专题6截长补短模型-【压轴必刷】2023年中考数学压轴大题之经典模型培优案（全国通用）（原卷版）.docx

1、【压轴必刷】2023年中考数学压轴大题之经典模型培优案专题6截长补短模型 解题策略模型：截长补短 如图，若证明线段AB、CD、EF之间存在EFABCD，可以考虑截长补短法. 截长法：如图，在EF上截取EGAB，再证明GFCD即可.补短法：如图，延长AB至H点，使BHCD，再证明AHEF即可.模型分析截长补短的方法适用于求证线段的和差倍分关系. 截长，指在长线端中截取一段等于已知的线段；补短，指将一条短线端延长，延长部分等于已知线段. 该类题目中常出现等腰三角形、角平分线等关键词句，可以采用截长补短法构造全等三角形来完成证明过程.常见模型示例：如图，已知在ABC中，C2B，12 . 求证：ABA

2、CCD . 经典例题【例1】（2022江苏徐州模拟预测）（1）如图1，在四边形ABCD中，ABAD，BD90，E、F分别是边BC、CD上的点，且EAF12BAD，线段EF、BE、FD之间的关系是 ；（不需要证明）（2）如图2，在四边形ABCD中，ABAD，B+D180，E、F分别是边BC、CD上的点，且EAF12BAD，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明若不成立，请写出它们之间的数量关系，并证明（3）如图3，在四边形ABCD中，ABAD，B+D180，E、F分别是边BC、CD延长线上的点，且EAF12BAD，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明若不成立，请写出它们之间的数量关系，

3、并证明【例2】（2022安徽合肥一模）已知：如图1，ABC中，CAB=120， AC=AB，点D是BC上一点，其中ADC=（3090），将ABD沿AD所在的直线折叠得到AED，AE交CB于F，连接CE(1)求CDE与AEC的度数（用含的代数式表示）；(2)如图2，当=45时，解决以下问题：已知AD=2，求CE的值；证明：DC-DE=2AD；【例3】（2022江苏八年级专题练习）在等边三角形ABC的两边AB、AC所在直线上分别有两点M、N，P为ABC外一点，且MPN60，BPC120，BPCP探究：当点M、N分别在直线AB、AC上移动时，BM，NC，MN之间的数量关系(1)如图，当点M、N在边A

4、B、AC上，且PMPN时，试说明MNBM+CN(2)如图，当点M、N在边AB、AC上，且PMPN时，MNBM+CN还成立吗？答： （请在空格内填“一定成立”“不一定成立”或“一定不成立”）(3)如图，当点M、N分别在边AB、CA的延长线上时，请直接写出BM，NC，MN之间的数量关系【例4】（2022江苏八年级课时练习）如图，在锐角ABC中，A=60，点D，E分别是边AB，AC上一动点，连接BE交直线CD于点F(1)如图1，若ABAC，且BD=CE，BCD=CBE，求CFE的度数；(2)如图2，若AB=AC，且BD=AE，在平面内将线段AC绕点C顺时针方向旋转60得到线段CM，连接MF，点N是M

5、F的中点，连接CN在点D，E运动过程中，猜想线段BF，CF，CN之间存在的数量关系，并证明你的猜想培优训练一、解答题1（2022福建三明九年级期末）在菱形ABCD中，BAD60，点E，F分别在边AB，AD上，且AEDF，BF与DE交于点G(1)如图，连接BD求证：ADEDBF；(2)如图，连接CG求证：BGDGCG2（2022全国八年级专题练习）如图，在四边形ABCD中，AB=AD,B+ADC=180，点E、F分别在直线BC、CD上，且EAF=12BAD(1)当点E、F分别在边BC、CD上时（如图1），请说明EF=BE+FD的理由(2)当点E、F分别在边BC、CD延长线上时（如图2），（1）中

6、的结论是否仍然成立？若成立，请说明理由；若不成立，请写出EF、BE、FD之间的数量关系，并说明理由3（2021重庆市实验学校八年级期中）如图，已知ABCD，AE平分BAD，交DC于E，DFBC于F，交AE于G，且DFAD(1)若C60，AB2，求EC的长；(2)求证：ABDG+FC4（2022全国八年级课时练习）（1）阅读理解：问题：如图1，在四边形ABCD中，对角线BD平分ABC，A+C=180求证：DA=DC思考：“角平分线+对角互补”可以通过“截长、补短”等构造全等去解决问题方法1：在BC上截取BM=BA，连接DM，得到全等三角形，进而解决问题；方法2：延长BA到点N，使得BN=BC，连

7、接DN，得到全等三角形，进而解决问题结合图1，在方法1和方法2中任选一种，添加辅助线并完成证明（2）问题解决：如图2，在（1）的条件下，连接AC，当DAC=60时，探究线段AB，BC，BD之间的数量关系，并说明理由；（3）问题拓展：如图3，在四边形ABCD中，A+C=180，DA=DC，过点D作DEBC，垂足为点E，请直接写出线段AB、CE、BC之间的数量关系5（2022全国八年级课时练习）阅读下面材料：【原题呈现】如图1，在ABC中，A2B，CD平分ACB，AD2.2，AC3.6，求BC的长【思考引导】因为CD平分ACB，所以可在BC边上取点E，使ECAC，连接DE这样很容易得到DECDAC

