专题53 全国初中数学竞赛模拟卷（三）-2022-2023学年初中数学学科素养能力培优竞赛试题精选专练（解析版）.docx

1、专题53 全国初中数学竞赛模拟卷（三）1若关于x的方程x2-bxax-c=m-1m+1有绝对值相同，符号相反的两个根，则m的值应为（）AcB1cCa-ba+bDa+ba-b【解答】解：去分母得：（x2bx）（m+1）（axc）（m1），整理得：（m+1）x2b（m+1）xamxaxcm+c，即（m+1）x2（bm+b+aam）x+cmc0，由方程有绝对值相同，符号相反的两个根，得到bm+b+ama0，整理得：m=a-ba+b，故选：C2如图，在平面直角坐标系中，多边形OABCDE的顶点坐标分别是O（0，0），A（0，6），B（4，6），C（4，a），D（6，a）和E（6，0）若直线l：y=-1

2、3x+154将多边形OABCDE分割成面积相等的两部分，则a（）A92B113C4D3【解答】解：设直线l：y=-13x+154将多边形OABCD的边交于点F、G两点，当x0时，y=-13x+154=154，FO=154，当x6时，y=-13x+154=74，GE=74，S四边形OFGE=12(154+74)6=332，直线l：y=-13x+154将多边形OABCDE分割成面积相等的两部分，S多边形OABCDE2S四边形OFGE2332=33，46+2a33，解得a=92故选：A3已知直角三角形的三边长都是整数，且其面积与周长在数值上相等，若将全等的三角形都作为同一个，那么这样的直角三角形的个

3、数是2个【解答】解：设两条直角边为a，b，斜边为c，则面积S=12ab，周长la+b+c，a2+b2c2；又2ab（a+b）2（a2+b2）（a+b）2c2（a+b+c）（a+bc）12ab=14（a+b+c）（a+bc），12aba+b+c，（a+b+c）（a+bc）/4a+b+c14（a+bc）1，a+bc4，a2+b2c2（a+b4）2a2+b2+168a8b+2ab168a8b+2ab0，即ab4a4b+80，即（a4）（b4）8，又边长为整数，a41，2，4，8，1，2，4，8a5，6，8，12，3，2，0，4又a0，a5，6，8，12，2，3，b12，8，6，5，2，4，又a，b，

4、c都是整数，有两种直角三角形，分别是6，8，10和5，12，13；故答案为24若a、b、c均为整数，且满足（ab）2+（ac）21，则|ab|+|bc|+|ac|2【解答】解：因为a，b，c均为整数，所以ab和ac均为整数，从而由（ab）2+（ac）21可得|a-b|=1|a-c|=0或|a-b|=0|a-c|=1，若|a-b|=1|a-c|=0，则ac，从而|ab|+|bc|+|ac|ab|+|ba|+|aa|2|ab|2若|a-b|=0|a-c|=1，则ab，从而|ab|+|bc|+|ac|aa|+|ac|+|ac|2|ac|2因此，|ab|+|bc|+|ac|2故答案为：25已知二次函数

5、y2x2+bx+1（b为常数），当b取不同的值时，其图象构成一个“抛物线系”，图中的实线型抛物线分别是b取三个不同的值时二次函数的图象，它们的顶点在一条抛物线上（图中虚线型抛物线），这条抛物线的解析式是y2x2+1【解答】解：y2x2+bx+1的顶点坐标是（-b4，8-b28），设x=-b4，y=8-b28，b4x，y=8-b28=8-(-4x)28=12x2所求解析式为：y12x2，即y2x2+1故答案为：y2x2+16如图，ABC中，ABAC，点P、Q分别在AC、AB上，且APPQQCBC，则A的大小是(1807)【解答】解：ABAC，APPQ，QPQC，QCBC，ABCACB，AAQP，

6、QPCQCP，BQCB（等边对等角），设Ax，则AQPx，在AQP中，QPB是外角，QPCA+AQP2x（三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和），在BCQ中，BQC是外角，BQCACQ+A（三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和），BQC3x，B3x，ABC3x，在ABC中，A+ACB+B180，x+3x+3x180（三角形三个内角的和等于180），解得x（1807），A（1807）7如图，PA切O于点A，PE交O于点F、E，过点A作ABPO于点D，交O于点B，连接DF，若sinBAO=23，PE5DF，则PFPE=310【解答】解：连接OE，如图，ABPO，ADO90，在RtA

7、DO中，sinDAO=ODOA=23，设OD2x，OA3x，PA切O于点A，OAPA，APOOAD，在RtAPO中，sinAPO=OAOP=23，OP=323x=92x，APDOPA，RtPADRtPOA，PD：PAPA：PO，即PA2PDPO，PA切O于点A，PE交O于点F、PA2PFPE，PDPOPFPE，即PF：POPD：PE，而DPFEPO，PDFPEO，DFOE=PFPO，PF=92x3xDF=32DF，而PE5DF，PFPE=32DF5DF=310故答案为3108已知正整数x，y满足2xy+x+y117，求x+y的值【解答】解：2xy+x+y117，y=117-x2x+11，可得x

