专题强化四 直线与椭圆的位置关系必刷30道题-2022-2023学年高二数学《考点•题型 •技巧》精讲与精练高分突破系列（人教A版2019选择性必修第一册）.docx

1、专题强化四：直线与椭圆的位置关系必刷 30 道题 一、单选题 1如图，椭圆222:104xyMaa 的左顶点为 AO，为坐标原点，BC、两点在 M 上，若四边形OABC 为平行四边形，且45OAB，则 a 的值为（）A2 3B2 2C4D 132设椭圆22:14xCy 的左右焦点为1F 2F，P 是椭圆C 上的动点，则下列结论正确的是（）A离心率22e B|2PF的最大值为 3C12PF F 面积的最大值为2 3D12|PFPF的最小值为 23过点11,2M 的直线 l 与椭圆2222xy交于 A，B 两点，设线段 AB 中点为 M，设直线 l 的斜率为110kk，直线 OM 的斜率为2k，则

2、12k k 的值为（）A12B2C 12D24已知椭圆222116xyb（04b）的左、右焦点分别为1F，2F，过1F 的直线交椭圆于,A B两点，若22BFAF的最大值为 10，则b 的值是（）A 2B 6C2 2D2 35已知 P 为椭圆2212524xy 上任意一点，EF 为圆22:(1)4Nxy任意一条直径，则 PE PF的取值范围为（）A8，12B12,20C12,32D32,406已知椭圆221043xyxy，其中1F、2F 为椭圆的左、右焦点，O 为坐标原点过1F 的直线 1l 与过2F 的直线 2l 交于点 N，线段1F N 的中点为 M，线段1F N 的垂直平分线 MP 与

3、2l 的交点 P（第一象限）在椭圆上，则 OM 的取值范围是（）A0,1B0,3C1,3D1,27已知斜率为k 且不经过原点的直线l 与椭圆22:197xyC 相交于,A B两点，若 M 为线段 AB 的中点，且 M 在 y 轴上，则 k （）A 1B1C2D08已知椭圆22:194xyC 的左焦点为 F，点 M 在椭圆C 上且位于第一象限，O 为坐标原点，若线段MF 的中点 N满足0NF NO，则直线 MF 的方程为（）A33 50 xyB22 50 xyC50 xyD250 xy9设12,F F 分别是椭圆22194xy 的左、右焦点，点 P 为椭圆上任意一点，则使得121PF PF 成立

4、的点 P 的个数为（）A1B2C3D410若点 A，F 分别是椭圆22143xy 的左顶点和左焦点，过点 F 的直线交椭圆于 M，N 两点，记直线,AM AN 的斜率为12,k k，其满足12111kk，则直线 MN 的斜率为A2B 43C 65D 12 二、多选题 11已知椭圆221:1,2xCyF为C 的左焦点，直线 xm与C 交于,A B两点（点A 在第一象限），直线1AF 与椭圆C 的另一个交点为 E，则（）A22e B当1m 时，1F AB 的面积为22C11112 2AFEFD1F AB 的周长的最大值为3 212椭圆22:14xCy 的左、右焦点分别为1F，2F，O 为坐标原点，

5、则以下说法正确的是（）A过点2F 的直线与椭圆C 交于,A B两点，则1ABF 的周长为 8B椭圆C 上不存在点 P，使得120PF PFC直线 22210mxym 与椭圆C 恒有公共点D P 为椭圆C 上一点，Q为圆221xy 上一点，则点 P，Q的最大距离为 313已知椭圆2222:1(0)xyCabab的左，右两焦点分别是1F，2F，其中122F Fc.直线:Rl yk xck与椭圆交于 A，B 两点.则下列说法中正确的有（）A2ABF的周长为4aB当0k 时，若 AB 的中点为 M，则22OMbkkaC若212=3AF AFc，则椭圆的离心率的取值范围是5 1,52D若223bca，则

6、椭圆的离心率12e 14椭圆22:14xCy 的左、右焦点分别为1F，2F，O 为坐标原点，以下说法正确的是（）A椭圆 C 的离心率为 12B椭圆 C 上存在点 P，使得120PF PFC过点2F 的直线与椭圆 C 交于 A，B 两点，则1ABF 的周长为 8D若 P 为椭圆22:14xCy 上一点，Q 为圆221xy 上一点，则点 P，Q 的最大距离为 215已知椭圆222:124xyCaa 的焦点为1F、2F，点 2,3A在椭圆C 的内部，点 M 在椭圆C 上，则（）A4a B椭圆C 的离心率的取值范围为30,2C存在点 M 使得12MFMFD221232MFMF16已知 F 为椭圆 C：

7、221168xy 的左焦点，直线 l：=y kx 0k 与椭圆 C 交于 A，B 两点，AEx轴，垂足为 E，BE 与椭圆 C 的另一个交点为 P，则（）A8AFBFB14AFBF的最小值为 2C直线 BE 的斜率为 12 kDPAB为钝角 三、填空题 17过点2,1M的直线l 与椭圆221168xy 相交于,A B两点，且 M 恰为,A B中点，则直线l 的方程为_.18已知椭圆的方程为22143xy，左、右焦点分别为1F，2F，经过点1F 的一条直线与椭圆交于 A，B 两点.若直线AB 的倾斜角为 4，则弦长 AB 为_.19已知椭圆 E:2212xy 的左焦点为 F，过点 P（2，t）作

