专题7.2基本不等式(解析版).docx

1、7.2 基本不等式思维导图知识点总结1.基本不等式(1)如果a，b是正数，那么(当且仅当ab时等号成立).我们把不等式(a，b0)称为基本不等式.(2)当a，bR时，ab(当且仅当ab时等号成立)，ab(当且仅当ab时等号成立).2.两个重要的不等式(1)a2b22ab(a，bR)，当且仅当ab时取等号.(2)ab(a，bR)，当且仅当ab时取等号.3.利用基本不等式求最值对于正数a，b，在运用基本不等式时应注意：(1)和ab为定值时，积ab有最大值；积ab为定值时，和ab有最小值.(2)取等号的条件.常用结论1.ab.要根据两数积、两数和、两数平方和选择合适的形式.2.在利用不等式求最值时，

2、一定要尽量避免多次使用基本不等式.若必须多次使用，则一定要保证它们等号成立的条件一致.典型例题分析考向一 利用基本不等式求最值角度1配凑法例1 (1)若x，则f(x)3x1有()A.最大值0 B.最小值9C.最大值3 D.最小值3答案C解析x，3x20，f(x)3x233233.当且仅当23x，即x时取“”.(2)已知0x，则x的最大值为_.答案解析0x，12x20，x.当且仅当2x212x2，即x时等号成立.(3)(2023天津模拟)函数y(x1)的最小值为_.答案9解析因为x1，则x10，所以y(x1)5259，当且仅当x1，即x1时等号成立，所以函数的最小值为9.角度2常数代换法例2 (

3、1)(2023石家庄模拟)已知x0，y0，且x2y2，则2x4y的最小值为_，的最小值为_.答案4解析2x4y24，当且仅当x2y1时取等号，所以2x4y的最小值是4；因为x0，y0，所以(x2y)，当且仅当xy时取等号，所以的最小值是.(2)(2022深圳二模)已知0x1，则的最小值是_.答案9解析由0x1，得1x0.x(1x)5529，当且仅当时取等号，所以的最小值是9.角度3消元法例3 (2023湖南省级示范校检测)设正实数x，y，z满足x23xy4y2z0，则当取得最大值时，的最大值为_.答案1解析由x23xy4y2z0得zx23xy4y2，故1，当且仅当，即x2y时，取得最大值，此时

4、z2y2，则11，当y1时，等号成立，故当取得最大值时，的最大值为1.角度4构建不等式法例4 已知x0，y0，x3yxy9，则x3y的最小值为_.答案6解析由已知得xy9(x3y)，因为x0，y0，所以x3y2，所以3xy，所以9(x3y)，即(x3y)212(x3y)1080，则x3y18(舍去)或x3y6(当且仅当x3y，即x3，y1时取等号)，故x3y的最小值为6.感悟提升1.利用配凑法求最值，主要是配凑成“和为常数”或“积为常数”的形式.2.常数代换法，主要解决形如“已知xyt(t为常数)，求的最值”的问题，先将转化为，再用基本不等式求最值.3.当所求最值的代数式中的变量比较多时，通常

5、考虑利用已知条件消去部分变量后，凑出“和为常数”或“积为常数”的形式，最后利用基本不等式求最值.4.构建目标式的不等式求最值，在既含有和式又含有积式的等式中，对和式或积式利用基本不等式，构造目标式的不等式求解.考向二 利用基本不等式求参数或范围例5 (1)(2022威海期末)关于x的不等式ax2|x|2a0的解集是R，则实数a的取值范围为_.答案解析不等式ax2|x|2a0的解集是R，即对于xR，ax2|x|2a0恒成立，即a.当x0时，a0；当x0时，a，因为，当且仅当|x|时取“”，所以a.综上所述a.(2)已知不等式(xy)9对任意正实数x，y恒成立，则正实数a的最小值为_.答案4解析已

