专题6.1 反比例函数（知识解读2）-2022-2023学年九年级数学上册《同步考点解读•专题训练》（北师大版）.docx

1、 专题6.1 反比例（知识解读2）【直击考点】 【学习目标】1. 能根据解析式画出反比例函数的图象，2. 会用待定系数法确定反比例函数解析式，进一步理解反比例函数的图象和性质3. 会解决一次函数和反比例函数有关的问题【知识点梳理】考点1 反比例函数系数k的几何意义K的几何意义在反比例函数上任取一点P(x，y),过这个点分别作x轴，y轴的垂线PM、PN，于坐标轴围成的矩形PMON的面积S=PMPN=k基本图形面积 基本图形面积 考点2 反比例函数解析式的确定待定系数法1. 设所求反比例函数解析式为：2. 找出反比例函数图像上一点P（a,b），并将其代入解析式得k=ab；3. 确定反比例函数解析式

2、利用k得几何意义题中已知面积时，考虑利用k得几何意义，由面积得，再综合图像所在象限判段k得正负，从而得出k的值，代入解析式即可考点3 反比例与一次函数的综合方法1：分类讨论的符号；方法2：四个图逐个分析判断；方法3：运用特殊点（值）去排除（此种方法作参考，不能完全排三选一）【典例分析】【考点1 反比例函数系数k的几何意义】【典例1】（2021秋霸州市期末）反比例函数的图象如图所示，则ABC的面积为（）ABC3D6【变式1-1】（2018秋顺义区期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，反比例函数y在第二象限的图象上有一点A，过点A作ABx轴于点B，则SAOB【变式1-2】（2022锡山区校级二模）

3、已知反比例函数的图象如图所示，若矩形OABC的面积为3，则k的值是（）A3B3C6D6【变式1-3】（2021春淮阴区期末）如图，过反比例函数y的图象上一点A作ABx轴于点B，连接AO，若SAOB3，则k的值为 【典例2】（2021秋进贤县校级期末）如图，两个反比例函数y和y在第一象限内的图象分别是C1和C2，设点P在C1上，PAx轴于点A，交C2于点B，则POB的面积为（）A1B2C4D无法计算【变式2-1】（2021秋济南期中）如图，过x轴正半轴任意一点P作x轴的垂线，分别与反比例函数y1和y2的图象交于点B和点A若点C是y轴上任意一点，连接AC、BC，则ABC的面积为【变式2-2】（20

4、20成都模拟）如图，A、B是反比例函数y的图象上关于原点O对称的任意两点，过点A作ACx轴于点C，连接BC，则ABC的面积为（）A1B2C3D4【变式2-3】（2020泗水县一模）如图，直线lx轴于点P，且与反比例函数y1（x0）及y2（x0）的图象分别交于点A，B，连接OA，OB，已知OAB的面积为3，则k1k2的值等于（）A1B3C6D8【典例3】（2020秋商河县校级期末）如图，在平面直角坐标系中，过x轴正半轴上任意一点P作y轴的平行线，分别交函数y（x0）、y（x0）的图象于点A、点B若C是y轴上任意一点，则ABC的面积为（）A9B6CD3【变式3-1】（2021贵池区二模）如图，直线

5、xt（t0）与反比例函数y（x0）、y（x0）的图象分别交于B、C两点，A为y轴上任意一点，ABC的面积为3，则k的值为（）A2B3C4D5【变式3-2】（2012深圳模拟）如图，A、B是函数y的图象上关于原点对称的任意两点，BCx轴，ACy轴，ABC的面积记为S，则S【典例4】（2020蒙阴县二模）如图，点P在y轴正半轴上运动，点C在x轴上运动，过点P且平行于x轴的直线分别交函数和于A、B两点，则三角形ABC的面积等于（）A3B4C5D6【变式4-1】（2019齐齐哈尔一模）如图，过y轴上任意一点P，作x轴的平行线，分别与反比例函数y和y的图象交于A点和B点，若C为x轴上任意一点，连接AC，

