专题五 解析几何-2022年高考数学二轮复核心速学解答题专题突破（艺体生适用）.docx

1、核心速学专题五 解析几何【核心考点整合】【思维导引】 1.利用几何性质求解圆锥曲线问题的一般思路第一步，根据题意绘制图像，把握问题条件，提取几何图形，第二步，构建几何模型，结合几何性质挖握隐含条件；第三步，综合圆锥曲线知识和几何特性构建思路，从函数与方程视角进行解析。2.解决圆锥曲线中的取值范围问题应考虑的五个方面(1)利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围；(2)利用已知参数的范围，求新参数的范围，解这类问题的核心是建立两个参数之间的等量关系；(3)利用隐含的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；(4)利用已知的不等关系构造不等式，从而求出参数的取值范围；(

2、5)利用求函数的值域的方法将待求量表示为其他变量的函数，求其值域，从而确定参数的取值范围3、求解直线或圆锥曲线过定点问题的基本思路：把直线或圆锥曲线方程中的变量看成常数，把方程的一端化为零，将方程转化为以参数为主变量的方程，这个方程对任意参数都成立，这时参数的系数就要全部等于零，这样就得到一个关于的方程组，这个方程组的解所确定的点就是直线或圆锥曲线所过的定点4、求定值问题常用方法:（1）从特殊值入手，求出定值，再证明这个值与变量无关（2）直接计算、推理，并在计算、推理的过程中消去变量，从而得到定值5、存在性问题的处理策略解决直线与圆锥曲线位置关系的存在性问题，往往是先假设所求的元素存在，然后再

3、推理论证，检验说明假设是否正确，其解题步骤为：（1）先假设存在，引入参变量，根据题目条件列出关于参变量的方程(组)或不等式(组)；（2）解此方程(组)或不等式(组)，若有解则存在；若无解则不存在；（3）得出结论.6、探索性问题的类型与处理策略此类问题一般分为探究条件、探究结论两种：（1）若探究条件，则可先假设条件成立，再验证结论是否成立，成立则存在，否则不存在；（2）若探究结论，则应先求出结论的表达式，再针对其表达式进行讨论，往往涉及对参数的讨论7、直线的设法技巧在解决直线和圆锥曲线的位置关系时，往往需要利用曲线方程和直线方程联立建立一元二次方程，设直线方程也很考究，不同形式的直线方程直接关系

4、到计算量的大小.若直线经过的定点在纵轴上，一般设为斜截式方程便于运算，即“定点落在纵轴上，斜截式帮大忙”；若直线经过的定点在横轴上，一般设为可以减小运算量，即“直线定点落横轴，斜率倒数作参数”. 【真题领航】 1.（2021全国新高考卷）在平面直角坐标系中，已知点、，点的轨迹为.（1）求的方程.（2）设点在直线上，过的两条直线分别交于、两点和，两点，且，求直线的斜率与直线的斜率之和.【解析】因为，所以轨迹是以点、为左、右焦点的双曲线的右支，设轨迹的方程为，则，可得，所以轨迹的方程为；（2）设点，若过点的直线的斜率不存在，此时该直线与曲线无公共点，不妨直线的方程为，即，联立，消去并整理可得，设点

5、、，则且.由韦达定理可得，所以，设直线的斜率为，同理可得，因为，即，整理可得，即，显然，故.因此，直线与直线的斜率之和为.2.（2020全国新高考卷）已知椭圆C：的离心率为，且过点A（2，1）（1）求C的方程：（2）点M，N在C上，且AMAN，ADMN，D为垂足证明：存在定点Q，使得|DQ|为定值【解析】(1)由题意可得：，解得，故椭圆方程为.(2)设点.因为AMAN，即,当直线MN的斜率存在时，设方程为,如图1.代入椭圆C的方程消去并整理得：,根据,代入整理可得，将代入，整理化简得,不在直线上，于是MN的方程为，所以直线过定点直线过定点.当直线MN的斜率不存在时，可得,如图2.代入得,结合,

6、解得,此时直线MN过点,由于AE为定值，且ADE为直角三角形，AE为斜边，所以AE中点Q满足为定值（AE长度的一半）.由于，故由中点坐标公式可得.故存在点，使得|DQ|为定值.【核心考能聚焦】核心考点一 直线与圆【例1】已知过点A(0，1)且斜率为k的直线l与圆C：(x2)2(y3)21交于M，N两点(1)求k的取值范围；(2)若12，其中O为坐标原点，求|MN|.【解析】（1）由题意可得，直线l的斜率存在，设过点A（0，1）的直线方程：y=kx+1，即：kx-y+1=0由已知可得圆C的圆心C的坐标（2，3），半径R=1故由，解得：故当，过点A（0，1）的直线与圆C：相交于M，N两点（2）设M