8、椭圆 E 的切线 PA、PB，切点分别是 A、B，则三角形ABF 面积最大值为_.20已知椭圆22221(0)xyabab的离心率为33，过椭圆的右焦点且斜率为 12 的直线与椭圆交于 AB，两点，则AOB(其中O 为原点)的形状为_.21如图，A、B 为椭圆222210 xyabab 的两个顶点，过椭圆的右焦点 F 作 x 轴的垂线与其交于点 C，若 ABOC(O为坐标原点)，则直线 AB 的斜率为_.22已知椭圆22:14xCy，过点(0,4)D的直线l 与椭圆C 交于不同两点,M N（M 在,D N 之间），有以下四个结论：若 DNDM，则 的取值范围是513；若 A 椭圆C 的右顶点，

9、且MAN的角平分线是 x 轴，则直线l 的斜率为 2；若以 MN 为直径的圆过原点O，则直线l 的斜率为 2 5；若2xxyy，椭圆C 变成曲线 E，点,M N 变成,M N，曲线 E 与 y 轴交于点,P Q，则直线 PN与QM 的交点必在一条定直线上.其中正确的序号是_.23已知点1,0Q在椭圆 C：2212yx 上，过点,0P m作直线交椭圆 C 于点,A BABQ的垂心为T，若垂心T在 y 轴上则实数m 的取值范围是_24已知椭圆221164xy 的左顶点为 A，过 A 作两条弦 AM、AN 分别交椭圆于 M、N 两点，直线 AM、AN 的斜率记为12,k k，满足122kk ，则直线

10、 MN 经过的定点为_ 四、解答题 25已知椭圆2222:10 xyCabab的左、右焦点分别为1F、2F，离心率为33，过点1F 的直线l 交椭圆C 于 A，B 两点，AB 的中点坐标为12 4,77(1)求椭圆C 的标准方程；(2)求2AF B 的面积26已知椭圆2222:1(0)xyEabab的左，右焦点分别为12,F F，且12,F F 与短轴的两个端点恰好为正方形的四个顶点，点23,22P在 E 上(1)求 E 的方程；(2)过点2F 作互相垂直的两条直线分别交 E 于点 A，B 和 C，D，求四边形 ACBD面积的取值范围.27已知椭圆C：22221xyab（0ab）的左右焦点分别

11、为1,0Fc，2,0F c，,M N 分别为左右顶点，直线l：1xty 与椭圆C 交于,A B两点，当3t3 时，A 是椭圆的上顶点，且12AF F的周长为6(1)求椭圆C 的方程；(2)设直线,AM BN 交于点Q，证明：点Q在定直线上(3)设直线,AM BN 的斜率分别为12,k k，证明：12kk 为定值28已知椭圆2222:1(0)xyEabab的左右焦点分别为12,F F，下顶点为 M，直线2MF 与 E 的另一个交点为 P，连接1PF，若1PMF 的周长为4 2，且12PF F的面积为313b.(1)求椭圆 E 的标准方程；(2)若直线:1l ykxm m 与椭圆 E 交于,A B

12、两点，当m 为何值时，MAMB恒成立？29已知点 B A、分别是椭圆22:143xy 的左、右顶点，过的右焦点 F 作直线l 交于,M N 两点，(1)设直线,AM AN BM 的斜率分别为123,k k k，求12k k 和23kk 的值；(2)若直线,AM AN 分别交椭圆的右准线于,P Q 两点，证明：以 PQ 为直径的圆经过定点.30如图，已知椭圆 E 的右焦点为()2 1,0F，P，Q为椭圆上的两个动点，2PQF 周长的最大值为 8.（）求椭圆 E 的标准方程；（）直线l 经过2F，交椭圆 E 于点 A，B，直线m 与直线l 的倾斜角互补，且交椭圆 E 于点 M，N，24MNAB，求

13、证：直线m 与直线l 的交点T 在定直线上.参考答案：1A【分析】由题意可得直线OC 的方程为：=y x，联立222=+=14y xxya，解得：Cx，同理联立222=+=14y x axya，解得Bx 根据|OACBa，即CBxxa化简即可得出【详解】四边形OABC 为平行四边形，45OAB，直线OC 的方程为：=y x，联立222=+=14y xxya，解得：224Caxa，同理联立222=+=14y x axya，化为：223424240axa xaa即 23440axaaxa，解得3244Baaxa，|OACBa，3222444aaaaaa，解得212a，即2 3a，故选：A2D【分析

14、】根据椭圆方程求出 a、b、c，即可判断 A，设(,)P x y 根据二次函数的性质判断 BD，由1 21|22PF FSyc判断 C.【详解】因为椭圆22:14xCy，所以24a，21b ，所以2a，1b ，223cab，所以13,0F，23,0F，32cea，故 A 错误；设(,)P x y，所以23,PFxy，所以222222223343312 3434443xxPFxyxxx，因为 22x，所以当2x 时，22max74 3PF，即2 max23PF，故 B 错误；因为1 211|2|2 33|22PF FSycyy，又 11y 剟，所以当1y 时，即 P 在短轴的顶点时12PF F面