6、BC，则ABC的面积为（）A3B4C5D6【变式4-2】（2021蒙阴县模拟）如图，点A是反比例函数y（x0）的图象上任意一点，ABx轴交反比例函数y的图象于点B，以AB为边作平行四边形ABCD，其中C、D在x轴上，则S平行四边形ABCD为（）A2B3C4D5【变式4-3】（2021春长春期末）如图，在平面直角坐标系中，M为y轴正半轴上一点，过点M的直线lx轴，l分别与反比例函数y和y的图象交于A、B两点，若SAOB3，则k的值为 【考点2 反比例解析式的确定】【典例5】（2022春丽水期末）已知y是关于x的反比例函数，当x3时，y2（1）求此函数的表达式；（2）当x4时，函数值是2m，求m的

7、值【变式5-1】（2021秋金安区期中）已知y是x的反比例函数，且经过点（4，1）（1）求该反比例函数的表达式；（2）若反比例函数的图象经过点P（a，a4），求a的值【变式5-2】（2021秋吉林期末）已知反比例函数y（k0）的图象经过点A（2，3）（1）求反比例函数的解析式；（2）当x1且x0时，直接写出y的取值范围【变式5-3】（2021秋泸西县期末）已知y+1与x成反比例函数关系，且x4时，y2（1）求y与x之间的函数关系式；（2）当x2时，求y的值【考点3 反比例与一次函数的综合】【典例6】反比例函数y与一次函数yax+b在同一坐标系中的大致图象可能是（）ABCD【变式6-1】在同一平

8、面直角坐标系中，函数yx和y的图象大致是（）ABCD【变变式6-2】在同一平面直角坐标系中反比例函数y与一次函数yx+3的图象大致是（）ABCD【变式6-3】函数yxa与y（a0）在同一坐标系内的图象可以是（）ABCD【典例7】（2022春惠山区校级期中）如图，一次函数y1kx+b与反比例函数的图象交于A、B两点，且与x轴交于点C，点A的坐标为（2，3），点B的坐标为（6，n）（1）求一次函数与反比例函数的解析式；（2）连接AO、OB，求AOB的面积；（3）由图象直接写出：当y1y2时，自变量x的取值范围【典例7】（2022大足区模拟）如图，一次函数yk1x+b（k10）与反比例函数（k20）

9、的图象交于点A（1，3），B（n，1），与x轴交于点C（1）求反比例函数和一次函数的解析式；（2）点P在x轴上，且满足SAPB8，求点P的坐标【变式7-1】（2022宽城区校级开学）如图，在平面直角坐标系中，一次函数ykx+b（k0）的图象与反比例函数y（m0）的图象交于A（2，n），B（4，2）两点（1）求一次函数的解析式；（2）直接写出关于x的不等式kx+b的解集【变式7-2】（2022咸丰县模拟）如图，平面直角坐标系xOy中，函数的图象上A、B两点的坐标分别为A（n，n+1），B（n5，2n）（1）求反比例函数和直线AB的解析式；（2）连接AO、BO，求AOB的面积 专题6.1 反比例（

10、知识解读2）【直击考点】 【学习目标】2. 能根据解析式画出反比例函数的图象，2. 会用待定系数法确定反比例函数解析式，进一步理解反比例函数的图象和性质3. 会解决一次函数和反比例函数有关的问题【知识点梳理】考点1 反比例函数系数k的几何意义K的几何意义在反比例函数上任取一点P(x，y),过这个点分别作x轴，y轴的垂线PM、PN，于坐标轴围成的矩形PMON的面积S=PMPN=k基本图形面积 基本图形面积 考点2 反比例函数解析式的确定待定系数法4. 设所求反比例函数解析式为：5. 找出反比例函数图像上一点P（a,b），并将其代入解析式得k=ab；6. 确定反比例函数解析式利用k得几何意义题中已

11、知面积时，考虑利用k得几何意义，由面积得，再综合图像所在象限判段k得正负，从而得出k的值，代入解析式即可考点3 反比例与一次函数的综合方法1：分类讨论的符号；方法2：四个图逐个分析判断；方法3：运用特殊点（值）去排除（此种方法作参考，不能完全排三选一）【典例分析】【考点1 反比例函数系数k的几何意义】【典例1】（2021秋霸州市期末）反比例函数的图象如图所示，则ABC的面积为（）ABC3D6【答案】B【解答】解：连接OA，由反比例函数系数k的几何意义得SAOB|k|，又ABx轴，SABCSAOB，故选：B【变式1-1】（2018秋顺义区期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，反比例函数y在第二象

