专题8二次函数与矩形存在性问题-挑战2022年中考数学压轴题之学霸秘笈大揭秘（全国通用）（原卷版）.docx

1、挑战2023年中考数学压轴题之学霸秘笈大揭秘专题8二次函数与矩形存在性问题1.矩形的判定:（1）有一个角是直角的平行四边形是矩形；（2）对角线相等的平行四边形是矩形；（3）有三个角为直角的四边形是矩形2.题型分析矩形除了具有平行四边形的性质之外，还有“对角线相等”或“一个角为直角”，因此相比起平行四边形，坐标系中的矩形满足以下3个等式：因此在矩形存在性问题最多可以有3个未知量，代入可以得到三元一次方程组，可解确定了有3个未知量，则可判断常见矩形存在性问题至少有2个动点，多则可以有3个下：同时，也可以先根据A、B的坐标求出直线AB的解析式，进而得到直线AD或BC的解析式，从而确定C或D的坐标.

2、【例1】（2022泸州）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线yax2+x+c经过A（2，0），B（0，4）两点，直线x3与x轴交于点C（1）求a，c的值；（2）经过点O的直线分别与线段AB，直线x3交于点D，E，且BDO与OCE的面积相等，求直线DE的解析式；（3）P是抛物线上位于第一象限的一个动点，在线段OC和直线x3上是否分别存在点F，G，使B，F，G，P为顶点的四边形是以BF为一边的矩形？若存在，求出点F的坐标；若不存在，请说明理由【例2】（2022绥化）如图，抛物线yax2+bx+c交y轴于点A（0，4），并经过点C（6，0），过点A作ABy轴交抛物线于点B，抛物线的对称轴为直线

3、x2，D点的坐标为（4，0），连接AD，BC，BD点E从A点出发，以每秒个单位长度的速度沿着射线AD运动，设点E的运动时间为m秒，过点E作EFAB于F，以EF为对角线作正方形EGFH（1）求抛物线的解析式；（2）当点G随着E点运动到达BC上时，求此时m的值和点G的坐标；（3）在运动的过程中，是否存在以B，G，C和平面内的另一点为顶点的四边形是矩形，如果存在，直接写出点G的坐标，如果不存在，请说明理由【例3】（2022黔东南州）如图，抛物线yax2+2x+c的对称轴是直线x1，与x轴交于点A，B（3，0），与y轴交于点C，连接AC（1）求此抛物线的解析式；（2）已知点D是第一象限内抛物线上的一个

4、动点，过点D作DMx轴，垂足为点M，DM交直线BC于点N，是否存在这样的点N，使得以A，C，N为顶点的三角形是等腰三角形若存在，请求出点N的坐标，若不存在，请说明理由；（3）已知点E是抛物线对称轴上的点，在坐标平面内是否存在点F，使以点B、C、E、F为顶点的四边形为矩形，若存在，请直接写出点F的坐标；若不存在，请说明理由【例4】（2022梁山县一模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线yax2+bx+c（a0）与x轴交于A（2，0）、B（4，0）两点，与y轴交于点C，且OC2OA（1）试求抛物线的解析式；（2）直线ykx+1（k0）与y轴交于点D，与抛物线交于点P，与直线BC交于点M，记m，试求m

5、的最大值及此时点P的坐标；（3）在（2）的条件下，m取最大值时，点Q是x轴上的一个动点，点N是坐标平面内的一点，是否存在这样的点Q、N，使得以P、D、Q、N四点组成的四边形是矩形？如果存在，请求出点N的坐标；如果不存在，请说明理由1（2022武功县模拟）在平面直角坐标系中，已知抛物线L1：yx2+bx+c（b、c为常数）与x轴交于A（6，0）、B（2，0）两点（1）求抛物线L1的函数表达式；（2）将该抛物线L1向右平移4个单位长度得到新的抛物线L2，与原抛物线L1交于点C，点D是点C关于x轴的对称点，点N在平面直角坐标系中，请问在抛物线L2上是否存在点M，使得以点C、D、M、N为顶点的四边形是

