专题5.4 求解二元一次方程组（知识梳理与考点分类讲解）-2023-2024学年八年级数学上册基础知识专项突破讲与练（北师大版）.docx

1、专题5.4 求解二元一次方程组（知识梳理与考点分类讲解）【知识点1】代入消元法解二元一次方程组代入消元法：（1） 定义：将其中一个方程组中的某个未知数用含有另一个未知数的代数式表示出来，并代入另一个方程组，从而消去一个未知数，化二元一次方程组为一元一次方程，这种解方程组的方法称为代入消元法，简称代入法.（2） 用代入消元法解二元一次方程组的一般步骤：步骤具体做法目的注意事项（1） 变形选取一个系数比较简单的二元一次方程变形，用含一个未知数的式子表示另一个未知数变形为x=ax+b（或x=ay+b）（a,b是常数,a0）的形式一般选未知数系数比较简单的方程变形（2）代入把y=ax+B（或x=ay+

2、b）代入另一个没有变形的方程消去一个未知数，将二元一次方程组转化为一元一次方程变形后的方程只能代入另一个方程（或另一个方程变形后的方程）（3）求解解消元后的一元一次方程求出一个未知数的值去括号时不能漏乘，移项时所移的项要变号（4）回代把求得的未知数的值代入步骤（1）中变形后的方程求出另一个未知数的值一般代入变形后的方程（5）写解把两个未知数的值用大括号联立起来特别提醒：将方程组中的一个二元一次方程写成用含一个未知数的式子表示另一个未知数的形式，是用代入法解二元一次方程组的前提和关键，其方法就是利用等式的性质将其变形为y=ax+b（或x=ay+b）的形式，其中a,b为常数,a0.用含一个未知数的

3、式子表示另一个未知数后，应代入另一个方程求解，否则只能得到一个恒等式，并不能求出方程组的解.【知识点2】加减消元法解二元一次方程组1. 加减消元法的定义 通过将两个方程相加（减）消去其中一个未知数，将二元一次方程组转化为一元一次方程来解，这种解二元一次方程组的方法叫做加减消元法，简称加减法.2. 用加减消元法解二元一次方程组的一般步骤步骤具体做法目的注意事项（1）变形根据绝对值较小的未知数（同一个未知数）的系数的最小公倍数，给方程的两边都乘适当的数.使某一个未知数在两个方程中的系数相等或互为相反数.给某个方程乘一个数时，方程两边的每一项都要和这个数相乘（2）代入两个方程中同一个未知数的系数互为

4、相反数时，将两个方程相加；同一个未知数的系数相等时，将两个方程相减.消去一个未知数，将二元一次方程组转化为一元一次方程把两个方程相加（减）时，一定要把两个方程两边分别相加（减）.（3）求解解消元后的一元一次方程求出一个未知数的值（4）回代把求得的未知数的值代入方程组中某个较简单的方程求出另一个未知数的值回代时选择系数较简单的方程（5）写解把两个未知数的值用大括号联立起来特别提醒：1.两个方程同一未知数的系数的绝对值相等或成倍数关系时，解方程组应考虑用加减消元法.2.如果同一未知数的系数的绝对值既不相等又不成倍数关系，我们应设法将一个未知数的系数的绝对值转化为相等关系.3.用加减法时，一般选择系

5、数比较简单（同一未知数的系数的绝对值相等或成倍数关系）的未知数作为消元对象.【考点目录】【考点1】代入消元法解二元一次方程组； 【考点2】加减消元法解二元一次方程组；【考点3】同解方程组； 【考点4】整体思想解二元一次方程组；【考点5】求解二元一次方程组错题复原问题；【考点6】求解二元一次方程组参数问题；【考点7】构造二元一次方程组求解。【考点一】代入消元法解二元一次方程组【例1】（2020下江苏苏州七年级校考阶段练习）解方程组（用代入法）（1）（2）【答案】（1）（2）【分析】（1）把变形为y=2x-5，再代入求出x的值，故可求解；（2）把变形为x=2y+4，再代入求出y的值，故可求解解：（

6、1）由得y=2x-5把代入得3x+4（2x-5）=2解得x=2把x=2代入得y=-1原方程组的解为（2）由得x=2y+4把代入得4（2y+4）+3y=5解得y=-1把y=-1代入得x=2原方程组的解为【点拨】此题主要考查二元一次方程方程组的求解，解题的关键是熟知代入法的运用【举一反三】【变式1】（2020下七年级统考课时练习）用代入法解下列方程组：（1）；（2）.【答案】（1）；（2）【分析】（1）由，得，把代入，求出y，再把y的值代入求得x的值从而得到方程组的解；（2）由，得3y=2x-4，把代入，求出x，再把x值代入求得y的值从而得到方程组的解解：（1），由，得把代入，得.解得.把代入，得

