专题58 多次使用基本不等式-2023年高考数学优拔尖核心压轴题（选择、填空题）（新高考地区专用）.docx

1、专题58 多次使用基本不等式【方法点拨】多元变量的最值问题是一种常见的题型，也是高考命题的热点，其解法灵活多变，较难把握.当目标式中有的变量间彼此独立，相互间没有制约条件时，使用分离变量法，多次使用基本不等式即可.这是可多次使用基本不等式的先决条件，其目的是保证等号能同时成立.【典型题示例】例1 若，则的最小值为_【答案】【分析】两次利用基本不等式即可求出.【解析】，当且仅当且，即时等号成立，所以的最小值为.例2 已知且，则的最小值是_.【答案】24【解析】由于，故考虑先求出的最小值，.点评：（1）“多元问题一般应减元”，这是解决多元问题的基本思路.本题中，虽然已知中含有三个变量，但其地位是不

2、同的，这里有约束条件，而变量除了“”外，没有其它的任何约束条件，系“单身狗”，故应将其分为一组-其目的是“孤立单身狗”，求出其最小值，再使用基本不等式，而两次使用基本不等式的条件没有关联；（2）在求的最小值时，观察式子的结构特征，使用了“1”的代换，其目的仍在于“化齐次”.例3 设，则 的最小值为 .【答案】【分析】所求变形为.三次使用基本不等式，第一次，在条件下，求最小值，需使用“1”的代换化齐次；第二次，在条件下，求最小值，为达到消的目的，需拆凑放缩（解答所给方法）或直接使用基本不等式；第三次，直接运用互倒型，使用基本不等式.三次使用基本不等式取等条件相互独立，从而最小值能够取得.【解析】

3、由题x+4y=1(x0，y0)，=+1+4+1=5，当且仅当x=，y=时，“=”成立因为0ts，则=，当且仅当s=2t时，“=”成立于是+5s2+4，当且仅当x=，y=，s=，t=时，“=”成立所以+的最小值为4例4 已知a0，b0，c2，且ab2，那么的最小值为_【答案】【分析】a、b间有制约条件“ab2”，“c”为独立变量，故将所求变形为c，先求出的最小值即可.【解析】因为a0，b0，所以，当且仅当ba时等号成立又因为c2，由不等式的性质可得cc.又因为c(c2)，当且仅当c2时等号成立，所以的最小值为.点评：本题中有三个变量,其中两个变量间有约束条件.先求出其最值，然后使用不等式的性质放

4、缩，再使用一次基本不等式.【巩固训练】1.已知x0，y0，则的最小值为 2.已知，则的最小值为 3.已知，且，则的最小值为 4.设正实数，满足，则实数的最小值为5.已知正数满足，则的最小值为 6. 若，则的最小值为 7.已知正数a,b满足aba+2b1，则a+12+b+22的最小值是 【答案或提示】1.【答案】【解析】所求变形为y0 ，当且仅当时，等号成立，x0，当且仅当时，等号成立，的最小值为，当且仅当，成立2.【答案】【解析】，当且仅当时，等号成立，当且仅当时，等号成立， 的最小值为，当且仅当，成立3. 【答案】【解析】先减元令，在（0,1）上递减，在（1，）上递增，所以，f（1）2当y时

5、，有最小值：所以的最小值为2.4.【答案】【解析】由正实数，满足，化为，为求的最小值，将含“”项用“”的函数表示得：（当且仅当，“=”成立），解得实数的最小值为5.【答案】 【解析】将已知条件视为关于的一元二次方程，利用解方程分离元来实施减元.由解得，当且仅当时，取等.6. 【答案】10【提示】，再利用导数知识解决.7.【答案】22+122【解析】由平方均值不等式得a+12+b+222a+1+b+22，当且仅当a=b+1时，“=”成立由aba+2b1变形得2a+1b1 所以a+ba+b2a+1b=3+2ba+ab3+22 ，当且仅当a=2b，即 a=2+2 ，b=1+2时，“=”成立将a=2+2 ，b=1+2代入得a+12+b+22=22+122.所以a+12+b+22的最小值是22+122