8、，经过推理能使问题得到解决（如图2）【问题解答】（1）参考提示的方法，解答原题呈现中的问题；（2）拓展提升：如图3，已知ABC中，ABAC，A20，BD平分ABC，BD2.3，BC2求AD的长6（2021北京清华附中九年级阶段练习）已知MON=0180，A为射线ON上一定点，B为射线OM上动点（不与点O重合）连接AB，取AB的中点C，连接OC在射线BM上取一点D，使得BD=OA（1）若=60，如图1，当BAO=60时，在图1中补全图形，并写出OCAD的值；如图2，当BAO60时，猜想OCAD的值是否为定值若是，求出该定值；若不是，说明理由；（2）如图3，若=90,OCAD，直接写出OCAD的值

9、7（2022全国八年级课时练习）如图，ABC为等边三角形，直线l过点C，在l上位于C点右侧的点D满足BDC60（1）如图1，在l上位于C点左侧取一点E，使AEC60，求证：AECCDB；（2）如图2，点F、G在直线l上，连AF，在l上方作AFH120，且AFHF，HGF120，求证：HG+BDCF；（3）在（2）的条件下，当A、B位于直线l两侧，其余条件不变时（如图3），线段HG、CF、BD的数量关系为 8（2022全国八年级课时练习）在ABC中，BE，CD为ABC的角平分线，BE，CD交于点F（1）求证：BFC=90+12A；（2）已知A=60如图1，若BD=4，BC=6.5，求CE的长；如

10、图2，若BF=AC，求AEB的大小9（2022江苏八年级课时练习）在ABC中，AD为ABC的角平分线，点E是直线BC上的动点（1）如图1，当点E在CB的延长线上时，连接AE，若E48，AEADDC，则ABC的度数为 （2）如图2，ACAB，点P在线段AD延长线上，比较AC+BP与AB+CP之间的大小关系，并证明（3）连接AE，若DAE90，BAC24，且满足AB+ACEC，请求出ACB的度数（要求：画图，写思路，求出度数）10（2022全国八年级课时练习）如图，在ABC中，C90，AD是BAC的角平分线，交BC于点D，过D作DEBA于点E，点F在AC上，且BDDF（1）求证：ACAE；（2）若

11、AB7.4，AF1.4，求线段BE的长11（2021重庆一中八年级阶段练习）如图，在ABC中，A=45（1）如图1，若AC=62，BC=213，求ABC的面积；（2）如图2，D为ABC外的一点，连接CD，BD且CD=CB，ABD=BCD过点C作CEAC交AB的延长线于点E求证：BD+2AB=2AC（3）如图3，在（2）的条件下，作AP平分CAE交CE于点P，过E点作EMAP交AP的延长线于点M点K为直线AC上的一个动点，连接MK，过M点作MKMK，且始终满足MK=MK，连接AK若AC=4，请直接写出AK+MK取得最小值时AK+MK2的值12（2022全国八年级专题练习）在ABC中，AE，CD为

12、ABC的角平分线，AE，CD交于点F（1）如图1，若B=60直接写出AFC的大小；求证：AC=AD+CE（2）若图2，若B=90，求证：SACF=SAFD+SCEF+SDEF13（2022全国八年级课时练习）等边ABC中，点H、K分别在边BC、AC上，且AK=CH，连接AH、BK交于点F（1）如图1，求AFB的度数；图1（2）连接CF，若BFC=90，求BFAF的值；（3）如图2，若点G为AC边的中点，连接FG，且AF=2FG，则BFG的大小是_图214（2021山东德州八年级期末）数学课上，李老师提出问题：如图1，在正方形ABCD中，点E是边BC的中点，AEF90，且EF交正方形外角的平分线

13、CF于点F求证：AEEF经过思考，小聪展示了一种正确的解题思路取AB的中点H，连接HE，则BHE为等腰直角三角形，这时只需证AHE与ECF全等即可在此基础上，同学们进行了进一步的探究：（1）小颖提出：如图2，如果把“点E是边BC的中点”改为“点E是边BC上（不含点B，C）的任意一点”，其他条件不变，那么结论“AEEF”仍然成立，你认为小颖的观点正确吗？如果正确，写出证明过程，如果不正确，请说明理由；（2）小华提出：如图3，如果点E是边BC延长线上的任意一点，其他条件不变，那么结论“AEEF”是否成立？（填“是”或“否”）；（3）小丽提出：如图4，在平面直角坐标系xOy中，点O与点B重合，正方形

14、的边长为1，当E为BC边上（不含点B，C）的某一点时，点F恰好落在直线y2x+3上，请直接写出此时点E的坐标15（2021四川成都九年级期末）如图1，在RtABC中，ACB90，ACBC，将点C绕点B顺时针旋转105得到点D，连接BD，过点D作DEBC交CB延长线于点E，点F为线段DE上的一点，且DBF45，作BFD的角平分线FG交AB于点G（1）求BFD的度数；（2）求BF，DF，GF三条线段之间的等量关系式；（3）如图2，设H是直线DE上的一个动点，连接HG，HC，若AB2，求线段HG+HC的最小值（结果保留根号）16（2021广东深圳八年级期末）在平行四边形ABCD中，ABCD于E，CF