6、以CD为边的矩形？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由2（2022东莞市校级一模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y+bx+c与x轴的正半轴交于点D，与y轴交于点C，点A在抛物线上，ABy轴于点BABC绕点B逆时针旋转90得到OBE，连接DE当+bx+c0时，x的取值范围是x2（1）求该抛物线的解析式；（2）求证：四边形OBED是矩形；（3）在线段OD上找一点N，过点N作直线m垂直x轴，交OE于点F，连接DF，当DNF的面积取得最大值时，求点N的坐标，在此基础上，在直线m上找一点P，连接OP、DP使得OPD+DOE90，求点P的坐标3（2022石家庄二模）如图，抛物线yx2+bx+c（

7、c0）与x轴交于点A（1，0），B（点A在点B左侧），与y轴交于点C，连接BC（1）点C的纵坐标为 （用含b的式子表示），OBC 度；（2）当b1时，若点P为第一象限内抛物线上一动点，连接BP，CP，求BCP面积的最大值，并求出此时点P的坐标；（3）已知矩形ODEF的顶点D，F分别在x轴、y轴上，点E的坐标为（3，2）抛物线的顶点为Q，当AQ的中点落在直线EF上时，求点Q的坐标；当抛物线在矩形内部的部分对应的函数值y随x的增大而减小时，请直接写出b的取值范围4（2022滨海县一模）如图1，在平面直角坐标中，抛物线与x轴交于点A（1，0）、B（4，0）两点，与y轴交于点C，连接BC，直线BM：y

8、2x+m交y轴于点MP为直线BC上方抛物线上一动点，过点P作x轴的垂线，分别交直线BC、BM于点E、F（1）求抛物线的表达式：（2）当点P落在抛物线的对称轴上时，求PBC的面积：（3）若点N为y轴上一动点，当四边形BENF为矩形时，求点N的坐标；在的条件下，第四象限内有一点Q，满足QNQM，当QNB的周长最小时，求点Q的坐标5（2022石家庄模拟）某公园有一个截面由抛物线和矩形构成的观景拱桥，如图1所示，示意图如图2，且已知图2中矩形的长AD为12米，宽AB为4米，抛物线的最高处E距地面BC为8米（1）请根据题意建立适当的平面直角坐标系，并求出抛物线的函数解析式；（2）若观景拱桥下放置两根长为

9、7米的对称安置的立柱，求这两根立柱之间的水平距离；（3）现公园管理处打算在观景桥侧面搭建一个矩形“脚手架”PQMN（如图2），对观景桥表面进行维护，P，N点在抛物线上，Q，M点在BC上，为了筹备材料，需求出“脚手架”三根支杆PQ，PN，MN的长度之和的最大值，请你帮管理处计算一下6（2022朝阳区校级一模）已知二次函数yx22mxm与y轴交于点M，直线ym+5与y轴交于点A，与直线x4交于点B，直线y2m与y轴交于点D（A与D不重合），与直线x4交于点C，构建矩形ABCD（1）当点M在线段AD上时，求m的取值范围（2）求证：抛物线yx22mxm与直线ym+5恒有两个交点（3）当抛物线在矩形内部

10、的函数值y随着x的增大而增大或y随x的增大而减小时，求m的取值范围（4）当抛物线在矩形内部（包括边界）最高点的横坐标等于点B到x轴距离的时，直接写出m的取值范围7（2022长春一模）已知抛物线yx22mx+2m+1（1）写出抛物线yx22mx+2m+1的顶点坐标（用含m的式子表示）（2）当x1时，y随x的增大而增大，则m的取值范围是 （3）当1x2时，函数yx22mx+2m+1的图象记为G，设图象G的最低点的纵坐标为y0当y01时，求m的值（4）当m0时，分别过点A（2，1）、B（2，4）作y轴垂线，垂足分别为点D、点C，抛物线在矩形ABCD内部的图象（包括边界）的最低点到直线y2的距离等于最