15、积的取得最大值，1 2max3 13PF FS，故 C 错误；对于 D：22212322214xPFPFPOxy，因为 22x，所以231144x，所以1224PFPF，故 D 正确；故选：D3A【分析】假设出 A，B 两点坐标，代入椭圆方程，两式相减求出1k，已知 M 坐标求出2k，最后相乘即可得出答案.【详解】设 11,A x y，22,B xy，联立方程22112222+2=2+2=2xyxy两式相减得1212112122()xxyykyyxx，所以11k ，212k ，121=2k k.故选:A4D【分析】根据椭圆的几何性质求解.【详解】2222416,16BFAFABaBFAFAB，

16、根据椭圆的几何性质可知，当 ABx轴时，AB 有最小值，此时22BFAF的最大值为 10，此时在222116xyb 中，令,xc 则24by ，所以2min264bAB，所以b 的值是2 3.故选:D.5C【分析】由题意可得圆心(1,0)N恰好是椭圆的右焦点，将 PE PF化简得24NP，由椭圆的性质可知,NPac ac，从而可求出 PE PF的取值范围【详解】由2212524xy，得2225,24ab，则5,2 6,1abc，圆22:(1)4Nxy的圆心(1,0)N恰好是椭圆的右焦点，圆的半径为 2，因为 PE PFNENPNFNP2NE NFNPNENFNP2cos0NENFNP 24NP

17、 ，因为 P 为椭圆2212524xy 上任意一点，N 为椭圆的右焦点，所以,NPac ac，即4,6NP，所以216,36NP，所以2412,32NP，所以 PE PF的取值范围为12,32，故选：C6A【分析】根据椭圆的定义、三角形的中位线、线段的中垂线对 OM 转化，用点 P 的坐标表示，通过点 P 在第一象限的范围即可求得.【详解】如图所示，因为点 P 在 y 轴右边，因为 PM 是1F N 的垂直平分线，所以1FMMN,由中位线定理可得212OMF N,设点 0000,0,0P x yxy,由两点间的距离公式得，()()()20222222220100000212xac xPFxcy

18、xcbcxaa exa=+=+-=+=+，同理可得20PFaex，又 PM 是1F N 的垂直平分线，所以1PFPN,即221202F NPNPFPFPFex,且12F F N 中OM 是中位线，所以2012OMF Nex，在椭圆中01,022ex=，所以01OM.故选：A7D【分析】根据中点弦的问题求解即可.【详解】解：设 11,A x y，22,B xy，00(,)M xy，所以，22112222197197xyxy，两式相减得22221212097xxyy，所以，12121212097xxxxyyyy若 M 在 y 轴上，则120 xx因为l 不经过原点，所以120yy，所以120yy，

19、12120yykxx故选：D8D【分析】设椭圆C 的右焦点为1F，利用中位线和向量垂直得1MFMF，从而得到点 M 为圆和椭圆的公共点，求出点 M 的坐标，计算直线 MF 的斜率，利用点斜式方程可得答案.【详解】设椭圆C 的右焦点为1F，(,)M x y（0,0 xy），0NF NO，NFNO，,N O分别是 MF 和1FF 的中点，1MFMF，由已知可得(5,0)F，1(5,0)F，(5,)(5,)0 xyxy，即225xy，由22221945xyxy得3 5 4 5(,)55M，4 51523 555MFk，直线 MF 的方程为1(5)2yx，即250 xy.故选：D.【点睛】本题考查椭圆

20、中的焦点三角形问题，考查方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意坐标法的应用.9B【分析】设00,P xy，根据121PF PF 以及点 P 在椭圆上建立方程组，解得 P 坐标，即可知道点 P 的个数.【详解】设00,P xy，12,F F 分别为椭圆22194xy 的左、右焦点，点 P 为椭圆上任意一点，125,0,5,0FF，1002005,5,PFxyPFxy，121PF PF ，2000551xxy ，即22004xy，又00,P xy为椭圆上任意一点，2200194xy，联立得0002xy，或0002xy，使得121PF PF 成立的点 P 的个数为 2.

21、故选：B.10B【分析】根据直线 MN 斜率一定存在，设出直线方程，联立抛物线得到关于 x 的一元二次方程；由韦达定理表示出22121 2228412,4343kkxxx xkk；根据两个斜率满足12111kk，代入即可求得 k 的值【详解】点 A，F 分别是椭圆22143xy：的左顶点和左焦点所以椭圆的左焦点坐标为1,0F，左顶点坐标为 2,0A 由题意可知，直线 MN 的斜率一定存在，因为直线 MN 过椭圆左焦点，所以 MN 的直线方程可设为(1)yk x，1122,M x yN xy联立直线方程与椭圆方程22(1)143yk xxy，化简得2222438+412=0kxk xk所以221

22、21 2228412,4343kkxxx xkk 因为121212,22yykkxx代入12111kk，可得121212121212121223422221111x xxxxxxxyyk xk xk x xxx将22121 2228412,4343kkxxx xkk 代入22222222412823443431412814343kkkkkkkkk通过解方程可得43k 所以选 B【点睛】本题考查了直线与椭圆位置关系的综合应用，将直线方程与圆锥曲线方程联立，结合韦达定理解决相关问题是常见的方法，也是高考的重点难点，属于难题11AC【分析】对 A：由方程求,a b c，进而求cea；对 B：根据方程