15、AD于F，H为AD上一动点，连接CH，CH交AE于G，且AE=CD=4（1）如图1，若B=60，求CF、AF的长；（2）如图2，当FH=FD时，求证：CG=ED+AG；（3）如图3，若B=60，点H是直线AD上任一点，将线段CH绕C点逆时针旋转60，得到线段CH，请直接写出AH的最小值_17（2022江苏八年级课时练习）如图1，在等边三角形ABC中，ADBC于D,CEAB于E,AD与CE相交于点O（1）求证：OA=2DO；（2）如图2，若点G是线段AD上一点，CG平分BCE,BGF=60,GF交CE所在直线于点F求证：GB=GF（3）如图3，若点G是线段OA上一点（不与点O重合），连接BG，在

16、BG下方作BGF=60,边GF交CE所在直线于点F猜想：OG,OF、OA三条线段之间的数量关系，并证明18（2021山东济南七年级期末）本学期，我们学习了三角形相关知识，而四边形的学习，我们一般通过辅助线把四边形转化为三角形，通过三角形的基本性质和全等来解决一些问题（1）如图1，在四边形ABCD中，AB=AD，B+D=180，连接AC小明发现，此时AC平分BCD他通过观察、实验，提出以下想法：延长CB到点E，使得BE=CD，连接AE，证明ABEADC，从而利用全等和等腰三角形的性质可以证明AC平分BCD请你参考小明的想法，写出完整的证明过程如图2，当BAD=90时，请你判断线段AC，BC，CD

17、之间的数量关系，并证明（2）如图3，等腰CDE、等腰ABD的顶点分别为A、C，点B在线段CE上，且ABC+ADC=180，请你判断DAE与DBE的数量关系，并证明19（2021广东茂名九年级阶段练习）在ABCD中，直线MN经过点A，BEMN于E，CFMN于F，DGMN于G请解答下列问题：（1）如图，求证：BE+CF=DG；（提示：过点C作CHDG于H）（2）如图、图，线段BE，CF，DG之间又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，不需要证明；（3）在（1）（2）的条件下，若CD=10，AE=6，CF=1，则DG=_20（2021四川成都二模）如图，点C在以AB为直径的O上，BD平分ABC交O于点D

18、，过D作BC的垂线，垂足为E（1）求证：DE与O相切；（2）若AB6，tanA2，求BE的长；（3）线段AB，BE，CE之间有何数量关系？写出你的结论并证明21（2021重庆八中一模）如图1，在四边形ABCD中，AC交BD于点E，ADE为等边三角形（1）若点E为BD的中点，AD4，CD5，求BCE的面积；（2）如图2，若BCCD，点F为CD的中点，求证：AB2AF；（3）如图3，若ABCD，BAD90，点P为四边形ABCD内一点，且APD90，连接BP，取BP的中点Q，连接CQ当AB62，AD42，tanABC2时，求CQ1010BQ的最小值22（2022全国八年级专题练习）如图，在ABC中，

19、AC=BC，AD平分CAB（1）如图1，若ACB=90，求证：AB=AC+CD；（2）如图2，若AB=AC+BD，求ACB的度数；（3）如图3，若ACB=100，求证：AB=AD+CD23（2022江苏八年级课时练习）（1）问题背景：如图1：在四边形ABCD中，ABAD，BAD120，BADC90，E、F分别是BC，CD上的点且EAF60，探究图中线段BE、EF、FD之间的数量关系小王同学探究此问题的方法是，延长FD到点G使DGBE连结AG，先证明 ABEADG，再证明AEFAGF，可得出结论，他的结论应是_；（2）探索延伸：如图2，若在四边形ABCD中，ABAD，B+D180E，F分别是BC

20、，CD上的点，且EAF=12BAD，上述结论是否仍然成立，并说明理由；（3）实际应用：如图3，在某次军事演习中，舰艇甲在指挥中心（O处）北偏西30的A处，舰艇乙在指挥中心南偏东70的B处，并且两舰艇到指挥中心的距离相等，接到行动指令后，舰艇甲向正东方向以45海里/小时的速度前进，同时舰艇乙沿北偏东50的方向以60海里/小时的速度前进，2小时后，指挥中心观测到甲、乙两地分别到达E、F处，且两舰艇之间的夹角为70，试求此时两舰艇之间的距离24（2022江苏八年级课时练习）已知在四边形ABCD中，ABCADC180，BADBCD180，ABBC（1）如图1，连接BD，若BAD90，AD7，求DC的长度（2）如图2，点P、Q分别在线段AD、DC上，满足PQAPCQ，求证：PBQABPQBC（3）若点Q在DC的延长线上，点P在DA的延长线上，如图3所示，仍然满足PQAPCQ，请写出PBQ与ADC的数量关系，并给出证明过程