专题9.8 平行四边形（知识梳理与考点分类讲解）-2023-2024学年八年级数学下册基础知识专项突破讲与练（苏科版）.docx

1、专题9.8 平行四边形（知识梳理与考点分类讲解）【知识点一】平行四边形1 定义：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形.2. 符号表示：平行四边形用符号“”表示.平行四边形ABCD记作“ABCD”，读作“平行四边形ABCD”3. 基本元素：邻边：AD和AB，BC和DC，AD和DC，AB和BC对边：AB和DC，AD和BC.邻角：BAD和ADC，BAD和ABC，ABC和BCD，ADC和BCD.对角：BAD和BCD，ADC和ABC对角线：AC和BD 特别提醒：平行四边形的表示一般按一定的方向（顺时针或逆时针）依次书写各顶点.【知识点二】平行四边形的性质定理性质符号语言边平行四边形的对边平行且相等四边

2、形ABCD是平行四边形，AD=BC,AD/BC,AB=CD,AB/CD角平行四边形的对角相等四边形ABCD是平行四边形BAD=BCD,ABC=ADC对角线平行四边形的对角线互相平分四边形ABCD是平行四边形OA=OC=12AC,OB=OD=12BD特别提醒：1. 平行四边形的每一条对角线将平行四边形分为两个全等的三角形如图，ABCCDA,ABDCDB.2. 平行四边形被两条对角线分割而成的四个三角形的面积相等，且构成两对全等三角形.如图SABO=SBCO=SCDO=SADO,ABOCDO,ADOCBO【知识点三】平行线间距离1.定义：两条平行线中，一条直线上的任意一点到另一条直线的距离，叫做这

3、两条平行线间的距离.2.性质（1）两条平行线间的距离处处相等.如图，直线a/b，过直线a上任意两点A,B分别向b做垂线，交直线b于点C,D，所以AC/BD,又a/b，即两条平行线间的距离处处相等.（2） 两条平行线间的任何两条平行线段都是相等的.如图所示，直线l1/l2，AB/CD,则四边形ABCD是平行四边形，所以AB=CD.特别提醒：平行线间的距离和平行线间的平行线段是不同概念，不能混为一谈.【知识点四】平行四边形的判定定理判定定理符号表示边两组对边分别相等的四边形式平行四边形AB=CD,AD=BC四边形ABCD是平行四边形一组对边平行且相等的四边形是平行四边形AD=BC,AD/BC四边形

4、ABCD是平行四边形角两组对角分别相等的四边形是平行四边形BAD=BCD,ABC=ADC,四边形ABCD是平行四边形对角线对角线互相平分的四边形是平行四边形AO=CO,BO=DO四边形ABCD是平行四边形特别提醒：1. 若一条直线过平行四边形对角线的交点，则这条直线被一组对边截得的线段的中点是对角线的交点.2.过平行四边形对角线交点的直线将平行四边形分成面积和周长都相等的两部分.【知识点五】平行四边形的对称性平行四边形是中心对称图形，它的对称中心是两条对角线的交点【考点目录】【平行四边形的性质】【考点1】利用平行四边形的性质求值； 【考点2】利用平行四边形的性质证明； 【平行线间的距离】【考点

5、3】利用平行线间距离相等进行证明和求值【平行四边形的判定】【考点4】利用平行四边形的判定证明和求值； 【平行四边形的性质与判定】【考点5】利用平行四边形性质与判定求值；【考点6】利用平行四边形的性质与判定证明； 【平行四边形的性质与判定的应用】【考点7】利用平行四边形的性质与判定的应用. 【平行四边形的性质】【考点1】利用平行四边形的性质求值； 【例1】（2023广东阳江三模）如图，平行四边形中，连接（1）尺规作图：作对角线的垂直平分线，分别交，于点M，O，N（不要求写作法，保留作图痕迹）；（2）连接，求证：；（3）若，求的长【答案】（1）详见分析；（2）详见分析；（3）【分析】（1）根据垂直