23、结合题意运算求解；对 C：设直线1AF，利用两点间距离公式结合韦达定理运算求解；对 D：根据椭圆定义分析求解.【详解】由椭圆方程2212xy，得22 1 1c ，所以1,2ca，所以22cea，故 A 项正确；当1m 时，点121,2AF到 AB 的距离为 2，所以1F AB 的面积为 12222，故 B 项错误；因为点 A 在第一象限，所以直线1AF 的斜率一定存在，设直线1AF 的斜率为k，点 1122,A x yE xy，11,0F，则直线1:1AFyk x，联立方程22112yk xxy，得到22221 24220kxk xk22121222422,1212kkxxx xkk，11,A

24、 x y在椭圆上，则221112xy，即221112xy 22222111111112111222222xxAFxyxxx 同理12222EFx，于是111111222AFEFx1212121 222 221222242222xxxxxxx xx 2222222222242 42 4841 242248822421 21 2kkkkkkkkkkk222 442 222kk，故 C 项正确；设椭圆的右焦点为2F，当直线 xm经过椭圆的右焦点2F 时，1F AB 的周长为44 2a，如果不经过右焦点2F，则连接2AF，2BF，可知1F AB 的周长小于11224AFBFAFBFa，所以1F AB

25、的周长的最大值为4 2，故 D 项错误.故选：AC.12ACD【分析】根据椭圆的定义判断 A 正确；结合向量的数量积的坐标运算判断 B 错误；根据直线恒过定点以及点和椭圆的位置关系可知点在椭圆内，由此可判断 C 正确；结合两点间的距离公式可判断 D 正确.【详解】解：对于 A 选项：由椭圆的定义：121224AFAFBFBFa1ABF 的周长为：12112248AFBFABAFBFAFBFa，故 A 正确；对于 B 选项：设 P mn(，)，则221(-22)4mnm，1(3,0)F，2(3,0)F1(3,)PFmn，2(3,)PFmn212(3)(3)0PF PFmmn 222314mnm

26、，解得2 62,23m 椭圆C 上存在点 P，使得120PF PF，故 B 错误；对于 C 选项：直线 22212(1)210mxymm xy 恒过定点11,2221111422，故该定点在椭圆内，过该定点的直线和椭圆一定有交点，故 C 正确；对于 D 选项：设11()P xy，则 P 点到圆221xy 的圆心的距离2211=+POxy222111=444 3yyy111y ，故max=2POmaxmax=+1=3PQPO，故 D 正确.故选：ACD13CD【分析】对于 A,A,B，F2三点共线，不能构成三角形.即可判断；对于 B,利用点差法求出22OMbkka.即可判断；对于 C,利用坐标运

27、算得到222223bccac,求出5 1,52e.即可判断；对于 D,由223bca,求出12e.即可判断；【详解】对于 A,当 k=0 时,直线 l:y=k(x+c)与椭圆的两交点 A,B 与 F2在一直线上，不能构成三角形.故 A 错误；对于 B,设 A(x1,y1),B(x2,y2),1212,22xxyyM,可得12121212,OMkyyyyxxkxx由2222112222221,1xyxyabab 作差得:2221222212yybxxa，则有121212122212222122OMyybkyyyyxxxxkxxa.故 B 错误；对于 C,22222221211=,AF AFxyc

28、bc ac,则有222223bccac,可得：5 1,52e.故 C 正确；对于 D,由223bca,即222320aacc，解得：2ac（12ac 舍去）,所以12e.故 D 正确.故选:CD14BC【分析】求得椭圆 C 的离心率判断选项 A；求得满足条件的点 P 判断选项 B；求得1ABF 的周长判断选项 C；求得点 P，Q 的最大距离判断选项 D.【详解】对于选项 A，因为24a，21b ，所以24 13 c，即3c，所以椭圆 C 的离心率32cea，故 A 错误；对于选项 B，设点,P x y 为椭圆22:14xCy 上任意一点，则点 P 的坐标满足2214xy，且 22x，又1(3,

29、0)F，2(3,0)F，所以1(3,)PFxy，2(3,)PFxy，因此22221233313244 xxPF PFxxyx，令2123204xPF PF，可得2 62,23x ，故 B 正确；对于选项 C，由椭圆的定义可得121224AFAFBFBFa，因此1ABF 的周长为111122|48AFBFABAFBFAFBFa，故 C 正确；对于选项 D，设点(,)P x y 为椭圆22:14xCy 上任意一点，由题意可得点(,)P x y 到圆221xy 的圆心的距离22222|4443POxyyyy，因为 11y ，所以|2PO 则maxmax|14013PQPO ，故 D 错误故选：BC1

30、5ACD【分析】利用点 A 在椭圆C 的内部可求得 a 的取值范围，可判断 A 选项；利用椭圆的离心率公式可判断 B 选项；求出点 M 的轨迹方程，判断点 M 的轨迹与椭圆的公共点，可判断 C 选项；利用两点间的距离公式可判断 D 选项.【详解】对于 A 选项，由已知可得24314a ，可得216a，则4a ，A 对；对于 B 选项，椭圆C 的离心率为222224431,12ccaeaaaa，B 错；对于 C 选项，设1F、2F 分别为椭圆C 的左、右焦点，则 214,0Fa、224,0Fa，记24ca，设点,M x y，1,F Mxc y，2,F Mxc y，因为12MFMF，则222120