6、知不等式(xy)9对任意正实数x，y恒成立，只需求(xy)的最小值大于或等于9，(xy)1aa21(1)2，当且仅当yx时，等号成立，(1)29，a4，即正实数a的最小值为4.感悟提升1.对于不等式恒成立问题可利用分离参数法，把问题转化为利用基本不等式求最值；2.利用基本不等式确定等号成立的条件，也可得到参数的值或范围.考向三 利用基本不等式解决实际问题例6 为了美化校园环境，园艺师在花园中规划出一个平行四边形，建成一个小花圃，如图，计划以相距6米的M，N两点为AMBN一组相对的顶点，当AMBN的周长恒为20米时，小花圃占地面积(单位：平方米)最大为()A.6 B.12 C.18 D.24答案

7、D解析设AMx，ANy，则由已知可得xy10，在MAN中，MN6，由余弦定理可得，cos A1111，当且仅当xy5时等号成立，此时(cos A)min，所以(sin A)max，所以四边形AMBN的最大面积为25524(平方米)，此时四边形AMBN是边长为5米的菱形.感悟提升利用基本不等式解决实际应用问题的思路(1)设变量时一般要把求最大值或最小值的变量定义为函数.(2)根据实际问题抽象出函数的解析式后，只需利用基本不等式求得函数的最值.(3)在求函数的最值时，一定要在定义域(使实际问题有意义的自变量的取值范围)内求解.训练3 某公司一年购买某种货物400吨，每次都购买x吨，运费为4万元/次

8、，一年的总存储费用为4x万元，要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x_吨.答案20解析该公司一年购买某种货物400吨，每次都购买x吨，则需要购买次，运费为4万元/次，一年的总存储费用为4x万元，一年的总运费与总存储费用之和为万元，44x160，当且仅当4x，即x20吨时，一年的总运费与总存储费用之和最小.考向四 重要不等式链 若a0，b0，则.其中和分别叫做a，b的调和平均数和平方平均数.要根据题目需要选择合适的形式.一、利用不等式链求最值例1 (多选)设正实数a，b满足ab1，则()A.有最大值B.有最小值3C.a2b2有最小值D.有最大值答案ACD解析对于A，由基本不等式可得，当且仅当

9、ab时，等号成立，A正确；对于B，由，得，当且仅当a2b2ab，即ab时等号成立，B错误；对于C，由，得a2b2，当且仅当ab时等号成立，C正确；对于D，由，得，当且仅当ab时等号成立，D正确.二、利用基本不等式链证明不等式例2 已知a，b，c都是非负实数，求证：(abc).证明.即(ab)，同理，(bc)，(ca)，相加可得(ab)(bc)(ca)(abc)，当且仅当abc时等号成立.训练 当x时，函数y的最大值为_.答案2解析由，得ab2，则y22，当且仅当，即x时等号成立.基础题型训练一、单选题1已知正数，满足，则的最大值为（）ABC1D2【答案】B【分析】利用基本不等式可得，然后解不等

10、式即可.【详解】，均为正数，当且仅当，即时取等号，且，所以，的最大值为.故选：B【点睛】本题考查了基本不等式的应用，注意在利用基本不等式时，需验证等号成立的条件，属于基础题.2已知，则的最小值是ABCD【答案】C【详解】试题分析：由可知，当且仅当，即时等号成立，又，当且仅当，即，所以时等号成立考点：均值定理3设，则（）ABCD【答案】D【分析】根据得0ab，取特殊值可判断ABC，根据基本不等式即可判断D.【详解】，0ab，取a1，b2，则，故A错误；，故B错误；，故C错误；，ab，所以等号取不到，故，故D正确.故选：D.4若a1，则的最小值是（）A2BaC D3【答案】D【分析】原式可化为形式