12、限的图象上有一点A，过点A作ABx轴于点B，则SAOB【答案】2【解答】解：设点A的坐标为（a，），反比例函数y在第二象限的图象上有一点A，过点A作ABx轴于点B，SAOB2，故答案为：2【变式1-2】（2022锡山区校级二模）已知反比例函数的图象如图所示，若矩形OABC的面积为3，则k的值是（）A3B3C6D6【答案】B【解答】解：矩形OABC的面积为3，|k|3，根据图象可知，k0，k3，故选：B【变式1-3】（2021春淮阴区期末）如图，过反比例函数y的图象上一点A作ABx轴于点B，连接AO，若SAOB3，则k的值为 【答案】-6【解答】解：设A点坐标为A（x，y），由图可知A点在第二象

13、限，x0，y0，又ABx轴，|AB|y，|OB|x|，SAOB|AB|OB|y|x|3，xy6，k6故答案为：6【典例2】（2021秋进贤县校级期末）如图，两个反比例函数y和y在第一象限内的图象分别是C1和C2，设点P在C1上，PAx轴于点A，交C2于点B，则POB的面积为（）A1B2C4D无法计算【答案】A【解答】解：PAx轴于点A，交C2于点B，SPOA42，SBOA21，SPOB211故选：A【变式2-1】（2021秋济南期中）如图，过x轴正半轴任意一点P作x轴的垂线，分别与反比例函数y1和y2的图象交于点B和点A若点C是y轴上任意一点，连接AC、BC，则ABC的面积为【答案】1【解答】

14、解：设线段OPx，则PB，AP，ABAPBP，SABCABOPx1故答案为：1【变式2-2】（2020成都模拟）如图，A、B是反比例函数y的图象上关于原点O对称的任意两点，过点A作ACx轴于点C，连接BC，则ABC的面积为（）A1B2C3D4【答案】B【解答】解：由题意可知：AOC的面积为1，A、B关于原点O对称，AOC与BOC的面积相等，SABC2SAOC2，故选：B【变式2-3】（2020泗水县一模）如图，直线lx轴于点P，且与反比例函数y1（x0）及y2（x0）的图象分别交于点A，B，连接OA，OB，已知OAB的面积为3，则k1k2的值等于（）A1B3C6D8【答案】C【解答】解：根据反

15、比例函数k的几何意义可知：AOP的面积为，BOP的面积为，AOB的面积为，3，k1k26故选：C【典例3】（2020秋商河县校级期末）如图，在平面直角坐标系中，过x轴正半轴上任意一点P作y轴的平行线，分别交函数y（x0）、y（x0）的图象于点A、点B若C是y轴上任意一点，则ABC的面积为（）A9B6CD3【答案】C【解答】解：连接OA、OB，C是y轴上任意一点，SAOBSABC，SAOP3，SBOP|6|3，SAOBSAOP+SBOP+3，SABC，故选：C【变式3-1】（2021贵池区二模）如图，直线xt（t0）与反比例函数y（x0）、y（x0）的图象分别交于B、C两点，A为y轴上任意一点，

16、ABC的面积为3，则k的值为（）A2B3C4D5【答案】D【解答】解：由题意得，点C的坐标（t，），点B的坐标（t，），BC+，则（+）t3，解得k5，故选：D【变式3-2】（2012深圳模拟）如图，A、B是函数y的图象上关于原点对称的任意两点，BCx轴，ACy轴，ABC的面积记为S，则S【答案】4【解答】解：如图，连接OC，设AC与x轴交于点D，BC与y轴交于点EA、B两点关于原点对称，BCx轴，ACy轴，ACx轴，ADCD，OAOB，SCODSAOD21，SAOC2，SBOCSAOC2，SABCSBOC+SAOC4故答案为：4【典例4】（2020蒙阴县二模）如图，点P在y轴正半轴上运动，点