31、FM F Mxcy，所以，点 M 在圆2224xya上，联立222222414xyaxya可得2222804aaxa，即圆2224xya与椭圆C 有公共点，C 对；对于 D 选项，22222222122222MFMFxcxcyxyc222222222224222448482 423242aya yayaaaaa ，D 对.故选：ACD.16AC【分析】对于 A，利用椭圆与=y kx的对称性可证得四边形 AF BF为平行四边形，进而得到8AFBF；对于 B，利用 A 中的结论及基本不等式“1”的妙用即可得到14AFBF的最小值；对于 C，由题意设各点的坐标，再由两点斜率公式即可得到12BEkk；

32、对于 D，先由各点坐标结合椭圆方程可得到12PAPBkk，从而可证得1PAABkk ，由此可知90PAB.【详解】由椭圆 C：221168xy 得2216,8ab，则=4,=2 2ab，28c，2 2c，对于 A，设将圆 C 的右焦点为 F ，如图，连接 AF，BF，由椭圆与=y kx的对称性可知,AOBO OFOF，则四边形 AF BF为平行四边形，故28AFBFAFAFa，故 A 正确；.对于 B，4141141 588BFAFAFBFAFBFAFBFAFBF4195288BFAFAFBF，当且仅当4BFAFAFBF，且8AFBF，即1623BFAF时，等号成立，故14AFBF的最小值为

33、98，故 B 错误；对于 C，设 00,A x y，00,Bxy，0,0E x，故直线 BE 的斜率0000001122BEyykkxxx，故 C 正确；对于 D，设,P m n，直线 PA 的斜率为PAk，直线 PB 的斜率为PBk，则2200022000PAPBnynynykkmxmxmx，又点 P 和点 A 在椭圆 C 上，故221168mn，22001168xy，两式相减得222200+=0168mxny，则22022012nymx，故12PAPBkk，易知12PBBEkkk，则1122PAkk，得1PAkk，所以1=1PAABkkkk，故90PAB，故 D 错误.故选：AC1730

34、xy【分析】结合点差法求得直线l 的方程.【详解】椭圆2216,8,4,2 2abab，由221168xy，令2x 得：2221,61168yy，所以 M 在椭圆内，同时，当直线l 的斜率不存在，即直线:2l x 时，2,7,2,7AB，M 不是线段 AB 的中点，所以直线l 的斜率存在.设 1122,A x yB x y，则222211221,1168168xyxy，两式相减并化简得12121212816yyyyxxxx，即211112222MlllMykkkx ，所以直线l 的方程为12yx ，即30 xy.故答案为：30 xy 18 247【分析】由已知得出直线的方程，与椭圆的标准方程联

35、立，利用韦达定理根据弦长公式可得答案【详解】由椭圆的方程可知左焦点1(1,0)F，若直线 AB 的倾斜角为 4，则直线的斜率1k ，故直线 AB 的方程为1yx，联立方程组221143yxxy，消去 x 整理得27690yy，设1(A x，1)y，2(B x，2)y，由韦达定理可知1267yy，1297yy，则由弦长公式得 222212121212216924|()()1()42()4()777ABxxyyyyy yk，弦长24|7AB 故答案为：247 19 2【分析】利用切线 PA、PB 过点 P，可得直线 AB 方程，然后由韦达定理表示出面积，利用基本不等式可得.【详解】由椭圆方程221

36、2xy，知222,1ab，21c(1,0)F，设右焦点为2(1,0)F，即22FF 设11(,)A x y，22(,)B xy，由椭圆的切线方程可知切线 PA 的方程为1112x xy y，切线 PB 的方程为2212x xy y（将1112x xy y 变形为11112x xyyy，代入2212xy 整理得2221111(2)44(1)0yxx xy，又221112xy，所以22112420 xx xx，所以21()0 xx，故直线1112x xy y 与椭圆相切.）由于点 P 在切线 PA、PB 上，则112211xtyxty，故直线 AB 方程为1xty，所以直线 AB 过定点(1,0)

37、，且定点为椭圆的右焦点2F，联立方程22112xtyxy，消去 x 得：22(2)210tyty 由韦达定理得12222tyyt，12212y yt，2212121211|2422ABFSFFyyyyy y V22222212 214222ttttt 令211tm ，则221tm，12mm，则11012mm2222 212 22 22 221212ABFtmStmmm，当且仅当1m ，即0t时，等号成立，故三角形 ABF 面积最大值为 2.故答案为：220钝角三角形【分析】由椭圆的离心率可求得2223ab，从而可表示出椭圆方程，求出右焦点坐标，则可表示出直线 l 的方程，代入椭圆方程中，消去

38、y 整理利用根与系数的关系，再表示出12y y，然后求出OA OB，由其正负可判断出三角形的形状【详解】由椭圆的离心率可得2233aba，解得2223ab，则椭圆的方程为2222123xyaa，椭圆的右焦点为303Fa，由直线 l 的方程为1323yxa，由22221231323xyaayxa可得22112 370 xaxa，设 1122A x yB x y，由韦达定理得212122 371111axxax x，则1212133433y yxaxa21212131()433x xa xxa221732 314113113aaaa2433 a 则2121225033OA OBx xy ya，所以