11、且a1，即可用基本不等式求最小值，注意等号成立为a2【详解】由a1，有a10，当且仅当， 即a2时取等号.故选：D【点睛】本题考查了基本不等式的应用，使用时注意“一正二定三相等”的条件，属于简单题5已知，且，若有解，则实数m的取值范围为（）A（-，-1）（9，+）B（-9，1）C-9，1D（-1，9）【答案】A【分析】由有解，可知只要大于的最小值即可，所以结合基本不等式求出的最小值，再解关于的不等式即可【详解】因为，且，所以，当且仅当，即时取等号，此时的最小值为9，因为有解，所以，即，解得或，故选：A6已知，全集为R，集合，则有（）A（）B（）CD【答案】A【分析】首先分析得出，根据集合的运算

12、，即可求解.【详解】由题意，因为，结合实数的性质以及基本不等式，可得，可得或，所以，即故选A.【点睛】本题主要考查了集合的运算，以及基本不等式的应用，其中解答中结合实数的性质和基本不等式求得是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.二、多选题7在下列函数中，最小值是2的函数有（）ABCD【答案】AD【分析】选项A先由基本不等式可得，再判断当x1或时，等号成立，最后判断选项A正确；选项B先由基本不等式可得，再判断当时，等号成立，但，最后判断选项B不正确；选项C先由基本不等式可得，再判断当时，等号成立，显然不可能取到，最后判断选项C不正确；选项D先由基本不等式可得，再判断当xlog32时

13、，等号成立，最后判断选项D正确【详解】对于选项A：x20，由基本不等式可得，当且仅当，即x1或时，等号成立，故选项A正确；对于选项B：，01，由基本不等式可得，当且仅当，即时，等号成立，但是取不到1，所以等号不能成立，故选项B不正确；对于选项C：由基本不等式可得，当且仅当，即时，等号成立，显然不可能取到，故选项C不正确；对于选项D：3x0，由基本不等式可得，当且仅当，即xlog32时，等号成立，故选项D正确故选：AD【点睛】本题考查基本不等式，是基础题.8，则下列结论正确的是（）ABCD 【答案】BC【分析】根据题干条件，得到，选项A中与1的大小不确定，不能判断；选项B是基本不等式；选项C是作

14、差法比大小；选项D可以举反例证明不正确即可【详解】解：因为，；选项A中，与1无法知大小关系，所以不能判断，选项A错误；选项B中，根据基本不等式得：（无法取等），选项B正确；选项C中，选项C正确；选项D中，取，选项D错，故选：BC三、填空题9已知正数a、b满足a+b= 1，则ab的最大值为_【答案】【详解】故答案为：10已知x0，则的最大值等于_【答案】【详解】试题分析：，当且仅当时等号成立，取得最小值考点：均值不等式求最值11已知a0，b0，且a+2b=2，则的最小值为_【答案】【分析】根据基本不等式，结合代数式的恒等变形进行求解即可.【详解】因为a0，b0，且a+2b=2，所以有：，当且仅当

15、时取等号，即时取等号，故答案为：12设、是不等于的正数，则的取值范围是_.【答案】【分析】由题意得出，利用换底公式得到，可得出，再分和，利用基本不等式可求出实数的取值范围.【详解】、是不等于的正数，或.由换底公式得，.当时，由基本不等式得，当且仅当时，即当时，等号成立；当时，由基本不等式得，当且仅当时，即当时，等号成立.因此，的取值范围是，故答案为.【点睛】本题考查利用基本不等式求取值范围，同时也考查了对数换底公式的应用，在利用基本不等式求解最值时，要注意条件“一正、二定、三相等”条件的成立，当所考查的变量为负数时，可适当地添负号变为正数进行计算，考查分类讨论思想的应用，属于中等题.四、解答题