17、C在x轴上运动，过点P且平行于x轴的直线分别交函数和于A、B两点，则三角形ABC的面积等于（）A3B4C5D6【答案】A【解答】解：设点P的纵坐标为a，则a，a，解得x，x，所以点A（，a），B（，a），所以AB（），AB平行于x轴，点C到AB的距离为a，ABC的面积a3故选：A【变式4-1】（2019齐齐哈尔一模）如图，过y轴上任意一点P，作x轴的平行线，分别与反比例函数y和y的图象交于A点和B点，若C为x轴上任意一点，连接AC，BC，则ABC的面积为（）A3B4C5D6【答案】A【解答】解：连接OA、OB，如图，ABx轴，SOAP|4|2，SOBP|2|1，SOAB3，ABOC，SCABS

18、OAB3故选：A【变式4-2】（2021蒙阴县模拟）如图，点A是反比例函数y（x0）的图象上任意一点，ABx轴交反比例函数y的图象于点B，以AB为边作平行四边形ABCD，其中C、D在x轴上，则S平行四边形ABCD为（）A2B3C4D5【答案】D【解答】解：连接OA、OB，AB交y轴于E，如图，ABx轴，ABy轴，SOEA3，SOBE21，SOAB1+，四边形ABCD为平行四边形，S平行四边形ABCD2SOAB5故选：D【变式4-3】（2021春长春期末）如图，在平面直角坐标系中，M为y轴正半轴上一点，过点M的直线lx轴，l分别与反比例函数y和y的图象交于A、B两点，若SAOB3，则k的值为 【

19、答案】-2【解答】解：直线lx轴，AMy轴，BMy轴，SAOM|k|，SBOM42，SAOB3，SAOM1，|k|2，k0，k2，故答案为：2【考点2 反比例解析式的确定】【典例5】（2022春丽水期末）已知y是关于x的反比例函数，当x3时，y2（1）求此函数的表达式；（2）当x4时，函数值是2m，求m的值【解答】解：（1）设y（k0），则kxy；当x3时，y2，k3（2）6，该反比例函数的解析式是：y；（2）由（1）知，y，x4时，函数值是2m，2m，m【变式5-1】（2021秋金安区期中）已知y是x的反比例函数，且经过点（4，1）（1）求该反比例函数的表达式；（2）若反比例函数的图象经过点

20、P（a，a4），求a的值【解答】解：（1）设反比例函数解析式为y，将点（4，1）代入解析式得，1，解得：k4，这个反比例函数的表达式为y；（2）反比例函数的图象经过点P（a，a4），a（a4）4，解得：a2，故a的值为2【变式5-2】（2021秋吉林期末）已知反比例函数y（k0）的图象经过点A（2，3）（1）求反比例函数的解析式；（2）当x1且x0时，直接写出y的取值范围【解答】解：（1）反比例函数y（k0）的图象经过点A（2，3），k2（3）6，反比例函数的解析式为y；（2）k60，双曲线在二、四象限，把x1代入y，得y6，当x1且x0时，y0或y6【变式5-3】（2021秋泸西县期末）已知

21、y+1与x成反比例函数关系，且x4时，y2（1）求y与x之间的函数关系式；（2）当x2时，求y的值【解答】解：（1）设y+1，把x4，y2代入得：k12，则y+1，即y1；（2）把x2代入得：y617【考点3 反比例与一次函数的综合】【典例6】反比例函数y与一次函数yax+b在同一坐标系中的大致图象可能是（）ABCD【答案】D【解答】解：A、一次函数yax+b的图象经过第一、三象限，则a0，与y轴交于负半轴，则b0，所以ab0，则反比例y经过第二、四象限，不符合题意；B、一次函数yax+b的图象经过第二、四象限，则a0，与y轴交于负半轴，则b0，所以ab0，则反比例y经过第一、三象限，不符合题

22、意；C、一次函数yax+b的图象经过第二、四象限，则a0，与y轴交于正半轴，则b0，所以ab0，则反比例y经过第二、四象限，不符合题意；D、一次函数yax+b的图象经过第一、三象限，则a0，与y轴交于负半轴，则b0，所以ab0，则反比例y经过第二、四象限，符合题意；故选：D【变式6-1】在同一平面直角坐标系中，函数yx和y的图象大致是（）ABCD【答案】B【解答】解：yx中的10，直线y1x经过第一、三象限y中的20，双曲线y经过第二、四象限，综上所述，只有B选项符合题意故选：B【变变式6-2】在同一平面直角坐标系中反比例函数y与一次函数yx+3的图象大致是（）ABCD【答案】A【解答】解：反