11、高点到x轴的距离，直接写出m的值8（2021咸丰县一模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴正半轴交于点A，且点A的坐标为（3，0），过点A作垂直于x轴的直线l，P是该抛物线上一动点，其横坐标为m，过点P作PQl于点Q，M是直线l上的一点，其纵坐标为以PQ，QM为边作矩形PQMN（1）求抛物线的解析式；（2）当点Q与点M重合时，求m的值；（3）当矩形PQMN是正方形，且抛物线的顶点在该正方形内部时，求m的值；（4）当抛物线在矩形PQMN内的部分所对应的函数值y随x的增大而减小时，求m的取值范围9（2022白山模拟）在平面直角坐标系中，抛物线yx2+2x+b（b为常数，b0）与y轴交于点A，且

12、点A的坐标为（0，3），过点A作垂直于y轴的直线lP是该抛物线上的任意一点，其横坐标为m，过点P作PQl于点Q，M是直线l上的一点，其横坐标为m+1以PQ，QM为边作矩形PQMN（1）求b的值；（2）当点Q与点M重合时，求m的值；（3）当矩形PQMN为正方形时，求m的值；（4）当抛物线在矩形PQMN内的部分所对应的函数值y随x的增大而增大时，直接写出m的取值范围10（2021吉林四模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线yx2+bx与x轴交于点A（5，0），与该抛物线的对称轴l交于点B，作直线ABP是该抛物线上的任意一点，其横坐标为m，过点P作x轴的垂线交AB于点Q，过点P作PNl于点N，以PQ、

13、PN为边作矩形PQMN（1）求抛物线的解析式；（2）求直线AB的解析式；（3）当该抛物线被矩形PQMN截得的部分图象的最高点纵坐标与最低点纵坐标的距离为2时，求点P的坐标；（4）当该抛物线与坐标轴的交点到直线MQ的距离相等时，直接写出m的值11（2021南关区校级二模）在平面直角坐标系中，抛物线yx22axa（a为常数）（1）当（，m）在抛物线上，求m的值（2）当抛物线的最低点到x轴的距离恰好是时，求a的值（3）已知A（1，1）、B（1，2a），连接AB当抛物线与线段AB有交点时，记交点为P（点P不与A、B重合），将线段PB绕点P顺时针旋转90得到线段PM，以PM、PA为邻边构造矩形PMQA若

14、抛物线在矩形PMQA内部的图象的函数值y随自变量x的增大而减小时，求a的取值范围当抛物线在矩形PMQA内部（包含边界）图象所对应的函数的最大值与最小值的差为时，直接写出a的值12（2021吉林二模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线yx2x与x轴正半轴交于点A，过点A的直线ykx+b（k0）与该抛物线的另一个交点B的横坐标为2，P是该抛物线上的任意一点，其横坐标为m+1，过点P作x轴的垂线，交直线AB于点C，在该垂线的点P上方取一点D，使PD1，以CD为边作矩形CDEF，设点E的横坐标为2m（1）求直线AB对应的函数关系式；（2）当点P与点A重合时，求点E的坐标；（3）当点E在该抛物线上时，求抛

15、物线的顶点到EF的距离；（4）当矩形CDEF的一组邻边与该抛物线相交，且该抛物线在矩形CDEF内的部分所对应的函数值y随x的增大而增大时，直接写出m的取值范围13（2020吉林）如图，在平面直角坐标系中，抛物线yx2+bx+与x轴正半轴交于点A，且点A的坐标为（3，0），过点A作垂直于x轴的直线lP是该抛物线上的任意一点，其横坐标为m，过点P作PQl于点Q，M是直线l上的一点，其纵坐标为m+以PQ，QM为边作矩形PQMN（1）求b的值（2）当点Q与点M重合时，求m的值（3）当矩形PQMN是正方形，且抛物线的顶点在该正方形内部时，求m的值（4）当抛物线在矩形PQMN内的部分所对应的函数值y随x的