39、AOB一定为钝角，所以 AOB(其中O 为原点)的形状为钝角三角形，故答案为：钝角三角形2122【分析】由椭圆的方程及过椭圆的右焦点 F 作 x 轴的垂线，求得2(,0),(0,),(,)bAaBb C c a，根据/ABOC，求得bc，进而得到2ab，利用斜率公式，即可求解【详解】由题意，椭圆22221(0)xyabab，过椭圆的右焦点 F 作 x 轴的垂线与其交于点 C，可得2(,0),(0,),(,)bAaBb C c a，又由/ABOC，可得2bbaac，整理得2bcb，即bc，又由222222abcbab，所以直线 AB 的斜率为222bbkaa故答案为22【点睛】本题主要考查了椭圆

40、的标准方程及其简单的几何性质的应用，其中解答中熟记椭圆的标准方程，熟练应用椭圆的几何性质是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题22【分析】设1122(,),(,)M x yN xy，设直线方程4ykx，与椭圆方程联立，整理后应用韦达定理得122321 4kxxk ，1226014x xk，中代入12120 x xy y求解，中代入21xx求得 的范围，中求出直线 PN与QM 的方程，再求得交点坐标，中利用椭圆的对称性判断【详解】设1122(,),(,)M x yN xy，设直线方程4ykx，与椭圆方程联立，得到22224(4)4(1 4)32600 xkxkxkx，122321 4

41、kxxk ，1226014x xk，212121 212(4)(4)4()16y ykxkxk x xk xx，根据条件，当过原点时，满足12120 x xy y，2222260601281601 41 41 4kkkkk，19k ，故不正确；根据0 得到2154k，又根据条件可得12212221321 4601 41kxxkx xkxx，代入整理为2222(1)256256115(1 4)15(4)kkk，整理为2(1)64415，解得 3553，又1 ，所以513，当斜率不存在时，此时53，故513;根据椭圆关于轴对称，若角平分线是轴，那么,M N 关 x 轴对称，直线斜率不存在，显然错误

42、；根据点的坐标变换，代入椭圆方程22()142xy，得到224xy，1122(,),(,)M x yN xy，则1122(,2),(,2)M xy N xy，(0,2)P，(0,2)Q，得到直线2222:2PNylyxx，1122:2QMylyxx，两式变形得到212112122112122131(3)32521(5)5kyxkxxkx xxxyyxykxxkx xxkx，由中根与系数的关系得到1211815 kxx 代入得到2325yy，解得12y，故交点在一条直线12y 上，正确.故答案为：.【点睛】易错点睛：主要考察了圆锥曲线的命题问题，属于高档题型，比较好判断中间两个命题，而对于第一个

43、命题考察了直线与圆锥曲线的位置关系问题，设直线方程与椭圆方程联立，根据韦达定理，消参后得到关于的不等式，计算量比较大，容易出错在忘了当斜率不存在时的情况，导致错误，所以在有限的时间判断此题时也可考虑两个临界情况，一是相切时，1 ，因为有两个交点，所以1 ，二是斜率不存在时，此时53，能取到，这样就比较好选择此问.23352,23【分析】（1）当直线斜率不存在时，设,A m nB mn，此时 0,0T，由0AT BQ联立2212nm 求解即可；（2）当直线斜率存在时，设 0,0Ttt，1122,A x yB x y，设直线方程为：-yk x m，由 ABQT 可得1kt，由 BTAQ 可得 22

44、11-1-,-0 xt yxy，化简得121221x xy yxxm（*），联立直线与椭圆，结合韦达定理可得21222221my yt，即可代入（*）得22320tm，又2220821ttm，最后求解上述不等式即可.【详解】（1）当直线斜率不存在时，设,A m nB mn，此时 0,0T，则0AT BQ，210nmm，又2212nm ，联立解得23m 或1m （舍去），23m .（2）当直线斜率存在时，设 0,0Ttt，1122,A x yB x y，设直线方程为：-yk x m，直线 QT 的斜率为 t，ABQT，1kt，即1-yx mt，又BTAQ，2211-1-,-0 xt yxy，即1

45、2122121211()x xy yxtyxtxmxxmt，（*）联立221()12yxmtyx化为222221220txmxmt，则122221mxxt，22122221mtx xt，2222222212024821tmtmttm，22021tm，2212121 2122221122()()()21my yxm xmx xm xxmttt，代入（*）可得223213222320,113mmmmtmmmm 22202311mmtm，解得353522m，综上可知：实数 m 的取值范围为35223m 故答案为：352,23【点睛】（1）直线需讨论斜率存在与否；（2）三角形垂心成立，相当于满足两组高

46、和底垂直即可，即可结合向量来表示；当使用到坐标时，可以联立直线与圆锥曲线，结合韦达定理来表示，最后还需满足0 2428,09【分析】设出直线 OM,ON 的方程，代入到椭圆方程解出 M,N 的坐标结合122k k 进行化简，进而求出直线 MN 的方程，最后得到答案.【详解】由题意，椭圆的左顶点为（-4,0），设12:=+4,:=+4OMONly kxly kx，由222121114 161641 4=+4Mxykxky kx，则121814Mkyk，由222222214 161641 4=+4Nxykxky kx,因为122k k ，所以222122214 164641 416Nkkxkk，则

