专题6.26 反比例函数（最值问题）（基础篇）（专项练习）-2022-2023学年八年级数学下册基础知识专项讲练（浙教版）.docx

1、专题6.26 反比例函数（最值问题）（基础篇）（专项练习）反比例函数中最值问题主要包括两方面内容：一个是利用反比例函数的增减性求最值；另一个是利用几何最短路径（垂线段最短、两点之间线段最短）求最值问题，还有就是利用非负性求最值。本专题以基础、巩固、培优三个梯度精选了部分最值问题供大家选择使用。一、单选题1已知反比例函数，当时，有（）A最小值B最大值C最小值D最大值2已知反比例函数，当时，y的最大值是6，则当时，y有（）A最小值B最小值C最大值D最大值3设y1，y2（k1），当2x4时，函数y1的最大值是a，函数y2的最小值是a，则ak（）A2BCD4如图所示，双曲线y上有一动点A，连接OA，以

2、O为顶点、OA为直角边，构造等腰直角三角形OAB，则OAB面积的最小值为（）ABC2D25如图，直线与双曲线交于两点，则当线段的长度取最小值时，的值为（）ABCD6如图过原点的直线与反比例函数图象交于M，N两点，则线段MN的长度的最小值为（）A2BCD57已知反比例函数，当时，y的最大值是，则当时，y有（）A最大值，且最大值为B最大值，且最大值为C最小值，且最小值为D最小值，且最小值为8关于反比例函数，下列说法中错误的是（）A时，y随x的增大而减小B当时，C它的图象位于第二、四象限D当时，y有最小值为9已知反比例函数，当时，y的最大值是4，则当时，y有（）A最大值B最大值C最小值D最小值110

3、根据学习函数的经验，小颖在平面直角坐标系中画出了函数的图象，如下图所示，根据图象，小颖得到了该函数四条性质，其中正确的是（）A随的增大而增大B当时，C当时，有最大值D当与时，函数值相等二、填空题11反比例函数的图像与一次函数的图像相交于两点，若两点的横坐标分别为，则的最小值为_12如图，在以O为原点的直角坐标系中，矩形OABC的两边OC、OA分别在x轴、y轴的正半轴上，反比例函数y（x0）的图象与AB相交于点D与BC相交于点E，且BD3，AD6，ODE的面积为15，若动点P在x轴上，则PD+PE的最小值是_13平面直角坐标系xOy中，若点P在曲线y上，连接OP，则OP的最小值为_14已知函数，

4、下列关于它的图像与性质的说法：函数图像与坐标轴无交点；函数图像关于y轴对称；y随x的增大而减小；函数有最大值1其中正确的说法是_（写出所有正确说法的序号）15已知直线与双曲线相交于点，则的最大值是_16在平面直角坐标系中、反比例函数的图象与边长是8的正方形的两边分别相交于M，N两点，三角形的面积为，若动点P在x轴上，则的最小值是_17如图，在平面直角线坐标系中，点A，B在反比例函数的图象上运动，且始终保持线段的长度不变，M为线段的中点，连接，则线段的长度最小值是_18已知函数，当时，函数的最大值为，函数的最小值为，则的值为_三、解答题19数学爱好者小鸣同学对函数知识十分感兴趣，根据学习函数的经

5、验，对函数的图象和性质进行探究，已知该函数的图象经过点，两点请解决以下问题：(1) 填空：_，_；(2) 将表中的空格补充完整，并在平面直角坐标系中描出表格中各点，画出该函数的图象；531(3) 观察函数图象，下列关于函数性质的描述正确的有：_当时，随的增大而减小；当时，此时函数有最大值，最大值为3；当时，自变量的取值范围为；直线与此函数有两个交点，则20如图，在直角坐标系中 位于第一象限，两条直角边 、 分别平行于 轴、 轴，顶点 的坐标为，.(1) 若反比例函数 的图像经过点 ，求该反比例函数的解析式；(2) 通过计算判断点 是否在该函数的图像上；(3) 若反比例函数 的图像与 有公共点，

6、 的最小值为 ，最大值为 21在矩形中，分别以、在直线为轴和轴，建立如图所示的平面直角坐标系是边上的一个动点（不与、合），过点的反比例函数的图像与边交于点(1) 求证：与的面积相等；(2) 记，求当为何值时，有最大值，最大值是多少？22如图是反比例函数的图象，当时，（1）求该反比例函数的解析式；（2）若M、N分别在反比例函数图象的两个分支上，请直接写出线段MN长度的最小值23已知函数y=x+（x0）的图象如图所示，其中当x=1时，函数取得最小值2，请结合图象，解答以下问题：(1) 当x0时，求y的取值范围；(2) 当2x5时，求y的取值范围24已知：在矩形中，分别以所在直线为x轴和y轴，建立如

