专题8.7向量法求距离、探索性及折叠问题（原卷版）.docx

1、8.7 向量法求距离、探索性及折叠问题知识点总结1.点到平面的距离若P是平面外一点，PO，垂足为O，A为平面内任意一点，设n为平面的法向量，则点P到平面的距离d .2.点到直线的距离如图(1)，点P为直线l外一点，A是l上任意一点，在点P和直线l所确定的平面内，取一个与直线l垂直的向量n，则点P到直线l的距离为d .如图(2)，设e是直线l的方向向量，则点P到直线l的距离为d .3.线面距离、面面距离都可以转化为点到平面的距离.典型例题分析考向一 点到直线的距离例1 如图，P为矩形ABCD所在平面外一点，PA平面ABCD.若已知AB3，AD4，PA1，则点P到直线BD的距离为_.考向二 点到平

2、面的距离例2 在棱长均为a的正三棱柱ABCA1B1C1中，D是侧棱CC1的中点，则点C1到平面AB1D的距离为()A.a B.a C.a D.a感悟提升1.点线距的求解步骤：直线的单位方向向量a所求点到直线上一点的向量及其在直线的方向向量a上的投影向量代入公式.2.点面距的求解步骤：(1)求出该平面的一个法向量；(2)找出从该点出发的平面的任一条斜线段对应的向量；(3)求出法向量与斜线段对应向量的数量积的绝对值，再除以法向量的模，即可求出点到平面的距离.考向三 探索性问题例3 (2023厦门质检)在三棱柱ABCA1B1C1中，四边形AA1B1B是菱形，ABAC，平面AA1B1B平面ABC，平面

3、A1B1C1与平面AB1C的交线为l.(1)证明：A1BB1C.(2)已知ABB160，ABAC2，l上是否存在点P，使A1B与平面ABP所成角为30？若存在，求B1P的长度；若不存在，请说明理由.感悟提升1.对于存在判断型问题的求解，应先假设存在，把要成立的结论当作条件，据此列方程或方程组，把“是否存在”问题转化为“点的坐标是否有解，是否有规定范围内的解”等.2.对于位置探究型问题，通常借助向量，引进参数，综合已知和结论列出等式，解出参数.训练2 如图，四棱锥SABCD的底面是正方形，每条侧棱的长都是底面边长的倍，P为侧棱SD上的点.(1)求证：ACSD；(2)若SD平面PAC，求平面PAC

4、与平面DAC夹角的大小；(3)在(2)的条件下，侧棱SC上是否存在一点E，使得BE平面PAC.若存在，求SEEC的值；若不存在，试说明理由.考向四 折叠问题例4(1) (2023济南调研)如图，矩形ABCD中，AB2，BC1，将ACD沿AC折起，使得点D到达点P的位置，连接PB，PB.(1)证明：平面PAB平面ABC；(2)求直线PC与平面ABC所成角的正弦值.(2)(2023苏北四市质检)已知一圆形纸片的圆心为O，直径AB2，圆周上有C，D两点.如图，OCAB，AOD，点P是上的动点.沿AB将纸片折为直二面角，并连接PO，PD，PC，CD.(1)当AB平面PCD时，求PD的长；(2)当三棱锥

5、PCOD的体积最大时，求二面角O-PD-C的余弦值.感悟提升翻折问题中的解题关键是要结合图形弄清翻折前后变与不变的关系，尤其是隐含的垂直关系.一般地翻折后还在同一个平面上的性质不发生变化，不在同一平面上的性质发生变化.基础题型训练一、单选题1在空间直角坐标系中，已知，且平面的法向量为，则到平面的距离等于（）AB4CD2空间中有三点，则点P到直线MN的距离为（）ABC3D3已知空间三点，则到直线的距离为（）ABCD4已知空间三点，则到直线的距离为（）A1B2C3D5在空间直角坐标系中，平面的法向量为， 已知，则P到平面的距离等于 （）ABCD6已知正方体的棱长为2，、分别为上底面和侧面的中心，则