47、1211616Nkyk，所以2111421118298 44 2NMMNNMk kyykkxxkk，于是112211212189:1 44161 424MNkklykxkkk，化简得：1219:724MNklyxk，令 9287049xx，所以直线 MN 经过 x 轴上的定点28,09.故答案为：28,09.【点睛】本题思路比较直接，但运算量比较大，平常多注意运算方面的训练.25(1)221128xy(2)16 157【分析】（1）由离心率得到2232ba，再设 11,A x y，22,B xy，利用点差法得到2121221212bxxyyxxayy，即可求出直线 AB 的方程，令=0y，即可

48、求出c，从而求出2a、2b，即可求出椭圆方程；（2）联立直线与椭圆方程，列出韦达定理，即可求出12yy，最后根据2121212AF BSF Fyy计算可得.【详解】（1）解：设 11,A x y，22,B xy，因为 AB 的中点坐标为12 4,77，所以12247xx，1287yy，因为33cea，所以2213ca，即22213aba，所以2232ba，又2211221xyab、2222221xyab，所以2222121222220 xxyyaabb，即2222121222xxyyab，所以 1212121222xxxxyyyyab，即212122121224272837bxxyyxxayy

49、 ，即2ABk，所以直线 AB 的方程为412277yx，即240 xy，令=0y，解得=2x，即=2c，所以212a，则2228bac，所以椭圆方程为221128xy；（2）解：由22+=11282+4=0 xyxy得21448240 xx，所以12247xx，12127x x，则12128287yyxx，1212121232242448167y yxxx xxx，所以21212128 1547yyyyy y，所以21212118 1516 1542277AF BSF Fyy.26(1)2212xy(2)16 29，【分析】（1）根据已知条件列方程，化简求得22,a b，从而求得 E 的方程

50、.（2）对直线 AB 的斜率进行分类讨论，结合弦长公式求得四边形 ACBD 面积的表达式，利用换元法以及二次函数的性质求得四边形 ACBD面积的取值范围.（1）设122F Fc，因为两个焦点和短轴的两个端点为正方形的四个顶点，所以=b c，.因为点23,22P在 E 上，所以2223144ab，又222abc，由解得222,1ab，所以 E 的方程为2212xy.（2）若 AB 垂直于坐标轴，则212222ACBDbSaa.若 AB 不垂直于坐标轴，由（1）知2(1,0)F，则设 AB 的方程为(1)yk x，0k，代入 E 的方程并整理得：2222(12)42(1)0kxk xk，设()()

51、1122,A x yB x y，4224422164 1 221161688880kkkkkkk ，22121222214,1 21 2kkxxx xkk，则22121 2|14ABkxxx x2222222141 21 214kkkkk 222 2(1)1 2kk.同理可求222 2(1)|2kCDk.则222214(1)|2(2)(21)ACBDkSABCDkk，令211,nk（）令22244()11212ACBDnf nSnnnn，令10,1tn，则22ytt ，开口向下，对称轴12t，221190022,2224，所以2922,4ytt ，即292,1124nn，224 116,29

52、2141291112nnnn.综上所述，四边形 ACBD的面积的取值范围是 16,29.【点睛】在圆锥曲线中求三角形或四边形的面积的最值，当求得面积的表达式后，可考虑利用基本不等式、二次函数或者导数等知识来求最值.27(1)22143xy；(2)证明见解析；(3)证明见解析.【分析】（1）根据给定条件，求出椭圆上顶点坐标，再结合222acb即可求解作答.（2）设点 1122,A x yB x y，联立直线 l 与椭圆 C 的方程，求出直线 AM，AN 的方程，再联立求出交点 Q 的横坐标即可作答.（3）利用（2）中信息，直接计算12kk 即可作答.(1)当3t3 时，直线l：313xy ，令0

53、 x，得3y，即椭圆的上顶点为0,3，则3b，又12AF F的周长为6，即 226ac，3ac，又2223acb，解得2,1ac，所以椭圆C 的方程为22143xy.(2)由（1）知，2,0,2,0MN，设 1122,A x yB x y，依题意，点 A，B 不在 x 轴上，由221143xtyxy消去 x 并整理得：2234690tyty，122122634934tyyty yt，直线 AM 的方程为1122yyxx，直线 BN 的方程为2222yyxx，联立直线 AM、BN 的方程得212112212121212332221yxytyty yyxxyxy tyty yy，由122634ty

54、yt 得122634tyyt 代入上式，得222212212122222993332343439632343434ttyyty yyxtttttxty yyyyttt，于是得4x ，所以直线,AM BN 交点Q在定直线4x 上(3)由（2）知，121211212212112221233yxy tykty yykyxytyty yy，由12122269,3434tyyy ytt 得：121232ty yyy，所以12112121221213122393322yykty yykty yyyy为定值【点睛】思路点睛：涉及动直线与圆锥曲线相交满足某个条件问题，可设出直线方程，再与圆锥曲线方程联立，利用

55、韦达定理并结合已知推理求解.28(1)2212xy(2)13m【分析】（1）由已知，根据椭圆的定义及1PMF 的周长，可以求解出a 的值，在求解出直线2MF 的方程，与椭圆联立，求出 P 点坐标，再利用12PF F的面积即可求解出bc、的值，进而求解出椭圆方程；（2）把直线l 的方程与椭圆方程联立，结合韦达定理及0MAMB 建立方程，即可求解出m 的值.(1)设1 22F Fc，由椭圆定义可知，1PMF 的周长为44 2a，故2a，直线2MF 的方程为byxbc 与椭圆22221xyab 联立可得2322222(,)a cbP acac，所以12PF F的面积为333222112223bb c