8、1163，结合正整数的条件可得x=2y=23或x=23y=2，x+y259如图，四边形ABCD是正方形，ABE是等边三角形，M为对角线BD（不含B点）上任意一点，将BM绕点B逆时针旋转60得到BN，连接EN、AM、CM（1）求证：AMBENB；（2）当M点在何处时，AM+CM的值最小；当M点在何处时，AM+BM+CM的值最小，并说明理由；（3）当AM+BM+CM的最小值为23+2时，求正方形的边长【解答】（1）证明：ABE是等边三角形，BABE，ABE60MBN60，MBNABNABEABN即MBANBE又MBNB，AMBENB（SAS）（2）解：当M点落在BD的中点时，A、M、C三点共线，A

9、M+CM的值最小如图，连接CE，当M点位于BD与CE的交点处时，AM+BM+CM的值最小理由如下：连接MN，由（1）知，AMBENB，AMEN，MBN60，MBNB，BMN是等边三角形BMMNAM+BM+CMEN+MN+CM根据“两点之间线段最短”可知，EC与BD的交点即为所求M点，使得EN+MN+CM取得最小值，最小值为EC（3）解：过E点作EFBC交CB的延长线于F，EBFABFABE906030设正方形的边长为x，则BF=32x，EF=x2在RtEFC中，EF2+FC2EC2，（x2）2+（32x+x）2（23+2）2解得x122，x222（舍去负值）正方形的边长为2210如图，ABC是

10、钝角三角形，A90，O是ABC的外接圆，直径PQ恰好经过AB的中点M，PQ与BC的交点为D，CDO45，l为过点C圆的切线，作DEl，CF也为圆的直径（1）证明：CFBDCE（2）已知O的半径为3，求AD2+CD2的值【解答】解：（1）CF也为圆的直径，CBF90，DEl，DEC90，DECCBF，l为过点C圆的切线，PQ是O的直径，CFCE，DECF，CDEBCF，CFBDCE；（2）PQ是O的直径，直径PQ恰好经过AB的中点M，PQ垂直平分AB，ADBD，ADQBDQ，BDQCDP45，ADB90，ADC90，AD2+CD2AC2，ADBD，ADB90，ABD45，连接AF，AFCABC4

11、5，ACF是等腰直角三角形，AC=22CF，O的半径为3，CF6，AC32，AD2+CD2AC21811已知：四边形ABCD中，点E、F分别为边AD、AB上的点，连接BE、DF相交于点G，且满足ADFABE（1）如图1，若DEBGn，cosAEB=23，GE3，求AE的长（用含n的代数式表示）；（2）如图2，若ABCD为矩形，G恰为BE中点，连接CG，AE1，作点A关于BE的对称点A，A到CG的距离为324，求DE的长【解答】解：（1）作GHAD于H，AIBE于I，GE3，cosAEB=23，EH2，HG=5，设AE3x，则EI2x，AI=5x，GI32x，BIBG+GIn+32x，DHDE+

12、EHn+2，ADFABE，DHGAIB90，GHDAIB，DHBI=HGAI，n+2n+3-2x=55x，解得：x=n+3n+4，AE3x=3n+9n+4；（2）如图2，连接AA交BE于M，连接AG，作ANCG于N，四边形ABCD为矩形，G恰为BE中点，CGDG，GCDGDC，BCGADGABE90CBG，BCG+CBG90，CGBE，AABE，ANCG，四边形MANG是矩形，GMAN=324，设MEx，则AGBGGEx+342，AM2AG2GM2AE2EM2（x+324）2（342）21x2，解得：x=24，BGGEME+GM=2，BE22，ABEBCG，BAEBGC90，GCBABEBCB

13、E=BGAE，BC22=21，解得：BC4，ADBC4，DEADAE41312已知：抛物线yax2+bx+c（a0），顶点C（1，3），与x轴交于A，B两点，A（1，0）（1）求这条抛物线的解析式；（2）如图，以AB为直径作圆，与抛物线交于点D，与抛物线对称轴交于点E，依次连接A，D，B，E，点P为线段AB上一个动点（P与A，B两点不重合），过点P作PMAE于M，PNDB于N，请判断PMBE+PNAD是否为定值？若是，请求出此定值；若不是，请说明理由；（3）在（2）的条件下，若点S是线段EP上一点，过点S作FGEP，FG分别与边AE，BE相交于点F，G（F与A，E不重合，G与E，B不重合），请

14、判断PAPB=EFEG是否成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由【解答】解：（1）设抛物线的解析式为ya（x1）23（1分）将A（1，0）代入：0a（11）23，解得a=34（2分）所以，抛物线的解析式为y=34（x1）23，即y=34x2-32x-94（3分）（2）是定值，PMBE+PNAD=1（4分）AB为直径，AEB90，PMAE，PMBE，APMABE，所以PMBE=APAB同理：PNAD=PBAB（5分）+：PMBE+PNAD=APAB+PBAB=1（6分）（3）直线EC为抛物线对称轴，EC垂直平分AB，EAEB，AEB90，AEB为等腰直角三角形，EABEBA45（7分）如图，过点P作PHBE于H，由已知及作法可知，四边形PHEM是矩形PHME且PHME在APM和PBH中，AMPPHB90，EABBPH45，PHBH，且APMPBH，PAPB=PMBH，PAPB=PMPH=PMME（8分）在MEP和EGF中，PEFG，FGE+SEG90，MEP+SEG90，FGEMEP，PMEFEG90，MEPEGF，PMME=EFEG由、知：PAPB=EFEG（9分）（本题若按分类证明，只要合理，可给满分）