专题6.4数列的综合应用（原卷版).docx

1、6.4 数列的综合应用思维导图典型例题分析考向一 求通项公式(2019课标理,19,12分)已知数列an和bn满足a1=1,b1=0,4an+1=3an-bn+4,4bn+1=3bn-an-4.(1)证明:an+bn是等比数列,an-bn是等差数列;(2)求an和bn的通项公式.思路分析(1)将两递推关系式左、右两边相加可得an+1+bn+1=12(an+bn),从而证得数列an+bn为等比数列;将两递推关系式左、右两边相减可得an+1-bn+1=an-bn+2,从而证得数列an-bn为等差数列.(2)由(1)可求出an+bn,an-bn的通项公式,从而得an,bn.考向二 求和公式及其应用(

2、2016课标文,17,12分)已知an是公差为3的等差数列,数列bn满足b1=1,b2=13,anbn+1+bn+1=nbn.(1)求an的通项公式;(2)求bn的前n项和.考向三 求参数问题已知数列an的前n项和Sn=1+an,其中0.(1)证明an是等比数列,并求其通项公式;(2)若S5=3132,求.思路分析(1)先由题设利用an+1=Sn+1-Sn得到an+1与an的关系式,要证数列是等比数列,关键是看an+1与an之比是否为一常数,其中说明an0是非常重要的.(2)利用第(1)问的结论解方程求出.考向四 构造法在数列中的应用数列an满足a1=1,a2=2,an+2=2an+1-an+

3、2.(1)设bn=an+1-an,证明bn是等差数列;(2)求an的通项公式.评析本题着重考查等差数列的定义、前n项和公式及“累加法”求数列的通项等基础知识,同时考查运算变形的能力.考向五 数列求和的综合问题(2021全国乙文,19,12分)设an是首项为1的等比数列,数列bn满足bn=nan3.已知a1,3a2,9a3成等差数列.(1)求an和bn的通项公式;(2)记Sn和Tn分别为an和bn的前n项和.证明:TnSn2.解题指导(1)利用等差中项的概念建立等式,通过等比数列的通项公式即可求出结果;(2)利用等比数列的求和公式算出Sn,对于数列bn,利用错位相减法求出Tn,再利用比较大小的基

4、本方法作差法即可证明不等式.已知数列an的前n项和为Sn,a1=-94,且4Sn+1=3Sn-9(nN*).(1)求数列an的通项公式;(2)设数列bn满足3bn+(n-4)an=0(nN*),记bn的前n项和为Tn,若Tnbn对任意nN*恒成立,求实数的取值范围.方法总结一般地,如果an是等差数列,bn是等比数列,求数列anbn的前n项和时,可采用错位相减法.在写“Sn”与“qSn”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”,以便下一步准确写出“Sn-qSn”的表达式.基础题型训练一、单选题1在等差数列中，已知，公差，则（ ）A10B12C14D162若数列的前4项分别是，则该数列的一个通项公式

5、为（）ABCD3在等比数列中，则公比等于（）A4B2CD或44在各项为正的递增等比数列 中，则（）ABCD5已知数列满足，则数列的前9项和为（ ）A35B48C50D516已知数列1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16，即此数列第1项是，接下来2项是，再接下来3项是，设是数列的前项和，则（）ABCD二、多选题7数列的前项和为，已知，则下列说法正确的是（）A是递增数列BC当时，D当或4时，取得最大值8设等差数列的首项为，公差为d，其前n项和为，已知，则下列结论正确的是（）ABC与均为的最大值D三、填空题9已知数列的前项和，则_10下面给出一个“直角三角形数阵”：满足每一列的

6、数成等差数列，从第三行起，每一行的数成等比数列，且每一行的公比相等，记第行第列的数为，则_11设等比数列的前项和为，若，则_.12在等差数列中，其前项和为，已知公差，则_四、解答题13已知数列中，且.求数列的通项公式.14已知数列满足，是等比数列（1）求证：；（2）求数列的前项和15已知等差数列的前n项和为，.（1）求的通项公式；（2）设，记为数列的前n项和.若，求.16设函数，设，(1)计算的值(2)求数列的通项公式提升题型训练一、单选题1已知等差数列中，公差，则等于（）ABC24D272等比数列的前项和为，已知，且与的等差中项为，则A29B31C33D363在等差数列中，已知，则该数列前1

7、3项和（）A42B26C52D1044意大利著名数学家斐波那契在研究兔子的繁殖问题时，发现有这样的一列数：1，1，2，3，5，8，该数列的特点是前两个数均为1，从第三个数起，每一个数都等于它前面两个数的和.人们把这样的一列数所组成的数列称为“斐波那契数列”，数列的前项和为，则下列结论错误的是（）ABCD5已知等差数列的前项和为，若，则（）ABCD6高斯是德国著名的数学家，近代数学的奠基者之一，享有“数学王子”的称号，用其名字命名的“高斯函数”为：设，用表示不超过x的最大整数，则称为“高斯函数”，例如：，已知数列满足，若，为数列的前n项和，则（）ABCD二、多选题7下列说法正确的是（）A已知数列

8、是等差数列，则数列是等比数列B已知数列是等比数列，则数列是等差数列C已知数列是等差数列且，数列是等比数列，则数列是等比数列D已知数列是等比数列且，数列是等差数列，则数列是等差数列8已知是数列的前项和，且，则下列结论正确的是（）A数列为等比数列B数列为等比数列CD三、填空题9已知等比数列满足且，则_.10已知数列an是等差数列，若a4a7a1017，a4a5a6a12a13a1477且ak13，则k_.11在数列中，已知，且数列是等比数列，则_.12设是数列前项和，且，则数列的通项公式_.四、解答题13求数列的通项公式为；设为数列的前项和，求使成立的的取值集合.14已知数列是等比数列，且成等差数列.数列满足：.(1)求数列和的通项公式；(2)求证：.15已知数列的首项，且，.(1)计算，的值，并证明是等比数列；(2)记，求数列的前项和.16已知数列满足递推式，其中 （1）求，；（2）求证数列是等比数列，并求数列的通项公式；（3）已知数列有，求数列的前项和