6、平分线的作图方法进行作图即可；（2）根据证明即可；（3）根据，得出，根据勾股定理求出，即可求出结果（1）解：如图，即为所作；（2）证明：垂直平分， 四边形为平行四边形，在和中，；（3）解：，垂直平分，【点拨】本题主要考查了平行四边形的性质，尺规作垂直平分线，勾股定理三角形全等的判断和性质，平行线的性质，解题的关键是数形结合，熟练掌握三角形全等的判定方法【变式1】（2023全国九年级专题练习）如图，在中，平分平分，且，相交于点O，若点P为线段的中点，连接，则线段的长为（）AB2CD1【答案】D【分析】本题考查平行四边形的性质，根据平行四边形的性质和角平分线的定义得出，再证明为直角三角形，为中线，

7、进而解答即可解：四边形是平行四边形，平分，同理可得，平分，平分，是直角三角形，点P为线段的中点，是的斜边的中线，故选：D【变式2】（2023上江苏常州八年级校考阶段练习）如图，平面直角坐标系中，平行四边形的顶点A、B、D在坐标轴上，若点A的坐标为，则点C的坐标为 【答案】【分析】本题主要考查了坐标与图形，平行四边形的性质，等角对等边，先求出，再证明推出，进一步求出，由平行四边形的性质得到，即轴，由此可得答案解：点A的坐标为，四边形是平行四边形，即轴，点C的坐标为，故答案为：【考点2】利用平行四边形的性质证明； 【例2】（2023下广东广州八年级校考期中）平行四边形中，分别平分和交于点交于点G（

8、1）求证：；（2）判断和的大小关系，并说明理由【答案】（1）证明见分析；（2），理由见分析【分析】本题考查平行四边形的性质、角平分线的定义，等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型；（1）证明，即可推出即；（2）证明，再利用平行四边形的性质，即可解决问题；解：（1）证明：如图，在平行四边形中，分别平分和，即，；（2）解：结论：线段与是相等关系，即，在平行四边形中，又平分，同理可得，又在平行四边形中，【变式1】（2022下黑龙江哈尔滨八年级哈尔滨风华中学校考阶段练习）下列说法中，正确的是（）A平行四边形的对角线相等B平行四边形的对角互补C有一组对边平行

9、的四边形是平行四边形D平行四边形的对边平行且相等【答案】D【分析】根据平行四边形的判定和性质，逐一进行判断即可解：A、平行四边形的对角线互相平分，不一定相等，故选项错误；B、平行四边形的对角相等，故选项错误；C、有两组对边平行的四边形是平行四边形，故选项错误；D、平行四边形的对边平行且相等，故选项正确；故选D【点拨】本题考查平行四边形的判定和性质牢记平行四边形的性质定理和判定定理，是解题的关键【变式2】（2022上广东梅州九年级校考开学考试）如图，在平行四边形中（），直线经过其对角线的交点，且分别交，于点，交，的延长线于点，下列结论：；其中一定正确的是 （填序号）【答案】【分析】根据平行四边形

10、的性质可得， 则不一定等于；再证明，可得，即可解：四边形是平行四边形，不一定等于，故不一定正确；，故正确；根据题意得：和不全等，与不全等，故不正确， 综上所述，正确故答案为：【点拨】本题主要考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质是解题的关键【平行线间的距离】【考点3】利用平行线间距离相等进行证明和求值【例3】（2023下上海杨浦七年级统考期末）阅读、填空并将说理过程补充完整：如图，已知直线，点A、B在直线上，点C、D在直线上，与交于点E与的面积相等吗？为什么？解：作，垂足为，作，垂足为又因为（已知），所以_（平行线间距离的意义）（完成以