7、图所示的平面直角坐标系，F是边BC上的一个动点（不与B，C重合），过F点的反比例函数的图象与AC边交于点E（1）记，当S取得最大值时，求k的值；（2）在（1）的条件下，若直线EF与x轴、y轴分别交于点，求的值参考答案1B【分析】根据反比例函数的，可知函数图像经过第二、四象限，由此即可求解解：反比例函数中，函数图像经过第二、四象限，如图所示，当时，看第二象限中的函数图像可知，有最大值，即，故选：【点拨】本题主要考查反比例函数图像，理解并掌握反比例函数的值大小与图像的特点是解题的关键2B【分析】由函数经过第二象限，可确定，则在上，y值随x值的增大而增大，即可确定函数的解析式为，由此可求解解：当时，

8、y的最大值是6，反比例函数经过第二象限，在上，y值随x值的增大而增大，当时，y有最大值，y的最大值是6，当时，有最小值，故选：B【点拨】本题考查反比例函数的图象及性质；熟练掌握反比例函数的图象及性质，通过所给条件确定是解题的关键3A【分析】根据反比例函数的性质可进行求解解：k1，当2x4时，函数随x的增大而减小，函数随x的增大而增大，当x=2时，有最大值，有最小值，解得：，；故选A【点拨】本题主要考查反比例函数的性质，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键4C【分析】根据等腰直角三角形性质得出SOABOAOBOA2，先求得OA取最小值时A的坐标，即可求得OA的长，从而求得OAB面积的最小值解：A

9、OB是等腰直角三角形，OAOB，SOABOAOBOA2，OA取最小值时，OAB面积的值最小，当直线OA为yx时，OA最小，解得或，此时A的坐标为（，），OA2，OAB面积的最小值为2，故选：C【点拨】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，等腰直角三角形的性质，三角形的面积，求得OA取最小值时A的坐标是解题的关键5C【分析】当直线经过原点时，线段AB的长度取最小值，依此可得关于的方程，解方程即可求得的值解：根据反比例函数的对称性可知，要使线段AB的长度取最小值，则直线经过原点，解得：故选：C【点拨】考查了反比例函数与一次函数的交点问题，本题的关键是理解当直线经过原点时，线段AB的长度取最小值6

10、B【分析】欲求MN的长的最小值，由双曲线的对称性知ON=OM，可转化为求OM的最小值，列出OM距离的求解式子，求式子的最小值即可解：由题意可设点M的坐标为（x，-），则OM= = ， 0，2，由此可得OM的最小值为，由双曲线的对称性可知ON=OM，故MN的最小值为2故本题答案应为：B【点拨】反比例函数的性质是本题的考点，根据题意求出OM的值是解题的关键.7B【分析】根据反比例函数的性质可知当时，取得最大值，求出的值，进一步根据反比例函数的性质求解即可解：反比例函数，当时，的最大值是 ，在每一个象限内，随着增大而减小，当时，取得最大值，此时，当时，当时，有最大值，故选：B【点拨】本题考查了反比例

11、函数的性质，熟练掌握反比例函数图象上点的坐标特征是解题的关键8C【分析】根据反比例函数的单调性、所在的象限进行判断即可解：A、，反比例函数位于第一、三象限，且在每一个象限内y随x的增大而减小；故本选项正确，不符合题意；B、，反比例函数位于第一、三象限，且在每一个象限内y随x的增大而减小；当时，故本选项正确，不符合题意；C、，反比例函数位于第一、三象限，故本选项错误，符合题意；D、，反比例函数位于第一、三象限，且在每一个象限内y随x的增大而减小；当时，则y有最小值为，故本选项正确，不符合题意；故选C【点拨】此题考查了反比例函数，熟练掌握反比例函数的图象和性质是解题的关键9C【分析】由函数经过第二

12、象限，可确定k0，则在-3x-1上，y值随x值的增大而增大，即可确定函数的解析式为y=-，由此可求解解：当-3x-1时，y的最大值是4，反比例函数经过第二象限，k0，在-3x-1上，y值随x值的增大而增大，当x=-1时，y有最大值-k，y的最大值是4，-k=4，k=-4，y=-，当x6时，y=-有最小值-，故选：C【点拨】本题考查反比例函数的图象及性质；熟练掌握反比例函数的图象及性质，通过所给条件确定k0是解题的关键10B【分析】A.根据函数图象增减性解题；B.根据函数图象增减性、函数值解题；C.根据函数自变量取值范围解题；D.将与分别代入函数中求函数值即可解题解：A.观察函数图象，当时，随的