16、增大而减小时，直接写出m的取值范围14（2022长春模拟）在平面直角坐标系中，已知抛物线yx2+bx+c（b、c是常数）经过点（0，1）和（2，7），点A在这个抛物线上，设点A的横坐标为m（1）求此抛物线对应的函数表达式并写出顶点C的坐标（2）点B在这个抛物线上（点B在点A的左侧），点B的横坐标为12m当ABC是以AB为底的等腰三角形时，求OABC的面积将此抛物线A、B两点之间的部分（包括A、B两点）记为图象G，当顶点C在图象G上，记图象G最高点的纵坐标与最低点的纵坐标的差为h，求h与m之间的函数关系式（3）设点D的坐标为（m，2m），点E的坐标为（1m，2m），点F在坐标平面内，以A、D、E

17、、F为顶点构造矩形，当此抛物线与矩形有3个交点时，直接写出m的取值范围15（2022丹东）如图1，抛物线yax2+x+c（a0）与x轴交于A（2，0），B（6，0）两点，与y轴交于点C，点P是第一象限内抛物线上的一个动点，过点P作PDx轴，垂足为D，PD交直线BC于点E，设点P的横坐标为m（1）求抛物线的表达式；（2）设线段PE的长度为h，请用含有m的代数式表示h；（3）如图2，过点P作PFCE，垂足为F，当CFEF时，请求出m的值；（4）如图3，连接CP，当四边形OCPD是矩形时，在抛物线的对称轴上存在点Q，使原点O关于直线CQ的对称点O恰好落在该矩形对角线所在的直线上，请直接写出满足条件的

18、点Q的坐标16如图，已知抛物线C1：ya1x2+b1x+1c和C2：ya2x2+b2x+c2（|a1|a2|）都经过原点，顶点分别为A，B，与x轴的另一交点分别为M，N，如果四边形ANBM是平行四边形，则称抛物线C1和C2为对称抛物线（1）观察图象，写出对称抛物线两条特征；（如：抛物线开口大小相同）（2）若抛物线C1的解析式为yx2+2x，确定对称抛物线C2的解析式（3）若MN4，且四边形ANBM是矩形时，确定对称抛物线C1和C2的解析式17（2022福田区校级模拟）如图，抛物线yax2+3x+c与x轴交于点A，B，直线yx+1与抛物线交于点A，C（3，n）点P为对称轴左侧抛物线上一动点，其横

19、坐标为m（1）求抛物线的解析式及其顶点的坐标（2）已知直线l：xm+5与直线AC交于点D，过点P（横坐标为m），作PEl于点E，以PE，DE为边作矩形PEDF当抛物线的顶点在矩形PEDF内部时，m的取值范围为 （请直接写出）在的条件下，求矩形PEDF的周长的最小值18（2022绿园区模拟）已知二次函数yn2+2n3，点A、点B均在此二次函数的图象上，点A的横坐标为n1，点B的横坐标为2n2，在点A和点B之间的图象为G（1）当n2时，求二次函数图象的顶点坐标；当1x3时，求y的取值范围（2）AB所在的直线交y轴于点C，过点A作ADy轴于点D，以AD、CD为邻边构造矩形ADCE，直接写出当抛物线的

20、顶点落在矩形ADCE的边上时n的值（3）当图象G上存在两个点到直线y3n4的距离为3，直接写出满足条件的n的取值范围19（2022罗湖区二模）【实践与探究】九（1）班数学课题学习小组，为了研究学习二次函数问题，他们经历了实践一一应用一一探究的过程：（1）实践：他们对一条公路上横截面为抛物线的单向双车道的隧道进行测量，测得隧道的路面宽为10m，隧道顶部最高处距地面6.25m，并画出了隧道截面图，建立了如图所示的直角坐标系，则该抛物线的解析式为 （2）应用：按规定，机动车辆通过隧道时，车顶部与隧道顶部在竖直方向上的高度差至少为0.5m为了确保安全，问该隧道能否让最宽3m、最高3.5m的两辆厢式货车