7、；N，由题意可得，经过点M、N、A的直线方程为y=kx+1，代入圆C的方程，可得，由，解得 k=1，故直线l的方程为 y=x+1，即 x-y+1=0圆心C在直线l上，MN长即为圆的直径所以|MN|=2【对点练】（2021新疆乌市八中高二期末）已知直线：，半径为2的圆与相切，圆心在轴上且在直线的上方。（1）求圆的方程；（2）过点的直线与圆交于，两点（在轴上方），问在轴正半轴上是否存在点，使得轴平分？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由【分析】（1）设出圆心坐标，根据直线与圆相切可得圆心到直线的距离等于半径，由此求解出的值（注意范围），则圆的方程可求；（2）当直线的斜率不存在时，直接根据位

8、置关系分析即可，当直线的斜率存在时，设出直线方程并联立圆的方程，由此可得坐标的韦达定理形式，根据结合韦达定理可求点的坐标.【详解】解：（1）设圆心，圆心在的上方，即，直线：，半径为2的圆与相切，即，解得：或（舍去），则圆方程为；（2）当直线轴，则轴平分，当直线的斜率存在时，设的方程为，由得，所以，若轴平分，则，即，整理得：，即，解得：，当点，能使得总成立核心考点二 直线与椭圆【例2】（2020全国卷）已知椭圆的右焦点与抛物线的焦点重合，的中心与的顶点重合，过且与轴垂直的直线交于，两点，交于，两点，且（1）求的离心率；（2）设是与的公共点，若，求与的标准方程【解析】（1）因为为的焦点且轴，可得，

9、设的标准方程为，因为为的焦点且轴，所以，因为，的焦点重合，所以，消去，可得，所以，所以，设的离心率为，由，则，解得舍去），故的离心率为.（2）由（1）可得，所以，联立两曲线方程，消去，可得，所以，解得或（舍去），从而，解得，所以和的标准方程分别为，【对点练】（2020全国高考真题1卷）已知A、B分别为椭圆E：（a1）的左、右顶点，G为E的上顶点，P为直线x=6上的动点，PA与E的另一交点为C，PB与E的另一交点为D（1）求E的方程；（2）证明：直线CD过定点.【答案】（1）；（2）证明详见解析.【分析】（1）由已知可得：， ，即可求得，结合已知即可求得：，问题得解.（2）设，可得直线的方程为：

10、，联立直线的方程与椭圆方程即可求得点的坐标为，同理可得点的坐标为，当时，可表示出直线的方程，整理直线的方程可得：即可知直线过定点，当时，直线：，直线过点，命题得证.【详解】（1）依据题意作出如下图象：由椭圆方程可得：， ，椭圆方程为：（2）证明：设，则直线的方程为：，即：联立直线的方程与椭圆方程可得：，整理得：，解得：或将代入直线可得：所以点的坐标为.同理可得：点的坐标为当时，直线的方程为：，整理可得：整理得：所以直线过定点当时，直线：，直线过点故直线CD过定点核心考点三 直线与双曲线【例3】（2021江苏南京高三开学考试）已知双曲线过点，且该双曲线的虚轴端点与两顶点的张角为（1）求双曲线的方

11、程；（2）过点的直线与双曲线左支相交于点，直线与轴相交于两点，求的取值范围【解析】（1）由已知（2）设直线方程为，直线的方程为，可得直线的方程为，可得联立，消去，整理得可得又，所以的范围是【对点练】（2021广东）已知双曲线C：（）的左右焦点分别为，过焦点，且斜率为的直线与C的两条渐近线分别交于A，B两点，且满足.（1）求C的方程；（2）过点且斜率不为0的直线交C于M，N两点，且，求直线的方程.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）双曲线的渐近线方程为，过，且斜率为的直线方程为，由，由，由于，即，所以.所以双曲线的方程为.（2）设，由消去并化简得，且.设，则，所以中点的坐标为，由于，所以，化简

12、得，解得或，由于且，所以，所以直线的方程为核心考点四 直线与抛物线【例4】（2021重庆南开中学高三月考）已知抛物线的焦点为点在上， （1）求;（2）过作两条互相垂直的直线，与交于两点，与直线交于点，判断是否为定值?若是，求出其值；若不是，说明理由【分析】（1）由题知 ，由焦半径公式得 ，两式联立即可求得答案；（2）先讨论当直线与轴平行时得，再讨论当直线与轴不平行且斜率存在时，证明，再设方程，联立方程，利用向量方法求即可.【详解】解：（1）因为点在上，所以 ，因为，所以由焦半径公式得 ，由解得 所以. （2）由（1）知抛物线的方程为，焦点坐标为，当直线与轴平行时，此时的方程为，的方程为，此时为

13、等腰直角三角形且，故.当直线与轴不平行且斜率存在时，若为定值，则定值比为，下面证明.要证明，只需证明，只需证，即，设直线的斜率为，则直线的方程为，直线的方程为，联立方程得，设，则，所以，联立方程得，所以，所以，所以，即，所以.综上，为定值，.【技巧点拨】1.圆锥曲线中定值问题的特征圆锥曲线中的定点、定值问题往往与圆锥曲线中的“常数”有关，如椭圆的长、短轴，双曲线的虚、实轴，抛物线的焦参数等定值问题的求解与证明类似，在求定值之前，已经知道定值的结果(题中未告知，可用特殊值探路求之)，解答这类题要大胆设参，运算推理，到最后参数必清，定值显现2.圆锥曲线中的定值问题的常见类型及解题策略3.两种解题思