13、增大而增大，当时，随的增大而减小，故A错误；B.当时，根据图象增减性，得当时，,故B正确；C.根据函数自变量的取值范围，可得，故C错误；D.当时，当时，两个函数值不相等，故 D错误，故选：B【点拨】本题考查函数的图象、函数值、函数自变量的取值范围、函数的增减性等知识，是基础考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键11【分析】令，即，由题意可知，即可得到，即可求得的最小值为解：令，即，由题意可知，当时，有最小值为，故答案为【点拨】本题是反比例函数与一次函数的交点问题，根与系数的关系，得到是解题的关键12【分析】根据所给的三角形面积等于长方形面积减去三个直角三角形的面积，求得B和E的坐标，然后E点关

14、于x的对称得E，则E（9，4），连接DE，交x轴于P，此时，PD+PEPD+PEDE最小，利用勾股定理即可求得E点关于x的对称得E，则E（9，4），连接DE，交x轴于P，此时，PD+PEPD+PEDE最小解：四边形OCBA是矩形，ABOC，OABC，BD3，AD6，AB9，设B点的坐标为（9，b），D（6，b），D、E在反比例函数的图象上，6bk，E（9，b），SODES矩形OCBASAODSOCESBDE9bkk3（bb）15，9b6bb15，解得：b6，D（6，6），E（9，4），作E点关于x的对称得E，则E（9，4），连接DE，交x轴于P，此时，PD+PEPD+PEDE最小，AB9，BE

15、6+410，DE，故答案为【点拨】本题考查反比例函数系数k的几何意义，解题的关键是利用过某个点，这个点的坐标应适合这个函数解析式；所给的面积应整理为和反比例函数上的点的坐标有关的形式，本题属于中等题型136【分析】设点P（a，b），根据反比例函数图象上点的坐标特征可得18，根据，且2ab，可求OP的最小值解：设点P（a，b）点P在曲线y上，180，2ab，且2ab，2ab36，OP最小值为6【点拨】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，灵活运用2ab是本题的关键14【分析】当时，即可判断；根据和时，即可判断；当时，随x增大而增大，则随x增大而减小，由对称性可知当时，随x增大而增大，即可判断；

16、根据即可判断解：当时，即函数与y轴的交点为（0，1），故此说法错误；，和时，函数图像关于y轴对称，故此说法正确；当时，随x增大而增大，随x增大而减小，函数图像关于y轴对称，当时，随x增大而增大，如下图函数图象所示，故错误；，函数有最大值1，故此说法正确；故答案为：【点拨】本题主要考查了反比例函数图象的性质，熟知反比例函数图象的性质是解题的关键151【分析】由题意易得，则有，然后问题可求解解：由直线与双曲线相交于点可得：，当时，有最大值，最大值为1；故答案为1【点拨】本题主要考查反比例函数及配方法求最值，熟练掌握反比例函数及完全平方公式进行变形是解题的关键16【分析】由正方形的边长是8，得到点M

17、的横坐标和点N的纵坐标为8，求得，根据三角形的面积列方程得到，作M关于x轴的对称点，连接交x轴于P，则的长等于的最小值，根据勾股定理即可得到结论解：正方形的边长是8，点M的横坐标和点N的纵坐标为8，的面积为，（负值舍去），作M关于x轴的对称点，连接交x轴于P，则的长等于的最小值， ，根据勾股定理求得故答案为：【点拨】本题主要考查了反比例函数与几何综合，正方形的性质，轴对称最短路径问题，勾股定理，正确求出M、N的坐标是解题的关键17【分析】如图，当时，线段长度的最小首先证明点A与点B关于直线对称，因为点A，B在反比例函数的图象上，所以可以假设，则，则，整理得，推出，可得，求出即可解决问题解：如图

18、，因为反比例函数关于直线对称，观察图象可知：当线段与直线垂直时，垂足为M，此时，的值最小，M为线段的中点，点A，B在反比例函数的图象上，点A与点B关于直线对称，设，则，整理得，解得：（负值舍去），线段的最小值为故答案为：【点拨】本题主要考查了反比例函数的综合，勾股定理，垂直平分线的性质，轴对称性质，判断取得最小值时A，B两点的位置，熟练掌握对称两点坐标的设法，函数解析式代入求值，由坐标计算线段长度的方法是解题的关键182【分析】根据k0，2x4，确定y1的值随x值的增大而减小，y2的值随x值的增大而增大，由此得到当x=2时，y1的最大值为=a，当x=2时，y2的最小值为=a4，列式-a=a-4