11、下说理过程）【答案】相等，理由见分析【分析】作，垂足为，作，垂足为，根据平行线间间距相等得到，再根据三角形面积公式得到，进而可得解：相等，理由如下：作，垂足为，作，垂足为又因为（已知），所以（平行线间距离的意义）因为，所以，所以，所以，所以与的面积相等【点拨】本题主要考查了平行线的性质，熟知平行线间间距相等是解题的关键【变式1】（2023下重庆沙坪坝八年级重庆八中校考开学考试）如图，直线，相邻两条平行线间的距离都等于1，若正方形的四个顶点分别在四条直线上，则它的面积等于（）A4B5CD【答案】B【分析】如图所示，过点作于E，过点D作于F，证明得到，利用勾股定理求出即可得到答案解：如图所示，过点

12、作于E，过点D作于F，由题意得，正方形的面积为5，故选B【点拨】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，勾股定理，平行线的性质，正确作出辅助线构造全等三角形是解题的关键【变式2】（2017上湖北十堰八年级统考期末）小明沿一段笔直的人行道行走，在由走到的过程中，通过隔离带的空隙，刚好浏览完对面人行道宣传墙上的一条标语，具体信息如下：如图，相邻两平行线间的距离相等，相交于，垂足为已知米根据上述信息，可知标语的长度为 米【答案】【分析】本题考查了全等三角形的判定与形状，证即可求解解：，相邻两平行线间的距离相等，三点共线米故答案为：【平行四边形的判定】【考点4】利用平行四边形的判定证明和求值； 【例4】

13、（2023上河南郑州九年级校考阶段练习）已知：如图，四边形中，垂直平分，垂足为E，（1）求证：四边形是平行四边形；（2）如果，求四边形的面积【答案】（1）见分析；（2）48【分析】（1）由线段垂直平分线的性质得，再证，然后由平行四边形的判定即可得出结论；（2）由勾股定理得，再由平行四边形的性质得，然后证，推出，同理，则，即可解决问题解：（1）证明：垂直平分，即，四边形是平行四边形；（2）解：，四边形是平行四边形，在和中，同理：，【点拨】本题考查了平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质、勾股定理、平行线的判定以及三角形面积等知识，熟练掌握平行四边形

14、的判定与性质是解题的关键【变式1】（2023下广西梧州八年级统考期末）如图，下列条件不能判定四边形是平行四边形的是（）A B C D 【答案】A【分析】根据平行四边形的判定定理，逐一进行判断即可解：A、不能判定四边形是平行四边形，故此选项符合题意；B、根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形可判定四边形为平行四边形，故此选项不合题意；C、根据两组对角分别相等的四边形是平行四边形可判定四边形为平行四边形，故此选项不合题意；D、根据对角线互相平分的四边形是平行四边形可判定四边形为平行四边形，故此选项不合题意；故选：A【点拨】本题考查平行四边形的判定熟练掌握平行四边形的判定定理，是解题的关键【变式

15、2】（2023下宁夏石嘴山八年级校考期末）如图，在中，点D在上，以为对角线的所有平行四边形中，的最小值是 【答案】5【分析】平行四边形的对角线的交点是的中点O，可得当时，最小即最小，证明四边形是平行四边形，得到，即得答案解：平行四边形，点O始终是的中点，当时，最小，即最小，四边形是平行四边形，即的最小值为5；故答案为：5【点拨】此题考查的是平行四边形的判定和性质，正确得出最小时的位置是关键【平行四边形的性质与判定】【考点5】利用平行四边形性质与判定求值； 【例5】（2023下江西宜春八年级校考阶段练习）如图所示，将的边延长至点，使，连接，是边的中点，连接（1）求证：四边形是平行四边形；（2）若

