专题5.1 相交线与垂线（知识梳理与考点分类讲解）-2023-2024学年七年级数学下册基础知识专项突破讲与练（人教版）.docx

1、专题5.1 相交线与垂直（知识梳理与考点分类讲解）【知识点一】邻补角与对顶角1.邻补角：如果两个角有一条公共边，并且它们的另一边互为反向延长线，那么具有这种关系的两个角叫做互为邻补角要点提醒：(1).邻补角的定义既包含了位置关系，又包含了数量关系：“邻”指的是位置相邻，“补”指的是两个角的和为180(2).邻补角是成对出现的，而且是“互为”邻补角(3).互为邻补角的两个角一定互补，但互补的两个角不一定互为邻补角(4).邻补角满足的条件：有公共顶点；有一条公共边；另一边互为反向延长线.2. 对顶角及性质：（1）定义：由两条直线相交构成的四个角中，有公共顶点没有公共边(相对)的两个角，互为对顶角（

2、2）性质：对顶角相等要点提醒：(1).由定义可知只有两条直线相交时，才能产生对顶角(2).对顶角满足的条件：相等的两个角；有公共顶点且一角的两边是另一角两边的反向延长线.【知识点二】垂线1垂线的定义：两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫垂足要点提醒：(1)记法：直线a与b垂直，记作：；直线AB和CD垂直于点O，记作：ABCD于点O.(2) 垂直的定义具有二重性，既可以作垂直的判定，又可以作垂直的性质，即有：CDAB2垂线的画法：过一点画已知直线的垂线，可通过直角三角板来画，具体方法是使直角三角板的一条直角边和已知直

3、线重合，沿直线左右移动三角板，使另一条直角边经过已知点，沿此直角边画直线，则所画直线就为已知直线的垂线(如图所示)要点提醒：(1)如果过一点画已知射线或线段的垂线时，指的是它所在直线的垂线，垂足可能在射线的反向延长线上，也可能在线段的延长线上(2)过直线外一点作已知直线的垂线，这点与垂足间的线段为垂线段3垂线的性质：（1）在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直（2）连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短简单说成：垂线段最短要点提醒：（1）性质（1）成立的前提是在“同一平面内”，“有”表示存在，“只有”表示唯一，“有且只有”说明了垂线的存在性和唯一性（2）性质（2）是“连

4、接直线外一点和直线上各点的所有线段中，垂线段最短”实际上，连接直线外一点和直线上各点的线段有无数条，但只有一条最短，即垂线段最短在实际问题中经常应用其“最短性”解决问题4点到直线的距离：定义：直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离要点提醒：（1） 点到直线的距离是垂线段的长度，是一个数量，不能说垂线段是距离；（2）求点到直线的距离时，要从已知条件中找出垂线段或画出垂线段，然后计算或度量垂线段的长度【考点目录】 【考点1】对顶角与邻补角认识； 【考点2】利用对顶角性质和邻补角互补求值；【考点3】垂直定义的理解； 【考点4】作图（画垂线）；【考点6】点到直线的距离的判定与求值；【考

5、点7】求最值（垂线段最短）.【考点1】对顶角与邻补角认识； 【例1】（2023下七年级课时练习）如图，直线相交于点是内部的一条射线（1）写出和的邻补角；（2）写出图中所有的对顶角【答案】（1）的邻补角为的邻补角为（2）与互为对顶角，与互为对顶角【解析】略【变式1】（2022上黑龙江哈尔滨七年级校考期中）下列图中，和是对顶角的有（）个A个B个C个D个【答案】A【分析】根据对顶角的两边互为反向延长线对各图形分析判断后进行解答解：根据对顶角的定义：中和不是对顶角；中和是对顶角；中和不是对顶角；中和不是对顶角；故选：【点拨】此题考查了对顶角的定义，掌握对顶角的定义是解题的关键【变式2】（2023下广东