56、cbacc，即232cc，解得1c 或2c（舍去），则2221bc，所以椭圆 E 的标准方程为2212xy.(2)联立2212ykxmxy，得222(21)4(22)0kxkmxm，228(21)0km ，由（1）可知，(0,1)M，设11(,)A x y，22(,)B xy，则122421kmxxk，21222221mx xk，122221myyk，22122221mky yk，所以2221 212122222211021mmkmMA MBx xy yyyk ，解得13m 或1m （舍去），所以当13m 时，MAMB恒成立.29(1)1294k k ，233kk(2)证明见解析【分析】（1）

57、直线l 斜率不存在时，求得,M N 坐标，计算12k k，23kk，直线l 存在时，设直线方程为(1)yk x，设1122(,),(,)M x yN xy，直线方程代入椭圆方程整理后应用韦达定理得1212,xx x x，代入12k k 可得常数，代入23kk 后，再证明此常数就是刚才特殊情况的值即得；（2）求出右准线方程是4x ，求出1(4,2)Pk，2(4,2)Qk，利用椭圆的对称性，得出所有圆中每个圆都存在关于 x 轴对称的圆，这样若有定点必在 x 轴设定点为(,0)G t，利用0GP GQ求出t 值即得定点（1）由已知(1,0)F，(2,0)A，(2,0)B，直线l 的斜率不存在时，方程

58、为1x ，不妨设3(1,)2M，3(1,)2N，13321 22k ，同理232k，33121(2)2k ，1294k k ，233kk，直线l 斜率存在时，设直线方程为(1)yk x，设1122(,),(,)M x yN xy，由22143(1)xyyk x，得2222(34)84120kxk xk，2122834kxxk，21 2241234kx xk，1112yxk，2222ykx，1312ykx，22121212121 212121212(1)(1)(1)(2)(2)(2)(2)2()4y ykxxkx xxxk kxxxxx xxx2222222224128(1)3434412164

59、3434kkkkkkkkk2222222(412 834)9412 1612 164kkkkkkk ，221211212312121212(2)(1)(2)22(2)(1)(2)22ky xk xxx xxxky xk xxx xxx因为221 212222(412)4025()8803434kkx xxxkk ，所以12121212223(22)x xxxx xxx，所以233kk，综上，1294k k ，233kk；（2）由已知2a，3b，1c ，右准线方程为24axc，由（1）知直线 AM 方程为11(2)2yyxx，令4x 得111222Pyykx，同理222222Qyykx，由椭圆的

60、对称性知，以 PQ 为直径的圆有一个圆心 x 轴上方的圆，则必定也有一个与之关于 x 轴对称的圆，这两个圆的交点在 x 轴上，以 PQ 为直径的圆经过定点，这个定点必在 x 轴上，设定点为(,0)G t，则0GP GQ，由（1）得22121 2(4,2)(4,2)(4)4(4)90GP GQtktktk kt，7t 或1t ，所以以 PQ 为直径的圆经过定点(1,0)，(7,0)【点睛】方法点睛：本题考查椭圆的定值与定点问题，方法是设交点坐标为1122(,),(,)x yxy，设直线方程，直线方程代入椭圆方程后，应用韦达定理得1212,xx x x，利用点的坐标求出证明定值的量，代入韦达定理的

61、结论后化简，得定值，对定点问题，一种方法求得动直线（或动曲线）方程，由动曲线过定点恒成立问题得结论，或由几何特征（特殊情形）得出定点坐标，然后证明其对其他情形也适用30（）22143xy；（）详见解析.【解析】（）由椭圆的定义可得，2PQF 周长取最大值时，线段 PQ 过点1F，可求出a，从而求出椭圆 E 的标准方程；（）设直线:10l yk xk，直线:m yk xt，11,A x y，22,B xy，33,M x y，44,N xy.把直线m 与直线l 的方程分别代入椭圆 E 的方程，利用韦达定理和弦长公式求出2MN 和 AB，根据24MNAB求出t 的值.最后直线m 与直线l 的方程联立

62、，求两直线的交点即得结论.【详解】（）设2PQF 的周长为 L，则221111224LPFQFPQaPFaQFPQaPFQFPQ44aPQPQa，当且仅当线段 PQ 过点1F 时“”成立.48a，2a，又1c ，3b，椭圆 E 的标准方程为22143xy.（）若直线l 的斜率不存在，则直线m 的斜率也不存在，这与直线m 与直线l 相交于点T 矛盾，所以直线l 的斜率存在.设:10l yk xk，:m yk xt，11,A x y，22,B xy，33,M x y，44,N xy.将直线m 的方程代入椭圆方程得：2222 23 48430kxk txk t.2342834k txxk ，2 23424334k txxk,22 2222216 1239134kk tMNkk.同理，2222212 14 9913434kkABkkk.由24MNAB得0t，此时4 222 26416 3 430k tkk t.直线:m ykx，联立直线m 与直线l 的方程得11,22Tk，即点T 在定直线12x.