16、，求的长【答案】（1）见分析；（2）【分析】（1）利用平行四边形的性质得出，进而利用已知得出，进而得出答案；（2）首先过点作于点，再利用平行四边形的性质结合勾股定理得出的长，进而得出答案解：（1）证明：四边形是平行四边形，是边的中点，四边形是平行四边形（2）解：过点作于点，由（1）得：四边形是平行四边形，四边形是平行四边形，在中，又是边的中点，在中，【点拨】此题主要考查了平行四边形的判定与性质、勾股定理等、直角三角形的性质，熟练应用平行四边形的判定方法是解题关键【变式1】（2023辽宁丹东统考中考真题）如图，在四边形中，以点B为圆心，以任意长为半径作弧，分别交，于点E，F，分别以E，F为圆心，

17、以大于长为半径作弧，两弧在内交于点P，作射线，交于点G，交的延长线于点若，则的长为（）A6B8C9D10【答案】C【分析】根据题意的作图可得平分，则，由，可得，从而，因此，又，得证四边形是平行四边形，得到根据和对顶角相等证得，从而，因此即可解答解：根据题意的作图可得平分，四边形是平行四边形，故选：C【点拨】本题考查尺规作图作角平分线，平行四边形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，综合运用各个知识是解题的关键【变式2】（2023上山东临沂九年级沂水县实验中学校考期末）已知如图，为x轴上一条动线段，D在C点右边且，当的最小值为 .【答案】/【分析】本题考查了“将军饮马”求最值的模型，涉及了平行四

18、边形的判定与性质、两点之间线段最短等知识点，将点向右平移1个单位长度得到点构造平行四边形是解题关键解：将点向右平移1个单位长度得到点，作点关于轴的对称点，连接，与轴的交点即为点，此时的值最小，如图所示：，且四边形为平行四边形点关于轴的对称点为，的最小值为：故答案为：【考点6】利用平行四边形的性质与判定证明； 【例6】（2022下黑龙江哈尔滨八年级校考阶段练习）如图所示，在中，分别是上的点，（1）求证：四边形是平行四边形；（2）若分别是的中点，连接，与分别交于点，请写出图中除和以外的平行四边形；【答案】（1）见分析（2）【分析】本题考查平行四边形的判定与性质；（1）根据平行四边形的判定与性质即可

19、证得结论；（2）根据平行四边形的性质得出，根据中点的性质可得，即可得出，根据可得四边形是平行四边形，根据可得即可得出解：（1）证明：四边形是平行四边形，又，即，四边形是平行四边形；（2）证明：四边形是平行四边形，分别是的中点，四边形是平行四边形；四边形是平行四边形；综上所述，图中还有【变式1】（2022下云南楚雄八年级统考期末）如图，在中，E是边的中点，连接并延长，与的延长线交于点F，若，则下列命题：四边形是平行四边形，若，则，其中正确的是（） ABCD【答案】D【分析】根据平行四边形的性质可得，从而可得到，再证明，根据全等三角形的对应边相等可证得，进而得出四边形是平行四边形，即可判断命题正确

20、；利用全等三角形的性质得出，证出，利用等腰三角形三线合一的性质得出，即可判断命题正确；根据三角形的中线将三角形的面积平分即可判断命题正确；利用勾股定理求出，即可判断命题正确解：四边形是平行四边形，点F为的延长线上的一点，为BC中点，在和中，四边形是平行四边形，故此命题正确，符合题意；由知，四边形是平行四边形，故此命题正确，符合题意；由知，故此命题正确，符合题意；，故此命题正确，符合题意故选：D【点拨】此题考查了平行四边形的判定与性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质，平行线的性质，等腰三角形的性质，三角形的面积等知识，熟练掌握平行四边形、勾股定理以及全等三角形的有关知识是解题的关键【变式2】（

21、2023上全国八年级专题练习）如图，在中，和的平分线相交于点P，且，则 【答案】60【分析】作关于的对称图形，可得，延长到点E，使，连接，可得四边形是平行四边形，设，可得，从而得到，再证明是等边三角形，可得，即可求解解：如图，作关于的对称图形，是的平分线，延长到点E，使，连接，四边形是平行四边形，设，四边形是平行四边形，是等边三角形，四边形是平行四边形，故答案为：60【点拨】本题主要考查了平行四边形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，轴对称图形的性质等知识，证明是等边三角形是解题的关键【平行四边形的性质与判定的应用】【考点7】利用平行四边形的性质与判定的应用. 【例7】（2023下江苏八年级