6、中山七年级校考阶段练习）如图，直线相交于点的对顶角是 ，的邻补角是 【答案】 或【分析】根据对顶角定义，结合图形可知的对顶角是；根据邻补角定义，结合图形可知的邻补角是或，从而得到答案解：由图可知，的对顶角是；的邻补角是或，故答案为：；或【点拨】本题考查对顶角定义及邻补角定义，熟记对顶角与邻补角定义，结合图形求解是解决问题的关键【考点2】利用对顶角性质和邻补角互补求值；【例2】（2023上黑龙江绥化七年级校考阶段练习）如图，直线、相交于点O，射线将分成两个角，且（1）求的度数；（2）若平分，则是的平分线吗？判断并说明理由【答案】（1）；（2）OB是的平分线，理由见分析【分析】本题考查了几何图形中

7、的角度计算，角平分线的定义：（1）由对顶角相等可得，再根据即可求解；（2）由邻补角的性质求得，再由角平分线的性质求得，即可得出结论（1）解：，；（2）解：是理由如下：，平分，是的平分线【变式1】（2023上广东珠海八年级珠海市第九中学校考期中）如图，直线，相交于点，平分，若，则的度数为（）ABCD【答案】D【分析】首先根据对顶角相等和角平分线的概念得到，然后根据平角的概念求解即可解：平分，故选：D【点拨】此题考查了对顶角相等，角平分线的概念，平角的概念，解题的关键是熟练掌握以上知识点【变式2】（2023下七年级课时练习）如图，已知，则图中与相等的角（不含）共有 个【答案】3【解析】略【考点3】

8、垂直定义的理解； 【例3】（2023下七年级课时练习）如图，直线AB，CD相交于点O，（1）若，判断ON与CD的位置关系请将下面的解题过程补充完整，在括号内填写理由解：ON_CD理由如下：因为，所以_所以_又因为，所以_（等量代换），即所以_（_）（2）若，求的度数【答案】（1），90，垂直的定义（2）解：（1）90垂直的定义（2）因为，所以因为，所以所以所以所以所以【变式1】（2024下全国七年级假期作业）如图，直线AB，CD相交于点O已知于点O，OF平分BOC若，则AOD的度数是（）ABCD【答案】D【解析】略【变式2】（2023上吉林松原七年级校联考期末）如图，直线、相交于点O，射线平分

9、，若，则的度数为 【答案】/55度【分析】本题考查了图形中角的计算，涉及到角平分线的定义、垂直的定义，根据角平分线与垂直的概念结合图形中角之间的关系即可求解解：，射线平分，故答案为：【考点4】作图（画垂线）；【例4】（2021下上海静安七年级上海市市北初级中学校考期中）如图所示，是钝角.（不写作图过程，保留作图痕迹）（1）画出点A到的垂线段.（2）过点C画的垂线.【答案】（1）见分析；（2）见分析；【分析】（1）根据题意画出点A到的垂线段即可；（2）根据题意过点C画的垂线即可解：（1）如图，线段即为点A到的垂线段，（2）如图，线段即为所作的垂线，【点拨】本题考查作图-基本作图，解题的关键是理解

10、垂线段的概念及作法【变式1】（2023下福建厦门七年级统考期末）如图，已知直线，点在直线上，用三角尺过点画直线的垂线下列选项中，三角尺摆放位置正确的是（）A B CD【答案】C【分析】根据直角三角板画垂线的步骤：一利用直角三角板的一直角边贴在已知直线上，二移动三角板另一直角边到已知点，三过已知点画垂线，四画出垂直符号对每一项判断即可解：三角尺过点画直线的垂线：一、利用直角三角板的一直角边贴在已知直线上，二、移动三角板另一直角边到已知点，三、过已知点画垂线，四、画垂直符合，项符合题意，不符合题意；故选【点拨】本题考查了利用直角三角板画垂线的步骤：一利用直角三角板的一直角边贴在已知直线上，二移动三

11、角板另一直角边到已知点，三过已知点画垂线，四画出垂直符号，熟记直角三角板画垂线的步骤是解题的关键【变式2】（2018下七年级课时练习）如图，一束光线以入射角为50的角度射向斜放在地面AB上的平面镜CD，经平面镜反射后与水平面成30的角，则CD与地面AB所成的角CDA的度数是 【答案】70解：过点E作EMCD于E根据题意得：1=2=50，END=30，DEN=40，CDA=DEN+END=30+40=70故答案为70【点拨】本题借助物理里的反射光线考查了三角形外角定理属于学科交叉知识，题目难度不大，注意数形结合思想的应用【考点5】点到直线的距离的判定与求值【例5】（2023下上海七年级专题练习）

