专题7.6 数列综合练（解析版）.docx

1、专题7.6 数列综合练题号一二三四总分得分练习建议用时：120分钟 满分：150分一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每个小题绐岀的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1（2023江苏苏州模拟预测）2022年11月8日，著名华人数学家张益唐教授以视频方式作学术报告，与北大数学师生分享他围绕“朗道西格尔零点猜想”所做的研究工作，他在“大海捞针”式的研究过程中提出的新想法是基于一个简单的代数恒等式：.已知数列的通项公式为，则其前9项的和等于（）A13280B20196C20232D29520【答案】B【分析】先变形得到，再利用裂项相消法求和即可.【详解】，所以.故选：B.2（2

2、023全国高三对口高考）若两个等差数列，的前n项和满足，则（）ABCD【答案】B【分析】根据等差数列得性质和前项和公式计算即可.【详解】由，得.故选：B.3（2023浙江宁波镇海中学校考模拟预测）数列满足，则（）ABCD3【答案】A【分析】首先根据递推公式，求数列中的项，并得到数列的周期，再求的值.【详解】因为，所以，解得，又，解得，又，显然，接下去，所以数列是以3为周期的周期数列，则.故选：A.4（2023全国高三专题练习）高斯是德国著名的数学家，近代数学的奠基者之一，享有“数学王子”的称号，用其名字命名的“高斯函数”为：设，用表示不超过x的最大整数，则称为“高斯函数”，例如：，已知数列满足

3、，若，为数列的前n项和，则（）ABCD【答案】C【分析】运用构造法可得为等比数列，再运用累加法可得通项公式，进而求得通项公式，再运用裂项相消求和可得结果.【详解】由，得又，所以数列构成以2为首项，2为公比的等比数列，所以.又，叠加可得，即，所以.又因为满足上式，所以.所以.因为，所以，即，所以.故.所以.故选：C.5（2023全国高三对口高考）设是公比为的等比数列，其前项的积为，并且满足条件：，给出下列结论：；使成立的最小的自然数n等于199其中正确结论的编号是（）ABCD【答案】D【分析】利用等比数列的性质及等比数列的通项公式判断；利用等比数列的性质及不等式的性质判断；利用下标和定理判断；利

4、用等比数列的性质判断，从而得出结论【详解】对于：，又，且，故正确；对于：，故错误；对于：，故正确；对于：，故正确故选：D6（2023全国高三专题练习）已知数列满足，令，则错误选项是（ ）AB数列是等差数列C为整数D数列的前2022项和为4044【答案】C【分析】由已知当时，求得，当时，由，得，两式相减化简，再利用累乘法可求得，从而可判断A，可求出，从而可判断BC，将代入中化简，然后利用分组求和法求解即可判断D.【详解】因为，所以当时，故.当时，由，得，所以，整理，所以，所以，所以，所以A正确，所以，所以，所以为等差数列，所以B正确，所以不是整数，所以C错误，则，设数列的前n项和为，则.因为，所

5、以.故，所以D正确.故选：C.7（2023全国高三专题练习）已知数列满足，则数列第2023项为（）ABCD【答案】B【分析】根据题意得到，再利用累加法计算得到答案【详解】由，则有，得，又，则 ，所以，相加得故选：B8（2023全国高三专题练习）已知数列满足，若对于任意，都有，则的取值范围是（）A，B，CD【答案】A【详解】由题意易知，成立，故；又，故只要在上有解，则；又恒成立，即，即，则；综上所述，实数的取值范围为，故选：二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分9（2023春辽宁鞍山高二鞍山

6、一中校考期中）已知数列，下列说法正确的有（）A若，则为递减数列B若，则为等比数列C若数列的公比，则为递减数列D若数列的前n项和，则为等差数列【答案】ABD【分析】对A计算可得答案；对B变形得可得答案；对C举例求出可得答案；对D. 求出可得答案.【详解】对A，当时，即，A正确；对B，因为，所以，由已知得，则是以3为公比的等比数列，B正确；对C，当时，则，故不是递减数列，C错误；D.由得时，检验得，时，满足，所以，则为等差数列，D正确.故选：ABD.10（2023江苏宿迁江苏省沭阳高级中学校考模拟预测）设是数列的前n项和，且，则（）AB数列是公差为的等差数列C数列的前5项和最大D【答案】AC【分析

7、】令可得即可求判断A，利用的关系可得即可判断B,C，取求得即可判断D.【详解】，或(舍)，故选项A正确；又，数列是公差为的等差数列，故选项B错误；由得，数列的前5项和最大，故选项C正确；当时，这与矛盾，故选项D错误，故选:AC.11（2023秋江苏南京高二南京大学附属中学校考期末）设数列的前项和为，且，则（）A数列是等比数列BCD的前项和为【答案】ACD【分析】由已知可得数列是，2为公比的等比数列，从而可得通项公式，可判断A、B，进而可以求的值判断C，也易求得的前项和判断D.【详解】由已知，当时，可得选项A，可得数列是，2为公比的等比数列，故A正确；选项B，由选项A可得解得，故B错误；选项 C

8、，数列是以1为首项，4为公比的等比数列，所以 ，故C正确；选项D，因为，故D正确.故选：ACD.12（2023浙江校联考三模）南宋数学家杨辉在详解九章算法和算法通变本末中提出了一些新的垛积公式，所讨论的高阶等差数列与一般等差数列不同，前后两项之差并不相等，但是逐项差数之差或者高次差成等差数列.如数列1，3，6，10，它的前后两项之差组成新数列2，3，4，新数列2，3，4为等差数列，则数列1，3，6，10被称为二阶等差数列，现有高阶等差数列其前7项分别为5，9，17，27，37，45，49，设通项公式.则下列结论中正确的是（）（参考公式：）A数列为二阶等差数列B数列的前11项和最大CD【答案】A