21、居中并列行驶（两车并列行驶时不考虑两车之间的空隙）？（3）探究：该课题学习小组为进一步探索抛物线的有关知识，他们借助上述抛物线模型，提出了以下两个问题，请予解答：如图，在抛物线内作矩形ABCD，使顶点C、D落在抛物线上，顶点A、B落在x轴上设矩形ABCD的周长为l，求l的最大值如图，过原点作一条yx的直线OM，交抛物线于点M，交抛物线对称轴于点N，P为直线OM上一动点，过P点作x轴的垂线交抛物线于点Q问：在直线OM上是否存在点P，使以P、N、Q为顶点的三角形是等腰直角三角形？若存在，请求出P点的坐标；若不存在，请说明理由20（2022安徽模拟）如图；已知抛物线yax2+3x+c与直线yx+1交

22、于两点A，B（3，n），且点A在x轴上（1）求a，c，n的值；（2）设点P在抛物线上，其横坐标为m直线l：xm+5与直线AB交于点C，过点P作PDl于点D，以PD，CD为边作矩形PDCE，使得抛物线的顶点在矩形PDCE内部直接写出：m的取值范围是 ；求PD+CD的最小值21（2022春朝阳区校级月考）已知抛物线L：yx2+4x+a（a0）（1）抛物线L的对称轴为直线 （2）当抛物线L上到x轴的距离为3的点只有两个时，求a的取值范围（3）当a0时，直线xa、x3a与抛物线L分别交于点A、C，以线段AC为对角线作矩形ABCD，且ABy轴若抛物线L在矩形ABCD内部（包含边界）最高点的纵坐标等于2，

23、求矩形ABCD的周长（4）点M的坐标为（4，1），点N的坐标为（1，1），当抛物线L与线段MN有且只有一个公共点，直接写出a的取值范围22（2022烟台一模）如图，平面直角坐标系中，正方形ABCD的顶点A，B在x轴上，抛物线yx2+bx+c经过A，C（4，5）两点，且与直线DC交于另一点E（1）求抛物线的解析式；（2）P为y轴上一点，过点P作抛物线对称轴的垂线，垂足为Q，连接EQ，AP试求EQ+PQ+AP的最小值；（3）N为平面内一点，在抛物线对称轴上是否存在点M，使得以点M，N，E，A为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由23（2022海口模拟）如图，抛物线

24、yax2+bx+c与x轴交于A（1，0），B（3，0）两点，与y轴交于点C点D（2，3）在该抛物线上，直线AD与y轴相交于点E，点F是直线AD上方的抛物线上的动点（1）求该抛物线对应的二次函数的关系式；（2）当点F到直线AD距离最大时，求点F的坐标；（3）如图，点M是抛物线的顶点，点P的坐标为（0，n），点Q是坐标平面内一点，以A，M，P，Q为顶点的四边形是AM为边的矩形求n的值；若点T和点Q关于AM所在直线对称，求点T的坐标24（2022锦州二模）如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的两边OA，OC分别在x轴和y轴上，OA3，OC4，抛物线yax2+bx+4经过点B，且与x轴交于点D（1，0）和点E（1）求抛物线的表达式；（2）若P是第一象限抛物线上的一个动点，连接CP，PE，当四边形OCPE的面积最大时，求点P的坐标，此时四边形OCPE的最大面积是多少；（3）若N是抛物线对称轴上一点，在平面内是否存在一点M，使以点C，D，M，N为顶点的四边形是矩形？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，说明理由