正投影的形状、大小与物体相对于投影面的位置有关，立体图形的正

20、投影与平行于投影面且过立体图形的最大截面全等.注意：(1)正投影是特殊的平行投影，它不可能是中心投影.(2)由线段、平面图形和立体图形的正投影规律，可以识别或画出物体的正投影.(3)由于正投影的投影线垂直于投影面，一个物体的正投影与我们沿投影线方向观察这个物体看到的图象之间是有联系的.【典例分析】【考点1 平行投影】【典例1】（2022河池模拟）下列四幅图，表示两棵树在同一时刻阳光下的影子是（）ABCD【答案】B【解答】解：太阳光和影子，同一时刻，杆高和影长成正比例，且影子的位置在物体的同一方向上，可知选项B中的图形符合题意；故选：B【变式1-1】（2021铁岭模拟）下列投影是平行投影的是（）

21、A太阳光下窗户的影子B台灯下书本的影子C在手电筒照射下纸片的影子D路灯下行人的影子【答案】A【解答】解：A、太阳光下窗户的影子，是平行投影，故本选项正确；B、台灯下书本的影子是中心投影，故本选项错误；C、在手电筒照射下纸片的影子是中心投影，故本选项错误；D、路灯下行人的影子是中心投影，故本选项错误；故选：A【变式1-2】（2021秋兰州期末）如图是滨河公园中的两个物体，一天中四个不同时刻在太阳光的照射下落在地面上的影子，按照时间的先后顺序排列正确的是（）A（3）（4）（1）（2）B（4）（3）（1）（2）C（4）（3）（2）（1）D（2）（4）（3）（1）【答案】C【解答】解：按照时间的先后顺

22、序排列正确的是（4）、（3）、（2）、（1）故选：C【典例2】（2021秋太平区期末）小红想利用阳光下的影长测量学校旗杆AB的高度如图，他在某一时刻在地面上竖直立一个2米长的标杆CD，测得其影长DE0.4米（1）请在图中画出此时旗杆AB在阳光下的投影BF（2）如果BF1.6，求旗杆AB的高【解答】解：（1）连接CE，过A点作AFCE交BD于F，则BF为所求，如图；（2）AFCE，AFBCED，而ABFCDE90，ABFCDE，即，AB8（m）答：旗杆AB的高为8m【变式2-1】（2014秋福鼎市校级期中）已知，如图，AB和DE是直立在地面上的两根立柱AB6m，某一时刻AB在太阳光下的投影BC3

23、m（1）请你在图中画出此时DE在太阳光下的投影EF；（2）在测量AB的投影时，同时测量出DE在太阳光下的投影EF长为6m，请你计算DE的长【解答】解：（1）（连接AC，过点D作DFAC，交直线BC于点F，线段EF即为DE的投影，如图；（2）ACDF，ACBDFEABCDEF90，ABCDEF，即DE12（m）【变式2-3】（盐城校级模拟）如图，小明与同学合作利用太阳光线测量旗杆的高度，身高1.6m的小明落在地面上的影长为BC2.4m（1）请你在图中画出旗杆在同一时刻阳光照射下落在地面上的影子EG；（2）若小明测得此刻旗杆落在地面的影长EG16m，请求出旗杆DE的高度【解答】解：（1）影子EG如

24、图所示；（2）DGAC，DGEACB，RtABCRtDEG，即，解得DE，旗杆的高度为m【考点2中心投影】【典例3】（2022锡山区一模）如图，晚上小亮在路灯下散步，在小亮由A处径直走到B处这一过程中，他在地上的影子（）A逐渐变短B先变短后变长C先变长后变短D逐渐变长【答案】B【解答】解：晚上小亮在路灯下散步，在小亮由A处径直走到B处这一过程中，他在地上的影子先变短，再变长故选：B【变式3-1】（2021秋新华区校级期末）太阳发出的光照在物体上是（），路灯发出的光照在物体上是（）A平行投影，中心投影B中心投影，平行投影C平行投影，平行投影D中心投影，中心投影【答案】A【解答】解：太阳发出的光照