12、如图，已知于，于，则：（1）点到直线的距离为_；（2）点到直线的距离为_；（3）点到直线的距离为_；（4）点到直线的距离为_；（5）点到直线的距离为_【答案】（1）；（2）；（3）；（4）；（5）【分析】（1）根据点到直线的距离，可得点到直线的距离为线段的长；（2）根据点到直线的距离，可得点到直线的距离为线段的长；（3）根据点到直线的距离，可得点到直线的距离为线段的长；（4）根据点到直线的距离，可得点到直线的距离为线段的长；（5）根据点到直线的距离，可得点到直线的距离为线段的长（1）解：，点到直线的距离为线段的长，；故答案为：（2）解：，点到直线的距离为线段的长，；故答案为：（3）解：，点到直

13、线的距离为线段的长，；故答案为：（4）解：，点到直线的距离为线段的长，；故答案为：（5）解：，点到直线的距离为线段的长，故答案为：【点拨】此题考查点到直线的距离的定义，两点间的距离的定义，解题关键在于掌握其定义.【变式1】（2023下河北石家庄七年级统考期中）如图，点在直线上，点，分别在直线上，于点，于点，则下列说法正确的是（） A点到直线的距离等于B点到直线的距离等于C点到直线的距离等于D点到直线的距离等于【答案】D【分析】根据点到直线的距离求解即可解：于点，于点，点到直线的距离等于，点到直线的距离等于，故选：D【点拨】本题考查了点到直线的距离，利用点到直线的距离定义是解题关键【变式2】（2

14、021下广东东莞七年级校考阶段练习）在中，、过作，垂足为，已知，点到的距离为 ，这个长度是 【答案】 线段的长度 12【分析】根据点到直线的距离为过该点到直线的垂线段的距离，进行判断计算即可解：，点到的距离为线段的长度，这个长度是；故答案为：线段的长度，12【点拨】本题考查点到直线的距离熟练掌握点到直线的距离为点到直线的垂线段的长度，是解题的关键【考点6】求最值（垂线段最短）【例6】（2022下北京七年级校考期中）如图，已知点P在AOC的边OA上，（1）过点P画OA的垂线交OC于点B；（2）画点P到OB的垂线段PM；（3）测量P点到OB边的距离：_cm；（4）AOC与BPM之间的数量关系为_，

15、理由为_【答案】（1）见分析；（2）见分析；（3）1.5；（4）相等，等角的余角相等【分析】（1）根据垂线的定义画出图形即可；（2）根据垂线段的定义画出图形即可；（3）利用测量法解决问题即可；（4）根据垂直的定义及等角的余角相等即可求解解：（1）如图，直线PB即为所求作；（2）如图，线段PM即为所求作；（3）P点到OB边的距离为PM的长度，通过测量可得PM约为1.5cm长，故答案为：1.5；（4），AOC=BPM，故答案为：相等，等角的余角相等【点拨】本题考查作图一基本作图，垂线，垂线段及点到直线的距离，等角的余角相等，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题【变式1】（2023下湖北省

16、直辖县级单位七年级校考阶段练习）直角三角形中，则点到直线上各点的所有线段中，最短的线段长为（） ABCD【答案】C【分析】根据垂线段最短解决此题解：如图，过点B作于点D ，根据垂线段最短，点B到直线上各点的所有线段中，最短的线段长为故选：C【点拨】本题主要考查垂线段最短，熟练掌握垂线段最短是解决本题的关键【变式2】（2023上陕西西安七年级西安市铁一中学校考开学考试）如图，直角三角形中，点是边上一动点，作直线经过点点，分别过点，作与垂直，与垂直垂足分别为，设线段，的长度分别为，则的最大值为 【答案】【分析】根据，即得到，则的最大值就是的最小值，由垂线段最短可得当时，最小，即可求解解：由题意可得：，即化简可得：解得，则的最大值就是的最小值，由垂线段最短可得当时，最小，由可得，的最大值为故答案为：【点拨】此题考查了三角形面积的求解，垂线段最短，解题的关键是得出，确定的最大值就是的最小值，并掌握垂线段最短的性质