23、比例函数y中，30，反比例函数过第一、三象限，yx+3中，k10，b30，一次函数过第一、二、三象限；故选：A【变式6-3】函数yxa与y（a0）在同一坐标系内的图象可以是（）ABCD【答案】D【解答】解：A、由函数yxa的图象可知a0，由函数y（a0）的图象可知a0，相矛盾，故选项不可以；B、由函数yxa的图象可知a0，由函数y（a0）的图象可知a0，相矛盾，故选项不可以；C、函数yxa的图象错误，故选项不可以；D、由函数yxa的图象可知a0，由函数y（a0）的图象可知a0，一致，故故选项可以；故选：D【典例7】（2022春惠山区校级期中）如图，一次函数y1kx+b与反比例函数的图象交于A、

24、B两点，且与x轴交于点C，点A的坐标为（2，3），点B的坐标为（6，n）（1）求一次函数与反比例函数的解析式；（2）连接AO、OB，求AOB的面积；（3）由图象直接写出：当y1y2时，自变量x的取值范围【解答】解：（1）点A（2，3）在反比例函数的图像上，m236，反比例函数的解析式为，点B（6，n）在反比例函数的图像上，点B的坐标为（6，1），点A（2，3）和点B（6，1）在一次函数y1kx+b的图像上，解得，一次函数的解析式为；（2）在中，令y0，则x4，点C的坐标为（4，0），AOB的面积为8；（3）由图像可知，当y1y2时，自变量x的取值范围为x2或6x0【典例7】（2022大足区模拟

25、）如图，一次函数yk1x+b（k10）与反比例函数（k20）的图象交于点A（1，3），B（n，1），与x轴交于点C（1）求反比例函数和一次函数的解析式；（2）点P在x轴上，且满足SAPB8，求点P的坐标【解答】解：（1）将点A（1，3）代入（k20）中，得k23，反比例函数的解析式为将点B（n，1）代入中，得n3，点B的坐标为（3，1），将A（1，3），B（3，1）代入yk1x+b（k10）中，得，解得，一次函数的解析式为yx+2（2）对于一次函数yx+2，令y0，得x2，点C的坐标为（2，0）设点P坐标为（a，0），SAPBSACP+SBCP8，即|2a|3+|2a|18，|a2|4，解得a

26、2或a6点P的坐标为（2，0）或（6，0）【变式7-1】（2022宽城区校级开学）如图，在平面直角坐标系中，一次函数ykx+b（k0）的图象与反比例函数y（m0）的图象交于A（2，n），B（4，2）两点（1）求一次函数的解析式；（2）直接写出关于x的不等式kx+b的解集【解答】解：（1）反比例函数y的图象经过点B（4，2），m4（2）8反比例函数的表达式为y又点A（2，n）在反比例函数y的图象上n4，即A（2，4）一次函数ykx+b的图象经过A（2，4）、B（4，2）两点，解得，一次函数的表达式为yx+2；（2）观察图象，关于x的不等式kx+b的解集是4x0或x2【变式7-2】（2022咸丰县

27、模拟）如图，平面直角坐标系xOy中，函数的图象上A、B两点的坐标分别为A（n，n+1），B（n5，2n）（1）求反比例函数和直线AB的解析式；（2）连接AO、BO，求AOB的面积【解答】解：（1）A、B两点在的图象上，而A（n，n+1），B（n5，2n），n（n+1）（n5）（2n），即n2+n2n2+10n3n29n0，解得n10，n23的图象与坐标轴没有交点，n10舍去，n3，A（3，4），B（2，6），k3412，设直线AB的解析式为：yax+b，则，解得：直线AB的解析式为：y2x2，反比例函数解析式为：；（2）设直线AB交x轴于点D，则当y0时，2x20，x1，D（1，0），AOB的面积为5