19、计算即可求出答案解：k0，2x3，y1的值随x值的增大而减小，y2的值随x值的增大而增大当x=2时，y1的最大值为=a，当x=2时，y2的最小值为=a4a=a4，解得a=2故答案为：2【点拨】此题考查反比例函数y=的性质：当k0时，每个象限内y随x的增大而减小；当k0时，每个象限内y随x的增大而增大，熟记性质是解题的关键19(1)，；(2)见分析；(3)【分析】（1）将代入可得a的值，将代入可得b的值；（2）将x的值代入对应的解析式，求出y值，再描点连线即可画出函数图象；（3）根据（2）中所画图象逐项判断即可解：（1）解：将代入，可得，解得；将代入，可得，解得；故答案为：，（2）解：由（1）知

20、，当时，当时，补全后的表格如下：5131函数图象如下：（3）解：由图可知，当时，随的增大而增大，故错误；当时，此时函数有最大值，最大值为3，故正确；当时，自变量的取值范围为，故正确；直线与此函数有两个交点时，则，故错误；综上可知，正确的有，故答案为：【点拨】本题考查分段函数，涉及一次函数、反比例函数、描点法画函数图象等知识点，解题的关键是画出函数图象，利用图象解决问题20(1)反比例函数的解析式为；(2)点在函数的图像上；(3)，【分析】（1）根据顶点B的坐标为，得出点、的坐标分别为、，将点代入反比例函数解析式，即可求解；（2）将当时，得出点在函数的图像上；（3）根据反比例函数图像的性质，当反

21、比例函数的图像经过点A、C时，m的值最大；当经过点B时，m的值最小，分别待定系数法求反比例函数解析式即可求解解：（1）两条直角边、分别平行于x轴、y轴，顶点B的坐标为，.点、的坐标分别为、，（）的图像经过点，.反比例函数的解析式为，（2）点，当时，点在函数的图像上；（3）当反比例函数的图像经过点A、C时，m的值最大；当经过点B时，m的值最小，当反比例函数的图像经过点时，解得；当经过点B时，解得， 的最小值为，最大值为故答案为： ，【点拨】本题考查了坐标与图形，求反比例函数解析式，反比例函数的性质，掌握反比例函数的性质是解题的关键21(1)证明过程见详解；(2)当时，有最大面积，最大面积为【分析

22、】（1）设，根据点，在反比例函数图像上，则可求出，且，由此即可求证；（2）确定，将转化为含有的一元二次方程方程，根据一元二次方程的顶点式即可求解解：（1）证明：设，的面积为，的面积为，都在反比例函数的图像上，则，（2）解：根据题意可知，即，即，当时，有最大面积，最大面积为【点拨】本题主要考查矩形的性质，反比函数与几何的综合问题，掌握反比例函数图形的性质，矩形的性质是解题的关键22（1）反比例函数的解析式为；（2）线段MN的最小值为【分析】（1）用待定系数法求反比例函数的解析式；（2）经观察后可发现当MN为直线与双曲线的两个交点时，线段MN最短；联立两方程可求得两交点的坐标，然后根据两点之间的距

23、离公式求得线段MN的最小值解：在反比例函数的图象中，当时，反比例函数经过坐标，反比例函数的解析式为；当M，N为一，三象限角平分线与反比例函数图象的交点时，线段MN最短将代入，解得或，即，则线段MN的最小值为【点拨】本题考查用待定系数法求反比例函数解析式，在第问中关键是要正确判断MN何时出现最小值23（1）当x0时，y2；（2）y【分析】（1）由题意可知当x=1时，y有最小值2，则可知在第一象限内y的取值范围；（2）当x1时，y随x的增大而增大，则可求得y取值范围解：(1)由图象可知当x0时，函数最小值为2，当x=1时y有最小值2，当x0时，y2；(2)由图象可知当x1时，y随x的增大而增大，当

24、2x5时，当x=2时，y有最小值，y=2+=，当x=5时，y有最大值，y=5+=，当2x5时，求y的取值范围为y【点拨】本题考查了反比例函数的性质，求得当x1时y随x的增大而增大是解题的关键24（1）6；（2）25【分析】（1）由条件可分别表示出E、F的坐标，用k可表示出S，再根据函数的性质可求得其最大值，及取得最大值时的k的值；（2）求得E、F的坐标，即可求得EC2，CF，根据勾股定求得EF，设CEF，即可求得sin，cos，进而解直角三角形求得EM，FN，从而求得EMFN的值解：（1）OB4，OA3，且E、F为反比例函数图象上的两点，E，F两点坐标分别为E（，3），F（4，），如图，连接OE、OF，SECF(4)（3），SEOFS矩形AOBCSAOESBOFSECF3434SECF，SEOF12kSECF，SSOEFSECF12k2SECF12k2(4)（3），Sk2k当k时，S有最大值，即S取得最大值时k6（2）k6，E（2，3），F（4，），EC2，FC，EF，设CEF，则sin，cos，EMFN【点拨】本题主要考查反比例函数k的意义及二次函数的性质，解直角三角形等，掌握反比例函数图象上点的坐标满足kxy是解题的关键