25、在物体上是平行投影，路灯发出的光照在物体上是中心投影故选：A【变式3-2】（2021秋龙岗区校级期末）晚上，人在马路上走过一盏路灯的过程中，其影子长度的变化情况是（）A先变短后变长B先变长后变短C逐渐变短D逐渐变长【答案】A【解答】解：人从马路边向一盏路灯下靠近时，光与地面的夹角越来越大，人在地面上留下的影子越来越短，当人到达路灯的下方时，人在地面上的影子变成一个圆点，当人再次远离路灯时，光线与地面的夹角越来越小，人在地面上留下的影子越来越长，所以人在走过一盏路灯的过程中，其影子的长度变化是先变短后变长故选：A【变式3-3】（2021秋市北区期末）在同一时刻的太阳光下，小刚的影子比小红的影子长

26、，那么，在晚上同一路灯下（）A不能够确定谁的影子长B小刚的影子比小红的影子短C小刚跟小红的影子一样长D小刚的影子比小红的影子长【答案】A【解答】解：在同一路灯下由于位置不同，影长也不同，所以无法判断谁的影子长故选：A【考点3 中心投影与相似】【典例4】（2021秋衡阳期末）如图，王华晚上由路灯A下的B处走到C处时，测得影子CD的长为1米，继续往前走3米到达E处时，测得影子EF的长为2米，已知王华的身高是1.5米，那么路灯A的高度AB是多少？【解答】解：，当王华在CG处时，RtDCGRtDBA，即，当王华在EH处时，RtFEHRtFBA，即，CGEH1.5米，CD1米，CE3米，EF2米，设AB

27、x，BCy，解得：y3，经检验y3是原方程的根，即，解得x6米即路灯A的高度AB6米【变式4-1】（2021秋深圳期中）如图，一路灯距地面5.6米，身高1.6米的小方从距离灯的底部（点O）5米的A处，沿OA所在的直线行走到点C时，人影长度增长3米，求小方行走的路程【解答】解：AEOD，GOOD，EAGO，AEBOGB，解得AB2（m）；OA所在的直线行走到点C时，人影长度增长3米，DC5（m），同理可得DFCDGO，即 ，解得AC7.5（m）答：小方行走的路程AC为7.5m【变式4-2】（2019秋揭西县期末）如图，在地面上竖直安装着AB、CD、EF三根立柱，在同一时刻同一光源下立柱AB、CD

28、形成的影子为BG与DH（1）填空：判断此光源下形成的投影是：中心投影（2）作出立柱EF在此光源下所形成的影子【解答】解：（1）如图所示：此光源下形成的投影是：中心投影，故答案为：中心；（2）如图所示，线段FI为立柱EF在此光源下所形成的影子【考点4 视点、视角和盲区】【典例5】（2020碑林区校级一模）在同车道行驶的机动车，后车应当与前车保持足以采取紧急制动措施的安全距离，如图，在一个路口，一辆长为10m的大巴车遇红灯后停在距交通信号灯20m的停止线处，小张驾驶一辆小轿车跟随大巴车行驶设小张距大巴车尾xm，若大巴车车顶高于小张的水平视线0.8m，红灯下沿高于小张的水平视线3.2m，若小张能看到

29、整个红灯，求出x的最小值【解答】解：如图，由题可得CDAB，OCDOAB，即，解得x10，x的最小值为10【变式5-1】（2021秋中原区校级期中）如图，EB为驾驶员的盲区，驾驶员的眼睛点P处与地面BE的距离为1.6米，车头FACD近似看成一个矩形，且满足3FD2FA，若盲区EB的长度是6米，则车宽FA的长度为（）米ABCD2【答案】B【解答】解：如图，过点P作PMBE，垂足为M，交AF于点N，则PM1.6，设FAx米，由3FD2FA得，FDxMN，四边形ACDF是矩形，AFCD，PAFPBE，即，PNx，PN+MNPM，x+x1.6，解得，x，故选：B【变式5-2】（2019秋凤翔县期末）小明开着汽车在平坦的公路上行驶，前方出现两座建筑物A、B（如图），在（1）处小明能看到B建筑物的一部分，（如图），此时，小明的视角为30，已知A建筑物高25米（1）请问汽车行驶到什么位置时，小明刚好看不到建筑物B？请在图中标出这点（2）若小明刚好看不到B建筑物时，他的视线与公路的夹角为45，请问他向前行驶了多少米？（ 精确到0.1）【解答】解：（1）如图所示：汽车行驶到E点位置时，小明刚好看不到建筑物B；（2）小明的视角为30，A建筑物高25米，AC25，tan30，AM25，AEC45，AEAC25m，MEAMAE43.32518.3m则他向前行驶了18.3米