22、阶段练习）如图1是某一遮阳蓬支架从闭合到完全展开的一个过程，当遮阳蓬支架完全闭合时，支架的若干支杆可看作共线图2是遮阳蓬支架完全展开时的一个示意图，支杆固定在垂直于地面的墙壁上，支杆与水平地面平行，且G，F，B三点共线，在支架展开过程中四边形始终是平行四边形（1）若遮阳蓬完全展开时，长2米，在与水平地面呈的太阳光照射下，在地面的影子有_米（影子完全落在地面）（2）长支杆与短支杆的长度比（即与的长度比）是_【答案】（1）2；（2）【分析】（1）过C作与水平地面呈的直线交的延长线于K，分别过K、E作，可得四边形是平行四边形，然后根据平行四边形的性质求得的长即可；（2）由题意可知：支杆的竖直长度都一

23、样，且竖直的支点为长支杆的中点，即G为的中点、B为的中点，然后说明的长度为长支杆的一半即可（1）解：过C作与水平地面呈的直线交的延长线于K，分别过K、E作，四边形是平行四边形，即在地面上影子的长为2米；故答案为：2；（2）解：由题意可知：支杆的竖直长度都一样，且竖直的支点为长支杆的中点，即G为的中点、B为的中点，当遮阳棚完全闭合后，每根杆的长度都一样，即的长度为长支杆的一半，为长支杆的长度，为短支杆的长度故答案为：【点拨】本题主要考查了平行四边形的判定与性质、折叠的性质等知识点，灵活运用相关知识成为解答本题的关键【变式1】（2023下湖南岳阳八年级校考期中）某广场上一个形状是平行四边形的花坛，

24、分别种有红、黄、蓝、绿、橙、紫6种颜色的花，如果有，那么下列说法中错误的是（）A红花、绿花种植面积一定相等B紫花、橙花种植面积一定相等C红花、蓝花种植面积一定相等D蓝花、黄花种植面积一定相等【答案】C【分析】由题意得出四边形、四边形、四边形、四边形、四边形是平行四边形，得出的面积的面积，的面积的面积，的面积的面积，得出四边形的面积四边形的面积，即可得出结论解：如图所示：，四边形、四边形、四边形、四边形、四边形是平行四边形，的面积的面积，的面积的面积，的面积的面积，故A，D选项正确四边形的面积四边形的面积，故B选项正确A、B、D正确，C不正确；故选：C【点拨】此题考查平行四边形的性质，利用平行四

25、边形性质比较三角形面积大小，结合图形解题较为简便【变式2】（2023下浙江金华八年级校考期中）图1是四连杆开平窗铰链，其示意图如图2所示，为滑轨，为固定长度的连杆支点A固定在上，支点B固定在连杆上，支点D固定在连杆上支点P可以在上滑动，点P的滑动带动点的运动已知，窗户在关闭状态下，点B、C、D、E都在滑轨MN上当窗户开到最大时，（1）若，则支点P与支点A的距离为 cm；（2）窗户从关闭状态到开到最大的过程中，支点P移动的距离为 cm【答案】 12【分析】（1）先证四边形是平行四边形，推出，再根据勾股定理解即可；（2）当窗户开到最大时，根据勾股定理解求出；当关闭状态下，由此可解解：（1），四边形是平行四边形，故答案为：；（2）当窗户开到最大时，；当关闭状态下，窗户从关闭状态到开到最大的过程中，支点P移动的距离为，故答案为：12【点拨】本题考查平行四边形的实际应用、勾股定理等，解题的关键是掌握平行四边形的性质，从根据实际情况构建数学模型