6、点到平面的距离为（）ABCD二、多选题7如图，在正四棱柱中，为四边形对角线的交点，下列结论正确的是（）A点到侧棱的距离相等B正四棱柱外接球的体积为C若，则平面D点到平面的距离为8多选题下列命题中正确的是（）A可以用求空间两点A，B的距离B设是平面的法向量，AB是平面的一条斜线，点A在平面内，则点B到的距离为C若直线l与平面平行，直线l上任意一点与平面内任意一点的距离就是直线l与平面的距离D若平面与平面平行，则平面内任意一点到平面的距离就是平面与平面之间的距离三、填空题9已知点在平面内，为平面的一个法向量，则点到平面的距离为_.10如图，在棱长为2的正方体中，分别是的中点，则直线到平面的距离为_

7、11一个正方体的平面展开图如图所示，AB=1，则在原来的正方体中，线段CF的中点到直线AM的距离为_.12为矩形所在平面外一点，平面，若已知，则点到的距离为_四、解答题13如图，是圆柱的一条母线，是底面的一条直径，是圆上一点，且，.(1)求直线与平面所成角的大小；(2)求点到平面的距离.14如图在棱长为2的正方体中，点E是AD的中点，求：(1)异面直线和所成的角的余弦值(2)点到平面的距离15在平行四边形中，且平面ABCD，求点P到直线BC的距离16如图，在三棱柱中，平面，的中点为(1)求证：；(2)求直线与平面所成角的正弦值；(3)求点到平面的距离提升题型训练一、单选题1已知直线l的方向向量

8、为，平面的法向量为，若直线l与平面垂直，则实数x的值为（）ABCD102棱长为的正四面体中，则等于（）ABCD3在空间中，已知动点P（x，y，z）满足z0，则动点P的轨迹是A平面B直线C不是平面，也不是直线D以上都不对4四棱锥中，则这个四棱锥的高为（）ABCD5如图在直三棱柱ABCA1B1C1中，棱AB，BC，BB1两两垂直且长度相等，点P在线段A1C1上运动，异面直线BP与B1C所成的角为，则的取值范围是ABCD6已知正四棱锥侧面和底面的棱长都为2，P为棱BC上的一个动点，则点P到平面SAD的距离是（）ABCD二、多选题7有下列四个命题，其中正确的命题有（）A已知A，B，C，D是空间任意四点

9、，则B若两个非零向量与满足，则.C分别表示空间向量的有向线段所在的直线是异面直线，则这两个向量可以是共面向量.D对于空间的任意一点O和不共线的三点A，B，C，若 (x，y，z)，则P，A，B，C四点共面.8已知正方体，则下列结论中正确的有（）AB平面C线段被平面分成两段，其长线段与短线段长度比为D正方体被平面分割为大小两个几何体的体积比为三、填空题9在空间直角坐标系中，点和点间的距离是_10已知直线的一个方向向量为，平面的一个法向量为，且，则_11已知矩形ABCD中，AB1，BC，将矩形ABCD沿对角线AC折起，使平面ABC与平面ACD垂直，则B与D之间的距离为_12如图，锐二面角的棱上有，两点，直线，分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于.已知，则锐二面角的平面角的余弦值是_.四、解答题13在空间四边形中，连接，设M，G分别是的中点，化简下列各向量表达式：(1)；(2).14如图，正方形的边长为2，的中点分别为C，正方形沿着折起形成三棱柱，三棱柱中，.（1）证明:当时，求证：平面；（2）当时，求二面角的余弦值.15如图，在四棱锥中，底面是矩形，平面，是中点（1）求直线与平面的夹角余弦值；（2）求平面和平面的夹角的余弦值.16如图，正四棱锥的底面面积为4，一条侧棱长为.(1)求PA和DC的所成角的余弦值；(2)求侧棱PA和侧面PBC所成角的正弦值.