16、13设，求函数的最大值.【答案】4【分析】根据题意,设,结合二次函数的性质分析可得当时,有最大值16,进而分析可得的最大值,即可得答案.【详解】解: 根据题意,设则,分析可得当时,有最大值16,则此时有最大值;故函数的最大值为4.【点睛】本题考查函数最值的计算,关键是转化思路,利用二次函数的性质求出函数的最大值.14（1）当且时，求函数的最小值.（2）当时，求函数的最大值.【答案】(1);(2)【分析】(1)利用“1”的妙用和基本不等式求解；(2)利用基本不等式求解.【详解】(1) ,当且仅当即即时取得等号.所以的最小值为.(2) ,因为，所以，所以，所以，所以，即，当且仅当，解得时取得等号，

17、所以函数的最大值为.15（1）若，求的最小值；（2）若，比较、的大小.【答案】（1）最小值为12；（2）.【解析】（1）设，然后利用基本不等式可求出答案；（2）利用作差法比较出的大小即可.【详解】（1）设，则，所以，当，即时取等号，所以的最小值为12.（2）因为，所以所以，由题意可知，所以 16定义:记为这个实数中的最小值，记为这个实数中的最大值，例如:.（1）求证:；（2）已知，求的最小值；（3）若，求的最小值.【答案】（1）见解析（2）1（3）2【分析】（1）作差比较的大小，再根据定义得结果；（2）根据定义化简为一个分段函数，再分别求各段最小值，即得的最小值；（3）先根据基本不等式得【详解

18、】（1）因此；（2）当时，当时，所以，的最小值为1；（3）（当且仅当时取等号）因此当，即时（当且仅当时取等号）当或，即或时，不妨设综上，的最小值为2.【点睛】本题考查函数定义、函数最值以及利用基本不等式求最值，考查综合分析论证与求解能力，属较难题.提升题型训练_一、单选题1若命题“对任意的，恒成立”为假命题，则m的取值范围为（）ABCD【答案】A【分析】根据原命题为真可得，即可得出命题为假命题时m的取值范围【详解】当原命题为真时，恒成立，即，由命题为假命题，则故选：A.2若点在线段上运动，且，设，则A有最大值2B有最小值1C有最大值1D没有最大值和最小值【答案】C【分析】由在线段上运动，可得满

19、足，根据基本不等式计算最值即可得到的最值.【详解】由已知点在线段上运动，且，即点满足，当且仅当时，即时，等号成立，所以有最大值.故选：C3若，则的最小值为A8B6C4D2【答案】C【详解】分析：利用对数运算法则，得，从而有，再利用基本不等式得，化简可得，从而得所求最小值详解：，当且仅当时取等号故选C点睛：在用基本不等式求最值时，要注意其三个条件缺一不可，一正，二定，三相等，在求最值时，如果几次用到不等式进行放缩，那么一定要探索每个不等号中等号成立的条件是否是同一个，否则最后的等号不能取到4若，则“”是“”的（）.A必要不充分条件B充分不必要条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件【答案】B【分

20、析】根据题意，结合基本不等式，讨论“”和“”的推出关系即可【详解】依题意，对于正数，当时，故充分性成立，若无法推出，如当，时，而，故必要性不成立所以“”是“”的充分不必要条件.故选【点睛】本题考查了充分性和必要性的判断，考查了基本不等式的应用，属于基础题5已知，则的最小值是（）A1B2C3D4【答案】C【分析】化简为，利用均值不等式求解即可.【详解】因为，所以，而，由均值不等式，得：，当且仅当，即时，等号成立，所以的最小值为3，故选：C【点睛】本题主要考查了均值不等式的应用，分式的变形化简，属于中档题.6已知，则的最小值为（）ABCD【答案】A【解析】由条件可得，则，由均值不等式可得答案.【详

21、解】由，可得当且仅当,即时取等号.故选：A【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方二、多选题7下列说法中正确的是（）A不等式恒成立B当时，的最小值是2C设，且，则的最小值是D，使得不等式成立【答案】CD【分析】结合基本不等式的知识对选项进行分析，从而确定正确选项.【