14、路从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关；引进变量法：其解题流程为：【对点练】（2021河南高三月考）已知抛物线的焦点为，且点与圆上点的距离的最大值为.（1）求；（2）若为坐标原点，直线与相交于，两点，问：是否为定值？若为定值，求出该定值;若不为定值，试说明理由【分析】（1）根据圆上的点与定点之间距离的最大值等于圆心与定点的距离加半径得到等量关系，从而解方程即可求出结果；（2）联立直线的方程与抛物线，结合韦达定理化简整理即可求出结果.【详解】解：（1）由题得，圆的圆心，抛物线的焦点为，所以与圆上点的距离的最大值为，解得.（2）设， 由得，所以，且，所以.所以的值为定值.【点睛】（1）直线

15、与抛物线的位置关系和直线与椭圆、双曲线的位置关系类似，一般要用到根与系数的关系；（2）有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点，若过抛物线的焦点，可直接使用公式|AB|x1x2p，若不过焦点，则必须用一般弦长公式【核心素养集训】1.（2021江苏高三月考）在平面直角坐标系中，己知圆，且圆被直线截得的弦长为2.（1）求圆的标准方程；（2）若圆的切线在轴和轴上的截距相等，求切线的方程；（3）若圆上存在点，由点向圆引一条切线，切点为，且满足，求实数的取值范围.【解析】（1）圆方程可整理为： 圆的圆心坐标为，半径圆心到直线的距离：截得的弦长为：，解得：圆的标准方程为：（2）若直线过原点

16、，可假设直线方程为：，即直线与圆相切 圆心到直线距离，解得：切线方程为：若直线不过原点，可假设直线方程为：，即圆心到直线距离，解得：或切线方程为或综上所述，切线方程为或或（3）假设，即又直线与圆相切，切点为 即：，整理得：又在圆上 两圆有公共点，解得： 即的取值范围为：2.已知抛物线：，是坐标原点，是的焦点，是上一点，（1）求的标准方程.（2）设点在上，过作两条互相垂直的直线，分别交于，两点（异于点）证明：直线恒过定点【解析】（1）由，可得，代入：解得或（舍），从而：（2）由题意可得，直线的斜率不为0，设直线的方程为，设，由，得，从而，且，又，故，整理得即，从而或，即或若，则，过定点，与点重合

17、，不符合；若，则，过定点综上，直线过异于点的定点3.（2021全国高三）已知抛物线：()的焦点与双曲线：右顶点重合.（1）求抛物线的标准方程；（2）设过点的直线与抛物线交于不同的两点，是抛物线的焦点，且，求直线的方程.【解析】（1）由题设知，双曲线的右顶点为，解得，抛物线的标准方程为.（2）设，显然直线的斜率存在，故设直线的方程为，联立，消去得，由得，即，.又，即，解得或，直线的方程为或.4.（2021山东）已知双曲线：的右焦点与抛物线的焦点重合，一条渐近线的倾斜角为（1）求双曲线的方程；（2）经过点的直线与双曲线的右支交与两点，与轴交与点，点关于原点的对称点为点，求证：【解析】（1）由题意得

18、，解得所以双曲线的方程为：（2）由题意知直线的斜率存在，设直线方程为：，得，设，联立，整理可得， 所以所以直线与双曲线右支有两个交点，所以 所以，设，所以5.（2021江苏高考真题）已知椭圆的离心率为.（1）证明：；（2）若点在椭圆的内部，过点的直线交椭圆于、两点，为线段的中点，且.求直线的方程；求椭圆的标准方程.【分析】（1）由可证得结论成立；（2）设点、，利用点差法可求得直线的斜率，利用点斜式可得出所求直线的方程；将直线的方程与椭圆的方程联立，列出韦达定理，由可得出，利用平面向量数量积的坐标运算可得出关于的等式，可求出的值，即可得出椭圆的方程.【详解】（1），因此，；（2）由（1）知，椭圆

19、的方程为，即，当在椭圆的内部时，可得.设点、，则，所以，由已知可得，两式作差得，所以，所以直线方程为，即.所以直线的方程为；联立，消去可得.，由韦达定理可得，又，而，解得合乎题意，故，因此，椭圆的方程为.6.（2021江苏南京二十九中模拟）已知：的上顶点到右顶点的距离为，离心率为，过椭圆左焦点作不与轴重合的直线与椭圆相交于两点，直线的方程为：，过点作垂直于直线交直线于点.（1）求椭圆的标准方程.（2）求证线段必过定点，并求定点的坐标.点为坐标原点，求面积的最大值.【解析】（1）由题可知，所以，故椭圆的标准方程为.（2）由题意知，由对称性知，必在轴上，设直线方程：，设，联立方程得，得，所以，所以，又，所以直线方程为，令，则，所以直线过定点.由中，所以，又易知，所以，令，则，又因为在单调递减，所以，.