7、.故原方程组的解为，（2），由得3y=2x-4把代入，得.解得.把代入得.故原方程组的解为.【点拨】此题考查了代入法解二元一次方程组熟练掌握代入法解二元一次方程组方法是解本题的关键【变式2】（2019上八年级课时练习）用代入法解下列方程组（1） （2）【答案】（1） （2）【分析】代入法的步骤：先选其中的一个方程用其中一个未知数表示另一个未知数，再代入另一个方程，从而达到消元的目的.解：（1），变形得：，把代入得：，解得：，把代入得：，所以方程组的解是：.（2）可化为：，变形得：，把代入得：，解得：，把代入得：，所以方程组的解是：.【点拨】本题主要考查利用代入消元法解二元一次方程组的方法与步骤

8、，可以结合代入法的特征进行解答.【考点二】加减消元法解二元一次方程组【例2】（2019下七年级课时练习）解方程组：【答案】【分析】根据加减消元法解二元一次方程组即可求解解：，4得：，+得：，解得：，把代入得：解得：，则方程组的解为【点拨】本题考查了加减消元法解二元一次方程组，熟练掌握加减消元法解二元一次方程组是解题的关键【举一反三】【变式1】（2023下七年级课时练习）解方程组：（1）；（2）【答案】（1）；（2）【分析】（1）方程组利用加减消元法求出解即可；（2）方程利用加减消元法求出解即可解：（1），由，得，则，得，得所以原方程组的解为（2）由，得，化简，得，即把代入，得，解得所以原方程组

9、的解为【点拨】此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法【变式2】（2023上辽宁沈阳八年级校考期末）解方程组【答案】【分析】利用加减消元法求解即可解：，得：，解得：，把代入得：，所以方程组的解为：【点拨】本题考查了解二元一次方程组，解方程组的方法有代入消元法与加减消元法，会根据方程组的特点选择适当的方法解方程组【考点三】同解方程组【例3】（2022下河南南阳七年级统考期中）某中学七年级数学兴趣小组在一次活动中，遇到这样一个问题：已知x、y满足x+2y5，且，求m的值小璐同学说：先解关于x、y的方程组，再求m的值小明同学观察后说：方程组中含有字母，解方程

10、组可能比较麻烦但x+2y5中不含母请你用一利比较简单的方法，求出m的值【答案】m的值为4【分析】先由不含m的两个方程组成的方程组解得x、y的值，再把x、y的值代入包含x、y、m的方程，即可得到m的值解：解方程组：由得代入得解得代入中得方程组的解为把代入中得解得m的值为4【点拨】本题考查二元一次方程组和一元一次方程的综合应用，熟练掌握二元一次方程组和一元一次方程的解法是解题关键【举一反三】【变式1】（2023上重庆七年级西南大学附中校考期末）关于x，y的方程组与有相同的解，则 a （4b （3 的值为（）A（ 1B（ 6C（ 10D（ 12【答案】C【分析】先求出的解，再将解代入中求出，即可求解

11、解：方程组与有相同的解，与的解相同，由解得，解得，故选：C【点拨】本题考查了同解方程组，涉及到了解二元一次方程组，解题关键是理解同解方程组的含义，能利用其中系数确定的方程先求出它们的解，再求出其中字母系数的值【变式2】（2023下内蒙古呼和浩特七年级统考期末）已知关于，的二元一次方程组和有相同的解，则的值为 【答案】3【分析】联立，求得和的值，代入，求得，的值，进一步求解即可解：关于，的二元一次方程组和有相同的解，联立，解得：，将代入，得：，解得：，故答案为：3【点拨】本题考查了二元一次方程组的解，解二元一次方程组，联立两个已知的方程求出和的值是解题的关键【考点四】整体思想解二元一次方程组【例

12、4】（2022上吉林长春七年级吉林省第二实验学校校考期末）阅读以下材料：解方程组：；小亮在解决这个问题时，发现了一种新的方法，他把这种方法叫做“整体代入法”，解题过程如下：解：由得，将代入得：（1）请你替小亮补全完整的解题过程；（2）请你用这种方法解方程组：【答案】（1）见分析；（2）【分析】（1）根据阅读材料补全完整的解题过程即可；（2）由得代入得到关于y的方程，求出y的值，进而求出x的值，即可确定出方程组的解（1）解：，由得，将代入得：，解得：，把代入得：，解得：，故原方程组的解是：；（2）解：，整理得：，把代入得：，解得，把代入得：，解得：，故原方程组的解是：【点拨】本题主要考查了解二元

13、一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法【举一反三】【变式1】（2022下福建福州七年级福建省福州屏东中学校考期中）已知关于x，y的二元一次方程组的解为，则关于x，y的方程组的解为（）A BCD【答案】D【分析】将第二个方程组变形成和第一个方程组形式一样，根据整体思想得：，从而得出答案解：由题意可知，关于x，y的方程组的解为：，故选：D【点拨】本题考查了解二元一次方程组，对方程组进行整体换元是解题的关键【变式2】（2022下江苏盐城七年级校考阶段练习）用换元法解方程组，若设，则原方程组可化为方程组 【答案】【分析】根据题意，整体代入即可得出结果解：，设x+y=u，xy