22、详解】当时，不等式不成立，所以A错误. ，但无解，所以等号不成立.所以B错误.，当且仅当时等号成立.所以C正确.当时，所以D正确.故选：CD8已知，且，则下列说法正确的是（）ABC的最小值为D【答案】ABCD【分析】利用基本不等式逐一计算判断即可.【详解】对于A：，即，则，当且仅当时，等号成立，A正确；对于B：，当且仅当，即时等号成立，又，即，成立，B正确；对于C：，当且仅当，即时等号成立，C正确；对于D：，当且仅当时，等号成立，D正确；故选：ABCD三、填空题9已知，比较两数的大小：_9【答案】【分析】利用基本不等式进行求解判断即可.【详解】因为，所以，当且仅当时取等号，即时取等号，故答案为

23、：10某市对新建住宅的屋顶和外墙都要求建造隔热层某建筑物准备建造可以使用30年的隔热层，据当年的物价，每厘米厚的隔热层的建造成本是9万元根据建筑公司的前期研究得到，该建筑物30年间每年的能源消耗费用N（单位：万元）与隔热层的厚度h（单位：厘米）满足关系：经测算知道，如果不建造隔热层，那么30年间每年的能源消耗费用为10万元设为隔热层的建造费用与30年间的能源消耗费用的总和，那么使达到最小值的隔热层的厚度h_厘米【答案】【分析】根据题意可得函数，利用基本不等式求解.【详解】由题意及，可得，即，隔热层的建造费用与30年间的能源消耗费用的总和（万元），当且仅当，即（厘米）时达到最小值故答案为: .1

24、1已知,且,若 恒成立，则实数的取值范围是 当 取到最大值时 【答案】，【详解】试题分析：，当且仅当时取等号，因为恒成立，所以考点：基本不等式求最值【易错点睛】在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”（即条件要求中字母为正数）、“定”（不等式的另一边必须为定值）、“等”（等号取得的条件）的条件才能应用，否则会出现错误.12若实数x，y满足，则的最小值为_.【答案】.【分析】由，可得，即可得到.【详解】由，可得，即，解得，所以的最小值为，故答案为：.【点睛】该题考查的是有关利用基本不等式的变形，求代数式的最值问题，属于简单题目.四、解答题13已知，求的

25、最小值，并说明x为何值时y取得最小值【答案】时，y取得最小值2【解析】根据基本不等式，求得的最小值，根据基本不等式等号成立的条件，求得此时的值.【详解】因为，所以根据均值不等式有，其中等号成立当且仅当，即，解得或（舍）因此时，y取得最小值2【点睛】本小题主要考查利用基本不等式求最小值，属于基础题.14若，且，求与的最小值【答案】的最小值为9，的最小值为6.【分析】把条件变形为，然后把所求的与分别变形为和，结合基本不等式求最值即可.【详解】因为，所以1，所以，当且仅当时，即x3时等号成立；xyx1，当且仅当，即x3时等号成立15已知满足，求的解析式.【答案】【分析】根据题意，用代替，得到新的方程

26、，与条件的方程构成方程组，解出.【详解】解：由，可知.两式联立，消去可得，即.【点睛】本题考查函数解析式的求法，考查分析能力，属于中档题.16选修4-5：不等式选讲（1）已知函数的定义域为，求实数的取值范围；（2）若正实数满足，求的取值范围.【答案】(1) 或.（2）.【详解】分析：(1)先根据偶次根式被开方数非负得恒成立，再根据绝对值三角不等式得 最小值，最后解不等式得实数的取值范围；(2)利用1得代换得，再根据基本不等式求最值得结果.详解：（1）由题意知恒成立因为所以，解得或（2）因为所以即的取值范围是.点睛：含绝对值不等式的解法有两个基本方法，一是运用零点分区间讨论，二是利用绝对值的几何意义求解法一是运用分类讨论思想，法二是运用数形结合思想，将绝对值不等式与函数以及不等式恒成立交汇、渗透，解题时强化函数、数形结合与转化化归思想方法的灵活应用，这是命题的新动向