9、C【分析】根据题中定义，结合累加法、等差数列前项和公式、题中所给的公式逐一判断即可.【详解】设，所以数列前6项分别为，设，所以数列前5项分别为，显然数列是以为首项，为公差的等差数列，由题中定义可知数列为二阶等差数列，因此选项A正确；，于是有，因此有，因为，所以数列的前11项和最大不正确，因此选项B不正确；因此选项C正确；，因此选项D不正确；故选：AC【点睛】关键点睛：利用累加法，结合题中定义、所给的公式是解题的关键.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共计20分.13（2023春天津北辰高二天津市第四十七中学校考阶段练习）设且，已知数列满足，且是递增数列，则a的取值范围是_【答案】【分析】根

10、据数列的单调性结合函数的性质列出不等式求解.【详解】因为是递增数列，所以解得，故答案为: .14（2023全国高三对口高考）根据下面各数列的前几项，写出该数列的一个通项公式：_.1，3，6，10，15，_.1，3，3，5，5，7，7，9，9，_.【答案】 . . 【分析】通过观察法分析数列的变化规律即可求解.【详解】可改写为则.1，3，6，10，15，利用累加法可得，.1，3，3，5，5，7，7，9，9，奇数项，偶数项，所以故答案为：；.15（2023黑龙江哈尔滨哈尔滨市第六中学校校考三模）已知数列与的前n项和分别为，则_；若对于任意恒成立，则实数的取值范围是_.【答案】 【分析】根据题意化简

11、得，求得，再把不等式的恒成立转化为对于任意恒成立，结合基本不等式，即可求解.【详解】设，则，所以，所以.又由，可得，因为对于任意恒成立，即对于任意恒成立，设，因为，当且仅当时，即时，等号成立，所以，所以，即实数的取值范围是.故答案为：；.16（2023山东日照三模）已知数列中，是，的等差中项，是其前n项和，若数列是公差为3的等差数列，则_.【答案】5248【分析】利用等差数列的基本性质及求和公式计算即可.【详解】依题意，故，而，所以,且，故是首项为12，公差为9的等差数列，则.故答案为：5248四、解答题：本题共6小题，共计70分解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17（2023广东韶关

12、统考模拟预测）设等比数列的前项和为，已知，.(1)求数列的通项公式；(2)设，求数列的前项和.【答案】(1)(2)【分析】（1）设等比数列的公比为，根据，作差求出公比，即可得出答案；（2）由（1）得，可得，利用分组求和法计算可得【详解】（1）设等比数列的公比为，当时，有，当时，由得，即，；（2）由（1）得，则，18（2023全国高二专题练习）已知数列的前项和为，且，.求数列的通项公式.【答案】【分析】利用项与和的关系分，求解，从而得到是以为首项，公差为的等差数列，进而求得.【详解】当时，整理得，解得；当时，可得，得，即，化简得，因为，所以，从而是以为首项，公差为的等差数列，所以.19（2023

13、广东佛山华南师大附中南海实验高中校考模拟预测）已知数列的前项和为，(1)求数列的通项公式；(2)求证：【答案】(1)(2)证明见解析【分析】（1）根据公式得到是常数列，确定，计算得到通项公式.（2）放缩，根据裂项相消法计算得到证明.【详解】（1），则，整理得到，故，故是常数列，故，即，当时，验证时满足，故（2），故.20（2023云南保山统考二模）已知是数列的前n项和，_.，；数列为等差数列，且的前3项和为6.从以上两个条件中任选一个补充在横线处，并求解：(1)求；(2)设，求数列的前6项和.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.【答案】(1)(2)【分析】（1）选，分析可知数列、均

14、为公差为的等差数列，求出的值，可求得、的表达式，可得出数列的通项公式；选，求得的值，可得出数列的公差，即可求得，再由可求得数列的通项公式；（2）求出数列的通项公式用裂项相消法即可求解.【详解】（1）选条件：，则，两式作差得，即数列，均为公差为4的等差数列，于是，又，所以，于是，所以.选条件：因为数列为等差数列，且的前3项和为6，则，所以，又，所以，所以的公差为，所以，则，当时，又满足，所以对任意的，.（2）解法一：由（1）得，则，所以.解法二：由（1）得则.21（2023全国校联考二模）已知数列中，(1)证明：数列是等差数列，并求数列的通项公式；(2)设，数列的前项和为，若恒成立，试求实数的取

15、值范围.【答案】(1)证明见解析，(2)【分析】（1）对两边同时除以，即可证明数列是等差数列，再由等差数列的通项公式求出数列的通项公式；（2）由（1）求出，再由裂项相消法求和求出，则，即，求解即可.【详解】（1）两边同时除以，数列是首项，公差为2的等差数列，.（2），可得，即，即恒成立.22（2023浙江校联考三模）记为数列的前项和，已知，且满足.(1)证明：数列为等差数列；(2)设，求数列的前项和.【答案】(1)证明见解析(2)【分析】（1）方法1：由可得，由累加法求出，再证明数列为等差数列；方法2：由可得，可证得为常数数列，求出，再证明数列为等差数列；方法3：由可得，两式相减可明数列为等差数列；（2）由（1）知，所以，方法1：由并项求和法求出数列的前项和；方法2：由错位相减求和求出数列的前项和.【详解】（1）方法1：，时，累加得：，时也成立，.，是等差数列方法2：，为常数数列，是等差数列.方法3：当时，-可得：，是等差数列，因为.（2）由（1）知，所以，方法1：并项求和当为偶数时，方法2：错位相减求和-：