14、=v，则原方程化为：，故答案为：【点拨】题目主要考查代入消元法，理解题意是解题关键【考点五】求解二元一次方程组错题复原问题【例5】（2017下福建漳州七年级校联考阶段练习）一个被墨水污染的方程组如下：，小刚回忆说：这个方程组的解是，而我求出的解是，经检查后发现，我的错误是由于看错了第二个方程中的的系数所致，请你根据小刚的回忆，把方程组复原出来【答案】【分析】设方程组为，而两个解都是第一个方程的解，将两个解代入到第一个方程中得到关于a、b的一元一次方程组求出a和b，再将代入第二方程得到m的值解：设被滴上墨水的方程组为由小刚所说，知和都是原方程组中第一个方程的解，则有，解之，得又因方程组的解是，所

15、以，解得，故所求方程组为【点拨】本题考查二元一次方程组的解，关键是根据给出条件求出方程组中待定的系数【举一反三】【变式1】（2023下云南昆明七年级统考期末）甲、乙两人在解方程组时，甲看错了方程中的，解得，乙看错了方程中的，解得，则的值为（）A2BC0D【答案】B【分析】把代入中求得b值，把代入中求得a值，后求值计算即可解：把代入中，得，解得；把代入中，得，解得，故选B【点拨】本题考查了方程组的解法，代数式的值计算，熟练掌握解方程组是解题的关键【变式2】（2022下江苏泰州七年级校考期中）已知方程组的解应为，小明解题时把c抄错了，因此得到的解是，则= 【答案】【分析】将两对解代入方程组的第一个

16、方程求出a与b的值，将第一对解代入第二个方程求出c的值，即可求出的值解：依题意得，解得将代入，解得则，故答案为：16【点拨】此题考查了二元一次方程组的解，解二元一次方程组，正确的计算是解题的关键，方程组的解即为能使方程组中两方程成立的未知数的值【考点六】求解二元一次方程组参数问题【例6】（2023下江苏盐城七年级校联考阶段练习）已知关于x，y的二元一次方程组（实数m是常数）（1）若，求实数m的值（2）若，求实数m的取值范围（3）在（2）的条件下，化简【答案】（1）；（2）；（3）【分析】（1）本题先将两式相加求出m的值；（2）再将两式相减可求出m的范围；（3）根据m的范围以及绝对值的性质进行化

17、简解：（1）在方程组中， 得， （2）在方程组中， 得， （3）=【点拨】本题考查了已知二元一次方程组解之和或差求参数，以及已知字母的取值范围化简绝对值，解题的关键是对方程组进行适当的恒等变形【举一反三】【变式1】（2021下上海闵行六年级上海上师初级中学校考期中）已知二元一次方程组无解，则a的值是（）.ABC1D以上都不对【答案】D【分析】由得出，把代入得出，根据方程组无解，得到，求出即可解：由得,把代入得,， 方程组无解,，故选D.【点拨】本题考查了解二元一次方程组和解一元一次方程等知识点的应用，关键是根据题意得出一个关于a的方程【变式2】（2023下河南南阳七年级统考期中）已知是二元一次

18、方程组的解，则的值是 【答案】【分析】利用二元一次方程组解的意义将x，y值代入方程组，得到关于m，n的方程组，解方程组求得m，n值，代入代数式中化简运算即可解：是二元一次方程组的解，解得：，故答案为：【点拨】本题主要考查了二元一次方程组的解，熟练掌握二元一次方程组的解的意义是解题的关键【考点七】构造二元一次方程组求解【例7】（2022下广东惠州七年级校考阶段练习）对于等式，当时，；当时，求和的值【答案】的值为2，的值为【分析】根据题意构造二元一次方程组，解方程组即可得到答案解：对于等式，当时，；当时，解得：，的值为2，的值为【点拨】本题考查了构造二元一次方程组求解，熟练掌握二元一次方程组的解法

19、是解此题的关键【举一反三】【变式1】（2023上北京海淀八年级北京市十一学校校考期中）已知：，可求得的值为（）ABC2D【答案】A【分析】根据非负数的性质求出的值，再代入进行计算即可得到答案解：，解得：，故选：A【点拨】本题考查了非负数的性质、求代数式的值，熟练掌握几个非负数的和为0，则每个非负数均为0是解此题的关键【变式2】（2021下上海杨浦七年级校考期中）a、b为常数，关于x的方程，无论k为何值，它的解总是1，则 【答案】9【分析】根据方程的解的定义，把代入方程，由k可以取得任意值可得到关于a和b式子，求得a和b的值，进而求得代数式的值解：把代入方程得，化简，得，由于k可以取任意值，则，解得：，则故答案为：9【点拨】本题考查了方程的解的定义，解一元一次方程，以及解二元一次方程组 ，正确得到a和b的值是关键